第二十八章銳角三角函數(shù)一、選擇題(本大題共7小題，每小題4分，共28分)1．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，tanA＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()圖1A．∠A＝30° B．AC＝eq\f(1,2) C．AB＝2 D．AC＝22．在△ABC中，∠A，∠C都是銳角，且sinA＝eq\f(\r(3),2)，tanC＝eq\r(3)，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．不能確定3．如圖2，直線(xiàn)y＝eq\f(3,4)x＋3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠BAO的值是()圖2A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,4)4．如圖3，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝eq\f(1,4)，則sinB的值為()圖3A.eq\f(\r(10),2) B.eq\f(\r(15),3) C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(10),4)5．如圖4，某時(shí)刻海上點(diǎn)P處有一客輪，測(cè)得燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向，且相距20海里．客輪以60海里/時(shí)的速度沿北偏西60°方向航行eq\f(2,3)小時(shí)到達(dá)B處，那么tan∠ABP的值為()圖4A.eq\f(1,2) B．2 C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)6．南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁，小芳同學(xué)在校外實(shí)踐活動(dòng)中對(duì)此開(kāi)展測(cè)量活動(dòng)．如圖5，在橋外一點(diǎn)A測(cè)得大橋主架與水面的交匯點(diǎn)C的俯角為α，大橋主架的頂端D的仰角為β，已知測(cè)量點(diǎn)與大橋主架的水平距離AB＝a，則此時(shí)大橋主架頂端離水面的高CD為()圖5A．a(chǎn)sinα＋asinβ B．a(chǎn)cosα＋acosβC．a(chǎn)tanα＋atanβ D.eq\f(a,tanα)＋eq\f(a,tanβ)7．聊城流傳著一首家喻戶(hù)曉的民謠：“東昌府，有三寶，鐵塔、古樓、玉皇皋．”被人們譽(yù)為三寶之一的鐵塔是本市現(xiàn)存最古老的建筑．如圖6，測(cè)繪師在離鐵塔底部10米的點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為α，他又在離鐵塔25米的點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為β.若tanαtanβ＝1，點(diǎn)D，C，B在同一條直線(xiàn)上，則測(cè)繪師測(cè)得鐵塔的高度約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(10)≈3.162)()圖6A．15.81米 B．16.81米 C．30.62米 D．31.62米二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)8．計(jì)算：cos30°＋eq\r(3)sin30°＝________.9．如圖7所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是________．圖710.如圖8，在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝eq\f(\r(2),2)，AB＝3，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖811．如圖9，一山坡的坡度i＝1∶eq\r(3)，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點(diǎn)B，則小辰上升了________米．圖912．如圖10，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，且tan∠ABD＝eq\f(4,3)，則菱形ABCD的面積為_(kāi)_______cm2.圖1013．如圖11所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分線(xiàn)與AB，AC分別交于點(diǎn)D，E，連接CD.如果AD＝1，那么tan∠BCD＝________.圖11三、解答題(本大題共4小題，共42分)14．(6分)計(jì)算：|－3|＋eq\r(3)tan30°－eq\r(12)－(2021－π)0.15．(10分)如圖12，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度i＝1∶1.為了測(cè)量山頂A的高度，在建筑物頂端D處測(cè)得山頂A和坡底B的俯角分別為α，β.已知tanα＝2，tanβ＝4，求山頂A的高度AE(C，B，E在同一水平面上)．圖1216．(12分)如圖13，在一次海上救援中，兩艘專(zhuān)業(yè)救助船A，B同時(shí)收到某事故漁船的求救訊息，已知此時(shí)救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里．(1)求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離；(2)若救助船A，B分別以40海里/時(shí)、30海里/時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線(xiàn)前往事故漁船P處搜救，試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．圖1317．(14分)如圖14，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸相交于點(diǎn)B，且sin∠ABO＝eq\f(\r(3),2)，△OAB的外接圓的圓心M的橫坐標(biāo)為－3.(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)求圖中陰影部分的面積．圖14

答案1．D2．C3．A4．D5．A6．C7．A8.eq\r(3)9.eq\f(1,2)10.eq\r(3).11．100．12．2413.eq\r(2)－1.14．解：原式＝3＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－2eq\r(3)－1＝3－2eq\r(3).15．解：如圖，設(shè)DA與CB的交點(diǎn)為O.∵tanO＝tanα＝eq\f(DC,OC)＝eq\f(96,OC)＝2，∴OC＝48米．同理，BC＝24米，∴OB＝OC－BC＝48－24＝24米．設(shè)AE＝x米，則BE＝x，OE＝eq\f(1,2)x，∴x＋eq\f(1,2)x＝24，∴x＝16，即山頂A的高度AE為16米．16．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H.由題意得∠A＝30°，∠B＝45°.在Rt△PHA中，∵PA＝120，∠A＝30°，∴PH＝eq\f(1,2)PA＝60.在Rt△PHB中，∵∠B＝45°，sinB＝eq\f(PH,PB)，∴PB＝eq\r(2)PH＝60eq\r(2)(海里)．答：收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離為60eq\r(2)海里．(2)依題意可得救助船A所需時(shí)間tA＝eq\f(120,40)＝3(時(shí))，救助船B所需時(shí)間tB＝eq\f(60\r(2),30)＝2eq\r(2)(時(shí))．∵tA＞tB，∴救助船B先到達(dá)．17．解：(1)由題意，得M為AB的中點(diǎn)．∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為－3，∴點(diǎn)A(－6，0)．∵sin∠ABO＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(OA,AB)＝eq\f(\r(3),2).∵OA＝6，∴AB＝4eq\r(3).在Rt△AOB中，由勾股定理可得OB＝2eq\r(3)，則B(0，2eq\r(3))．將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(3)，,－6k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(3)，,k＝\f(\r(3),3)，))∴一次函數(shù)的解析式為y＝eq\f(\r(3),3)x＋2eq\r(3).(2)連接OM，∵sin∠ABO＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ABO＝60°，∴∠MAO＝30°.∵AM＝OM，∴∠MOA＝∠MAO＝30°，∴∠AMO＝120°.由A(－6，0)，B(0，2e