第11章幾種常用的隨機(jī)過(guò)程

【考試要求】11.1泊松過(guò)程

泊松過(guò)程的定義與泊松過(guò)程相聯(lián)系的若干分布非齊次泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程條件泊松過(guò)程

11.2更新過(guò)程

更新過(guò)程的定義和性質(zhì)更新推理、更新方程和關(guān)鍵更新定理更新回報(bào)過(guò)程交替更新過(guò)程

11.3馬爾科夫鏈

基本概念不變分布和極限分布賭徒輸光問(wèn)題和群體消失模型

11.4鞅

初步定義和例子停時(shí)定理精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

11.5布朗運(yùn)動(dòng)

布朗運(yùn)動(dòng)的定義擊中時(shí)刻、最大隨機(jī)變量和賭徒破產(chǎn)問(wèn)題布朗運(yùn)動(dòng)的幾種變化高斯過(guò)程精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【要點(diǎn)詳解】

§11.1泊松過(guò)程

1．泊松過(guò)程的定義

（1）計(jì)數(shù)過(guò)程①計(jì)數(shù)過(guò)程：如果以N(t)表示在時(shí)間區(qū)間[0，t]內(nèi)某一特定隨機(jī)事件發(fā)生的總次數(shù)，那么稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程{N(t)，t≥0}為計(jì)數(shù)過(guò)程。②計(jì)數(shù)過(guò)程{N(t)，t≥0}的性質(zhì)：

?N(t)取值為非負(fù)整數(shù)；

?當(dāng)0≤s<t時(shí)，N(s)≤N(t)，而且N(s)-N(t)表示(s，t]時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)。③兩個(gè)相關(guān)特性

?獨(dú)立增量性：如果在不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的事件次數(shù)是相互獨(dú)立的，則稱(chēng)相應(yīng)的計(jì)數(shù)過(guò)程具有獨(dú)立增量性。

?平穩(wěn)增量性：如果在任一時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的事件個(gè)數(shù)的分布僅取決于時(shí)間長(zhǎng)度，則稱(chēng)相應(yīng)的計(jì)數(shù)過(guò)程具有平穩(wěn)增量性。即如果對(duì)任意的s>0，t1<t2，在時(shí)間區(qū)間(t1+s，t2+s]內(nèi)發(fā)生的事件次數(shù)N(t1+s)-N(t2+s)與在時(shí)間區(qū)間(t1，t2]內(nèi)發(fā)生的事件次數(shù)N(t2)-N(t1)有相同的分布。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）泊松過(guò)程

泊松過(guò)程：如果計(jì)數(shù)過(guò)程{N(t)，t≥0}滿足以下條件：①N(0)=0；②N(t)具有獨(dú)立增量性；③在長(zhǎng)度為t的時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)變量服從泊松分布，參數(shù)為λt，即對(duì)任意的s，t≥0，那么稱(chēng)N(t)是強(qiáng)度參數(shù)為λ(λ>0)的泊松過(guò)程。

泊松過(guò)程的等價(jià)定義：計(jì)數(shù)過(guò)程{N(t)，t≥0}稱(chēng)為泊松過(guò)程，參數(shù)為λ，λ>0，如果①N(0)=0；②過(guò)程有平穩(wěn)增量性與獨(dú)立增量性；③；④。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.1】設(shè)X(t)和Y(t)，t≥0是兩個(gè)相互獨(dú)立，分別具有強(qiáng)度為λ和μ的泊松過(guò)程，定義隨機(jī)過(guò)程S(t)=X(t)+Y(t)。下列關(guān)于隨機(jī)過(guò)程S(t)的說(shuō)法正確的是（）。A．S(t)不是泊松過(guò)程B．S(t)是強(qiáng)度為1/(λ+μ)的泊松過(guò)程C．S(t)是強(qiáng)度為1/(λμ)的泊松過(guò)程D．S(t)是強(qiáng)度為λμ的泊松過(guò)程E．S(t)是強(qiáng)度為λ+μ的泊松過(guò)程

【答案】E

【解析】因X(t)和Y(t)，t≥0都是泊松過(guò)程，所以X(0)=0和Y(0)=0，由于S(t)=X(t)+Y(t)，從而得S(0)=X(0)+Y(0)=0。在t≥0上任取點(diǎn)，做S(t)的增量記成Ui+Vi。此處對(duì)于任意實(shí)數(shù)有

