1、電 動(dòng) 力 學(xué)河南理工大學(xué)物理化學(xué)系-Electrodynamics第0章 數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí) 第2章 靜電場 第3章 靜磁場 第4章 電磁波的傳播第5章 電磁波的輻射電 動(dòng) 力 學(xué)第1章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第6章 狹義相對(duì)論第 0 章數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí) Preliminary Maths Knowledge本 章 主 要 內(nèi) 容矢量代數(shù)標(biāo)量場的梯度 算符矢量場的散度 高斯定理矢量場的旋度 斯托克斯定理狄拉克 算符在正交曲線坐標(biāo)系中 運(yùn)算的表達(dá)式二階微分算符張量分析初步0-1 矢量代數(shù)物理量按其性質(zhì)可分為三類:1. 標(biāo)量: 只有大小的量, 如時(shí)間、溫度、電量、能量等。因此只要一個(gè)描述其大小的物理量。如溫度

2、隨空間坐標(biāo)改變形成溫度場。2. 矢量: 既有大小也有方向的量, 如力、流體流速、電場強(qiáng)度等。描述矢量需要三個(gè)分量。如電場強(qiáng)度隨空間坐標(biāo)變化電場。3. 張量: 描述張量需要九個(gè)分量。如應(yīng)力、應(yīng)變等。矢量 的大小 APAyAzOAx矢量分析初步：矢徑 方向APAyAzOAx方向余弦 方向上的單位矢量：直角坐標(biāo)系中 矢量的基本運(yùn)算 其它坐標(biāo)系中矢量的加法矢量的標(biāo)積矢量的矢積 矢量代數(shù)中的兩個(gè)重要公式（證明略）混合積矢量微分雙重矢量積0-2 標(biāo)量場的梯度， 算符Gradient of Scalar Field, Operatorpp0dl設(shè)有一標(biāo)量函數(shù)方向?qū)?shù)：dn引進(jìn)梯度(Gradient)概念：

3、算符既具有微分性質(zhì)又具有矢量性質(zhì)。在任意方向 上移動(dòng)線元距離dl， 的增量:pp0dldn空間任意兩點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的差值：例設(shè) 為源點(diǎn) 與場 之間的距離， 的方向規(guī)定為源點(diǎn)指向場點(diǎn)，試分別對(duì)場點(diǎn)和源點(diǎn)求 的梯度。解（）同理可得：則：（）：場點(diǎn)固定，R是源點(diǎn)的函數(shù)，對(duì)源點(diǎn)求梯度用 表示。而同理可得：所以得到：例設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（梯度），按復(fù)合函數(shù)微分法則，有例：設(shè)試求： 解：同理： 方法二：利用：0-3 矢量場的散度 高斯定理Divergence of Vector Field, Gausss Law1、通量 一個(gè)矢量場空間中，在單位時(shí)間內(nèi)，沿著矢量場 方

4、向通過 的流量是dW，而dW是以ds為底，以v cos為高的斜柱體的體積，即稱為矢量 通過面元 的通量。 通過曲面S 的通量 即為每一面元通量之和對(duì)于有限曲面S，總可以將S分成許多足夠小的面元 對(duì)于閉合曲面S，通量為當(dāng)閉合曲面S 及其所包圍的體積 向其內(nèi)某點(diǎn) 收縮時(shí)，若平均通量的極限值存在，便記作稱為矢量場 在該點(diǎn)的散度(div是divergence的縮寫)。 2、散度 設(shè)封閉曲面S所包圍的體積為則單位體積的平均通量的正源；當(dāng)div ，表示該點(diǎn)有吸收通量的負(fù)源；當(dāng)div ，表示該點(diǎn)為無源場。散度的重要性在于，可用表征空間各點(diǎn)矢量場發(fā)散的強(qiáng)弱程度，當(dāng)div ，表示該點(diǎn)有散發(fā)通量在直角坐標(biāo)系中：證

