(A)48(B)32+8V17(Q48+8V17(D)80

(7)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的專(zhuān)電是

(A)所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)(B)所有不能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)

(C)存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)(D)存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)

(8)設(shè)集合A={l,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},則滿足SqA且SDBH。的集合S的個(gè)數(shù)是

(A)57(B)56(C)49(D)8

(9)已知函數(shù)/(x)=sin(2x+e),其中8為實(shí)數(shù)，若/(》)<|/(。)|對(duì)xeR恒成立，且

>/(萬(wàn))，則/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(A)kK-^,k7C+^(keZ)TT

(B)k7i,kji+—(kG2)

TT27r71

(C)k兀+—，k兀+——(keZ)(D)k兀——,k7T(kGZ)

63

(10)函數(shù)/(x)=ax"(1—x)”在區(qū)間［0,1］上的圖像如圖所示，則m,n的值可能是

(A)m=l,n=l(B)m=l,n=2(C)m=2,n=l(D)m=3,n=l

第II卷(非選擇題共100分)

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。

(11)如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出

結(jié)果是.

2

(12)設(shè)(x—1)~'—ci0+ciyX+tz2x+…+a2］%/，

則al0+aH=.

(13)已知向量a,b滿足(a+2b)?(a-b)=-6,且

|a|=l,|b|=2,則a與b的夾角為.

(14)已知/ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°,并且三邊

長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則/ABC的面積

為.

(15)在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù),

第11題圖

就稱(chēng)點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn)?下列命題中正確的是.(寫(xiě)出所有正確的編號(hào))。

①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)

②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)

③直線1經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)1經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)

④直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)

⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線

三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。解

答寫(xiě)在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)。

(16)(本小題滿分12分)設(shè)/(x)=』w，其中a為正實(shí)數(shù).

1+ax

4

(I)當(dāng)時(shí)，求/(x)的極值點(diǎn)；(II)若/(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍

(17)(本小題滿分12分)如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)

0在線段AD上，OA=1,0D=2,Z10AB,ZIOAC,/ODE,/ODF都是正三角形.

第(17)題綜合法解答用圖第C17)題向量法解答用圖

(I)證明直線BC〃EF;(II)求棱錐F-OBED的體積.

(18)(本小題滿分13分)在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的

等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作7；,再令4=lg<,n》l.

(I)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)仇=tana“-tan4+1,求數(shù)列也,｝的前n項(xiàng)和.

(19)(本小題滿分12分)(I)設(shè)證明L+

xyxy

(II)設(shè)ivaWbWc,iiE0^logfl/>+log&c+logfa<logfea+logcb+logac.

(20)(本小題滿分13分)工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只

派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘。如果前一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能

完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人，現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任

務(wù)的概率分別為P”P(pán)2，P3,假設(shè)P”P(pán)2，P3互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互

獨(dú)立。

(I)如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€(gè)人

被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？

(II)若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的

概率依次為％,%,%,其中是P\,P2,P3的一個(gè)排

列，求所需派出人員數(shù)目X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)

EX；

(III)假定1>8>P2>試分析以怎樣的先后順序派

出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)達(dá)

到最小。

(21)(本小題滿分13分)設(shè)/1>0,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),

第21題圖點(diǎn)B在拋物線y=f上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q滿足做=幾切，經(jīng)過(guò)

點(diǎn)Q與x軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)P滿足

QM=AMP,求點(diǎn)P的軌跡方程。

數(shù)學(xué)(理科)試題參考答案

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分50分.

(1)A(2)C(3)A(4)B(5)D(6)C(7)D(8)B(9)C(10)B

二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分25分.

(11)15(12)0(13)—(14)1573(15)①③⑤

3

三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

(16)本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。求解一元

二次不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，綜合分析和解決問(wèn)題的能力。

解：對(duì)/(x)求導(dǎo)得f\x)=e*1+依2二2尸①

(1+OX)

411

(I)當(dāng)時(shí)，若/'(x)=0,則4/—8X+3=0,解得玉

結(jié)合①，可知

X/1、3/3、

(-8,])弓,|)(于+8)

22

+00+

/(x)—

/極大值極小值/

/(X)

所以，無(wú)3是極小值點(diǎn)，X,=上1是極大值點(diǎn)。

222

(H)若/(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則/'(x)在R上不變號(hào)，結(jié)合①與條件a>0,知

ax2-lax+1>0

在R上恒成立，因此△=4<?-4。=4a(a-l)WO,由此并結(jié)合a>0,知0<aWl.