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)即知相互獨(dú)立，從而相互獨(dú)立，因此S(t)是獨(dú)立增量過(guò)程。又因?yàn)閄(t)和Y(t)是相互獨(dú)立的，所以X(t)-X(t0)和Y(t)-Y(t0)也是相互獨(dú)立的。所以有綜上可得，S(t)是強(qiáng)度為λ+μ的泊松過(guò)程。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．與泊松過(guò)程相聯(lián)系的若干分布符號(hào)說(shuō)明：

如上圖，泊松過(guò)程{N(t)，t≥0}的一條樣本路徑一般是跳躍度為1的階梯函數(shù)；

Tn，n=1，2，3，…，第n次事件發(fā)生的時(shí)刻，規(guī)定T０＝０；

Xn，n=1，2，…，第n次與第n-1次事件發(fā)生的時(shí)間間隔。

（1）和的分布。

①定理11-1：第n次與第n-1次事件發(fā)生的時(shí)間間隔Xn，n=1，2，…，服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，且相互獨(dú)立。②定理11-2：第n次事件發(fā)生的時(shí)刻Tn，n=1，2，3，…，服從參數(shù)為n和λ的伽瑪分布。③根據(jù)定理11-2，可給出泊松過(guò)程的又一種的定義方法定義：計(jì)數(shù)過(guò)程{N(t)，t≥0}是參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，如果每次事件發(fā)生的時(shí)間間隔X1，X2，…相互獨(dú)立，且服從同一參數(shù)λ的指數(shù)分布。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布假設(shè)到時(shí)刻t，泊松過(guò)程描述的事件A已經(jīng)發(fā)生了n次，考慮這n次事件發(fā)生的時(shí)刻T1，T2，…，Tn的聯(lián)合分布。①n=1情形：對(duì)于s≤t，即在已知[0，t]內(nèi)A只發(fā)生一次的前提下，A發(fā)生的時(shí)刻在[0，t]上是均勻分布的。推廣到次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合密度函數(shù)如果{Yi，i=1，…，n}是[0，t]上獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)變量，可得到次序統(tǒng)計(jì)量{Y（1），Y（2），…，Y（n）}的聯(lián)合密度函數(shù)為②情形

定理11-3：在已知N（t）=n的條件下，事件發(fā)生的n個(gè)時(shí)刻T1，T2，…，Tn的聯(lián)合分布密度是：該定理也可以表述為，在[0，t]內(nèi)發(fā)生n次事件的條件下，事件的發(fā)生時(shí)間是[0，t]上n個(gè)相互獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)變量的次序統(tǒng)計(jì)量。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.2】事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程{X（t），t≥0}。已知在[0，t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0<s<t，對(duì)于0<k<n，則在[0，s]內(nèi)事件A發(fā)生k次的概率為（）。A．0B．C．D．E．1

【答案】D

【解析】精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

3．非齊次泊松過(guò)程

非齊次泊松過(guò)程：計(jì)數(shù)過(guò)程{N（t），t≥0}稱(chēng)為非平穩(wěn)或非齊次泊松過(guò)程，有強(qiáng)度函數(shù)λ(t)，t≥0，如果①N(0)=0；②{N(t)，t≥0}具有獨(dú)立增量性；③④若令則可證明非齊次泊松過(guò)程N(yùn)(t)有即N（t+s）-N（t）服從均值m（t+s）-m（t）的泊松分布。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.3】設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次，則在使用期限內(nèi)只維修過(guò)1次的概率為（）。A．B．C．D．E．

【答案】D

【解析】因?yàn)榫S修次數(shù)與使用時(shí)間有關(guān)，所以該過(guò)程是非齊次泊松過(guò)程，強(qiáng)度函數(shù)

則

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4．復(fù)合泊松過(guò)程

復(fù)合泊松過(guò)程：稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程{X（t），t≥0}為復(fù)合泊松過(guò)程，如果對(duì)于t≥0，X（t）可以表示為其中{N（t），t≥0}是一個(gè)泊松過(guò)程，Yi，i=1，2，…是一族獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并且與{N（t），t≥0}也是獨(dú)立的。

