全國歷年高考數(shù)列試題大全

2011年高考題

一、選擇題

1.（天津理4）已知｛4｝為等差數(shù)列，其公差為-2,且%是%與%的等比中項(xiàng)，S“為

｛“”｝的前〃項(xiàng)和，nwN*，則與。的值為

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.（四川理8）數(shù)列｛""｝的首項(xiàng)為3,｛”｝為等差數(shù)列且〃=%+「/（〃6"*）.若則

瓦=-2,狐=12,則%=

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

［解析］由已知知2=2〃_8，。"+1_an=2〃_8,由疊加法

（%-q）+（%~~a2）---（6一％）=-6+—4+—2+0+2+4+6=0=＞。8=。|=3

3.（全國大綱理4）設(shè)S"為等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，若q=1,公差d=2,S*+2—S.=24,

則左=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）已知數(shù)列｛""｝的前n項(xiàng)和S”滿足：5+5,“=。+,,,且q=i.那么％。=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空題

5.（湖南理12）設(shè)S”是等差數(shù)列⑸｝（〃eN*）,的前〃項(xiàng)和，且4=1，%=7,

則邑=

【答案】25

6.（重慶理U）在等差數(shù)列（"J中，%+%=37,則42+%+&+。8=

【答案】74

7.（北京理11）在等比數(shù)列｛an｝中，al=2,a4=-4,則公比q=；

2"T-上

【答案】2

8.（廣東理11）等差數(shù)列.」前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若q=1，《+4=°,則

k=.

【答案】10

9.（江蘇13）設(shè)1"“…上。設(shè)其中勺，。3，。5，。7成公比為q的等比數(shù)列，。2M4M6

成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是

【答案】班

三、解答題

10.（江蘇20）設(shè)M部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列S，J的首項(xiàng)/=1,前n項(xiàng)和為S",

已知對任意整數(shù)kGM,當(dāng)整數(shù)〃>左時，S?+sn-k=2（S“+Sk）都成立

（1）設(shè)加={1}，生=2，求牝的值；

（2）設(shè)"={3,4},求數(shù)列{a“}的通項(xiàng)公式

本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查考生分析

探究及邏輯推理的能力，滿分16分。

解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)〃22時,=2（S,+SJ,

即（S"+「S"）—⑸一S,i）=2S1,

從而%-4,=2q=2,又4=2,故當(dāng)“N2時=4+2（"-2）=2〃-2.

所以為的值為8。

（2）由題設(shè)知,當(dāng)左e"=⑶我且〃>左時,SM=2S“+2S*

且S“+]+*+S”+\_k=2s“+|+2S

k9

兩式相減得?！?1+左+―+i=2?！?],即〃“+[+￡—j=an+[-an+}_k

所以當(dāng)〃之8時,a,一6,a,T，a”，%+3，4+6成等差數(shù)列，且4-6，q-2，?！?2，。，，+6也成等差數(shù)

從而當(dāng)“28時，2?！?%+3+%-3=q+6+“%-6?(*)

且an+6+an_6=an+2+an_2，所以當(dāng)〃28時,2%=an+2+*,

aaaa

即?+2-n=n-n-2于是當(dāng)"29時，。時3,4_|,??+1,??+3成等差數(shù)列，

從而%+3+%-3=/+1+4-1,

故由(*)式知2%=%+%，即?！?11an=a?-%?

當(dāng)〃29時，設(shè)"=%—

當(dāng)24根<8時，加+628,從而由(*)式知2冊+6=%,+%小

故2%,+7=%+1+am+13-

aa+

從而2(金+7-m+6)=m+\~%(4,+13~4+12),于是J-見“=2d-d=d.

因此，H=d對任意〃22都成立，又由S.+k+S“_*_2Sk=2Sk(ke｛3,4｝)可

知6-S")-⑸-Sj)=2&,故9d=2s3且16d=2s4,

a4=2",從而d=—d,a]=—.

解得2一22

因此，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，由q=i知"=2.

所以數(shù)列S"｝的通項(xiàng)公式為4=2〃-1.

11.(北京理20)

若數(shù)列'"=4M2,…,凡(〃-2)滿足,"+i一d=1優(yōu)=1,2,…，〃-1),數(shù)列4,為E數(shù)列,

記5(4,)=%+生+???+%.