(17)本題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間直線平行的證

明，多面體體積的計(jì)算等基本知識(shí)，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力。

(I)(綜合法)

證明：設(shè)G是線段DA與線段EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，由于4OAB與aODE都是正三角形，所

以0B〃1OE,0B=工OE,OG=OD=2

22

同理，設(shè)G'是線段DA與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有OG'=0D=2,又由于G和G'都在線段

DA的延長(zhǎng)線上，所以G與G'重合。

在AGED和4GFD中，由0B〃4DE,OB=」OE和0C〃，0C=」，可知B,C分別是

2222

GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是aGEF的中位線，故BC〃EF.

(向量法)過(guò)點(diǎn)F作FQJ_AD,交AD于點(diǎn)Q,連QE,由平面ABED,平面ADFC,知FQJ_平面

ABED,以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦為x軸正向，而為y軸正向，存為z軸正向，建立如圖所

示空間直角坐標(biāo)系。由條件知E(V3,0,0),F(0,0,V3),B(―,0),C(0,

22

-1,與)"則有，前=(一母,0,母)，EF=(-73,0,73)=所以方=2就，即得

BC〃EF.

(H)解：由OB=1,OE=2,ZEOB=60°,知$￡08=立,而^OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

2

a/a

故SOED=V3,所以SOBED=SEOB+SOED=-。過(guò)點(diǎn)F作FQ1AD,交AD于點(diǎn)Q,由平面ABED

2

_1O

，平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=有，所以VROBED=-FQ-SOBED=-。

32

(18)本題考查等比和等差數(shù)列，對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查

靈活運(yùn)用基本知識(shí)解決問(wèn)題的能力，創(chuàng)新思維能力和運(yùn)算求解能力。

解：(I)設(shè)名1…4+2構(gòu)成等比數(shù)列，其中4=1,%2=100,則

(=44…工，+1匕+2①

(=*24+1…A4②

①X②并利用3T=24+2=102,(1</<n+2),得窘=102<"+2)

???an=\gTn=n+2,n>\.

(II)由題意和(I)中計(jì)算結(jié)果，知仇=1211(〃+2)-211(〃+3),〃21,另一方面，利用

1z/71、，、tan(Z:+1)-tank㈤〃八.tan(k+1)-tank.

tan1=tan((&+1)—％)=——-------------得tan(Z+1)?tan攵=-----』--------1

1-tan(Z+1)-tanktan1

所以

nn+2

=Ztan(攵+1)-tank

/=li=3

皆tan(Z+1)-tan女］、

z------r-;--------1)

=tanl

tan(n+3)-tan3

=-----------------n

tanl

(19)本題考查不等式的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)換底公式等基本知識(shí)，考查代數(shù)式的

恒等變形和推理論證能力。

111)

證明：(I)由于xel,y》l,所以x+yd---4一十—+孫=孫(1+y)+1<y+x+(xy)

xyxy

將上式中的右式減左式，得

(y+x+(xy)2)-(盯(x+y)+1)

=((孫)2-1)-(孫(X+>)-(X+>))

=(孫+1)(孫-1)一(x+y)(xy-1)既然x'l,yNl,所以(Xy_l)(x_l)(y_l)20,從而

=(孫—1)(孫—x—y+l)

=(xy-i)(尤-D(y-i)

所要證明的不等式成立。

(II)設(shè)logab=x,log/,c=y,由對(duì)數(shù)的換底公式得

log1.a=—,logfca=—,log(,b=—,logflc=xy，于是，所要證明的不等式即為

xyxy

++L+其中x=log”b>\,y-10gz.c>1

xyxy

故由(I)立知所要證明的不等式成立。

(20)本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值等基本知

識(shí)，考查在復(fù)雜情境下處理問(wèn)題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類(lèi)討論

思想，應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)。

解：(I)無(wú)論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是(1-0)(1-/72)(1-23)，