定理11-4：設(shè)是一復(fù)合泊松過(guò)程，泊松過(guò)程{N（t），t≥0}的強(qiáng)度為λ，若E（Yi2）<+∞，則

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【例題11.4】設(shè)是復(fù)合泊松過(guò)程，已知λ=5，Yi服從下列分布：

則E（X(t)）=

，Var（X（t））=

。（）A．B．C．D．E．

【答案】A

【解析】Yi服從指數(shù)分布，，故

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5．條件泊松過(guò)程

條件泊松過(guò)程：設(shè)隨機(jī)變量，在的條件下，計(jì)數(shù)過(guò)程{N（t），t≥0}是參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，則稱(chēng){N（t），t≥0}為條件泊松過(guò)程。

定理11-5：設(shè){N（t），t≥0}是條件泊松過(guò)程，且，則

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【例題11.5】設(shè)某地區(qū)在某季節(jié)的地震出現(xiàn)的平均強(qiáng)度是隨機(jī)變量，且到t時(shí)為止的地震次數(shù)是一個(gè)條件泊松過(guò)程。已知到時(shí)刻t已發(fā)生了n次地震，則地震發(fā)生是強(qiáng)度為λ1的概率是（）。A．B．

C．D．E．【答案】B

【解析】

所以精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

§11.2更新過(guò)程1．更新過(guò)程的定義和性質(zhì)

（1）定義設(shè){Xn=1，2，…}是一串獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F（x），記，則0<μ≤∞。）令。把由定義的計(jì)數(shù)過(guò)程稱(chēng)為更新過(guò)程。（2）定義解釋在更新過(guò)程中，將事件發(fā)生一次叫做一次更新。在上面的定義中Xn就是第n-1次和第n次更新相距的時(shí)間，Tn是第n次更新發(fā)生的時(shí)刻，而N（t）就是t時(shí)刻之前發(fā)生的總的更新次數(shù)。（3）常用的幾個(gè)集合關(guān)系

①直觀上，{N（t）≥n}的含義是t時(shí)刻之前更新次數(shù)不少于n，{Tn≤t}的含義是第n次更新的發(fā)生時(shí)刻在t時(shí)刻之前，兩個(gè)事件是等價(jià)的。②事件{N（t）>n}發(fā)生，則{Tn<t}發(fā)生，但{Tn<t}發(fā)生，{N（t）>n}不一定發(fā)生。

定理11-6：以M（t）記E[N（t）]并稱(chēng)之為更新函數(shù)，則

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【例題11.6】若N（t）為一更新過(guò)程，Tn是第n次更新發(fā)生的時(shí)刻，則下列命題正確的是（）。A．B．C．D．E．以上選項(xiàng)均不正確

【答案】A

【解析】A項(xiàng)，{N（t）≥n}的含義是t時(shí)刻之前更新次數(shù)不少于n，{Tn≤t}的含義是第n次更新的發(fā)生時(shí)刻在t時(shí)刻之前，兩個(gè)事件是等價(jià)的；C項(xiàng)，當(dāng)Tn=s<t，但在（s，t]沒(méi)有更新時(shí)，有N（t）=n，而不是N（t）>n。所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，因?yàn)椋杂蒀項(xiàng)是錯(cuò)誤的，可知B項(xiàng)也是錯(cuò)誤的。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．更新推理、更新方程和關(guān)鍵更新定理

更新點(diǎn)：每次更新的時(shí)刻。

更新推理：更新過(guò)程中的一種常用分析方法，基本思路是對(duì)更新點(diǎn)取條件期望或概率，利用更新點(diǎn)系統(tǒng)恢復(fù)如新的性質(zhì)，條件期望或概率可以化為無(wú)條件期望或概率，使計(jì)算得以簡(jiǎn)化，通?？梢缘玫揭粋€(gè)積分方程。

定理11-7：更新函數(shù)M（t）滿足如下的積分方程

更新方程：稱(chēng)如下形式的積分方程為更新方程：（11.1）其中H（t），F(xiàn)（t）為已知，且當(dāng)t<0時(shí)，H（t）,F（t）均為0。當(dāng)H（t）在任何區(qū)間上有界時(shí)，稱(chēng)方程（11.1）為適定更新方程，簡(jiǎn)稱(chēng)為更新方程。