(I)寫出一個滿足q=4=°,且s(4)〉0的E數(shù)列4.

(II)若.=即，n=2000,證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是%=2011；

(III)對任意給定的整數(shù)n(n>2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列4，使得，(4)=0?

如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列'〃：如果不存在，說明理由。

解：(1)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5)

(H)必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，

所以-ak=l(k=1,2,…,1999)

所以A5是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.

所以a2000=12+(2000—1)xl=2011.

充分性，由于a2000—alOOOWl,

a2000—al000<l

a2—al<l

所以a2000—aW19999,即a2000=al+1999.

又因?yàn)閍l=12,a2000=2011,

所以a2000=al+1999.

故。-%=1>0(%=12…,1999),即4“是遞增數(shù)列

綜上，結(jié)論得證。

(III)令4=%+i一4=1>0(左=1,2,…，〃-1),則c*=±1.

因?yàn)?=/+。+/=卬+。+G

aa

n=\+G+C2+…+c“+”

所以S(4)=〃％+(〃-l)G+(?-2)C2+(〃-3)03+…+c“_1

n(n—1)

=-2-------[(1-G)5-1)+(1-J)(〃—2)+???+(1_)].

因?yàn)閝=±L所以1-q為偶數(shù)(%=1,…，〃-1).

所以*1一。)(〃T)+(1一。2)(〃-2)+-一+(1-°“)為偶數(shù)，

義4,)=0,必須使如工

所以要使2為偶數(shù)，

即4整除〃(〃-1)，亦即〃=4m或〃=4m+\{meN*)

當(dāng)〃=4加+l(aeN*)時,E數(shù)列的項(xiàng)滿足a。=(J=0,a4b2=T4*=1

(左=1,2,…,M)時，有q=0,S(/“)=0;

a4k=1(左=1,2,…、機(jī)),。4*+1=0口寸,有卬=0,5(4,)=0;

當(dāng)"4m+1(旭6泗)時,碰列4,的項(xiàng)滿足,*=*3=0"2=T

當(dāng)〃=4加+2或〃=4加+3(加eN)時,加-1)不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An)

使得q=°，s(4〃)=0?

12.(廣東理20)

nbatt,“八

(?an=--------——(〃>2)

設(shè)b>0,數(shù)列短/滿足al=b,%T+2〃-2.

(1)求數(shù)列｛")的通項(xiàng)公式；

b"+',

Q〃——r+,

(2)證明：對于一切正整數(shù)n,2n+,

解：

八、八左nnba,_in12n-1

q=b>0,知a“=--------———>0,——=-+---------

(1)由QT+2〃—2anbb%

令凡十%

b

12

n>2時,A=-+-A.

當(dāng)'bb

122-22"T

=----1-----d-------FH---------.

bb2bn

①當(dāng)602時,

b"-2"

b"(b-2)‘

n

6=2時,4

②當(dāng)2

nb"(b-2)

,6/2

bn-T

2,b=2

只需證加*"+i)=

an

(2)當(dāng)6*2時,（欲證b"-2"2"+,2,,+1b-2)

hn_2〃

(2，用+)——二=(2n+l+bn+')(6'i+2b"-2+???+2"")

b-2

=2,,+lh"-'+2n+2b"-2+---+22n+h2n++.??+2n-'bn+'

=2,夕(1三+…+**”+..一)

bb2b"2"2""2

>2""(2+2+…+2)=2〃?2"b"=〃-b"

nb"(h-2)bn+l

+1.

bn-T尹

hn+',

aK—r+1.

