【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：華師八上第十四章直角三角形與勾股定理復(fù)習(xí)學(xué)案二.重點、難點：重點：直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用。“直角三角形的兩個銳角互余”的性質(zhì)及其應(yīng)用在以后的幾何學(xué)習(xí)中將得到廣泛的應(yīng)用，是本節(jié)教學(xué)的重點之一。“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”這一性質(zhì)的靈活應(yīng)用是本節(jié)重點之一。“在直角三角形中如果一個銳角是30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半”性質(zhì)的推導(dǎo)過程?！肮垂啥ɡ怼谥苯侨切沃校瑑芍苯沁叺钠椒胶偷扔谛边叺钠椒健边@一性質(zhì)的證明及其在幾何計算中的應(yīng)用是初等幾何學(xué)的重點。難點：在直角三角形中如何正確添加輔助線，通過添加輔助線進行說理不僅是本周學(xué)習(xí)的難點，也是整個幾何說理的難點。勾股定理的證明采用了面積法，這是學(xué)生從未體驗的，是本周學(xué)習(xí)的難點。知識要點及學(xué)習(xí)目標：1.認識直角三角形。學(xué)會用符號和字母表示直角三角形。按照角的度數(shù)對三角形進行分類：如果三角形中有一個角是直角，那么這個三角形叫直角三角形。通常用符號“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所對的邊稱為直角三角形的斜邊，構(gòu)成直角的兩邊稱為直角邊。如果△ABC是直角三角形，習(xí)慣于把以C為頂點的角當成直角。用三角A、B、C對應(yīng)的小寫字母a、b、c分別表示三個角的對邊。如下圖，習(xí)慣地表示為：Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝cAC＝b，BC＝a如下圖，如果AB＝AC且∠A＝90°，顯然這個三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我們稱之為等腰直角三角形。2.掌握“直角三角形兩個銳角互余”的性質(zhì)。會運用這一性質(zhì)進行直角三角形中的角度計算以及簡單說理。在應(yīng)用這條性質(zhì)時，結(jié)合圖形表述如下：因為Rt△ABC中，∠C＝90°所以∠A＋∠B＝90°在等腰直角三角形中，顯然兩個銳角相等，都為45°。3.會用“兩個銳角互余的三角形是直角三角形”這個判定方法判定直角三角形。在上述圖形中，判斷三角形是否是直角三角形，可以從一個角出發(fā)看其是否是90°，若這個角是90°，則判斷其為直角三角形；若小于90°，則不能判斷此三角形一定不是直角三角形，就需要再研究另一個小于90°的角，若兩個銳角互余（和為90°），也可以判斷此三角形為直角三角形。4.掌握“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”性質(zhì)。能通過操作探索出這一性質(zhì)并能靈活應(yīng)用。如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝DB，通過測量比較會發(fā)現(xiàn)：AB＝2CD運用上述直角三角形的兩個性質(zhì)，可以得出一個特殊直角三角形的性質(zhì)：“在直角三角形中如果一個銳角是30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半”。如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則∠B＝90°－∠A＝60°。作出斜邊AB上的中線CD，則CD＝BD；所以△CBD是正三角形。（有一個角是60°的等腰三角形是正三角形）所以BC＝CD＝（1/2）AB。5.掌握勾股定理。學(xué)會用勾股定理解決簡單的幾何問題。結(jié)合圖形，勾股定理表述如下：Rt△ABC中，∠ACB＝90°則：AB2＝AC2+BC2用小寫字母表示為：a2+b2＝c26.領(lǐng)會直角三角形中常規(guī)輔助線的添加方法。在解決有關(guān)直角三角形的計算和說理問題中，通常有兩種輔助線：上左圖中的斜邊上的高線和上右圖中的斜邊上的中線。斜邊上的高線?？梢詷?gòu)造出新的直角三角形，而斜邊上的中線可以構(gòu)造出等腰三角形，直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)均可以為我們解決問題提供必要的條件?！镜湫屠}】例1.如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，請找出圖中各對互余的角。分析：互余的角通常有兩種方式構(gòu)成：一是直角直接由兩個銳角拼成；另一種是通過計算兩角的和等于90°。解：∵△ABC是Rt△∴∠A+∠B＝90°∵CD⊥AB（已知）∴△ACD，△BCD是Rt△∴∠A+∠ACD＝90°，∠B+∠BCD＝90°∵∠ACB＝Rt∠，∴∠ACD+∠BCD＝90°?！鄨D中一共有4對互余的角，分別是∠A與∠B，∠A與∠ACD，∠B與∠BCD，∠ACD與∠BCD。例2.如圖，在等腰直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的高，則AD＝BD＝CD。請說明理由。分析：要說明AD＝BD＝CD顯然就是要說明AD是BC邊上的中線，因為△ABC是直角三角形，“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！币部梢詮挠嬎憬嵌?，分別判斷△ABD和△ACD是等腰三角形來加以說明。解法1：∵AB＝AC，AD⊥BC∴BD＝DC＝（1/2）BC（等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線）又∵∠CAB＝90°∴AD＝（1/2）BC∴AD＝BD＝CD（等量代換）解法2：∵∠CAB＝90°，∴∠C＋∠B＝90°∵AB＝AC∴∠C＝∠B＝45°又∵AD⊥BC∴∠C＋∠DAC＝90°，∠B＋∠DAB＝90°∴∠DAC＝45°＝∠C，∠DAB＝45°＝∠B∴AD＝CD，AD＝BD。