多維隨機(jī)變量

1多維隨機(jī)變量

及其函數(shù)的概率分布一、基本概念1.二維隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為，X和Y是定義在上的兩個隨機(jī)變量，稱向量(X,Y)為二維隨機(jī)變量二元函數(shù)F(x,y)=P{Xx,Yy},

-<x,y<+稱為(X,Y)的分布函數(shù)或X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)2二維隨機(jī)變量分量X的分布函數(shù)FX(x)=F(x,+),

-<x<+稱為(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)分量Y的分布函數(shù)FY(y)=F(+,y),

-<y<+

稱為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)3二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X,Y)只取有限對值或可數(shù)對值，則稱(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量。設(shè)(X,Y)的可能取值為(xi,yi)，i,j

=1,2,…則P{X=x,Y=y}=pij，i,j

=1,2,…稱為(X,Y)的分布律或X與Y的聯(lián)合分布律。(X,Y)的分布函數(shù)為4二維隨機(jī)變量若存在二元非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得(X,Y)的分布函數(shù)則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量。函數(shù)f(x,y)稱為(X,Y)的概率密度函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)5二維隨機(jī)變量(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為P{X=xi

,Y=yj

}=pij

，i,j

=1,2,…，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為6二維隨機(jī)變量(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布密度為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布密度為72.n維隨機(jī)變量n維隨機(jī)變量(X1,X2,,Xn)的分布函數(shù)F(x1,x2,,xn)=P{X1x1,X2x2,,Xnxn}關(guān)于Xi的邊緣分布函數(shù)Fi(xi)=F(+,,+,xi

,+,,+)8n維隨機(jī)變量n維連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為f(x1,x2,,xn)，則分布函數(shù)關(guān)于Xi的邊緣分布密度函數(shù)9二、基本性質(zhì)1.聯(lián)合分布函數(shù)具有下述性質(zhì)0F(x,y)1F(x,y)對x和y分別單調(diào)不減F(x,y)對x和y分別是右連續(xù)的，即10基本性質(zhì)對任意的x,y11基本性質(zhì)隨機(jī)點(X,Y)落在矩形域D={(x,y)|x1<xx2,y1<yy2}上的概率為P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)12基本性質(zhì)2.聯(lián)合分布律具有下述性質(zhì)0pij113基本性質(zhì)3.聯(lián)合密度函數(shù)具有下述性質(zhì)f(x,y)0若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，則14基本性質(zhì)(X,Y)落入平面區(qū)域D的概率為15三、隨機(jī)變量的獨立性設(shè)X和Y是兩個隨機(jī)變量，對于任意的x和y，如果事件{Xx}與{Xx}相互獨立，則稱X與Y相互獨立X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則

X與Y相互獨立F(x,y)=FX(x)FY(y)16隨機(jī)變量的獨立性如果對于任意的x1,x2,,xn

,事件{X1x1}，，{Xnxn}相互獨立，則稱X1,X2,,Xn相互獨立X1,X2,,Xn相互獨立的充要條件是F(x1,x2,,xn)=F1(x1)F2(x2)

Fn(xn)17隨機(jī)變量的獨立性對于離散型隨機(jī)變量X與Y相互獨立pij=pi?

p?j對于連續(xù)型隨機(jī)變量X與Y相互獨立f(x,y)=fX(x)fY(y)X1,X2,,Xn相互獨立f1(x1)f2(x2)

fn(

xn)18三、條件分布1.離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

pij

=

P{X=xi,Y=yj}

，i,j

=1,2,…，邊緣分布律為pi?

=

P{X=xi

}

，i=1,2,…，p?j

=

P{Y=yj

}

，i,j

=1,2,…，則19條件分布在{Y=yj}發(fā)生的條件下X的條件分布律為在{X=xi}發(fā)生的條件下Y的條件分布律為20條件分布在X與Y相互獨立時21條件分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，邊緣概率密度為fX(x)，fY(y)，則22條件分布在{Y=y}發(fā)生的條件下，X的條件密度為在{Y=y}發(fā)生的條件下，X的條件分布為23條件分布在{X=x}發(fā)生的條件下，Y的條件密度為在{Y=y}發(fā)生的條件下，X的條件分布為24條件分布在X與Y相互獨立時25五、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，g(x,y)是普通實值函數(shù)，可以由X和Y的聯(lián)合分布確定隨機(jī)變量Z=g(X,Y)的分布，當(dāng)(X,Y)是連續(xù)型時，設(shè)密度函數(shù)為f(x,y)，可用分布函數(shù)法求Z=g(X,Y)的密度函數(shù)：先求Z的分布函數(shù)然后對FZ(z)求導(dǎo)可得z的密度函數(shù)26二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y)，并有函數(shù)U=u(X,Y),V=v(X,Y)如果函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)有唯一的單值反函數(shù)x=x(u,v),y=y(u,v)，且有連續(xù)的一

階偏導(dǎo)數(shù)，則二維隨機(jī)變量

(U,V)

的聯(lián)合密度函數(shù)為f(U,V)(u,v)=f(X,Y)[x(u,v),y(u,v)]|J|27二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布其中28隨機(jī)變量和的分布設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)

的密度函數(shù)為f(x,y)，則Z=X+Y的概率密度函數(shù)為

或29隨機(jī)變量和的分布若X,Y

相互獨立，邊緣密度函數(shù)分別為fX(x)，fY(y)則有

或30最大值、最小值的分布設(shè)X1,X2,,Xn為相互獨立的隨機(jī)變量，分布函數(shù)為FX1(x1),FX2(x2),,FXn

(xn),設(shè)M=max(X1,X2,,Xn),N=max(X1,X2,,Xn)則FM(z)=FX1(z)FX2(z)FXn

(z)FN(z)=1-[1-FX1(z)][1-FX2(z)][1-FXn

(z)]31最大值、最小值的分布若X1,X2,,Xn獨立同分布，分布函數(shù)為F(x)，密度函數(shù)為f(x)，則有

FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n

fM(z)=n[F(z)]n-1f(z)

fM(z)=n[1-F(z)]n-1f(z)32常見的二維概率分布均勻分布設(shè)D為閉域，其面積為S，若密度函數(shù)為則稱(X,Y)在D上服從均勻分