綜上所述2屆

13.(湖北理19)

已知數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為日,且滿足：⑦=4(。片0),a“+1=rS”(〃eN*,

r￡R.rH-1)

(I)求數(shù)列｛“”｝的通項(xiàng)公式；

(II)若存在上CN*,使得&+i,Sk,S?+2成等差數(shù)列，是判斷：對于任意的m^N*,

且機(jī)22,板+1,a%以，+2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般

的思想。(滿分13分)

解：(D由已知凡+|='￡"，可得為+2=4.+1,兩式相減可得

4+2-6用=r(5加一百,)=

即％+2=(〃+1)%+1，

又生=叼="所以.0時，

數(shù)列｛",?｝為：a,0,…，0,…；

當(dāng)時,由已知"Q所以(〃eN*),

H1=〃+1（〃€N*）

于是由""2=（r+1）（+1，可得4+1,

02M3,…，（+…成等比數(shù)列,

.?.當(dāng)nN2時a?=r（r+l）n-2a.

f

4〃=1，

d=s

綜上，數(shù)列缶"｝的通項(xiàng)公式為n[r（r+l）n~2a,n>2

（II）對于任意的他eN”,且加？2,,%+2成等差數(shù)列，證明如下:

a,n=l,

Um—s

當(dāng)LO時，由（I）知，[0,”?2

二對于任意的加eN*,且加上2,%+],%,%2成等差數(shù)列，

當(dāng)rwO,廠力一1時，

S*+2=st+ak+l+ak+2,Sk+t+ak+v

若存在"eN*,使得Sk+i,S、,Sk+2成等差數(shù)列，

則S?+i+S*+2=254,

?12Sk+2%+]+%2=2S*,即a*+2=—2ak+],

由（I）知,“2，%，…4,…的公比/+1=-2,于是

對于任意的meN',且加之2,4+]=-2am，從而。，2=4a,“，

??am+\+。,”+2=2a,”,即6“+],4?,<7,”+2成等差數(shù)列，

綜上，對于任意的機(jī)^"’,且”,2,a,“+|,a,“,4+2成等差數(shù)列。

14.（遼寧理17）

已知等差數(shù)列｛an｝滿足a2=0,a6+a8=-10

（I）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

悖r｝

（II）求數(shù)列U」的前n項(xiàng)和.

解：

q+d=0,

(I)設(shè)等差數(shù)列｛“"｝的公差為d,由已知條件可得2a]+12d=-10,

q=1,

V

z/--1

m1-

故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=2-九...........5分

｛黑｝的前〃項(xiàng)和為S,S,,=q+年+…+券，故S|=1

(II)設(shè)數(shù)列2,即

s“/：%上,4

---------1------卜…H-----?

2242〃

所以，當(dāng)〃>1時，

S"_~,an-an-\a?

—a++,,,+,

222“T2"

,1112—〃、

=1-(-+—+???+—：-------)

242"i2"

=1-(1--

2n~'2"

n

'r'

12分

15.（全國大綱理20）

111.

設(shè)數(shù)列｛"/滿足q=o且1一%+11一4“

求｛""｝

(I)的通項(xiàng)公式;

b,=，記S,,=Z&證明：S〃<1.

(II)設(shè)4=1

解：

---^=L

(I)由題設(shè)1-%+11-4

｛「｝

即l~a"是公差為1的等差數(shù)列。

1,,,1

----=1,故-----=〃.

又1-qi-aH

a?=】」.

所以〃

（II）由（I）得

yjn+\-Jn

J_____1_

&而T,.......8分

S"=￡n"=￡z,（石1--71^=）=1--71=^<1-

k=｝Ar=l7k7k+\.......]2分

16.（山東理20）

等比數(shù)列｛""｝中，4，%，%分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且.，4，%中的任

何兩個數(shù)不在1;表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

（I）求數(shù)列｛"/的通項(xiàng)公式;

（II）若數(shù)列｛4｝滿足:b?=%+（T）卜%,求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和S”.

解：（D當(dāng)q=3時，不合題意;

當(dāng)q=2時，當(dāng)且僅當(dāng)4=6,%=18時，符合題意;

當(dāng)q=10時，不合題意。

因此q=2,叼=6,%=18,

所以公式q=3,

故％=2?3"T.

(II)因?yàn)椤?%+(7)"M%

=2-3fl-|+(-l)n(2-3,,-1)

=2?3"-1+(-l)B[ln2+(?-1)In3]

=2?3"T+(-l)"(ln2-ln3)+(-1)"〃In3,

所以

2n2,(

52?=2(1+3+---+3-')+[-l+1-1+???+(-l)"](ln2-ln3)+[-l+2-5+---+(-l)H]ln3,

所以

=2xl^-+-ln3

當(dāng)n為偶數(shù)時，1一32

n

=3"+三出3—1;

1-3Mn-\

S=2x--—(ln2-ln3)+(-----〃)ln3

當(dāng)n為奇數(shù)時，1-32

/7—1

=3",rL2.in3_in2-i.