定理11-8：設(shè)更新方程（11.1）中H（t）為有界函數(shù)，則方程存在惟一的在有限區(qū)間內(nèi)有界的解其中M（t）是分布函數(shù)F（t）的更新函數(shù)。

注：在更新過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意符號(hào)的實(shí)際含義，這對(duì)理解問(wèn)題常常是很關(guān)鍵的。如TN（t）+1的含義是t時(shí)刻之后的第一次更新時(shí)刻，而TN（t）表示t時(shí)刻之前的最后一次更新的時(shí)刻，兩者有完全不同的概率性質(zhì)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

定理11-9（Wald等式）：設(shè)EXi<∞，i=1，2，…，則

定理11-10（關(guān)鍵更新定理）：記μ=E（Xn），設(shè)函數(shù)h（t），t[0，∞），滿足①h（t）非負(fù)不增；②。H（t）是更新方程的解，那么若F為連續(xù)分布，有

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3．更新回報(bào)過(guò)程

更新回報(bào)過(guò)程：設(shè){N（t），t≥0}是一個(gè)更新過(guò)程，允許Rn依賴(lài)于Xn（即回報(bào)的多少與等待的時(shí)間有關(guān)），只要求隨機(jī)向量列（Xn，Rn）獨(dú)立同分布，則稱(chēng)為更新回報(bào)過(guò)程。

定理11-11（更新回報(bào)定理）：若更新間隔X1，X2，…滿足E（X1）<∞，每次得到的回報(bào){Rn}滿足E（R1）<∞.則

定理含義：長(zhǎng)時(shí)間之后，單位時(shí)間的平均報(bào)酬等于一次更新的平均報(bào)酬除以一次更新所需的平均時(shí)間。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.7】設(shè)乘客到達(dá)火車(chē)站形成一更新過(guò)程，其更新間距分布F有有限期望μ?，F(xiàn)設(shè)車(chē)站用如下方法調(diào)度火車(chē)：當(dāng)有K個(gè)乘客到達(dá)車(chē)站時(shí)發(fā)出一列火車(chē)。同時(shí)還假定當(dāng)有n個(gè)旅客在車(chē)站等候時(shí)車(chē)站每單位時(shí)間要付出nc元償金，而開(kāi)出一列火車(chē)的成本是D元。那么車(chē)站單位時(shí)間的平均成本是（）。A．B．C．D．E．

【答案】D

【解析】如果把每次火車(chē)離站看作是一次更新，就得到一個(gè)更新回報(bào)過(guò)程。這個(gè)過(guò)程的一個(gè)周期的平均長(zhǎng)度是有K個(gè)旅客到達(dá)車(chē)站所需的平均時(shí)間，即

E[周期長(zhǎng)度]=Kμ

若以Tn表示在一個(gè)周期中第n個(gè)旅客和第n+1個(gè)旅客的到達(dá)時(shí)間間隔，則因此，單位時(shí)間的平均成本是。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

4．交替更新過(guò)程

交替更新過(guò)程：系統(tǒng)有兩種狀態(tài)的更新過(guò)程。

定理11-12：設(shè)H是Zn的分布，G是Yn的分布，F(xiàn)是Zn+Yn的分布，且這些分布都是連續(xù)分布。記P（t）=P{t時(shí)刻系統(tǒng)是開(kāi)的}，設(shè)E（Yn+Zn）<∞，則

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§11.3馬爾可夫鏈1．基本概念

（1）馬爾可夫鏈的定義

馬爾可夫鏈：隨機(jī)過(guò)程{Xn，n=0，1，2，…}稱(chēng)為馬爾可夫鏈，若它只取有限或可列個(gè)值E0，E1，E2，…（以{0，1，2，…}來(lái)標(biāo)記E0，E1，E2，…并稱(chēng)它們是過(guò)程的狀態(tài)，{0，1，2，…}或者其子集記為S，稱(chēng)為過(guò)程的狀態(tài)空間），對(duì)任意的n≥0及狀態(tài)i，j，i0，i1，…，in-1，有（11.2）上式刻畫(huà)了馬爾可夫鏈的特性，稱(chēng)為馬爾可夫性。（2）轉(zhuǎn)移概率