5、明：在直角坐標(biāo)系中, A矢量通過垂直于x軸兩面的通量為同理有:即有:例： 設(shè)求解:同理:那么這里同理可得故有 d) 設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明解: 3、高斯定理它能把一個(gè)閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對(duì)該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。SV高斯定理的證明:將閉合面S包圍的體積V分成許多體積元:由于相鄰兩體積元有一個(gè)公共表面,這個(gè)公共表面上的通量對(duì)這兩個(gè)體積元來說恰好等值異號(hào),求和時(shí)就互相抵消,最終只有外表面S的通量沒有抵消,即通過所有體積元的通量之和等于從閉合面S穿出的通量. 即:得高斯定理 0-4 矢量場的旋度 斯托克斯定理Rotation of Vector Field, Stokess

6、 Theorem1、矢量場的環(huán)流 在數(shù)學(xué)上，將矢量場 沿一條有向閉合曲線L（即取定了正線方向的閉合曲線）的線積分稱為 沿該曲線L的循環(huán)量或流量。2、旋度 設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點(diǎn)附近，那么以閉合曲線L為界的面積 逐漸縮小， 也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉合曲線的形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向 ，且通常L的正方向與 規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則，為此定義稱為矢量場 的旋度（rot是rotation的縮寫）。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某點(diǎn)附近各方向上環(huán)流強(qiáng)弱的程度，如果場中處處rot ，稱為無旋場。在直角坐標(biāo)系中可

7、以證明：即：例：求 3、斯托克斯定理（Stokess Theorem）它能把對(duì)任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。斯托克斯定理的證明:將曲面S劃分成許多小面元:由于相鄰兩面元有一個(gè)公共邊界,這個(gè)公共邊界上的那部分積分都相互抵消,只有沒有公共邊界的部分積分沒有抵消,結(jié)果所有沿小回路積分的總和等于沿大回路L的積分, 即:得斯托克斯定理L矢量微分算符常用公式 123 證明:0-5 二階微分算符Second-order Differentiation Operator 例：設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：2、二階微分運(yùn)算 將算符 作用于梯度、散度和旋度，則

8、稱為二階微分運(yùn)算，設(shè) 為標(biāo)量場， 為矢量場。 并假設(shè) 的分量具有所需要的階的連續(xù)微商，則不難得到： （1）標(biāo)量場的梯度必為無旋場 （2）矢量場的旋度必為無散場 （3）無旋場可表示一個(gè)標(biāo)量場的梯度 （4）無散場可表示一個(gè)矢量場的旋度 （5）標(biāo)量場的梯度的散度為 （6）矢量場的旋度的旋度為證明(1): 證明（2）:1) 2) 3)4)關(guān)于散度和旋度的兩個(gè)定理正定理：標(biāo)量場的梯度必為無旋場， 即 逆定理：無旋場必可以表示為某一標(biāo)量場的梯度。 即若 ，則 ， 稱為無旋場 的標(biāo)量 勢函數(shù)。2. 正定理: 矢量場的旋度必為無散場，即 逆定理: 無源場必可表示為某個(gè)矢量場的旋度。 即若 ，則 ， 稱為無源場

9、 的矢量勢函數(shù)。 橫場與縱場橫場：散度為零的矢量場，也稱有旋場或無源場其矢量線是渦旋狀的閉合曲線縱場：旋度為零的矢量場，也稱有源場或無旋場其矢量線有頭有尾的非閉合曲線一般矢量場的分解：一般的矢量場并不是單純的縱場或橫場，其散度和旋度都可以不為零，任意一個(gè)矢量場都可以分解為縱場與橫場之和?？v場由散度唯一決定；橫場由旋度唯一決定。即任意一個(gè)矢量場由其散度和旋度唯一確定。定理： 在空間某一區(qū)域內(nèi)給定矢量場的散度和旋度以及矢量場在區(qū)域邊界上的法線分量，則該矢量場在區(qū)域內(nèi)是唯一確定的。 VS亥姆霍茲定理矢量場的散度和旋度是研究場性質(zhì)的重要內(nèi)容 0-6 狄拉克(Dirac) 函數(shù) 定義 函數(shù)為:性質(zhì)1:當(dāng)