2

綜上所述，

3"+41n3-1,〃為偶數(shù)

s=2

3n-^—!-ln3-ln2-l,n為奇數(shù)

2

17.(上海理22)已知數(shù)列｛"J和也｝的通項(xiàng)公式分別為4=3〃+6,a=2〃+7

(〃wN*),將集合

*|x=%,”eN*｝U｛x|x=b“,〃wN*｝中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列

(J)求。1，。2，。3，。4；

(2)求證：在數(shù)列死”｝中.但不在數(shù)列｛"J中的項(xiàng)恰為生，%，…，％”，

(3)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。

解：⑴G=9,0=11?=12,Q=13；

(2)①任意neN*,設(shè)a2n-\=3(2〃.1)+6=6〃+3==2%+7,則左=3〃一2,即

a2n-\-

②假設(shè)％〃=6〃+6=4=2A+7-=3〃-5€“（矛盾）一.，3也}

/.在數(shù)列EJ中.但不在數(shù)列也J中的項(xiàng)恰為出，％，…，。2"，…。

⑶b3k_2=2（3左一2）+7=6左+3=a2k_}

Ai=6k+5=6k+6h-..=6Zr4-7

On1,Z/C,JK

?.?6左+3<6%+5<6%+6<6左+7

...當(dāng)左=］時，依次有4=q=C］，4=Q,42=03，4=。4,..........

6左+3（〃=4左一3）

6k+5（n=4k-2）*

c=<,kwN

〃6左+6（〃=4J）

.6k+7（4=4左）

??o

18.（天津理20）

,,人3+（-ir

,.Ml.fh］^.b?a“+an+i+”+必“+2=。n也=-.

已知數(shù)w列‘J與i"J滿足：2,〃eN,且

—2,4?2=4

(I)求生M4M5的值;

(ID設(shè),證明：｛%｝是等比數(shù)列;

（III）設(shè)1=%+%"eN，證明:爵+，")

本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜

合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.

,3+（-1）"...

b“=---,〃wN,

（I）解：由2

1,〃為奇數(shù)

2,n為偶數(shù)

可得

又〃4+4+1+2+4+2=°，

當(dāng)n=l時,a,+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,15J^a3=-3;

當(dāng)n=2時,2a2+a3+a4=0,可得a4=-5;

當(dāng)n=3時，a3+a4+2a5=0,可得=4.

(ID證明：對任意〃eN*,

a2n-\+a2n+2a2”+l=°，①

2。2"+a2n+l+a2n+2=°，②

a2n+l+a2n+2+2%“+3=0,③

②―③，得%〃=。2〃+3-(?)

將④代入①，可得"2〃+1+%+3=~(a2n-l+。2"+|)

即C〃+i=-%(〃€/)

又《=%+%=-1,故C,產(chǎn)0,

—=-1,所以￡}

因此是等比數(shù)列.

(III)證明：由(II)可得°2￡一|+%+1=(T);

于是，對任意左eN*且左22,有

q+/=T

一(%+%)=-1，

%+%=T

(T)"0"3+02%-1)=-1.

將以上各式相加，得q+(-1)"-1),

即。2"1=(-1)""(%+1),

此式當(dāng)k=l時也成立.由④式得知=(T廣(4+3).

從而S?*=(。2+4)+(%+/)+…+(%"2+a4k)=-k,

$2*-1=^2k~%*=左+3.

所以，對任意〃eN*,〃N2,

4=1%w=l%巾-3°4加-2^4/n-l04m

n2M+22m-\2M+32m、

z(------+-----)

m=\2m2m+22m+12m+3

=y(+---------------)

￡2加(2加+1)(2加+2)(2m+2)

2s53

2x3￡2加(2機(jī)+1)(2〃+2)(2"+3)

1S53

3￡(2加—1)(2〃?+1)(2〃+2)(2〃+3)

-+--[(---)+(--7)+-+(---)]+(2w+2)(2w+3)

=---1---------------------1-------------------------

3622〃+1(2〃+2)(2〃+3)

7

<—.