①轉(zhuǎn)移概率：稱(chēng)式（11-2）中的條件概率為馬爾可夫鏈{Xn，n=0，1，2，…}的一步轉(zhuǎn)移概率，簡(jiǎn)稱(chēng)轉(zhuǎn)移概率。

②時(shí)齊馬爾可夫鏈：當(dāng)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率只與狀態(tài)i，j有關(guān)，而與n無(wú)關(guān)時(shí)，稱(chēng)馬爾可夫鏈為時(shí)齊的，并記；否則，就稱(chēng)之為非時(shí)齊的。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

③轉(zhuǎn)移概率矩陣：將pij（i，jS）排成一個(gè)矩陣的形式，令

稱(chēng)P為轉(zhuǎn)移概率矩陣，一般簡(jiǎn)稱(chēng)為轉(zhuǎn)移矩陣。④轉(zhuǎn)移概率矩陣pij（i，jS）的性質(zhì)：

?（非負(fù)性）

?（行和為1）精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.8】設(shè)馬氏鏈{Xn，n>0}的狀態(tài)空間為I={1,2,3}，初始分布為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為則為（）。

A．1/64B．1/8C．3/64D．1/16E．1/36

【答案】D

【解析】因?yàn)椋从?/p>

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（3）n步轉(zhuǎn)移概率和C-K方程

n步轉(zhuǎn)移概率：稱(chēng)條件概率為馬爾可夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率，相應(yīng)地稱(chēng)為n步轉(zhuǎn)移矩陣。

定理11-13（Chapman-Kolmogorov方程，簡(jiǎn)稱(chēng)C-K方程）：對(duì)一切有①②精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.9】設(shè)馬氏鏈{Xn，n≥0}的狀態(tài)空間為S={1，2，3}，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

則（）。A．1/16B．7/36C．1/12D．5/16E．7/16

【答案】E

【解析】①由C-K方程可得：

②計(jì)算二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為所以。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（4）狀態(tài)的分類(lèi)及性質(zhì)

狀態(tài)i可達(dá)狀態(tài)j：稱(chēng)狀態(tài)i可達(dá)狀態(tài)j（），若存在n≥0使得，記為i→j。若同時(shí)有狀態(tài)j→i，則稱(chēng)i與j互通，記為。

定理11-14：互通是一種等價(jià)關(guān)系，即滿足：①自返性；②對(duì)稱(chēng)性，則；③傳遞性，則。

不可約馬爾可夫鏈：若馬爾可夫鏈只存在一個(gè)類(lèi)，就稱(chēng)它是不可約的，否則稱(chēng)為可約的。

周期性：若集合非空，則稱(chēng)它的最大公約數(shù)d=d（i）為狀態(tài)i的周期。若d>1，稱(chēng)i是周期的；若d=1，稱(chēng)i是非周期的，并特別規(guī)定上述集合為空集時(shí)，稱(chēng)i的周期為無(wú)窮大。

常返態(tài)：對(duì)于任意狀態(tài)i，以fi記開(kāi)始在狀態(tài)i的過(guò)程最終再進(jìn)入i的概率，若fi=1，則狀態(tài)i稱(chēng)為常返態(tài)。若fi<1，而稱(chēng)為非常返態(tài)或瞬態(tài)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

定理11-15：若，則狀態(tài)i是常返態(tài)，反之，若，則狀態(tài)i是瞬態(tài)。

推論11-1：一個(gè)有限狀態(tài)馬爾可夫鏈中不可能所有的狀態(tài)都是瞬態(tài)。

推論11-2：如果狀態(tài)i是常返態(tài)，而狀態(tài)i與狀態(tài)j互通，那么狀態(tài)j是常返態(tài)。

推論11-3：有限狀態(tài)不可約馬爾可夫鏈的所有狀態(tài)都是常返態(tài)。

正常返：如果狀態(tài)i是常返的，且從i出發(fā)直至回到狀態(tài)i的平均時(shí)間是有限的，則稱(chēng)狀態(tài)i為正常返的。正常返的非周期狀態(tài)稱(chēng)為遍歷的。不是正常返的常返態(tài)稱(chēng)為是零常返的。

