2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（卷）數(shù)學(xué)I注意事項(xiàng)絕密★啟用前考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1.本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題?第20題，共20題）.本卷滿分為160分.考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.2．答題前，請您務(wù)必將自己的、考試證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的、號與您本人是否相符.4．作答試題必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其它位置作答一律無效.5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.．．．．．．．．TOC\o"1-5"\h\z, 兀.函數(shù)y=3sm（2x--）的最小正周期為 ▲ ^42兀解析：T=f=兀.設(shè)z=（2-i）2（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為 ▲ .解析：Z=3-4i,|Z|=，32+（-4）2=5x2 y2.雙曲線---=1的兩條漸近線的方程為 ▲ .（第5題）16 9（第5題）3解析：y=土4x.集合（I,。/共有 ▲個子集.解析：23=8（個）.右圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是▲解析：經(jīng)過了兩次循環(huán)，n值變?yōu)?6.抽樣統(tǒng)計(jì)甲，乙兩位射擊運(yùn)動員的5次訓(xùn)練成績（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運(yùn)動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動員成績的方差為 ▲解析：易知均值都是90，乙方差較小，s2=1￡(x—x)=1(89—90)+(90—90)+(91—90)+(88—90\+(92—90')=2ni 5i=1.現(xiàn)有某類病毒記作XY，其中正整數(shù)m,n（m<7,n<9）可以任意選取，則m,n都取到奇數(shù)的概mn率為▲ .解析：m可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7個n可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9個所以總共有7*9=63種可能符合題意的m可以取1,3,5,7共4個符合題意的n可以取1,3,5,7,9共5個所以總共有4*5=20種可能符合題意20所以符合題意的概率為二63.如圖，在三棱柱AB1C1-ABC中，D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F—ADE的體積為V，三棱柱ABC-ABC的體積為V，則V:V= ▲ .1 111 2 1 2

解析：V=1Sh=1X1SX1h=1-VTOC\o"1-5"\h\z1 3ADE1 34ABC22 242所以V:V=-1 2 24.拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈（包含三角形部和邊界）.若點(diǎn)P（x,y）是區(qū)域D的任意一點(diǎn)，則x+2y的取值圍是 ▲解析：易知切線方程為：y=2x-1所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域三個點(diǎn)為A（0,0）B（0.5,0）C（0,-1）易知過C點(diǎn)時有最小值-2，過B點(diǎn)時有最大值0.5BE=|BC,若.設(shè)D,E分別是^ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，ADBE=|BC,若21 2 （1九2為實(shí)數(shù)），則?R的值為一▲解析：易知DE=1AB+2BC=1AB+2Qc-AB)=-1AB易知DE=所以A+入2=1.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時，f（x）=x2-4x，則不等式f（x）〉x的解集用區(qū)間表示為 ▲.解析：

因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以易知x<0時，f(x)=-x2—4x解不等式得到f(x)>x的解集用區(qū)間表示為(-5,0)(5,+8)ux2y2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+)=1(a>0,b>0)，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)a2b2線為l，短軸的一個端點(diǎn)為B，設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d,F到1的距離為d.若d-6dd1 2 2 ：則橢圓的離心率為▲解析：bc a2 b2由題意知d ,d -c 1a2cc ,b2 b^bc所以有-66 兩邊平方得到a2b2=6c4,ca兩邊同除以a4得到1-e2=6e4,解得e2=1，即e.平面直角坐標(biāo)系x^y中，設(shè)定點(diǎn)A(a,a),P是函數(shù)y--(x>0)圖像上一動點(diǎn)，若點(diǎn)P,A之x間最短距離為2v2，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為▲解析：PA2-(x-PA2-(x-a)2

0(11Px，一0xix)0,(x0>0)+2a2=x+———2ax200xi x0)a<a<2時，a>2時，令x+—=1(t>2)0x0貝I」PA2=f(t)=t2-2at+2a2-2(t>2)對稱軸t=aPA2 -f(2)-2a2-4a+2min...2a2-4a+2=8a=3(舍去)PA2 -f(a)-a2-2min二.a2-2-8

a=\-10a=~\10（舍去）綜上a=—1或a=<1014.在正項(xiàng)等比數(shù)列"立a5二2，a+a=3則滿足a+a+aa=\-10a=~\10（舍去）綜上a=—1或a=<1014.在正項(xiàng)等比數(shù)列"立a5二2，正整數(shù)n的值為 ▲ .解析：1a=—,a+a=35 2 6 7/.aq+aq2=3q2+q-6=0q>0:.q=2==2n-6na+a+a+…+a>aaa...a1 2 3 n123nn2-11n:,:2n-5-2-5>22n2-11n???2n-5-22 >2-5>0n2-11n「.n-5> 213-<129 13+v129「. <n<2

