課題：2.5.1直線與圓的位置關(guān)系（第二課時(shí)）合肥市一六八中學(xué)賈秋雨一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容綜合運(yùn)用直線和圓的方程研究一些簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.2.內(nèi)容解析直線與圓的位置關(guān)系有三種，分別是；相交、相切、相離，三種位置關(guān)系的劃分標(biāo)準(zhǔn)是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).上節(jié)類比用直線的方程研究兩條直線的位置關(guān)系，研究運(yùn)用直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系,經(jīng)歷了從定性到定量的過程，實(shí)現(xiàn)了關(guān)系的精確化表達(dá)，學(xué)生不光可以從“形”的角度分析它們的位置關(guān)系，也可以從“數(shù)”的角度刻畫它們之間的位置關(guān)系，真正實(shí)現(xiàn)了在坐標(biāo)法的引領(lǐng)下用代數(shù)方法解決幾何問題.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，形成利用方程判斷直線與圓的關(guān)系的兩種方法.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)運(yùn)用直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，并解決簡單的問題．體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．(2)能理解并掌握解析幾何研究問題的一般方法，為后續(xù)更一般的“曲線與方程”的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．2．目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：=1\*GB2⑴學(xué)生能借助幾何直觀，充分利用圖形的幾何性質(zhì)，利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合代數(shù)方法研究直線與圓的位置關(guān)系．(2)學(xué)生能夠依據(jù)直線與圓的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解，來判斷直線與圓的位置關(guān)系.(3)學(xué)生能歸納總結(jié)出解析幾何研究問題的一般方法．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在初中“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中已初步了解了直線與圓的有關(guān)知識，前面又學(xué)習(xí)了直線的方程，學(xué)生對用代數(shù)方法建立幾何問題，并利用方程研究其幾何性質(zhì)有了初步認(rèn)識，這些都為本節(jié)的學(xué)習(xí)奠定了認(rèn)知基礎(chǔ)．但學(xué)生接觸解析幾何時(shí)間不長，對解析幾何研究問題的一般策略還不太熟悉，這都有賴于老師的教學(xué)引導(dǎo).我們將在直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的研究過程中進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學(xué)生形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.在問題解決中，我們都是在平面直角坐標(biāo)系中將問題涉及的幾何元素:點(diǎn)、直線、圓用坐標(biāo)或方程表示，利用這些坐標(biāo)或方程將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題，最后將代數(shù)結(jié)論“翻譯”為幾何結(jié)論．這體現(xiàn)了用坐標(biāo)法研究問題的基本思想與完整過程，也就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”．關(guān)于這種問題解決的一般模式的教學(xué)需要帶領(lǐng)學(xué)生在豐富的問題情境中不斷地積累經(jīng)驗(yàn)，以形成能力．根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用直線和圓的方程綜合解決判斷直線與圓的位置關(guān)系問題．四、教學(xué)支持條件分析借助數(shù)學(xué)軟件GeoGebra，采用動態(tài)方式展現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系的變化，為數(shù)學(xué)抽象提供直觀的背景．教學(xué)過程設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容綜合運(yùn)用直線和圓的方程研究一些簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，能用直線和圓的方程解決實(shí)際問題，掌握用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本思想及其解題過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用直線與圓的方程解決簡單的問題.教學(xué)難點(diǎn)：利用直線與圓的位置關(guān)系解決實(shí)際問題的一般方法.(四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.單元框架，溫故知新直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法：直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷：設(shè)計(jì)意圖：以提問的方式，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)前面所學(xué)知識，同時(shí)ppt動態(tài)演示復(fù)習(xí)內(nèi)容，給學(xué)生以直觀的感受和提醒，為本節(jié)課內(nèi)容做好鋪墊.2.問題引領(lǐng)，導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入：相傳趙州橋是隋朝時(shí)修建的，距今差不多一千四百多年了。使用石制、夯土建筑，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐。