上海高三數(shù)學模擬試卷第頁共4頁高三數(shù)學模擬試卷班級學號姓名得分注意：本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）只要求直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1．設，若復數(shù)在復平面內對應的點位于實軸上，則.2．集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是.3．二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為第項.4．從5名志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導游、保潔三項不同的工作，每人承擔一項，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有種．5．直線被雙曲線截得的弦長為.11．已知實數(shù)成等差數(shù)列，點在動直線（不同時為零）上的射影點為，若點的坐標為，則的取值范圍是．12．函數(shù)，若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是．二、選擇題(本大題共有4小題，滿分20分)13．若與都是非零向量，則“”是“”的()（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件14．將函數(shù)圖象上的點向左平移（）個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則（）（A），的最小值為（B），的最小值為（C），的最小值為（D），的最小值為15．如圖，在正方體中，當動點在底面內運動時，總有，則動點在底面內的軌跡是()（A）橢圓的一部分（B）雙曲線的一部分（C）拋物線的一部分 （D）圓的一部分16．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．若拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，則以這三個格點為頂點的三角形稱為拋物線的“內接格點三角形”．以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，若拋物線與網(wǎng)格對角線的兩個交點之間的距離為，且這兩個交點與拋物線的頂點是拋物線的內接格點三角形的三個頂點，則滿足上述條件且對稱軸平行于軸的拋物線條數(shù)是()（A）0條（B）7條（C）14條（D）無數(shù)條三、解答題（本大題共有5小題，滿分76分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）證明：；（2）若，求.18．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）如圖，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（1）在直線上是否存在一點，使得平面？請證明你的結論；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19．（本題滿分14分，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分）橢圓：，的短軸長等于焦距，在短軸上，且．（1）求橢圓的方程；（2）為坐標原點，過點的動直線與橢圓相交于兩點，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值．20.（本題滿分16分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分）已知數(shù)列中，，，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項的和；（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點列在某一直線上.21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分10分）對于函數(shù)與常數(shù)、，若對的定義域內的任意都成立，則稱為函數(shù)的一個“數(shù)對”．設函數(shù)的定義域為，且．（1）若是的一個“數(shù)對”，求；（2）若是的一個“數(shù)對”，且當時，求在區(qū)間上的最大值與最小值；（3）若是增函數(shù)，且是的一個“數(shù)對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由:①與；②與．高三數(shù)學練習卷班級學號姓名得分注意：本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）只要求直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1．設，若復數(shù)在復平面內對應的點位于實軸上，則.2．集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是___.3．二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為第3或5項.4．從5名志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導游、保潔三項不同的工作，每人承擔一項，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有48種．5．直線被雙曲線截得的弦長為.6．若函數(shù)是奇函數(shù)，則.3211112【解析】32111127.已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖中半圓直徑為2，則該幾何體的體積____．8．已知數(shù)列的通項公式為，則+++=．9．若等差數(shù)列的首項為公差為，前項的和為，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項為．類似地，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項為，公比為，前項的積為，則數(shù)列為等比數(shù)列，且通項為__________．10．設滿足約束條件，向量，且,則實數(shù)的最小值為.【解析】不等式對應的可行域是頂點為的三角形及其內部，由，得，可知在處有最小值．11．已知實數(shù)成等差數(shù)列，點在動直線（不同時為零）上的射影點為，若點的坐標為，則的取值范圍是．【解析】因為實數(shù)成等差數(shù)列，所以，方程變形為，整理為所以，即，因此直線過定點畫出圖象可得，點在以為直徑的圓上運動，線段的長度滿足即12．函數(shù)，若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是．解：令當時，，其中當且僅當時取得等號所以若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，只需，所以當時，，其中當且僅當時取得等號所以若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，只需，所以綜上可得，二、選擇題(本大題共有4小題，滿分20分)13．若與都是非零向量，則“”是“”的(C)（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件14．將函數(shù)圖象上的點向左平移（）個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則（A）（A），的最小值為（B），的最小值為（C），的最小值為（D），的最小值為【解析】點在函數(shù)上，所以，然后向左平移個單位，即，所以，所以的最小值為.15．如圖，在正方體中，當動點在底面內運動時，總有，則動點在底面內的軌跡是(D)（A）橢圓的一部分（B）雙曲線的一部分（C）拋物線的一部分 （D）圓的一部分解：因為滿足條件的動點在底面內運動時，動點的軌跡是以為軸線，以為母線的圓錐，與底面的交線即圓的一部分．16．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．若拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，則以這三個格點為頂點的三角形稱為拋物線的“內接格點三角形”．以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，若拋物線與網(wǎng)格對角線的兩個交點之間的距離為，且這兩個交點與拋物線的頂點是拋物線的內接格點三角形的三個頂點，則滿足上述條件且對稱軸平行于軸的拋物線條數(shù)是(C)（A）0條（B）7條（C）14條（D）無數(shù)條【解析】如圖，開口向下，經(jīng)過點（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=﹣x2+4x，然后向右平移1個單位，向上平移1個單位一次得到一條拋物線，可平移6次，所以，一共有7條拋物線，同理可得開口向上的拋物線也有7條，所以，滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是：7+7=14．三、解答題（本大題共有5小題，滿分76分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）證明：；（2）若，求.【解析】（1）證明：由正弦定理可知原式可以化解為∵和為三角形內角,∴則，兩邊同時乘以，可得由和角公式可知，原式得證。（2）由題,根據(jù)余弦定理可知，∵為為三角形內角，， 則，即 由（I）可知，∴ ∴18．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）如圖，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（1）在直線上是否存在一點，使得平面？請證明你的結論；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.解:（1）線段的中點就是滿足條件的點．證明如下：取的中點連結，則取的中點，連結，∵且，∴是正三角形，∴．∴四邊形為矩形，∴又∵，∴且，是平行四邊形．∴，而平面，平面，∴平面．（2）（法1）過作的平行線，過作的垂線交于，連結，∵，∴，是平面與平面所成二面角的棱．∵平面平面，，∴平面，又∵平面，,∴平面，∴，∴是所求二面角的平面角．設，則，∴，∴（法2）∵，平面平面，∴以點為原點，直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標系，則軸在平面內（如圖）．設，由已知，得．∴，設平面的法向量為，則且，解之得取，得平面的一個法向量為.又∵平面的一個法向量為．.19．（本題滿分14分，第1小題滿分5分，第2小題滿分9分）橢圓：，的短軸長等于焦距，在短軸上，且．（1）求橢圓的方程；（2）為坐標原點，過點的動直線與橢圓相交于兩點，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值．解：（1）由已知，點C，D的坐標分別為(0，－b)，(0，b)又點P的坐標為(0，1)，且＝－1于是，解得a＝2，b＝所以橢圓E方程為.(2)當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋1A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0其判別式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0所以從而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－所以，當λ＝1時，－＝－3，此時，＝－3為定值當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD此時＝－2－1＝－3故存在常數(shù)λ＝－1，使得為定值－3.20.（本題滿分16分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分）已知數(shù)列中，，，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項的和；（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點列在某一直線上.解：（1）將已知條件變形為由于，則（常數(shù)）即數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列所以，即（）．（2）（3）若，，成等差數(shù)列，則即，變形得由于若，且，下面對、進行討論：①若，均為偶數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；②若為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，解得；③若為偶數(shù)，為奇數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；④若，均為奇數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；綜上①②③④可知，只有當為奇數(shù)，為偶數(shù)時，，，成等差數(shù)列，此時滿足條件點列落在直線（其中為正奇數(shù)）上．（不寫出直線方程扣1