高數(shù)差分方程第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日差分

微分方程是自變量連續(xù)取值的問題,但在很多實(shí)際問題中,有些變量不是連續(xù)取值的.例如,經(jīng)濟(jì)變量收入、儲(chǔ)蓄等都是時(shí)間序列,自變量t取值為0,1,2,,數(shù)學(xué)上把這種變量稱為離散型變量.通常用差商來描述因變量對(duì)自變量的變化速度.第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日1.差分的定義設(shè)函數(shù)我們稱為函數(shù)的一階差分；一、差分方程的基本概念第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日

稱為函數(shù)的二階差分.為三階差分.同樣，稱第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日依此類推，函數(shù)的n階差分定義為：且有二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分．第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日當(dāng)

是常數(shù)，是函數(shù)時(shí)，有以下結(jié)論成立：第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日例1求則解設(shè)例2設(shè)求解

第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日有某種商品t

時(shí)期的供給量St與需求量Dt都是這一時(shí)期價(jià)格Pt的線性函數(shù)：5.1.2差分方程一個(gè)例子：設(shè)t時(shí)期的價(jià)格Pt由t–1時(shí)期的價(jià)格與供給量及需求量之差按如下關(guān)系確定.

（為常數(shù)），

即

這樣的方程就是差分方程.第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日定義5.1.2含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的方程就稱為差分方程.例如差分方程的不同形式之間可以相互轉(zhuǎn)化.差分方程中含有未知函數(shù)下標(biāo)的最大值與最小值之差數(shù)稱為差分方程的階.5.1.2差分方程第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日是一個(gè)二階差分方程，如果將原方程的左邊寫為則原方程還可化為例如，可以化為第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日又如：可化為

如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊其中A為任意常數(shù).恒等，則稱此函數(shù)為差分方程的解.第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時(shí)刻所處的狀態(tài)，對(duì)差分方程附加一定的條件，這種附加條件稱之為初始條件.滿足初始條件的解稱之為特解.如果差分方程中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱它為差分方程的通解.其中A為任意常數(shù).第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

(3)為常數(shù)，為已知函數(shù).時(shí)，稱方程

(4)則(3)稱為一階常系數(shù)非齊次線性一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為其中當(dāng)為一階常系數(shù)齊次線性差分方程.若差分方程.一階常系數(shù)線性差分方程第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日3.常系數(shù)線性差分方程及解的性質(zhì)

的差分方程稱為n階常系數(shù)線性差分方程，其中為常數(shù)，且為已知函數(shù).時(shí)，差分方程(1)稱為齊次的，對(duì)應(yīng)的齊次差分方程為(2)定義A形如(1)當(dāng)否則稱為非齊次的.當(dāng)時(shí)，與差分方程(1)第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日

定理A

設(shè)的k個(gè)特解，則線性組合也是該差分方程的解，其中是n階常系數(shù)齊次線性差分方程為任意常數(shù).第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日的n個(gè)線性無關(guān)的解，則方程的通解為其中為任意常數(shù)．定理Bn階常系數(shù)齊次線性差分方程一定存在n個(gè)線性無關(guān)的特解．若是方程第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日

定理Cn階非齊次線性差分方程的通解與它自己本身的一個(gè)特解之和，它對(duì)應(yīng)的齊次方程即通解等于其中是它自己本身的一個(gè)特解.第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日以上三個(gè)定理揭示了n階齊次及非齊次線性差分方程的通解結(jié)構(gòu),它們是求解線性差分方程非常重要的基礎(chǔ)知識(shí)．在本書中．我們只探討一階常系數(shù)線性差分方程的解法．第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日(1)迭代法求解：一般地，對(duì)于一階常系數(shù)齊次線性差分方程通常有如下兩種解法.5.2.1一階常系數(shù)齊次線性差分方程的通解第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日(2)特征方程法求解：設(shè)化簡得：即第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日分別稱為方程和是方程(4)的解.

再由解的結(jié)構(gòu)及通解的定義知：

的特征方程和特征根.是齊次方程的通解.為任意常數(shù))故第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日例4求的通解.從而特征根為于是原方程的通解為其中C為任意常數(shù).解特征方程為第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日的右端項(xiàng)為某些特殊形式的函數(shù)時(shí)的特解.考慮差分方程(c為任意常數(shù)),則差分方程為1)采用迭代法求解：有迭代公式給定初值一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的通解第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2)一般法求解：設(shè)差分方程的特解.具有形如(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日例5求差分方程的通解.解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日設(shè)差分方程(6)具有形如的特解。于是第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日即解得于是和第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日例6

求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日例6’

求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日設(shè)差分方程(7)具有形如的特解.將特解代入差分方程(7)后比較兩端同次項(xiàng)系數(shù)確定系數(shù)第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日例7求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程，得比較系數(shù)：第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日原差分方程通解為解得故方程特解為第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日例7’求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程，得比較系數(shù)：第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日原差分方程通解為解得故方程特解為第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日設(shè)差分方程具有形如的特解.綜上所述，有如下結(jié)論：若第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，(*)式左端為次多項(xiàng)式，要使(*)式成立，則要求第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日故可設(shè)差分方程（8）具有形如的特解.前面三種情況都是差分方程（8）的特殊情形：當(dāng)時(shí)，取否則，取第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日例8求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程消去比較系數(shù)：得第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日原差分方程通解為解得故方程特解為第四十頁，共四十五頁，2022年，8月28日例9求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程消去，得比較系數(shù)：第四十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日原差分方程通解為解得故方程特解為第四十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日例10求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程消去比較系數(shù)：