-

直線與圓位置關(guān)系

一．

課標(biāo)要求

能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；

能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；

在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。二．知識框架

相離

幾何法

弦長

直線與圓的位置關(guān)系

相交

代數(shù)法

切割線定理

相切

直線與圓

代數(shù)法

求切線的方法

幾何法

圓的切線方程

過圓上一點的切線方程

圓的切線方程

切點弦

過圓外一點的切線方程

方程

三．直線與圓的位置關(guān)系及其判定方法

1.利用圓心

O(a,b)到直線AxByC0

的距離d

AaBbCA2B2

與半徑

r

的大小來判

定。

dr

dr

dr

直線與圓相交直線與圓相切直線與圓相離

2.聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組，消去其中一個未知量，得到關(guān)于另外一個未知量的一元二次方程，通過解的個數(shù)來判定。

（1）有兩個公共解〔交點〕，即

0

直線與圓相交

（2）有且僅有一個解〔交點〕，也稱之為有兩個一樣實根，即

0

直線與圓相切

（3）無解〔交點〕，即3.等價關(guān)系

dr0相交

dr0相切

dr0相離

練習(xí)

0

直線與圓相離

〔位置關(guān)系〕1.動直線

l:ykx5

和圓C:(x1)2y2

1

，試問

k

為何值時，直線與圓

相切、相離、相交.

〔位置關(guān)系〕2.點

M(a,b)

在圓O

:

x

2

y

2

1

外，則直線

axby1

與圓O的位置關(guān)系是

-

〔〕

A.相切B.相交C.相離D.不確定

〔最值問題〕3.實數(shù)

x

、

y

滿足方程x

2

y

2

4

x

1

0

，

（1）求

y

x

的最大值和最小值；

（2）求

xy

的最大值和最小值；

（3）求x2y2

的最大值和最小值。

〖分析〗考察與圓有關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題目條件將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的幾何問題

求解，運用數(shù)形結(jié)合的方法，直觀的理解。轉(zhuǎn)化為求斜率的最值；轉(zhuǎn)化為求直線截距的最大值；轉(zhuǎn)化為求與原點的距離的最值問題。

yxb

〔位置關(guān)系〕4.設(shè)

m,nR

，假設(shè)直線

(m1)x(n1)y20

與圓

(x1)2(y1)2

1

相切，則

mn

的取值圍是〔〕

〔位置關(guān)系〕5.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓

12x5yc0的距離為1，則實數(shù)c的取值圍是

x2y24上有且僅有四個點到直線

6．直線

3xy230截圓*2+y2=4得的劣弧所對的圓心角是(C)

A、

6

B、

4

C、

3

D、

2

〔位置關(guān)系〕7．圓x

2

y

2

2x2y10

上的點到直線

xy2

的距離最大值是

〔〕

A．

2

B．

1

2

C．1

2

2

D．

122

〔最值問題〕8.設(shè)A為圓

(x2)2(y2)2

1上一動點，則A到直線

xy50

的最大距離

為______.

9．圓C的半徑為

2

，圓心在

x

軸的正半軸上，直線

3x4y40

與圓C相切，則圓C

的方程為〔〕

A．x2y22x30

B．

x2y24x0

C．x

2

y

2

2

x

3

0

D．

x

2

y

2

4x0

10.假設(shè)曲線y1x

2

與直線

yxb

始終有兩個交點，則

b

的取值圍是__________.

〔對稱問題〕11.圓C:(x3)2(y1)2

1

4

關(guān)于直線

xy0

對稱的圓

C

2

的方程

為:()

-

A.

(x3)2(y1)2

4

B.

(x1)

2

(y3)

2

4

C.

(

x

1)

2

(

y

3)

2

4

D.

(x3)

2

(y1)

2

4

12.直線

ykx3

與圓(x2)

2

(y3)

2

4

相交于M,N兩點，假設(shè)

|MN|23

，

則k的取值圍是()

A．[,0]

B．

33

[,]

33

C．

[3,3]

D．

2

[,0]

3

13.圓C：(*－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2

m＋1)*＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．

(1)證明：不管m取什么實數(shù)，直線l

與圓恒相交于兩點；

(2)求⊙C與直線l相交弦長的最小值．

[解析](1)將方程(2m＋1)*＋(m＋1)y＝7m＋4，變形為(2*＋y－7)m＋(*＋y－4)＝0.

直線l

恒過兩直線2*＋y－7＝0和*＋y－4＝0的交點，

由

2*＋y－7＝0*＋y－4＝0

得交點M(3,1)．

又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴點M(3,1)在圓C，∴直線l(2)由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)l⊥CM時，弦長最短．

又|CM|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，

∴弦長為l＝2r2－|CM|2＝225－5＝45.