10、 不在V內(nèi)時(shí)性質(zhì)2:當(dāng) 在V內(nèi)時(shí)偶函數(shù)且有:分布在一定空間內(nèi)的電荷,可用體電荷密度 來表示對(duì)于空間電量為q的點(diǎn)電荷,仍可用 來表示其電荷密度 局域于 附近極小的區(qū)域內(nèi)電荷密度:即:且有:點(diǎn)電荷密度具有 函數(shù)的性質(zhì):對(duì)于離散分布的點(diǎn)電荷,仍可用 來表示其電荷密度證明 具有 函數(shù)性質(zhì)證： 數(shù)學(xué)上的奇點(diǎn)0-7 正交曲線坐標(biāo)系中 運(yùn)算的表達(dá)式Expression of Operation onOrthogonal Curvilinear Co-Ordinates System1、不同坐標(biāo)系表達(dá)式 a) 笛卡兒坐標(biāo):xyzZ為常數(shù)平面y為常數(shù)平面x為常數(shù)平面(x,y,z)p坐標(biāo)微分量: dx， dy，

11、dz坐標(biāo)變量: x，y，z b) 圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量: r zzxyz為常數(shù)平面r為常數(shù)平面為常數(shù)平面r坐標(biāo)微分量: c) 球坐標(biāo)系zry(r,)x為常數(shù)平面r為常數(shù)平面為常數(shù)平面？ 球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量: r 坐標(biāo)微分量:xyozxyoz面積元:體積元:為立體角2. 正交曲線坐標(biāo)系設(shè)某一正交曲線坐標(biāo)系中的三個(gè)獨(dú)立變量分別為坐標(biāo)微分量為:梯度算符三個(gè)垂直方向的長度元 h1, h2, h3稱度量系數(shù)（或拉梅系數(shù)），正交坐標(biāo)系完全由三個(gè)拉梅系數(shù)h1, h2, h3來描述。2、哈密頓算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 在正交曲線坐標(biāo)系下的一般表達(dá)式 其中 為正交曲線坐標(biāo)系的基矢； 是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；

12、為一矢量函數(shù) 直角坐標(biāo)系 柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系： 坐標(biāo)變量：與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系：拉梅系數(shù)： 其中 0-8 張量分析初步定義：兩個(gè)矢量不作任何運(yùn)算并列，稱為并矢則有并矢：設(shè)有：三維空間兩矢量的并矢為二階張量（ ）三維空間中需9個(gè)分量才能確定的量稱為二階張量（ ）其中AiBj等9個(gè)分量稱為并矢AB或張量 的分量定義單位張量：顯然一般情況下：1. 張量的加減法：設(shè)有二階張量：則有：張量代數(shù)運(yùn)算：2. 張量的乘法：即并矢與矢量的點(diǎn)乘是一個(gè)矢量3. 運(yùn)算公式及定理：CF在介質(zhì)內(nèi)取一點(diǎn)P，以P為原點(diǎn)，取一無限小四面體ABCP。小四面體ABCP靜止，則合力固體介質(zhì)的應(yīng)力張量為Sx面上x方向上的應(yīng)力ABC面應(yīng)力：為應(yīng)力張量用1,2,3代替x,y,zCF題例三階以上微分同理正交曲線坐標(biāo)系中的散度：略去三階以上高階小量電動(dòng)力學(xué)例題解答1.2. 下列所示 電場哪一個(gè)是靜電場？（式中a為適當(dāng)單位的常數(shù)）3. 一半徑為a的介質(zhì)球，置于真空中，已知球內(nèi)的電極化矢量與坐標(biāo)矢量r的關(guān)系為P=kr，k 是常數(shù)，求介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷密度 、以及球內(nèi)的電場強(qiáng)度E、電位移矢量D4. 設(shè)初始時(shí)刻導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)存在電荷，電