所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)人被派出的先后順序無(wú)關(guān)，并等于

1一(1一)(1一"2)(1一外)=Pl+，2+P3-P1P2-Pl，3~，2,3+P\P1Pi

(II)當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為名,%,%時(shí)，隨機(jī)變量X的分布列

為

X123

P

4。-1)%(1-1)(1-%)

所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是

EX=功+（1—彷）%+（1-％）（1-%）

=3-2%-%+功％

（IH）（方法一）由（II）的結(jié)論知，當(dāng)甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí)，

EX=3_2q_%+41%

根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值。

下面證明：對(duì)于0,02，23的任意排列1，%，%，都有

3-20—%N3—2Pl—“2+P10（*）

△=（3-2%-%+5%）-（3-28-。2+P1P2）

=2（0|一。|）+他一%）"。2+%%

事實(shí)匕=2（Pl―/）+（22一%）一（Pl一名）。2一名（。2一%）

=（2—，2）（P1—％）+（1一%）（，2-%）

2（1—%）［（P［+〃2）—（4+%）］

>0

即（*）成立。

（方法二）（i）可將（H）中所求的EX改寫(xiě)為3-（0+%）+%%-0，若交換前兩人的

派出順序，則變?yōu)?-（0+%）+0%—%。由此可見(jiàn)，當(dāng)%>4時(shí)，交換前兩人的派出順

序可減少均值。

（ii）也可將（II）中所求的EX改寫(xiě)為3-21-（1一彳）%,若交換后兩人的派出順序，

則變?yōu)?-21-（1一［）1。由此可見(jiàn)，若保持第一個(gè)派出的人選不變，當(dāng)%時(shí)，交換

后兩人的派出順序也可減少均值。

綜合（i）（ii）可知，當(dāng)（P1,P2，P3）=（5，%，/）時(shí)，EX達(dá)到最小。即完成任務(wù)概率大的

人優(yōu)先派出，可減少所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的。

（21）本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質(zhì)與運(yùn)算，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等基

本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

解：由QM=AMP知Q,M,P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)

P（x,y）,Q（x,yo）,M（x,x2）,則x2一%=熊>一x?）,即

%=（1+A）x2-Ay①

再設(shè)B(X],))|),由BQ=/IQA,即(尤一西,為一凹)="1一匕1一%),解得

Xj=(1+A)x—4,

②將①式代入②式，消去處,得

x=(1+團(tuán)兒—2

x]=(1+A)x-A,

X=(1+A)~%2—A(1+4)y—A.

又點(diǎn)B在拋物線y=/上，所以必=~2,再將③式代入y=x；,得

(1+A)2x2-/l(l+A)>'-^=((1+X)x-A)2,整理得

22(l+；l)x—4(1+4)口一4(1+；1)=0,因；1>0,兩邊同除以；1(1+4),得

2x-y-1=0,故所求點(diǎn)P的軌跡方程為y=2x-1。

2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(理)(北京卷)

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng)。

1.已知集合P={xIX2<1},M={a}.若PUM=P，則a的取值范圍是

A.(-oo,-1]B.[1,4-00)

C.[-1,1]D.(-oo,-1]U[1,+oo)

i-2

2.復(fù)數(shù)

l+2z

433

A.iB.-iC.-------zD.一一+-

555

3.在極坐標(biāo)系中，圓p=-2sin6的圓心的極坐標(biāo)系是

A.(l,y)B.(1,一9

C.(1,0)D.(1,4)

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為

A.-3

D.2

5.如圖，AD,AE,BC分別與圓O切于點(diǎn)D,E,F,

延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G。給出下列三個(gè)結(jié)論:

①AD+AE=AB+BC+CA；

@AFAG=ADAE

③AAFB-AADG

其中正確結(jié)論的序號(hào)是

A.①②B.②③

C.①③D.①@③

6.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工作組裝第x件某產(chǎn)品所

—f=,x<A,

用的時(shí)間(單位：分鐘)為/")=.(A,C為常數(shù))。已知工人組裝第4件產(chǎn)

^X-A

品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么C和A的值分別是

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

7.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是

A.8B.6A/2C.10D.8亞

8.設(shè)A(0,0),B(4,0),C(f+4,4),￡>a，4)(feR).記

N(f)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)的

個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)