定理11-16：有限狀態(tài)馬爾可夫鏈中，一切常返狀態(tài)都是正常返的。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.10】設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I={0，1，…}，其轉(zhuǎn)移概率為下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）。

A．狀態(tài)0是正常返態(tài)B．狀態(tài)0是非周期的C．任一狀態(tài)i都與0相通D．狀態(tài)0不是遍歷的E．任一狀態(tài)i都是遍歷的

【答案】D

【解析】狀態(tài)傳遞圖，如下圖所示。,故狀態(tài)0是常返態(tài)。又任一狀態(tài)i都與0相通。所以任一狀態(tài)i都是常返態(tài)．而，所以狀態(tài)0是正常返態(tài)；又p00=1/2>0，故狀態(tài)0是非周期的，從而是遍歷的。因此，任一狀態(tài)i都是遍歷的。當(dāng)狀態(tài)較多時(shí)，逐個(gè)對(duì)狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算是較困難的。如果狀態(tài)是相通的，選擇其中一個(gè)易于識(shí)別的狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算和識(shí)別，也就識(shí)別了其余的狀態(tài)，從而可以大大減小工作量。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．不變分布與極限分布

不變分布：對(duì)于馬爾可夫鏈，概率分布稱(chēng)為不變的，若

極限分布：稱(chēng)馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的，如果所有狀態(tài)相通且均是周期為1的正常返狀態(tài)，對(duì)于遍歷的馬爾可夫鏈，極限稱(chēng)為馬爾可夫鏈的極限分布。

定理11-17：對(duì)于一個(gè)不可約的遍歷的馬爾可夫鏈，存在且與i獨(dú)立。進(jìn)一步令那么πj是：的唯一解。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.11】在一計(jì)算系統(tǒng)中，每一循環(huán)具有誤差的概率取決于先前一個(gè)循環(huán)是否有誤差。以0表示誤差狀態(tài)，以1表示無(wú)誤差狀態(tài)，設(shè)狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為則相應(yīng)齊次馬氏鏈的極限分布為（）。A．(3/4，1/4)B．(2/3，1/3)C．(1/3，2/3)D．(1/2，1/2)E．(1/4，3/4)

【答案】B

【解析】因存在m=1，使對(duì)于所有的i，j，有，故相應(yīng)的馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的，其極限分布π=（π1，π2）滿足方程組π=πP，即且有π1+π2=1。由此得方程組解此方程組得，即得極限分布為。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

§11.4鞅1．初步定義和例子

一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的鞅：一個(gè)隨機(jī)過(guò)程{Xn，n=0，1，…}是一個(gè)鞅，如果對(duì)于n=0，1，…①②

兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的鞅：設(shè){Xn，n=0，1，…}和{Yn，n=0，1，…}是兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，我們說(shuō){Xn}是關(guān)于{Yn}的一個(gè)鞅，如果對(duì)于n=0，1，…①②精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)【例題11.12】若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程滿足則稱(chēng)其為下鞅。對(duì)于任意的n≥0，0≤k≤n，下列說(shuō)法正確的是（）。A．成立B．成立C．成立D．成立E．成立

【答案】E

【解析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明．因?yàn)閧Xn，n=0，1，2，…}是下鞅，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，。假設(shè)當(dāng)n=k+m(m>1)時(shí)，。則當(dāng)n=k+m+1時(shí)，

對(duì)于任意的n≥0，0≤k≤n，。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．停時(shí)定理

（1）停時(shí)：正整數(shù)值（可能取無(wú)窮值）的隨機(jī)變量T稱(chēng)為過(guò)程{Xn，n≥1}的隨機(jī)時(shí)間，如果事件{T=n}由隨機(jī)變量X1，…，Xn決定，也就是，知道X1，…，Xn就告訴了我們是否有T=n。隨機(jī)時(shí)間T稱(chēng)為停時(shí)。（2）停時(shí)的一些例子：①固定時(shí)間（即常數(shù)）Tk是停時(shí)；②首達(dá)時(shí)，即過(guò)程X0，X1，…首達(dá)狀態(tài)空間子集A的時(shí)間，也是停時(shí)，記為③更一般地，對(duì)任何固定k，過(guò)程第k次到達(dá)集合A的時(shí)間也是一個(gè)停時(shí)；（3）停時(shí)的初等性質(zhì)：①如果S和T是停時(shí)，則S+T也是停時(shí)；②兩個(gè)停時(shí)中的較小者，表示為ST=min{S，T}也是停時(shí)；③如果S和T是停時(shí)，其較大者ST=max{S，T}也是停時(shí)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