6

對于n=l,不等式顯然成立.

所以，對任意"WN*,

SSS

\]2t...)^2?-112n

a\%a2n-\&2n

+

%%

=(1-------)+(1---$----5--------弓---)+…+(1-------------)

4124242-(42-1)4〃(4〃—1)

11121n

=H-(1--)-(——4----)_…―(-----1----------------)

4124242(42-1)4〃4〃(4〃-1)

/L1

</7-(—+—)=.

19.(浙江理19)已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng).為a

），設(shè)數(shù)列的前n

111

項(xiàng)和為E，，且.，％,%成等比數(shù)列

(1)求數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)公式及S，，

1111D1111

An--+—+—+.?.+—紇=—+—+—+???+—

⑵記Es2S3s“,q4%%”，當(dāng)〃之2時，試比較4

與紇的大小.

本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識，同時考查分類討論思想。

滿分14分。

11

(I)解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由gq4

得(q+dp=q(%+3d)

在(〃+1)

a—叫，3“=--------.

因?yàn)椤ü?,所以d=Q所以n2

」(一)

(II)解：因?yàn)镾"an〃+1,所以

1

)

4〃+1

因?yàn)?2"%,所以

當(dāng)〃22時,2"=C；+C：+C：+…+C：>”+1

所以，當(dāng)時，4<紇；

當(dāng)a<0時,An>B”.

20.(重慶理21)

設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列標(biāo)"｝的前n項(xiàng)和S”，滿足8川=+瓦(〃eN)

(I)若/-2a2成等比數(shù)列,求S2和生；

4

k23有0<ak+i<ak<-

(II)求證：對3

年二-2"，得￡=_2S2

(I)解：由題意卜2=%'=q%，

由S2是等比中項(xiàng)知$2H0?因此S2=-2.

由其+%=S3=43s2解得

S-22

q=-----2--=--------=—.

352-1-2-13

（II）證法一：由題設(shè)條件有S，，+a”+i=4+戶0,

故S“-l。田一1

從而對有

?3

aa

k-t~k-\+1=(4-1_卓2+：>OJla；TNO>0

因24,由①得

40k-i<&

—2,1―￡，

要證3,由①只要證1-1.4-1+1

即證3。；-1<4(a：_]—4-i+1),即(4-1一2)220.

此式明顯成立.

4

ak<-(k>3).

因此3

%=-......>ak,

最后證氏.若不然4—4+1

2

ak>0,故—>1,即(%-1)<0.

又因ak-ak+1矛盾.

因此“*+i-ak(^-3)-

證法二：由題設(shè)知S"+i=S”+。,川=4用S”，

故方程一-S,+J+S,+]=°有根(可能相同)

因此判別式△=S,+i-4S“+]>0.

S.+2=S用+an+2=4+2。用得4+2中1月S+|=—吟■

又由凡+211

<0

04%+2

解得4-

4

。4%壬(k>3).

因此

/23)

由,得

因此4+1?4(Z23).

2010年高考題

一、選擇題

1.(2010浙江理)⑶設(shè)S,為等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，8%+%=0,則'=

(A)11(B)5(C)-8(D)-11

解析：通過8%+%=°，設(shè)公比為4,將該式轉(zhuǎn)化為8a2+%/=°，解得4=2帶入所

求式可知答案選D,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，

屬中檔題

2.(2010全國卷2理)(4).如果等差數(shù)列｛%｝中，/+4+%=12,那么a1+a2+...+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).

【解析】％+%+%=3-12必=4,—%=智次=7%=28

3.(2010遼寧文)(3)設(shè)S,為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知3s3=4—2,3S2=a3-2,

則公比q=

(A)3(B)4(C)5(D)6

【答案】B

a

解析：選B.兩式相減得，3。3=%-。3，4=4i73,.,.<7=—=4.

4.(2010遼寧理)(6)設(shè)包｝是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和。已知a2a4=1,53=7,

則S$

(A)“313317

⑻7(C)(D)

2Ty

【答案】B

【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了同學(xué)們解決問題的能

力。

【解析】由a,a4=l可得=因此又因?yàn)镾3=6(l+q+d)=7,聯(lián)力兩式

4一

1114-(1一彘)31

有(一+3)(——2)=0,所以q=—，所以S§=------7一=二，故選B。

qq21」4

2

5.(2010全國卷2文)(6)如果等差數(shù)列｛%｝中，<73+<74+<75=12,那么4+生+……+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【解析】本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識。

..%+%+出=12.%=4%+%+…+%=gx7x(q+%)=7%=28

?f??

