第8章平面彎曲梁的強度與剛度計算§8.1純彎曲時梁的正應力§8.2常用截面二次矩平行移軸公式§8.3彎曲正應力強度計算§8.4彎曲切應力簡介§8.5梁的彎曲變形概述

§8.6用疊加法求梁的變形小結(jié)8.1.1純彎曲試驗§8.1純彎曲時梁的正應力一矩形等截面簡支梁AB，其上作用兩個對稱的集中力F。☆加載前，在CD段表面畫些平行于梁軸線的縱向線和垂直于梁軸線的橫向線?！罴虞d后，由剪力圖和彎距圖可知AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上同時有剪力和彎矩，這種彎曲稱為橫彎曲（或稱剪切彎曲）?！钤谥虚g段CD段內(nèi)的各橫截面上，只有彎矩，沒有剪力，這種彎曲稱為純彎曲?！?.1純彎曲時梁的正應力☆縱向線彎曲成圓弧線，其間距不變。凸邊的縱向線伸長，凹邊的縱向線縮短。☆橫向線仍為直線，但相對轉(zhuǎn)過一個微小角度，并與縱向線垂直?！盍旱母叨炔蛔?，而梁的寬度在伸長區(qū)內(nèi)，有所減少，在壓縮區(qū)內(nèi)，有所增大。8.1純彎曲時梁的正應力選取相距為dx的兩相鄰橫截面m-m1和n-n1。8.1.2梁橫截面上的正應力分布設(shè)中性層O1O2曲率半徑為，相對轉(zhuǎn)動后形成的夾角為。距中性層處的線應變?yōu)椋?.1）§8.1純彎曲時梁的正應力8.1.2梁橫截面上的正應力分布當正應力沒有超過材料的屈服極限時，(8.2)§8.1純彎曲時梁的正應力8.1.3梁的正應力計算取一微面積dA，作用于dA上的微內(nèi)力為。由于純彎曲時，橫截面上的內(nèi)力分量只有彎矩M而無軸力，故橫截面上所有微內(nèi)力在x軸上投影的代數(shù)和應等于零。稱為截面對中性軸z的截面一次矩。因為故有所以

§8.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.1常用截面二次矩1．矩形截面設(shè)矩形截面的高為h，寬為b，過形心O作y軸和z軸。取寬為b高為的狹長條為微面積，（8.6a）（8.6b）（8.6c）（8.6d）§8.2常用截面二次矩平行移軸公式（8.7b）2.圓形截面與圓環(huán)形截面設(shè)圓形截面的直徑為d，y軸和z軸過形心O。取微面積，其坐標為y和z。（8.7a）對圓環(huán)形截面（8.8a）（8.8b）§8.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.2組合截面二次矩平行移軸公式組合截面對軸的截面二次矩等于各組成部分對軸的截面二次矩的代數(shù)和。(8.9)平行移軸公式(8.10)圖形對任意軸的截面二次軸矩，等于圖形對于與該軸平行的形心軸的截面二次軸矩，加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。由此可知，對所有平行軸的截面二次矩中，以通過形心軸的截面二次矩為最小。此公式的應用條件為（1）兩對軸必須互相平行。（2）其中x、y軸必須是過形心的軸。§8.3彎曲正應力強度計算

對于脆性材料（8.12）梁的強度條件可解決三類強度計算問題：校核梁的強度、設(shè)計梁的截面尺寸和確定梁的許用載荷。梁的彎曲正應力強度條件為：（8.11）§8.3彎曲正應力強度計算例8.2簡支矩形木梁AB?？缍?，承受均布載荷q=3.6kN/m,木材順紋許用應力。設(shè)梁橫截面高度之比為，試選擇梁的截面尺寸。解畫出梁的彎矩圖可選取的矩形截面。8.3彎曲正應力強度計算例8.3懸臂梁AB，型號為No.18號工字鋼。已知許用應力，,不計梁的自重，試計算自由端集中力F的最大許可值。解畫出梁的彎矩圖由強度條件得查手冊得到No.18號工字鋼彎曲截面系數(shù)P259③

§8.3彎曲正應力強度計算解（1）由靜力平衡方程求出支座反力為（2）畫出梁的彎矩圖最大負彎矩在截面B上（3）T形截面對中性軸的截面的二次矩為為

（4）強度校核分別作出B截面和C截面的正應力分布圖，因為≥，所以最大壓應力發(fā)生在B截面的下邊緣§8.3彎曲正應力強度計算分別計算C截面下邊緣和B截面上邊緣的應力，以確定最大拉應力所在位置。在B截面上在C截面上因此最大拉應力發(fā)生在C截面的下邊緣處。補充例子：圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4。已知圖a中，b=2m。鑄鐵的許用拉應力[t]=30MPa，許用壓應力[