側(cè)(左)視圖

N(f)的值域?yàn)?/p>

A.{9,10,11}B.{9,10,12}

C.{9,11,12}D.{10,11,12]

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

TT

9.在AABC中。若b=5,Z.B=—,tanA=2,則sinA=；a=。

4

10.已知向量a=(也,1),b=(0,-1),c=(k,A/3)。若a-2b與c共線，則

k=___________________0

11.在等比數(shù)列{an}中，a產(chǎn);，a4=-4,則公比q=；

同+同+…+㈤=。

12.用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有個(gè)。

(用數(shù)字作答)

一,x22

13.已知函數(shù)/(犬)=r若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，貝IJ數(shù)k的

(x-l)3,x<2

取值范圍是

14.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0)和F「2(1,0)的距離的積等于常數(shù)

的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；

②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積大于ga?。

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是。

三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

15.(本小題共13分)

TT

已知函數(shù)/(x)=4cosxsin(x+—)-1。

6

(I)求/(X)的最小正周期：(II)求/(X)在區(qū)間-士TT，士TT上的最大值和最小值。

64

16.(本小題共14分)

如圖，在四棱錐尸―ABC。中，PAJ.平面A8CO,底面A8C0是菱形，

AB=2,NBAO=60°.

(I)求證：80,平面PAC;(H)若PA=A8,求尸8與AC所成角的余弦值;

(III)當(dāng)平面尸與平面尸。。垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).

17.本小題共13分

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹(shù)棵樹(shù)。乙

組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示。

甲組乙組

990X89

1110

(I)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹(shù)棵樹(shù)的平均數(shù)和方差；

(H)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵樹(shù)Y

的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(注：方差$2=斗(玉-X)+(尤2-*+…+其中尤為王，x2.....X”的

平均數(shù))

18.(本小題共13分)已知函數(shù)/(x)=(x—

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(H)若對(duì)于任意的xe(0,+8),都有/(%)<-,求％的取值

e

范圍。

2

19.(本小題共14分)已知橢圓G:土+V=1.過(guò)點(diǎn)(肛0)作圓2=1的切線/交橢

4'

圓G于A,B兩點(diǎn).(D求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(II)將|A8|表示為巾的函數(shù),

并求|AB|的最大值.

20.(本小題共13分)若數(shù)列4=%,生「“,凡(〃>2)滿足,同一q|=1(%=1,2,...,〃一1),

數(shù)列A,為E數(shù)列，記S(A.)=q+a2+...+an.

(I)寫(xiě)出一個(gè)滿足4=《=0,且S(A,)〉0的E數(shù)列4；

(II)若q=12,n=2000,證明：E數(shù)列4是遞增數(shù)列的充要條件是%=2011；

(III)對(duì)任意給定的整數(shù)n(吟2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列A“，使得S(A“)=0?

如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列A,,；如果不存在，說(shuō)明理由。

參考答案

一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)

(DC(2)A(3)B(4)D(5)A(6)D(7)C(8)C

二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)

(9)2710(10)1(11)—22"-1--(12)14(13)(0,1)(14)②③

52

三、解答題(共6小題，共80分)

(15)(共13分)解：(I)因?yàn)?(x)=4cosxsin(x+—)-1

6

6]、

4cossinx+—cosx)-1=VJsin2x+2cos2x-1

=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)所以/(x)的最小正周期為萬(wàn)

6

(II)因?yàn)橐还璚xW工，所以-X〈2x+四〈主.

64663

于是，當(dāng)2兀+工=色，即尤=弓時(shí)，/(幻取得最大值2；

626

jrjrjr

當(dāng)2x+—=--，即x=吐/（x）取得最小值一1.

666

（16）（共14分）證明：（I）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以ACJ_BD.又因?yàn)镻AJ_平面ABCD.所以PA±BD.

所以BD_L平面PAC.

（II）設(shè)ACnBD=O.因?yàn)镹BAD=60。，PA=PB=2,

所以BO=1,AO=CO=JL如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立

空間直角坐標(biāo)系O—xyz,則P(0,—6，2),A(0,一百，0),B(1,0,0),

C（0,百，0）.所以麗=2）,段=（0,2百,0）.設(shè)PB與AC所成角為6,

mil〃PBAC6V6

\PB\-\AC\2j2x2j34

(III)由(II)知麗=(—設(shè)P(0,-V3,t)(t>0),則

BP=(-1,-V3,Z)，設(shè)平面PBC的法向量m=(x,y,z),則

就?加=0,而=0,所以1一，令曠=0,則x=3,z=9.

