東莞四中高三數(shù)學(xué)周測試題（第8周）一、單選題1.若集合，，滿足：，則（）A. B. C. D.2.設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則“點在第四象限”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既不充分也不必要條件 D.充要條件3.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.4.函數(shù)的最小正周期不可能是（）A. B. C. D.5.過拋物線的焦點作直線l，l交C于M，N兩點，若線段中點的縱坐標(biāo)為2，則（）A.10 B.9 C.8 D.76.甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有A，B，C三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū)，且每個小區(qū)至少有一名志愿者.則甲不在A小區(qū)的概率為(

)A.193243 B.100243 C.23 7.函數(shù)恒有，且在上單調(diào)遞增，則的值為（）A. B. C. D.或8.雙曲線的下焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，若過A，B和點的圓的圓心在x軸上，則直線l的斜率為（）A. B. C. D.二、多選題9．已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與不垂直的是（

）A． B． C． D．10.記正項等比數(shù)列的前n項和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（）A. B. C. D.11.已知正實數(shù)x，y滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為8C.最大值為 D.沒有最大值12．已知函數(shù)的定義域D關(guān)于原點對稱，且，當(dāng)時，；且對任意且，都有，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．是周期函數(shù) D．在上單調(diào)遞減三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間中三點，則點A到直線的距離為__________．14.以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列數(shù)據(jù)：甲組：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；乙組：17，22，32，43，45，49，b，56．若甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則__________．15.寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)__________．①若，則；②；③在上單調(diào)遞減．正方體的棱長為2，O為底面ABCD的中心．P為線段的中點，則過A，P，O三點的平面截此正方體外接球所得的截面的面積為.四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知正項數(shù)列前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）將數(shù)列和數(shù)列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列，求的前50項和．18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面積．19.如圖，在直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為的中點，且平面．（1）求的長；（2）若，求二面角的余弦值．20.在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層抽取的樣本量分別.第1層和第2層的平均值分別為，樣本總平均值為.第1層和第2層的方差分別為，樣本總方差為.我們可以證明.（1）在對某校高三年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用分層隨機抽樣的方法，抽取了40名男生和60名女生，得到男生身高的平均數(shù)為172.3，方差為12.31.女生身高的平均數(shù)為161.8，方差為37.36.求該樣本的總方差。用表示第1層樣本的各個個體的變量值，用表示第2層樣本的各個個體的變量值.（）求證：；（）證明公式成立（提示：）Ⅰ21.已知橢圓的離心率為，其左焦點為．（1）求的方程；（2）如圖，過的上頂點作動圓的切線分別交于兩點，是否存在圓使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由．22.已知函數(shù)．（1）討論的極值點個數(shù)；（2）若有兩個極值點，且，當(dāng)時，證明：．參考答案1.B2.A3.D4.C5.C6.C7.B8.B9．ABC10.AB11.AC12.ACD1.【詳解】由集合，，滿足：，，如圖所示：，，3.解：易知，，，所以.4.解：當(dāng)，時，函數(shù)，最小正周期為，故選項A可能；當(dāng)，時，函數(shù)，最小正周期為，故選項B可能；當(dāng)，時，函數(shù)，最小正周期為，故選項D可能；5.解：由拋物線方程知焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，則，解得，則，6.解：先計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，

5人被分為3，1，1或2，2，1，

當(dāng)5個人被分為3，1，1時，情況數(shù)為C53×A33=60，

當(dāng)5個人被分為2，2，1時，情況數(shù)為C51×C42A22×A33=90，∴共有60+90=150．

∵所求甲不去A，情況數(shù)多，反向思考，求甲去A的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，

當(dāng)5人被分為3，1，1時，且甲去A，甲若為1，則C43×A22=8，

甲若為3，則C42×A22=12，

共計8+12=20種，

當(dāng)5人被分為2，2所以，得.因為在上單調(diào)遞增，所以,即，得.因為，所以.因為在上單調(diào)遞增，所以,得.所以，且，，解得，.故.8.解：由題意可知：，設(shè)，，的中點為，過點的圓的圓心坐標(biāo)為，則，由題意知：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，消元可得：，則，，由韋達定理可得：，，所以的中點的坐標(biāo)，則，由圓的性質(zhì)可知：圓心與弦中點連線的斜率垂直于弦所在的直線，所以，整理可得：（*），則圓心到直線的距離，由弦長公式可得：，由垂徑定理可得：，也即，將（*）代入可得：，即，整理可得：，則，因為，所以，則，故選：.10.解：由題意可得：等比數(shù)列的首項，公比，即，對A：，且，即為等比數(shù)列，A正確；對B：，且，即為等比數(shù)列，B正確；對C：∵，則有：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，C錯誤；對D：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，D錯誤；11.解：因為x，y為正實數(shù)，且，所以.所以，當(dāng)時，的最小值為，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，即的最大值為，故C正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以.所以有最大值，故D錯誤.12.解:對于A，令，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；對于B，由，得，所以，則，所以，故B錯誤；對于C，由，得，則，則，即，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，故C正確；對于D，令，則，則，所以，，所以，所以，，因為，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，故D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.14.10015.（答案不唯一）16.14.解：因為，甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，根據(jù)題意得，得，故15.解:比如，，故，又，也即成立，又在上單調(diào)遞減．故答案可為：.16.取的中點，因為P為線段中點，連接交與點，所以，又，所以，故過A，P，O三點的平面為平面，取的中點，過作，垂足為，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，過球心作，則平面，所以正方體的外接球的球心到截面的距離為的長，又，所以，因為為的中點，所以故截面圓的半徑為，所以截面圓的面積17.（1）依題意，當(dāng)時，，解得，由，當(dāng)時，有，作差得：，所以，因為，所以，所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）得，，又，同時，所以所以．所以的前50項和為2150．18.（1）已知，代入余弦定理，，化簡得：，所以．（2）由正弦定理知即，又，故，即，得，故（舍），此時，，，則的面積.19.（1）∵面，又面，∴，又∵F為的中點，∴，又在、中，，易證得，故．，，又，，故．（2）以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，則，不妨設(shè)是平面的一個法向量，那么，即，令，則．又面，故是平面的一個法向量．設(shè)為二面角所成平面角，則，即二面角的余弦值為．（1）由已知高三年級學(xué)生身高總平均數(shù)為，所以（2）（3）==21.（1）由題意設(shè)焦距為，則，由離心率為，所以，則，的方程為．（2）不存在，證明如下：假設(shè)存在圓滿足題意，當(dāng)圓過原點時，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意．依題意不妨設(shè)為：，：，，，圓的半徑為，則圓心到直線的距離為，即是關(guān)于的方程的兩異根，此時，再聯(lián)立直線與橢圓方程得，所以，即，得所以，同理由，得，由題意，，即，此時，所以，因為，所以方程無解，命題得證．22.（1）已知，則，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)增減，在上單調(diào)遞增，則，①當(dāng)時，恒成立，故在上無極值點；②當(dāng)時，，顯然，則在上有一個極值點，又，令，故在上單調(diào)遞