定理11-18（停時(shí)定理1）：設(shè){Xn，n≥0}是鞅，T是停時(shí)，若：①②③其中是示性函數(shù)表示，則

定理11-19（停時(shí)定理2）：設(shè){Xn，n≥0}是鞅，T是停時(shí)，若：①②則E（XT）=E[X0]。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.13】設(shè){Xn，n=0，1，2，…}是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，則下列序列T是停時(shí)的是（）。

A．B．C．D．E．精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【答案】A

【解析】依停時(shí)的定義知，隨機(jī)變量T成為關(guān)于{Xn}的停時(shí)的條件：T取非負(fù)數(shù)值（可能取到+∞），并且對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n，事件{T=n}完全由X0,X1,…,Xn確定。BCDE選項(xiàng)中，對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n，事件{T=n}受到Xn+1的影響，故不是正確答案，所以正確答案為選項(xiàng)A。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

§11.5布朗運(yùn)動(dòng)1．布朗運(yùn)動(dòng)的定義

布朗運(yùn)動(dòng)：隨機(jī)過(guò)程{Xt，t≥0}，如果滿足：①X（0）=0；②{X（t），t≥0}有獨(dú)立的平穩(wěn)增量；③對(duì)每個(gè)t>0，X（t）服從正態(tài)分布N（0，σ2t）。則稱(chēng){X（t），t≥0}為布朗運(yùn)動(dòng)，也稱(chēng)為Wiener過(guò)程。常記為{B（t），t≥0}或{W（t），t≥0}。

如果σ=1，則稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；如果σ≠1，則可考慮{X（t）/σ，t≥0}，它是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。故不失一般性，可以只考慮標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的情形。

布朗運(yùn)動(dòng)的另外一個(gè)定義：布朗運(yùn)動(dòng)是具有下述性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程{B（t），t≥0}：①（正態(tài)增量）B（t）-B（s）~N（0，t-s），即B（t）-B（s）服從均值為0，方差為t-s的正態(tài)分布。當(dāng)s=0時(shí)，B（t）-B（0）~N（0，t）。②（獨(dú)立增量）B（t）-B（s）獨(dú)立于過(guò)程的過(guò)去狀態(tài)B（u），0≤u≤s。③（路徑的連續(xù)性）B（t），t≥0是t的連續(xù)函數(shù)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題11.14】設(shè){Bt，t>0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則事件{B(1)>0,B(2)>0}的概率為（）。A．1/4B．1/8C．3/8D．5/8E．1/2

【答案】C

【解析】因?yàn)锽(0)=0，所以有雖然B(1)和B(2)不是獨(dú)立的，但是B(2)-B(1)與B(1)是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，于是有所以精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．擊中時(shí)刻、最大隨機(jī)變量和賭徒破產(chǎn)問(wèn)題

（1）擊中時(shí)刻以Ta記布朗運(yùn)動(dòng)首次擊中a的時(shí)刻。①當(dāng)a>0時(shí)，有進(jìn)而可得②當(dāng)a>0時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性，Ta的分布與T-a的分布相同。由上式可以得到：

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【例題11.15】設(shè)Ta表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)擊中a所用的時(shí)間，則等于（）。A．1/4B．1/6C．3/8D．3/4E．1/2

【答案】B

【解析】對(duì)稱(chēng)隨機(jī)游動(dòng)在減少到－B前先增加到A的概率為

P(在減少到－B前先增加到A)=故可知由于相互獨(dú)立，可得

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）最大隨機(jī)變量對(duì)于過(guò)程在[0，t]中達(dá)到的最大值，它的分布如下：對(duì)于a>0，因?yàn)椋裕?）賭徒破產(chǎn)問(wèn)題

對(duì)于賭徒破產(chǎn)問(wèn)題的結(jié)果，當(dāng)每一步或者增加或者減少一個(gè)距離△x時(shí)，對(duì)稱(chēng)隨機(jī)游動(dòng)在減少到-B前先增加到A的概率（以N