5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修第二冊(cè)

第五章安慶市第二中學(xué)光星星問(wèn)題1

函數(shù)

y＝f(x)在x＝x0

處的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式及導(dǎo)數(shù)的意義是什么？溫故知新

導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y＝f(x)在

x＝x0處的瞬時(shí)變化率，反

映了函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0附近的變化情況.第2課時(shí)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義溫故知新

問(wèn)題2拋物線的切線問(wèn)題割線斜率切線斜率

一般函數(shù)

y＝f(x)在x＝x0

處的導(dǎo)數(shù)

的幾何意義？問(wèn)題2探究新知

平均變化率

的幾何意義是什么？問(wèn)題3過(guò)點(diǎn)

和點(diǎn)的直線的斜率.平均變化率的幾何意義是割線P0P的斜率k.問(wèn)題4能否根據(jù)上述過(guò)程給切線下個(gè)定義？探究新知

定義

在曲線

y＝

f(x)上任取一點(diǎn)

P(x，f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)

P沿著曲線

y＝

f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)

P0

(x0，f(x0))時(shí)，割線

P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線

P0T稱為曲線

y＝

f(x)在點(diǎn)

P0處的切線

.xf(x)追問(wèn)1：初中時(shí)，我們?cè)鯓佣x圓的切線？圓的切線

若直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).P0Ol探究新知

追問(wèn)2：圓的切線定義適用于任意曲線嗎？探究新知

追問(wèn)3：通過(guò)逼近方式對(duì)切線作出的定義，是否適用于圓的切線呢？問(wèn)題5導(dǎo)數(shù)

的幾何意義是什么？探究新知

割線

P0P的斜率

k點(diǎn)

P→點(diǎn)

P0切線

P0T的斜率

k0有關(guān)系嗎？函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0處的導(dǎo)數(shù)數(shù)形轉(zhuǎn)化曲線

y＝f(x)在點(diǎn)

P0(x0，f(x0))處切線的斜率

k0導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

建構(gòu)新知

追問(wèn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義能幫助我們解決哪些函數(shù)問(wèn)題？xf(x)問(wèn)題5圖中哪條直線最貼近點(diǎn)P0

附近的曲線？深化新知

xf(x)問(wèn)題5圖中哪條直線最貼近點(diǎn)P0

附近的曲線？

在點(diǎn)

P0附近，曲線

y＝

f(x)可以用點(diǎn)

P0處的切線

P0T近似代替，這是微積分中重要的思想方法——以直代曲.深化新知

切線的變化趨勢(shì)

曲線的變化趨勢(shì)P0處的切線

點(diǎn)P0

附近曲線例4

圖中是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的圖象.根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線

h(t)在t＝t0，t1，t2附近的變化情況.學(xué)以致用

例4

圖中是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的圖象.根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線

h(t)在t＝t0，t1，t2附近的變化情況.學(xué)以致用

在

t＝t0，t1，t2附近的曲線以直代曲斜率刻畫(huà)在

t＝t0，t1，t2處的切線增減趨勢(shì)增減快慢例5

圖中是人體血管中藥物濃度

c＝f(t)(單位：mg/mL)隨時(shí)間

t(單位：min

)變化的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象，估計(jì)

t＝0.2，0.4，0.6，0.8min時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到0.1).學(xué)以致用

追問(wèn)1：血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率與函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？學(xué)以致用

血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，我們以

t＝0.8時(shí)刻為例，作出

t＝0.8處的切線.從圖象上看，它表示曲線

f(t)在此點(diǎn)處的切線的斜率.學(xué)以致用

就是藥物濃度

f(t)在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，

在切線上取兩點(diǎn)，如

(0.7，0.91)，(1.0，0.48)，所以，所以，在t＝0.8時(shí)刻，藥物濃度瞬時(shí)變化率約為－1.4.則該切線的斜率追問(wèn)2：如何計(jì)算這條切線的斜率？學(xué)以致用

現(xiàn)實(shí)生活中有些變量間的關(guān)系，不一定能通過(guò)解析式刻畫(huà)，或者我們不知道對(duì)應(yīng)的解析式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義使得我們可以借助函數(shù)的圖象以及以直代曲的思想方法，對(duì)函數(shù)的變化情況作出估計(jì).學(xué)以致用

從求函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)

x＝x0時(shí)，

是一個(gè)唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)

x變化時(shí)，

就是

x的函數(shù)，我們稱它為

y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作

，即定義建構(gòu)概念

課堂小結(jié)思想方法層面數(shù)形結(jié)合；以直代曲.總結(jié)升華知識(shí)層面切線的一般定義；導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

f′(x0)的幾何意義就是曲線

y＝f(x)在

x＝x0處切線的斜率.；導(dǎo)函數(shù)的定義1.函數(shù)

f(x)的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是().

（A）

（B）

（