PAGEPAGE1內(nèi)部文件，版權(quán)追溯內(nèi)部文件，版權(quán)追溯3.4不等式的實(shí)際應(yīng)用典題精講例1某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖3-4-1所示），由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩道隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià).圖3-4-1思路分析：在利用均值不等式求最值時(shí),必須考慮等號(hào)成立的條件,若等號(hào)不能成立,通常要用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米，則寬為米（0＜x≤16，0＜≤16），∴12.5≤x≤16.于是總造價(jià)Q（x）=400（2x+2·）+248·2·+80×200=800（x+）+16000≥800·+16000=44800.當(dāng)且僅當(dāng)x=（x＞0），即x=18時(shí)等號(hào)成立，而18［12.5，16］，∴Q（x）＞44800.下面研究Q（x）在［12.5，16］上的單調(diào)性.對(duì)任意12.5≤x1＜x2≤16，則x2-x1＞0，x1·x2＜162＜324.Q（x2）-Q（x1）=800［（x2-x1）+324（）］=800·＜0.∴Q（x2）＜Q（x1）.∴Q（x）在［12.5，16］上是減函數(shù).∴Q（x）≥Q（16）=45000.答：當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米，寬為12.5米時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為45000元.綠色通道：解答應(yīng)用題四步法：(1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評(píng)價(jià).在解決函數(shù)、不等式綜合問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問(wèn)題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用.綜合問(wèn)題的求解往往需要應(yīng)用多種知識(shí)和技能.因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.黑色陷阱：如果忽視函數(shù)的定義域，就會(huì)導(dǎo)致運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，不判斷等號(hào)能否成立的條件,從而得到最低總造價(jià)為44800元.變式訓(xùn)練甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解法一：(1)依題意,知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為y=a·+bv2·=s(+bv).∴所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=s(+bv),v∈(0,c］.(2)依題意知，s、a、b、v均為正數(shù),∴s(+bv)≥.①當(dāng)且僅當(dāng)=bv,即v=時(shí)，①式中等號(hào)成立.若≤c,則當(dāng)v=時(shí)，有ymin；若＞c,則當(dāng)v∈(0,c］時(shí)，有s(+bv)-s(+bc)=s［(-)+(bv-bc)］=(c-v)(a-bcv).∵c-v≥0,且a＞bc2,∴a-bcv≥a-bc2＞0.∴s(+bv)≥s(+bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)v=c時(shí)，有ymin.綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)≤c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=;當(dāng)＞c時(shí),行駛速度應(yīng)為v=c.解法二：(1)同解法一.(2)∵函數(shù)y=x+(k＞0),x∈(0,+∞),當(dāng)x∈(0,)時(shí)y單調(diào)減小，當(dāng)x∈(,+∞)時(shí)y單調(diào)增加，當(dāng)x=時(shí)y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=sb(v+),v∈(0,c］.∴當(dāng)≤c時(shí)，則當(dāng)v=時(shí)，y最小，若＞c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小.結(jié)論同上.例2某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元／kW·h，年用電量為akW·h.本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之間，而用戶期望電價(jià)為0.4元／kW·h.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后大值.（2）如果以每年1%的速度減少填湖造地的新增面積，并為了保證水面的蓄洪能力和環(huán)保要求，填湖造地的總面積永遠(yuǎn)不能超過(guò)現(xiàn)有水面面積的，求今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的百分之幾?思路分析：收益不小于支出的含義就是收益與支出的差不小于0,因此本題變成一個(gè)解不等式問(wèn)題,當(dāng)然本題中都是字母給出的量,所以要對(duì)結(jié)果進(jìn)行分類討論.解：（1）收益不少于支出的條件可以表示為cx-（ax2+bx）≥0.所以ax2+（b-c）x≤0，x［ax-（c-b）］≤0.當(dāng)c-b≤0時(shí)，≤x≤0，此時(shí)不能填湖造地；當(dāng)c-b＞0時(shí)，0≤x≤，此時(shí)所填面積的最大值為畝.（2）設(shè)該縣的現(xiàn)有水面為m畝，今年填湖造地的面積為x畝，則x+（1-1%）x+（1-1%）2x+…≤，不等式左邊是無(wú)窮等比數(shù)列的和，故有≤，即x≤=0.25%m，所以今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的0.25%.例3如圖3-4-2，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問(wèn)當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A、B孔的面積忽略不計(jì)）?圖3-4-2思路分析：一種方法是建立在函數(shù)的思想上，求函數(shù)的值域.另一種方法重在思考a+2b與ab的關(guān)系,結(jié)合均值不等式求解.解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=，其中k＞0為比例系數(shù)，依題意，即求使y值最小時(shí)的a、b的值.根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）,得b=（0＜a＜30).①于是y=≥.當(dāng)a+2=時(shí)取等號(hào)，y達(dá)到最小值.這時(shí)a=6，a=-10（舍去）.將a=6代入①式,得b=3.故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二：依題意，知所求的a、b值使ab最大.由題設(shè)知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）,即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）.∵a+2b≥,∴≤30,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，上式取等號(hào).由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18,即當(dāng)a=2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18.∴2b2=18.解得b=3，a=6.故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.綠色通道：求最值或者取值范圍問(wèn)題，首先考慮建立函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的方法來(lái)求.均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出現(xiàn)和與積的形式時(shí)，常把所求的量放在不等式中去考察.黑色陷阱：解法一建立函數(shù)時(shí)忽視函數(shù)的定義域.變式訓(xùn)練若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是______________.思路解析：思考a+b與ab的關(guān)系,聯(lián)系均值不等式求解,或建立在函數(shù)的思想上，求函數(shù)的值域.方法一：令=t（t＞0）,由ab=a+b+3≥，得t2≥2t+3.解得t≥3，即≥3.故ab≥9.方法二：由已知,得ab-b=a+3，b（a-1）=a+3，∴b=（a＞1）.∴ab=a=［（a-1）+1］=a+3+=a-1+4++5≥.當(dāng)且僅當(dāng)a-1=時(shí)取等號(hào),即a=b=3時(shí)ab的最小值為9.所以ab的取值范圍是［9，+∞）.答案:［9,+∞）問(wèn)題探究在均值不等式、不等式的實(shí)際應(yīng)用中，不少問(wèn)題是以函數(shù)f(x)=ax+（a＞0,b＞0）為模型進(jìn)行討論的，因此對(duì)函數(shù)f(x)=ax+（a＞0,b＞0）的性質(zhì)要熟練掌握.問(wèn)題如何應(yīng)用這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)、均值不等式求最值？導(dǎo)思：研究函數(shù)的性質(zhì)需從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等方面入手考慮，對(duì)圖象還要考慮關(guān)鍵點(diǎn)、對(duì)稱性、漸近線等.求函數(shù)的最值可先考慮均值不等式