6.(2010安徽文)⑸設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S,,=〃2,則%的值為

(A)15(B)16(C)49(D)64

【答案】A

【解析】4=$8-57=64-49=15.

［方法技巧】直接根據(jù)an=Sn-S“T(〃>2)即可得出結(jié)論.

7.(2010浙江文)(5)設(shè)s,為等比數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和,8%+%=。則鳥"=

邑

(A)-ll(B)-8

(C)5(D)ll

解析：通過8%+%=0,設(shè)公比為q,將該式轉(zhuǎn)化為8%+%/=0,解得q=-2,帶入所

求式可知答案選A,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

8.(2010重慶理)(1)在等比數(shù)列｛4｝中，4010=8。20。7，則公比q的值為

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

解析：詠=/=8...=2

a2007

9.(2010廣東理)4.已知｛q｝為等比數(shù)列，Sn是它的前〃項(xiàng)和。若。2?%=2q,且％與

2%的等差中項(xiàng)為:，則S$=

A.35B.33C.31D.29

【答案】C

解析：設(shè)｛?！埃墓葹閝,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，%，仆=4=2q，即4=2。由%

與2%的等差中項(xiàng)為*知，4+2%=2x3，即％=1(2x3—()=1(2*』-2)=!.

Q11

373

即

2即6

=--=-==qX-=q=

88

。4

10.(2010廣東文)

4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，K是它的前”項(xiàng)和.若％且4與

2%的等差中項(xiàng)為:，則S5=

LB.J3C31D.^29

2

解：a??a?=。闖?atq=2ax==2

.3、5_.a51q2./

。4+2a4q=2x——.A+4q=——q=一,a】=—f=——=16

422gl

y

1aT)i

故：SS=----手-=32(1-5)=32-1=31,選C

1——■

■2

11.(2010山東理)

(9)設(shè)｛aj是等比數(shù)列，則"a：<生<a」是數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件、

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條住

【答案】C

【解析】若已知aja2<a3，則設(shè)數(shù)列｛aj的公比為q，因?yàn)閍i<az<a3，所以有aiVa^vaiq?,解得q>l,

且%>0,所以數(shù)列｛aj是遞噌數(shù)列：反之，若數(shù)列｛aj是遞噌數(shù)列，則公比q”且%>0,所以

a^a^ajq2,即21<軟2<%，所以ajaz<23是數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列的充分必要條件.

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識，屬保分題.

12.(2010重慶文)(2)在等差數(shù)列｛q｝中，6+4=10，則%的值為

(A)5(B)6

(C)8(D)10

【答案】A

解析：由角標(biāo)性質(zhì)得q+%=2%，所以%=5

二、填空題

1.(2010遼寧文)(14)設(shè)S“為等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，若S3=3,$6=24,則

S3=3q+d=3

"2a=-1

解析：填6J，解得,],/.%=q+84=15.

S6=6q+^d=24d=2

2.（2010福建理）11.在等比數(shù)列｛aj中,若公比q=4,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通

項(xiàng)公式

【答案】4n-'

11

（解析]由題意知q+4q+16q=21,解得q=1,所以通項(xiàng)an=4"。

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

3.（2010江蘇卷）8、函數(shù)y=x2（x>0）的圖像在點(diǎn)3，/）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+l,k

為正整數(shù)，。/=16,則。/+。3+。5=

解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)。

在點(diǎn)3,a/）處的切線方程為：y-aj=24（x-a*）,當(dāng)y=0時，解得》=會，

所以4+]=~<7|+牝+。5=16+4+1=21。

三、解答題

1.（2010上海文）21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第一個小題滿分6分，第2個小

題滿分8分。

已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且S“=〃—5?！啊?5,〃eN*

⑴證明：｛?,—1｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛S,,｝的通項(xiàng)公式，并求出使得S,㈤>S,,成立的最小正整數(shù)〃.