[-%-V3y+rz-0/

所以加=(3,6,9),同理，平面PDC的法向量”=(-3,6,9),因?yàn)槠矫?/p>

tt

PCB_L平面PDC,所以加n=0,即-6+二=0，解得t,所以PA=#

（17）（共13分）解（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：8,8,

uj,>.-8+8+9+1035

9,10,所r以平均數(shù)為x=-----------=一；萬(wàn)差為

44

52=7[（8-T）2+（8-T）2+（9-T）2+（10-T）2]=^-

4444416

（H）當(dāng)X=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹(shù)棵樹(shù)是：9,9,11,11；乙組同學(xué)

的植樹(shù)棵數(shù)是：9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4x4=16

種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹(shù)總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21事件“Y=17”

等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹(shù)9棵，乙組選出的同學(xué)植樹(shù)8棵”所以該事件有2種可能的

21

結(jié)果，因此P（Y=17）

168

同理可得p（y=18）=，；p（y=19）=1；p（y=20）=，；p（y=2i）=L

4448

所以隨機(jī)變量Y的分布列為：

Y1718192021

2]_

D2

1

84448

EY=17xP(Y=17)+18xP(Y=18)+19xP(Y=19)+20xP(Y=20)+21xp(Y=21)

1?1111

=l7x—F18X—+19X—^20x—F2lx-=19

84448

iJ,、

(18)(共13分)解：(I)/'(尤)=上，一女2"].令/，(o)=o,得九=±々

k

當(dāng)k>0時(shí)，/(x)與/的情況如下

x)-k(-%,k)k(左,+8)

/'(x)+0—0+

f(x)/4k2e~'\0/

所以，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,—女)和(攵,+8);單高層區(qū)間是(—Z,Z)當(dāng)

k<0時(shí),“X)與八”)的情況如下

x(—8,一女)-k(-k,k)k(%,+8)

—0+0

f(x)\0/4k2e-'\

所以，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,—%)和(%,+8)；單高層區(qū)間是(幺一%)

—11

(H)當(dāng)k>0時(shí)，因?yàn)?(A+l)=eA>-,所以不會(huì)有Vxe(0,+8),/(九)

4左2

當(dāng)kvo時(shí)，由(I)知/(x)在(0,+8)上的最大值是/(_幻='.

14k2解得一!《女＜0.故當(dāng)

所以Vxe(0,+8),/(幻〈一等價(jià)于/一(一口=——

ee2

Vxe。+8)J(x)WL時(shí)，k的取值范圍是［―』,0).

e2

(19)(共14分)解：(I)由已知得。=2,。=1,所以。=必與7-0.

所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-JJ,0),(VJ,O)漓心率為6=-=—

a2

(II)由題意知，|機(jī)|21.當(dāng)初=1時(shí)，切線1的方程x=l,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別

為）,此時(shí)|AB|=V3，當(dāng)m=-l時(shí)，同理可得IAB|=5當(dāng)Im\>1

時(shí)，設(shè)切線I的方程為y=k（x-m）,由

y=k(x-m),

X2得(1+4%2)尤2-Sk2mx+4k2m2-4=0,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

—+y2=1.

I4'

8k°m4二川一4

別為（X1,yi）（X2，%）則占+%2=，再，又由/與圓

-1--+--4---/71X21+41

九2+y2=1相切，得官工=1,即=/+1

/Ki

所以|A8|=,龍2-當(dāng)）2+（必一%產(chǎn)

j(l+公)[64k4m24(4k2m2-4)

(1+4/)21+4/

4百|(zhì)m|

m2+3

由于當(dāng)m=±3時(shí)，|AB|=g,所以|AB|=",me(-oo-l]U[1,+-).因

m~+3

為|AB|=4守”9=46cW2,且當(dāng)m=±百時(shí),|AB|=2,所以|AB|的最大

nr+3??,3

l^l+.一;

I"?I

值為2.