又n=12時符合題意，所以n的最大值為12解答時應(yīng)寫出文字說明、證二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答,明過程或演算步驟。解答時應(yīng)寫出文字說明、證.（本小題滿分14分）已知a=(cosa,sina),b=(cosP，sinP),0<P<a<兀若a-b=J2，求證：a1b；設(shè)c=(0,1)，若a+b=c,求a,P的值.解：a=(cosa,sina),b=(cosP,sinP),0<P<a<兀解：2=2/.a2+b2-2ab=2..1+1-2a?b=2,a?b=0，.二a1bc=(0,1),a+b=c?—> ~?"? —?—?「.(cosa+cosP,sina+sinP)=(0,1)Zcosa+cosP=0①sina+si「P=1②①2+②2得：2+2cos(a-P)=1,得cos(a-P)=-1^20<P<a<兀0<a-P(兀2兀；.a-P=——3cosa+cosP=0又.,.a+P=兀5兀 兀:.a=——，P=—6 6（第16題）.（本小題滿分14（第16題）如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB1平面SBC,AB1BC,AS=AB.過A作AF1SB,垂足為F，點(diǎn)E,G分別是側(cè)棱SA,SC的中點(diǎn).求證：（1）平面EFG//平面ABC；（2）BC15A.解：（1）E,G分別是側(cè)棱SA,5C的中點(diǎn)EG〃AC??AC在平面ABC中，EG在平面外???EG〃平面ABC???AS=AB,AF±SB?二F為SB中點(diǎn)??EF//ABAB在平面ABC中，EF在平面外EF/平面ABC.EF與EG相交于EEF,EG在平面EFG中平面EFG//平面ABC（2）v平面SAB，平面SBCSB為交線,,AF在SAB中，AF±SBAF±平面SBC:.AF±BCBC，ABAF與AB相交于A??AF,AB在平面SAB中.?.BC±平面SAB:.BC±SA17.（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0,3），直線l：y=2x—4.設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上.（1）若圓心。也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程;55(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值圍.解：y=2x-4①解：y=x-1②①與②聯(lián)立得到圓心坐標(biāo)C(3,2)，圓方程為(x-3)2+(y-2)=1切線斜率不存在時，不合題意，設(shè)切線方程為y=kx+3.13k-2+3=1.J1+k2，…， 3解得k=0或k=--43八切線方程為y=3或y=--x+3(2)設(shè)C(a,2a-4)則圓方程為(x—a>+(y—2a+4>=1TOC\o"1-5"\h\z設(shè)M(x,y)0 0由題意(x—a)2+(y—2a+4)2=10 0MA=2MO:.x2+(y-3)2=4x2+4y2..0 0 0 0(即x2+(y+1)2=400M存在二.圓(x-a)2+(y-2a+4)2=1與圓x2+(y+1)2=4有交點(diǎn)即兩圓相交或相切??.(2-1)2<d2<(2+1)2即1<(a-0)+(2a-4-(-1))<918.(本小題滿分16分)3737如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至C處有兩種路徑.一種是從沿A直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為cosC=cosC=35130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA——，13⑴求索道AB的長;(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短?乙步行的速度應(yīng)控制在什么圍？(3)為使兩位游客在C處相互等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么圍？解：(1)TOC\o"1-5"\h\z12 3cosA=—,cosC=—13 50<A<兀,0<B<兀,0<C〈兀T. 5. 4，sinA=—,sinC=—?. 13 5A+B+C=?！?sinB=sin(「.sinB=sin(A+C)12453=sinAcosC+cosAsinC=一?一+—?6313513565ACABBC:. = = sinBsinCsinAsinC 465AB= ?AC=?——?1260=1040msinB 563(2)sinABC= ?AC=500sinB設(shè)乙出發(fā)t(t<8)分鐘后，甲到了D處，乙到了￡處則有AD=50+100AE=1301根據(jù)余弦定理DE2=AE2+AD2—2AE?AD-cosA即DE2=740012—140001+1000014000 35/.當(dāng)t= =——時，DE2有最小值2?7400 37時有最小

乙步行速度為V乙乙步行速度為V乙1260126由題意t= =——mm甲50 5t=2+

乙1040+1+500=11+500min130V乙??.-3考11+500I '乙J625<——1419.（本小題滿分16分）設(shè)｛a設(shè)｛a｝是首項(xiàng)為an公差為d的等差數(shù)列（d豐0）S是其前n項(xiàng)和.記b

nnnS l，neN*，n2+c其中。為實(shí)數(shù).(1)若c(1)若c=0，且b1b成等比數(shù)列，證明：4S=n2S(k,neN*)；nk k（2）若｛b｝是等差數(shù)列，證明：c=0.解：(1)a=a+(n-1)d(d豐0)nc=0時，b=SnnS—=a1S2323dt=a+——b,b,b成等比124/.bb=b2?二14 2

；S=n2anS=n2k2ankn2S=n2k2ak:.S=n2Snk（2）由已知b由已知b=

nnS n-n2+cb是等差數(shù)列n:.:設(shè)b;kn+b（k,b為常數(shù)）n:,有（2k一d）n3+（2b+d一2a）n2+2ckn+2bc=0對任意neN+恒成立2k一d=02b+d一2a=0「.《2ck=02bc=0d中0:.k豐0=