c]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]。(a)(b)顯然，B截面上的最大拉應力控制了梁的強度。B截面：C截面：第四章彎曲應力當然，這個許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會減少很多。于是由B截面上最大拉應力不得超過鑄鐵的許用拉應力[st]的條件來求該梁的許可荷載[F]：由此得F≤19200N，亦即該梁的許可荷載為[F]=19.2kN。第四章彎曲應力§8.4彎曲切應力簡介梁受橫力彎曲時，橫截面上不僅有與彎矩有關(guān)的正應力，同時還有由剪力引起的切應力。一般情況下，正應力是影響梁強度和變形的主要因素，按彎曲正應力強度計算即可滿足工程要求。以下情況，需要對梁進行彎曲切應力強度計算：1）跨距較短的梁；2）載荷較大且靠近支座附近的梁截面；3）腹板窄而高的組合梁；4）焊接、鉚接、膠合的梁等。Fs(x)+dFs(x)M(x)M(x)+dM(x)Fs(x)dxs1xyzs2t’tb由剪應力互等§8.4彎曲切應力簡介Fst方向：與橫截面上剪力方向相同；t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。最大剪應力為平均剪應力的1.5倍?！?.4彎曲切應力簡介最大切應力與正應力之比最大切應力與最大正應力之比等于梁的截面高度與跨度之比。上式表明，在一般細長非薄壁截面梁中，最大彎曲正應力與最大彎曲切應力之比的數(shù)量級約等于梁的跨高比，故在一般細長梁中，彎曲正應力起控制強度的作用。§8.5梁的彎曲變形概述單杠和跳板都可視作梁，運動員借助梁的變形完成動作。但對有些梁在工作時是不允許產(chǎn)生過大彎曲變形的。例如起重機起吊重物后梁彎曲變形過大，會使其起重小車運行阻力過大，容易燒壞電動機；搖臂鉆的橫梁在鉆孔時，如發(fā)生過大變形將影響孔的加工質(zhì)量。為保證梁能正常工作，應使梁同時滿足強度條件和剛度條件，并限制梁的彎曲變形量。搖臂鉆床§8.5梁的彎曲變形概述8.5.1撓曲線方程為表示撓度和轉(zhuǎn)角隨截面位置不同而變化的規(guī)律。取變形前梁的軸線為x軸，與軸線垂直向上的軸為繞度。則撓曲線方程可表示為：（8.20）梁承載后主要產(chǎn)生兩種變形：（1）線位移：橫截面形心在垂直于梁變形前軸線方向上的線位移，稱為撓度，用表示。在右圖直角坐標系中撓度方向規(guī)定：向上撓度為正；向下?lián)隙葹樨摗?/p>

（2）角位移：橫截面相對于變形前的位置所轉(zhuǎn)過的角位移。稱為轉(zhuǎn)角，用表示。判定轉(zhuǎn)向正負：逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正，順時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負。橫截面在彎曲變形后仍垂直于撓曲線,任意橫截面的轉(zhuǎn)角可用撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角表示。即撓曲線上任意點的切線斜率與轉(zhuǎn)角的關(guān)系為：§8.5梁的彎曲變形概述8.5.2撓度與轉(zhuǎn)角

在小變形情況下，很小，故tan，則上式可改寫為：(8.21)

§8.6用疊加法求梁的變形8.6.1梁的撓曲線近似微分方程

若忽略剪力對變形的影響，平面彎曲時梁的軸線的曲率為在梁的撓曲線中任取一段，則有或§8.6用疊加法求梁的變形因梁的變形很小，，則上式可寫成整理可得對等截面直梁可得(8.23)(8.22)☆結(jié)合邊界條件和變形連續(xù)條件應用此方程，即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，從而求得梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角?！顡锨€近似微分方程僅適用于線彈性范圍內(nèi)的小撓度平面彎曲問題。梁在簡單載荷下的繞曲線方程，端截面轉(zhuǎn)角和最大繞度已在書上給出。P153§8.6用疊加法求梁的變形8.6.2用疊加法求梁的變形

梁的變形滿足線性疊加原理：先求出各個載荷單獨作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角，之后進行代數(shù)相加，得到n個載荷同時作用時梁的撓度與轉(zhuǎn)角。8.6.3梁的剛度條件梁的剛度條件為≤ —梁的許用撓度。

≤—梁的許用轉(zhuǎn)角?！畲蠖鄶?shù)桿件的設(shè)計過程都是首先進行強度設(shè)計或工藝結(jié)構(gòu)設(shè)計，確定截面的形狀和尺寸，然后再進行剛度校核?！?.6用疊加法求梁的變形

例8.9行車大梁采用No.45a工字鋼，跨度。已知電動葫蘆重5，最大起重量為50，許用應力，許用撓度[ω]=l/500，試校核行車大梁的強度和剛度。分析：將行車大梁簡化為簡支梁，視梁的自重為均布載荷q，起重量和電葫蘆的自重為集中載荷F。當電葫蘆帶著載荷移動到跨中時，梁的變形最大。因此首先確定梁的危險截面，并按正應力強度條件進行梁的強度校核；再進行剛度校核。§8.6用疊加法求梁的變形

（1）確定載荷并求出跨中最大彎矩值查附表中的型鋼表得，，，由均布載荷引起的跨中彎矩值為。由集中載荷引起的跨中彎矩值為（2）校核梁的強度§8.6用疊加法求梁的變形（3）利用疊加法求變形P153§8.6用疊加法求梁的變形（4）校核剛度。梁的許用撓度為＜滿足剛度條件?！?.6用疊加法求梁的變形例8.10試求三支座橋梁支座的約束力?！?.6用疊加法求梁的變形

§8.6用疊加法求梁的變形解:

（1）分析：從計算簡圖中可看出，三支座梁增加了一個活動鉸鏈支座，既增加了一個未知量，因此本題為一次超靜定問題。

（2）將C活動鉸鏈支座的約束力視為多余約束力，則圖c所示簡支梁是三支座超靜定梁的靜定基。

（3）將靜定基和原超靜定梁進行變形比較可知，若靜定基要滿足變形協(xié)調(diào)條件，則C點撓度為零。利用疊加原理得和將下列公式帶入上式得§8.6用疊加法求梁的變形（4）利用靜力平衡條件可求出其它約束力為，上述求解超靜定梁的方法稱為變形比較法?！?.7提高梁的強度和剛度的措施梁的最大正應力梁的最大正應力與最大彎矩Mmax成正比與截面抗彎系數(shù)WZ成反比從梁的擾度和轉(zhuǎn)角的表達式看出