如圖圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).展示的圖片它生動地描繪了實(shí)際生活中的景象.圓拱形橋一孔圓拱的過程中，其實(shí)也蘊(yùn)含了有趣的數(shù)學(xué)知識.問題：如果我們把圓拱形橋一孔圓抽象成一個(gè)圓的一部分，支柱看作一個(gè)線段，請大家觀察一下，在這個(gè)過程中，體現(xiàn)了哪些幾何圖形關(guān)系？預(yù)設(shè):圓、圓中的線段設(shè)計(jì)意圖:與圓相關(guān)的幾何圖形在現(xiàn)實(shí)生活中有非常多的實(shí)例，通過圓拱形橋一孔圓的圖片來引入本節(jié)課的內(nèi)容，直觀且自然，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是源于實(shí)際生活的.3.探究問題，總結(jié)方法例3.如圖圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).問題1.如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？（大家分組討論，給出方案）（教師展示學(xué)生方案，引導(dǎo)學(xué)生回憶建立平面直角坐標(biāo)系應(yīng)該遵循的原則，選擇最合適的坐標(biāo)系.）學(xué)生：（回憶回答建立直角坐標(biāo)系的原則）①若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸.②常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).③盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，會簡化運(yùn)算過程.【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的方法技巧師生活動：選擇最適合的坐標(biāo)系后，在平面直角坐標(biāo)系下解決代數(shù)問題：預(yù)設(shè)答案：解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓心在y軸上，由題意，點(diǎn)P,B的坐標(biāo)分別為（0,4),(10,0),設(shè)圓心坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r，那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.因?yàn)镻,B兩點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0,4),(10,0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得到方程組解得b=－10.5,r2=14.52所以,圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52答：支柱的高度約為3.86m.【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)利用直線與圓的位置關(guān)系解決實(shí)際問題的解答過程.問題2.如果不建立平面直角坐標(biāo)系，你能解決這個(gè)個(gè)問題嗎？預(yù)設(shè)答案：追問1：這兩種方法各有什么特點(diǎn)？追問2：坐標(biāo)法的基本步驟有哪些？（回到解答過程中去尋找答案）預(yù)設(shè)答案：第一步：建系，轉(zhuǎn)化；第二步：解答；第三步：“翻譯”【設(shè)計(jì)意圖】及時(shí)歸納總結(jié)，力爭達(dá)到舉一反三的效果.4.學(xué)以致用，解決問題練習(xí)：某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m，現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？解：由已知如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的方程：由P（0，4），B（10，0），代入由M（-5，3），N（5，3），代入所以，這條船能從橋下通過.5、方法應(yīng)用，熟練掌握例4一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險(xiǎn)？(師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生按照上例總結(jié)歸納的步驟一步步解答例4)預(yù)設(shè)答案：解：以小島的中心為原點(diǎn)O,東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為了運(yùn)算的簡便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為(0,3),輪船所在位置的坐標(biāo)為(4,0).則暗礁所在圓形區(qū)域邊緣對應(yīng)圓O的方為,其圓心坐標(biāo)（0，0），半徑為2；輪船航線所在直線l方程為聯(lián)立直線與圓的方程：所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返航不會有觸礁危險(xiǎn).追問：還有沒有其他方法解決這個(gè)問題？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生給出不同的解法并分析不同解法的特點(diǎn)預(yù)設(shè)答案：你能比較三個(gè)方法各自的特點(diǎn)嗎？【設(shè)計(jì)意圖】通過例4的解答進(jìn)一步熟悉、鞏固坐標(biāo)法解決實(shí)際問題的步驟.運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)知識來解決一些與實(shí)際生活中有關(guān)的簡單的與直線與圓位置關(guān)系的問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，數(shù)學(xué)來源于生活，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問題，最后再回歸到實(shí)際問題，學(xué)有所用。6、梳理小結(jié)，深化理解1.本節(jié)課研究路徑2.數(shù)學(xué)知識、方法3.數(shù)學(xué)思想解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟：坐標(biāo)法解決平面幾何問題“三步曲”第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，如點(diǎn)、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.