四．計算直線被圓所截得的弦長的方法

與圓C恒有兩個交點．

1.幾何法：運用弦心距、半徑、半弦長構(gòu)成的

Rt

計算，即AB2r

2

d

2

2.代數(shù)法：運用根與系數(shù)關(guān)系〔韋達定理〕，即

AB

k

2

1x

A

x

B

(k

2

1)(x

A

x

B

)

2

4xx

AB

〔注：當(dāng)直線

AB

斜率不存在時，請自行探索與總結(jié)；

xxyy

弦中點坐標(biāo)為（AB,AB），求解弦中點軌跡方程。〕

22

練習(xí)

1.直線

y2x3

被圓x2y26x8y0

所截得的弦長等于〔〕

2.過點

(2,1)

的直線中被圓x

2

y

2

2

x

4

y

0

截得的弦長最大的直線方程

是()

A.

3xy50

B.

3xy70

C.

x3y50

D.

x3y50

3.圓

C

過點

(1,0)

，且圓心在

x

軸的正半軸上，直線

l:yx1

被圓

C

所截得的弦長為

22

，則過圓心且與直線

l

垂直的直線方程為〔〕

2

2

2

22

2

2

-

4.直線*－2y－3＝0與圓C：(*－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F兩點，則△ECF的面積為()

3

A.

2

3

B.

4

35

C．25D.

5

5.圓C:(x3)2(y4)24

和直線

l:kxy4k30

〔1)求證:不管k取什么值,直線和圓總相交;

(2)求

k

取何值時,圓被直線截得的弦最短,并求最短弦的長.

6.假設(shè)曲線

*2＋

y2＋2*－6y＋1＝0上相異兩點

P、

Q關(guān)于直線

k*＋2y－4＝0對稱，則

k

1

的值為()A．1B．－1C.

2

D．2

7.過點M3,3的直線l與圓

x2y24y210相交于

A,B

兩點，

〔1〕假設(shè)弦AB的長為215，求直線

l

的方程；

〔2〕設(shè)弦AB的中點為P，求動點P的軌跡方程．

解：〔1〕假設(shè)直線l的斜率不存在，則l的方程為

|268

|AB||yy

，所以不合題意．

AB

x3

，此時有y24y120

，弦

故設(shè)直線l的方程為

y3kx3

，即

kxy3k30

．

將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)式得x2y2

25

，所以圓心

0,2

，半徑

r5

．

圓心

0,2

到直線

l

|3k1|

的距離d，因為弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三

k21

角形，所以

152

3k1k21

25，即

k30

，所以

k3

．

所求直線

l

的方程為

3xy120

．

〔2〕設(shè)

Px,y

，圓心O0,2

1

，連接

OP

1

，則

OPAB

1

．當(dāng)

x0

且

x3

時，

k

k

OPAB

1

1

，又

k

k

ABMP

y(3)x(3)

，

則有

y2y3

1，化簡得

x0x3

355xy

222

．．．．．．〔1〕

當(dāng)x0或

x3

時，P點的坐標(biāo)為

0,2,0,3,3,2,3,3

都

是方程〔1〕

的解，所以弦AB中點P的軌跡方程為

355xy

222

．

-

8.圓

x

2y2

x6ym0

和直線

x2y30

相交于

P,Q

兩點,O為原點,且

OPOQ

,數(shù)m的取值.

五．切點，求切線方程

1.經(jīng)過圓x2y2r2

上一點

P（x,y）的切線方程為xxyyr

0000

2

2.經(jīng)過圓(xa)

2

(yb)

2

r

2

上一點

P（x,y）的切線方程為00

(x

0

a)(xa)(y

0

b)(yb)r

2

3.經(jīng)過圓x

2y2

DxEyF

0

上一點

P(x,y)00

的切線方程為

xxyyD00

x

0

xyyE0

22

F0

練習(xí)

1.經(jīng)過圓上一點

P(4,8)

作圓

(

x

7)

2

(

y

8)

2

9

的切線方程為〔〕

2.圓x2y24

x

0

在點

P(1,3)

處的切線方程為〔〕

A．

x

3y20

B．

x

3y40

C．

x3y40

D．

x

3y20

六．切點未知，過園外一點，求切線方程1.k不存在，驗證是否成立；

2.k存在，設(shè)點斜式，用圓到直線的距離dr，即練習(xí)

1.求過

A(3,5)

且與圓C:x2y24x4y70

相切的直線方程。

七．切線長

假設(shè)圓C:(xa)

2

(yb)

2r2

，則過圓外一點

P(x,y)00

的切線長

d

(xa)0

2

(y

0

b)

2

r

2

練習(xí)

1.自點

A(1,4)作圓(x2)2(y3)2

1

的切線，則切線長為〔B〕

(A)

5

(B)3(C)

10

(D)5

2.自直線y=*上點向圓*2+y2-6*+7=0引切線，則切線長的最小值為八．切點弦方程

過圓C:(xa)

2

(yb)

2

r

2

外一點

P(x,y)00

作圓C的兩條切線方程，切點分別為A,B,

22

-

則切點弦

AB

所在直線方程為：(x

0

a)(xa)(y

0

b)(yb)r

2

1．過點

C(6，－8)作圓

*2＋

y2＝25的切線于切點

A、

B，則

C到兩切點

A、

B連線的距離

為()

A．15