鄭州市2023年高中畢業(yè)年級(jí)第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題卷第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)（a，，i為虛數(shù)單位），且，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足，且與的夾角為，則（）A．12 B．4 C．3 D．14．世界數(shù)學(xué)三大猜想：“費(fèi)馬猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費(fèi)馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費(fèi)馬大定理”．281年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1＋2”由我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和．在不超過17的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．5．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A．－1 B．－2 C．－3 D．06．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)幾何體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．47．已知在非Rt△ABC中，，，且，則△ABC的面積為（）A．1 B． C．2 D．38．和e是數(shù)學(xué)上兩個(gè)神奇的無理數(shù)．產(chǎn)生于圓周，在數(shù)學(xué)中無處不在，時(shí)至今日，科學(xué)家借助于超級(jí)計(jì)算機(jī)依然進(jìn)行的計(jì)算．而當(dāng)涉及到增長(zhǎng)時(shí)，e就會(huì)出現(xiàn)，無論是人口、經(jīng)濟(jì)還是其它的自然數(shù)量，它們的增長(zhǎng)總是不可避免地涉及到e．已知，，，，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．9．將函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（m，n）向右平移個(gè)周期得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則m的值可以是（）A． B． C． D．10．雙曲線：的一條漸近線與圓：交于第一象限的一點(diǎn)M，記雙曲線的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，則的值為（）A．0 B．4 C．7 D．1211．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A． B． C． D．12．已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．14．某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負(fù)責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，每個(gè)數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有______種．15．已知三棱錐P－ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，，，，平面PBC⊥平面ABC，若點(diǎn)E滿足，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的取值范圍為______．16．關(guān)于函數(shù)，，有如下4個(gè)結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②有三個(gè)零點(diǎn)；③有兩個(gè)極值點(diǎn)；④有最大值．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：60分17．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，求的值以及．18．（本小題滿分12分）如圖，在四邊形ABCP中，△ABC為邊長(zhǎng)為的正三角形，CP＝CA，將△ACP沿AC翻折，使點(diǎn)P到達(dá)的位置，若平面平面ABC，且．（Ⅰ）求線段的長(zhǎng)；（Ⅱ）設(shè)M在線段上，且滿足，求二面角的余弦值．19．（本小題滿分12分）商品流通費(fèi)用率，又稱為流通費(fèi)用水平，是商品流通費(fèi)用總額（商品在流通過程所耗費(fèi)勞動(dòng)與費(fèi)用總和）對(duì)商品銷售額的百分比．一定時(shí)期內(nèi)，在實(shí)現(xiàn)的銷售額一定的情況下，支出的費(fèi)用越少，表明費(fèi)用節(jié)約程度越高，體現(xiàn)為經(jīng)濟(jì)效益就越好．某企業(yè)收集了10個(gè)營(yíng)業(yè)點(diǎn)的商品銷售額x（萬元）與商品流通費(fèi)用率y（%）的有關(guān)數(shù)據(jù)，制作成散點(diǎn)圖如圖所示：（Ⅰ）從這10個(gè)營(yíng)業(yè)點(diǎn)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至少抽到一個(gè)商品流通費(fèi)用率不高于6%的營(yíng)業(yè)點(diǎn)的概率；（Ⅱ）為了研究y與x的相關(guān)關(guān)系，有四名同學(xué)通過計(jì)算得到y(tǒng)與x的相關(guān)系數(shù)分別為0.97，0.62，－0.32，－0.96，請(qǐng)你從中選出最有可能正確的結(jié)果，并以此求出y關(guān)于x的線性回歸方程．參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．20．（本小題滿分12分）已知拋物線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線上．（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)（4，0）作動(dòng)直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，直線OM，ON分別與圓交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)O），設(shè)直線OM，ON斜率分別為，．①求證：為定值；②求證：直線PQ恒過定點(diǎn)．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．在答題卷上將所選題號(hào)涂黑，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線l：與曲線，分別交于M、N兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)O），P為上的動(dòng)點(diǎn)，求△PMN面積的最大值．23．（10分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）若對(duì)任意，都有，求a的取值范圍．鄭州市2023年高中畢業(yè)年級(jí)第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題ABDBC BCADB DA二、填空題13．3n－5 14．240 15． 16．①②④三、解答題17．解：（1）在△ABC中，由，得，由正弦定理，得結(jié)合已知條件得，A為△ABC中的一個(gè)內(nèi)角，∴，解得．（2）由，平方得①由余弦定理，得②聯(lián)立①②解得，∴．由，，結(jié)合正弦定理，可得，．聯(lián)立解得．18．（1）解：取BC中點(diǎn)O，連接，，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，O為BC的中點(diǎn)，則，又，，∴平面，∴．所以，即為等邊三角形，所以，又平面平面，，所以平面，所以，又，所以．（2）解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由已知可得．綜上，二面角的余弦值為．19．（1）解：設(shè)“至少抽到一個(gè)商品流通費(fèi)用率不高于6%的營(yíng)業(yè)點(diǎn)”為事件A，（2）最有可能的結(jié)果是．．．所以關(guān)于的線性回歸方程為．20．（1）解：易知直線與x軸交于，所以，，拋物線方程為．（2）①設(shè)直線MN方程為，，，聯(lián)立方程組得，所以，．②設(shè)直線PQ方程為，，聯(lián)立方程組得，所以，，．整理得，，所以直線PQ過定點(diǎn)．21．（1）解：當(dāng)時(shí)，，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間．（2），令，對(duì)應(yīng)方程的，當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，，所以，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．又，所以，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在和各有一個(gè)零點(diǎn)，又有，在有三個(gè)零點(diǎn)．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．22．（1）解：的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去可得，，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，將，代入得，曲線的極坐標(biāo)方程為．的極坐標(biāo)方程為，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，綜上所述：曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，，．顯然當(dāng)點(diǎn)P到直線MN的距離最大時(shí)，△PMN的面積最大．直線MN的方程為，圓心到