７．今日新學(xué)，明日賡續(xù)８．作業(yè)布置，自我提升（1）基礎(chǔ)作業(yè)P95練習(xí)1，3（2）提升作業(yè)已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時(shí)間多長？（3）探究作業(yè)在某海礁A處有一風(fēng)暴中心，距離風(fēng)暴中心A正東方向200km的B處有一艘輪船，正以北偏西a（a為銳角）角方向航行，速度為40km/h．已知距離風(fēng)暴中心180km以內(nèi)的水域受其影響．（1）若輪船不被風(fēng)暴影響，求角α的正切值的最大值？（2）若輪船航行方向?yàn)楸逼?5°，求輪船被風(fēng)暴影響持續(xù)多少時(shí)間？設(shè)計(jì)意圖：不同層次學(xué)生根據(jù)實(shí)際選擇相應(yīng)層次的作業(yè)，體現(xiàn)作業(yè)分層，運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)知識來解決一些簡單的與直線與圓位置關(guān)系相關(guān)的問題，檢測學(xué)生對知識的理解，鞏固所學(xué)內(nèi)容。目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)A組：適用普通高中學(xué)生1.如圖，公路和公路在點(diǎn)P處交匯，且，點(diǎn)A處有一所學(xué)校，，一輛拖拉機(jī)從P沿公路前行，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)會收到噪聲影響．（1）該所學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由；（2）已知拖拉機(jī)的速度為每小時(shí)18千米，如果受影響，影響學(xué)校的時(shí)間為多少？解：（1）過點(diǎn)作于，，，，，該所中學(xué)會受到噪聲影響；（2）以為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)與，則，在中，，，，，，，學(xué)校受影響的時(shí)間為：（秒．2.如圖，一座圓弧形拱橋，當(dāng)水面在如圖所示的位置時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，求水面的寬度.解：如圖所示，以圓弧形拱橋的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以過圓弧形拱橋的頂點(diǎn)的水平切線為x軸，以過圓弧形拱橋的頂點(diǎn)的豎直直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點(diǎn)為A，B，則由已知可得A(6，－2)，設(shè)圓的半徑長為r，則C(0，－r)，即圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2.將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上述方程可得r＝10，所以圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100，當(dāng)水面下降1米后，水面弦的端點(diǎn)為A′，B′，可設(shè)A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，∴水面寬度|A′B′|＝2米.3.如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時(shí)間多長？(要求用坐標(biāo)法)解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，則A(40,0)，B(0,30)，圓O方程x2＋y2＝252.直線AB方程：＋＝1，即3x＋4y－120＝0.設(shè)O到AB距離為d，則d＝＝24<25，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到．設(shè)監(jiān)測時(shí)間為t，則t＝＝(h)答：外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到，時(shí)間是0.5h.B組：適用重點(diǎn)高中學(xué)生1.在某海礁A處有一風(fēng)暴中心，距離風(fēng)暴中心A正東方向200km的B處有一艘輪船，正以北偏西a（a為銳角）角方向航行，速度為40km/h．已知距離風(fēng)暴中心180km以內(nèi)的水域受其影響．（1）若輪船不被風(fēng)暴影響，求角α的正切值的最大值？（2）若輪船航行方向?yàn)楸逼?5°，求輪船被風(fēng)暴影響持續(xù)多少時(shí)間？解：(1)根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，則圓的方程為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，；即，則圓心到直線的距離為，化簡得，解得；，，，若輪船不被風(fēng)暴影響，則角a的正切值的最大值為；(2)若輪船航行方向?yàn)楸逼?，則直線方程為，則圓心到該直線的距離為，弦長為，則輪船被風(fēng)暴影響持續(xù)的時(shí)間為.2.在氣象臺正西方向處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為，距臺風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地是否會受到臺風(fēng)的影響？如果會，大約多長時(shí)間后受到影響？持續(xù)時(shí)間有多長（精確到）？（參考數(shù)據(jù)：，）解：以氣象臺為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S建立平面直角坐標(biāo)系，則現(xiàn)在臺風(fēng)中心的坐標(biāo)為，根據(jù)題意，可知，小時(shí)后，的坐標(biāo)為，即，因?yàn)橐耘_風(fēng)中心為圓心，以250千米為半徑的圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)將遭受臺風(fēng)影響，所以在圓上或圓內(nèi)時(shí)，氣象臺將受臺風(fēng)影響.所以令，即，整理得，解得，所以，故大約2小時(shí)后，氣象臺所在地將遭受臺風(fēng)影響，大約持續(xù)6個(gè)半小時(shí).3.最近國際局勢波云詭譎，我國在某島（如圖（1））上進(jìn)行軍事演練，如圖（2），是三個(gè)軍事基地，為一個(gè)軍事要塞.已知km，到的距離分別為km，km.（1）求兩個(gè)軍事基地的長；（2）若要塞正北方向距離要塞20km處有一