（20）（共13分）解：（I）0,1,2,1,。是一具滿足條件的E數(shù)列A5。

（答案不唯一，0,1,0,1,0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列As）

（H）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以4+1-%=1（%=1,2,…,1999）.

所以A5是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.所以a2?）o=12+（2000—1）><1=2011.

充分性,由于32000—a1000W1,

32000-aloooSI

a2—a￡l

所以22000—a<19999,即a2oo（￡ai+1999.又因?yàn)閍]=12,a2ooo=2Oll,所以a2ooo=ai+1999.

故。，用-=1>0（k=1,2,…,1999）,即是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。

(III)令q=aM-ak=1>0(k=1,2,…，〃-1),則以=±1.

因?yàn)槌?q+G+/=/+C[+。2

+???+%+],

所以S(An)=na]+(〃-1)(?)+(n-2)c2+(n-3)c34---卜cn_x

=1)一[(i-q)(〃-1)+(1-)(〃-2)+…+(1-%)],

因?yàn)閝=±1,所以1一4為偶數(shù)(2=1,?、〃—1).

所以*1一0)(〃-1)+(1-。2)(〃一2)+~+(1-孰)為偶數(shù)，

所以要使s(A“)=0,必須使攻丁)為偶數(shù)，

即4整除n[n-1),亦即〃=4機(jī)或〃=4m+l(meN*).

當(dāng)

n=4m+l(meN*)時(shí),E數(shù)列的項(xiàng)滿足a軟十]=a4k^=0,a4jfe-2=-l,a4k=1

(k=1,2,…，加)時(shí)，有q=0,S(4)=0;

a4k=1(女=1,2,???,加),％女+1=0時(shí),有q=0,5(4)=0;

當(dāng)〃=4m+1(〃蚱N*)時(shí),E數(shù)列A”的項(xiàng)滿足，=%卜3=°，4?-2=-1，

當(dāng)〃=4m+2或〃=4m+3(meN)時(shí),〃(〃?一1)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)

列An,使得％=0,5(4.)=0.

2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)X1,X2,…，Xa的標(biāo)準(zhǔn)差錐體體積公式

22

—[(X]-X)+(x2-xy+???+(x?-x)]V=-Sh

3

其中x為樣本平均數(shù)其中S為底面面積，h為

高

柱體體積公式球的表面積，體積公式

4,

V=ShS=4兀R72,V=—兀片

3

其中S為底面面積，h為高其中R為球的半徑

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分,共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.i是虛數(shù)單位，若集合S={—1.0.1},則

A.ZGSB.z2eSC.z3eSD.-ES

2.若aeR,則a=2是(a?l)(a-2)=0的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件C.既不充分又不必要條件

sin2a

若則的值等于

3.tana=3,9

cos-a

A.2B.3C.4D.6

4.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,則

點(diǎn)Q取自4ABE內(nèi)部的概率等于

]_

A.B.

43

j_2

C.D.

23

1

5.(e2+2x)dx等于

0

A.1B.e-1c.D.e+1

6.(l+2x)3的展開(kāi)式中,Xz的系數(shù)等于

A.80B.40C20

D.10

7.設(shè)圓錐曲線r的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F”F2,若曲線r上存在點(diǎn)P滿足|P用：恒周：|尸周=4:3:2,

則曲線r的離心率等于

1-3^27、-If-r2T3

A.一或—B.—或2C.—或2D.一或一

223232

x+”2

8.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域vx,上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

y42

則方?血的取值范圍是

A.[-1.0]B.[0.I]C.[0.2]D.[-1.2]

9.對(duì)于函數(shù)f(x)=asinx+bx+c(其中,a,beR,ceZ),選取a,b,c的一組值計(jì)算f(1)和f

(-1),所得出的正確結(jié)果二軍不可熊是

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

10.己知函數(shù)f(x)=e+x,對(duì)于曲線y=f(x)上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,給出

以下判斷：

①4ABC一定是鈍角三角形

②4ABC可能是直角三角形

③AABC可能是等腰三角形

?△ABC不可能是等腰三角形

其中，正確的判斷是

A.①③B.①④C.②③D.②④

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。

11.運(yùn)行如圖所示的程序，輸出的結(jié)果是。

12.三棱錐P-ABC中，PA,底面ABC,PA=3,底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

則三棱錐P-ABC的