（在一個三角形中，等角對等邊）∴AD＝CD＝BD（等量代換）例2變式：（1）已知，如例2圖，AD＝BD＝CD，AD是斜邊BC上的高，則AB＝AC。請說明理由。（2）已知，如例2圖，AD＝BD＝CD，∠B＝45°，則△ABC是等腰直角三角形，請說明理由。歸納：（1）此題條件中沒有明確指出等腰三角形的相等邊，但是“AD是斜邊BC上的高”這句話中隱含著：直角和腰。因為在等腰三角形中，底角不可能是直角，所以這里不會出現(xiàn)在等腰三角形中所說的多種可能的結(jié)果。（2）對于一個問題的研究通常會采用“交換原題的條件和結(jié)論（部分交換或全部交換）”的方法變換原問題，看交換后新的命題是否成立。這里的例2變式就是部分地交換，產(chǎn)生出新問題的。例3.如下圖，一名滑雪運動員沿著傾斜角為30°的斜坡從A滑行至B。已知AB＝200m，問這名滑雪運動員的高度下降了多少m？分析：過A作AC⊥BC，求這名運動員下降了多少米實際上就是求△ABC中邊AC的長。因為△ABC是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)“斜邊上中線等于斜邊的一半”，可以作出邊AB上的中線CD，由AB＝200，求出CD＝AD＝100，從△ACD中來確定邊AC的長。解：如圖作Rt△ABC的斜邊上的中線CD，則CD＝AD＝（1/2）AB＝1/2×200＝100（在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半）∵∠B＝30°（已知）∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°（直角三角形兩銳角互余）∴∠DCA＝∠A＝60°（等邊對等角）∴∠ADC＝180°－∠DCA－∠A＝180°－60°－60°＝60°（三角形內(nèi)角和等于180°）∴△ADC是等邊三角形（三個角都是60°的三角形是等邊三角形）∴AC＝AD＝100答：這名滑雪運動員的高度下降了100m。說明：在上述判斷△ADC是等邊三角形時，運用了前邊學(xué)過的“三個角都是60°的三角形是正三角形”實際上一個三角形有兩個角是60°即可判斷此三角形為正三角形，或者先判斷出三角形是等腰三角形，再算出一個60°的角亦可判斷此三角形為正三角形。例4.已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c,BC＝a,AC＝b,（1）如果求c；（2）如果求b；解：（1）根據(jù)勾股定理，得：c2＝a2+b2＝12+22＝5因為c是三角形邊長，c>0，所以c＝。（2）根據(jù)勾股定理，得：b2＝c2－a2＝172－152＝64因為b>0，所以b＝8說明：上述兩個小題屬于勾股定理的基本應(yīng)用，解題簡單，但應(yīng)注意解題過程的表述規(guī)范。例5.如圖，是一個長方形零件，根據(jù)所給尺寸（單位：mm），求兩孔中心A、B之間的距離。分析：首先，我們應(yīng)把這個實際問題轉(zhuǎn)化成一個直角三角形中求邊長的數(shù)學(xué)問題。這就需要我們添加一些必要的線段構(gòu)造出直角三角形，然后應(yīng)用勾股定理求解。解：過B作水平線，過A作與水平線垂直的直線（鉛垂線），兩線交于C。則：∠ACB＝90°，AC＝90－40＝50（mm），BC＝160－40＝120（mm）由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2＝502+1202＝16900（mm2）因為AB>0，所以AB＝130（mm）答：兩孔中心A、B之間的距離為130mm。注意：通過作圖把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程就是解題的開始，因此作圖的過程應(yīng)該規(guī)范地書寫出來。因為這是一個實際問題，所以解題最后要回到原實際問題，針對實際問題作答。【模擬試題】（答題時間：30分鐘）一.填空題1.直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長為。2.已知，Rt△ABC中，BD為斜邊AC上的中線，若∠A＝35°，那么∠DBC＝。3.已知，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，若∠ACD＝35°，那么∠DBC＝。4.△ABC中，∠C＝90°，AB＝c,BC＝a,AC＝b,（1）如果則c＝；（2）如果則b＝；（3）如果c＝34,a∶b＝8∶15,則a＝。二.選擇題5.已知直角三角形中30°角所對的直角邊長是2cm，則斜邊上的中線的長是（A.2cm B.4cm C.66.等腰三角形的腰長為，底角等于30°，那么底邊長為（）A.B.3C.67.下列各組數(shù)中，能夠構(gòu)成直角三角形三邊的是（）A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,68.如圖，BE、CD分別是△ABC的兩條邊上的高，M是BC的中點，則△DEM是（）A.不等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形三.解答題9.用刻度尺和圓規(guī)作一條線段，使它的長度為cm。10.某塊綠地形狀如圖所示,其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD,AB＝200,CD＝100,求AD、BC的長。

【試題答案】1.4， 2.55° 3.35° 4.（1）1 （2）5 （3）165.A 6.D 7.C 8.B9.作法（1）作一條線段AC，使AC＝1cm，（2）過C作AC的垂線MC，（3）以A為圓心，2cm為半徑作圓，交MC于B，（4）連結(jié)AB。則：線段BC＝cm。很容易用勾股定理加以說明。BC2＝AB2－AC2＝4－1＝3，所以BC＝cm。10.解：延長AD、BC交于P，則∠P＝90°－60°＝30°所以AP＝2AB＝400，CP＝2CD＝200分別在直角△ABP和直角△DPC中，用勾股定理可得：【勵志故事】神跡