高數(shù)函數(shù)項級數(shù)第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日1.函數(shù)項級數(shù)的定義設(shè)有一函數(shù)序列為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).一、函數(shù)項級數(shù)第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日函數(shù)項級數(shù)可以利用常數(shù)項級數(shù)的知識來處理函數(shù)項級數(shù)第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.函數(shù)項級數(shù)的斂散性的收斂點.的發(fā)散點.第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日它的收斂域,記為D.它的發(fā)散域.第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日函數(shù)項級數(shù)的前n項之和為其部分和：不論級數(shù)在點處是否收斂,均可寫出其部分和！如果級數(shù)在點處收斂,則有第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日4.函數(shù)項級數(shù)斂散性判別可以適當?shù)剡\用常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法,判別函數(shù)項級數(shù)的斂散性.特別注意比較判別法的應(yīng)用.思考：一致收斂？第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日并求其收斂域.即原級數(shù)在整個實數(shù)域上是絕對收斂的.所求收斂域為解例1第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日的斂散性,并求其收斂域.這是等比級數(shù).故該級數(shù)的收斂域為:要打開思路!解例2第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日形如：的級數(shù)稱為冪級數(shù),其中,稱為冪級數(shù)的系數(shù).1.冪級數(shù)的定義二.冪級數(shù)及其斂散性第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日冪級數(shù)的一般形式：第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日當冪級數(shù)收斂時,由可知,不論“和函數(shù)”多么復(fù)雜,我們可以用多項式來近似它.當n的值充分大時,這種代替可達到相當?shù)木?第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日由此可聯(lián)想到什么？2.冪級數(shù)的斂散性分析：則由收斂的必要條件,有而有極限的量必有界,故第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日它是收斂的,結(jié)論:第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日（）收斂圖示:第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日（）發(fā)散若在外部一點收斂,會怎么樣？推出第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日則由上面的分析可知,所有滿足這與假設(shè)矛盾.該矛盾說明:當原級數(shù)發(fā)散.第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日由以上的分析發(fā)現(xiàn)：既有收斂點,又有發(fā)散點,則從坐標原點開始沿數(shù)軸往右(左)走,最初只可能遇到它的收斂點,然后就會只遇到它的發(fā)散點,這兩部分的分界是關(guān)于坐標原點對稱的,冪級數(shù)在分界點處可能收斂,也可能發(fā)散.第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日（）收發(fā)冪級數(shù)在一個以坐標原點為中心的對稱區(qū)間內(nèi)收斂,在此區(qū)間外發(fā)散,在區(qū)間端點處冪級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.當冪級數(shù)僅在第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日現(xiàn)在請你回想并歸納一下剛才進行的分析工作,給出你的結(jié)論.第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日阿貝爾定理第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日冪級數(shù)斂散性定理都存在一個非負第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數(shù)研究中,他得到了一些判斂準則及冪級數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日冪級數(shù)的收斂半徑我們稱上述定理中的非負數(shù)R為冪級數(shù)的收斂半徑.如何求收斂半徑？第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日求收斂半徑的定理能證明嗎?有點像達朗貝爾判別法？第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日由達朗貝爾判別法：討論要證第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日故此時冪級數(shù)發(fā)散,僅當?shù)谌?，共五十二頁?022年，8月28日例3解綜上所述,得:第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日誰的收斂半徑？例4解第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日由交錯級數(shù)判別法,可知此時級數(shù)收斂.第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日例5解第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日由級數(shù)收斂的必要條件,可知綜上所述,第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日這是一個缺項的冪級數(shù),不能直接運用求冪級數(shù)收斂半徑的計算公式.今后遇到這類級數(shù)應(yīng)該按照函數(shù)項級數(shù)一般情形處理,通常采用達朗貝爾判別法.例6解第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日根值求法：P288，定理5第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的四則運算冪級數(shù)的解析運算三.冪級數(shù)的運算第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日冪級數(shù)的四則運算設(shè)有兩個冪級數(shù)：則有以下運算規(guī)則第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日1.加、減法第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.乘法(對角線法)第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日就是說：在兩個冪級數(shù)的公共收斂區(qū)間上可以像多項式那樣進行加、減、乘的運算.除法運算：P289第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日由收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散.例7解第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.冪級數(shù)的導(dǎo)數(shù)若則當時,有：若原級數(shù)在收斂區(qū)間端點還收斂,則求導(dǎo)后的級數(shù)在端點可能變得發(fā)散.例如：第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日4.冪級數(shù)的積分若則當時,有若級數(shù)在逐項積分后所得級數(shù)在區(qū)間端點還收斂,則等式在端點仍成立.冪級數(shù)在作微分積分運算后其收斂半徑不變,但收斂區(qū)間可能改變.第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日書例：求和函數(shù)P291，例7P291，例8第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日作業(yè)：P293，1（3）（5），2（1），4（3）思考：P293，5第四十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與也可通過換元化為標準型再求.乘法運算.第四十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.思考與練習1.已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散.故收斂半徑為第五十頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.在冪級數(shù)中,n為奇數(shù)n