解析：（1）當(dāng)〃=1時，。產(chǎn)-14；當(dāng)“N2時，a“=S,-S“_i=-5a“+5%_|+l,所以q,-1=之應(yīng)--1），

6

又6-1=-154，所以數(shù)列｛恁-1｝是等比數(shù)列；

（2）山⑴知：4一1=一15.圖，得4=1一15.0，從而

…?周+〃一90(weN*)；

由S”+1>S”,得⑶<-,n>log5—+1?14.9,最小正整數(shù)〃=15.

⑹5q25

2.（2010陜西文）16.（本小題滿分12分）

已知｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，卬=1,且苗，的，出成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)；（II）求數(shù)列｛2°"｝的前M項(xiàng)和S?.

解（I）由題設(shè)知公差存0,

由0=1,G，的，方成等比數(shù)列得匕過=匕以，

11+2d

解得d=l,d=0（舍去），故｛恁｝的通項(xiàng)%=1+（〃-1）xl=〃.

（11）由（1）知2""=2〃，山等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

23n

Sm=2+2+2+...+2=2。二2）=2田-2.

1-2

3.（2010全國卷2文）（18）（本小題滿分12分）

已知｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且

C/11、，“111、

Q]+—2（—I—）,%+%+4=64（—I----1—）

q%。3a4a5

（I）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

2

（II）設(shè)",=（an+—）,求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和7；。

【解析】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)、前〃項(xiàng)和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。

（1）設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于4與d的方程求得《與“，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）由（1）中求得數(shù)列通項(xiàng)公式，可求出BN的通項(xiàng)公式，由其通項(xiàng)公式化可知其和可分

成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。

4.（2010江西理）22.（本小題滿分14分）

證明以卜命題：

（1）對任一正整a,都存在整數(shù)b,c（b<c）,使得h2,0?成等差數(shù)列。

（2）存在無窮多個互不相似的三角形△“，其邊長仆，bn,q,為正整數(shù)且a：,b；,cj

成等差數(shù)列。

【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。

(1)考慮到結(jié)構(gòu)要證/+c?=2b2,；類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊。

證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值F,52,72滿足等差數(shù)列，只需取b=5a,c=7a,對一切正整

數(shù)a均能成立。

結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角

形，再證明互不相似，且無窮。

證明：當(dāng)片，b：,c：成等差數(shù)列,則片—a：=c：—b；,

分解得：(bn+an)(b?-??)=(%+幻(c“-勾)

選取關(guān)于n的一個多項(xiàng)式，4〃(〃2一1)做兩種途徑的分解

4〃(〃2-1)=(2〃-2)(2/+2〃)=(2n2-2〃)(2〃+2)4n(n2-1)

an=rr-2n-\

對比目標(biāo)式，構(gòu)造，〃="+1(?>4),由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，

cn=+2〃-1

考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正整數(shù)m,n,若,△n相似：則三邊對應(yīng)成比例

m2-2m-l_w2+l_w2+2m-1

n2-2n-1n2+1n2+2n-\

nj—\n7+1

由比例的性質(zhì)得：——=——nm=〃，與約定不同的值矛盾，故互不相似。

n-\〃+1

5.（2010安徽文）(21)(本小題滿分13分)

設(shè)…,Q,…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在X軸的正半軸上，且都與直線

V=[x相切，對每一個正整數(shù)n，圓C?都與圓C“+I相互

外切，以心表示C“的半徑，已知匕｝為遞增數(shù)列.

(I)證明：匕｝為等比數(shù)列；

第(21)題圖

（H）設(shè)4=1,求數(shù)列｛二｝的前〃項(xiàng)和.

r?

【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括

能力以及推理論證能力.

【解題指導(dǎo)】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)Q的圓心為（4,0）,得4=2/;,同理得

2?+]=2不?，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即匕｝中心1

V）

與G的關(guān)系，證明匕｝為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求匕｝的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列一，

rn

然后用錯位相減法求和.

解：⑴將直線y=^x的傾斜角記為，則有tan樂也,sin?！?，

332

設(shè)Q的圓心為（4，0）,則由題意得知?=：,得人=2%；同理

42

4+1=2\+1，從而4+1=Ai+二+i+i=2%+1，將人=2、代入，

解得『=31；