PAGEPAGE631引言1.1研究的背景改革開放以來我國的國民經濟得到了迅速的發(fā)展，由于受到經濟發(fā)展的推動，我國的機動化在近幾年也出現(xiàn)了迅猛發(fā)展的趨勢。據(jù)估計，自1985年到2000年全國機動車擁有量年平均增長率在15%左右，其中，客車的增長率達到了25%。據(jù)預測，到2010年我國機動車將會達到45-57輛/千人，到2020年將達到124-162輛/千人。這些機動車當中有85%以上都集中在城市區(qū)域，大量的機動車涌向城市道路，最終導致城市交通需求的急劇增加，從而也給道路交通管理部門提出了挑戰(zhàn)。另外，由于我國人口較多，尤其是在城市區(qū)域人口密度很大，這就使得我國城市人均道路面積很低，在大城市更是低于全國平均水平，同國外大城市相比較其差距就更加明顯。如圖1所示：人均道路面積最少的是上海市，約為漢城的1/2，莫斯科的1/3，東京的1/4，與倫敦相比差距就更大了。圖1.1中外大城市人均道路面積現(xiàn)狀對比圖此外，我國城市現(xiàn)有的道路網還存在結構布局不合理等多種弊端，不能夠很好地服務交通、滿足日益增長的交通需求，使得有限的道路資源得不到充分的利用。隨著城市交通供需矛盾的日益突出，交通擁擠的情況日益嚴重。這給社會造成了嚴重的后果：（1）交通擁擠給社會造成了巨大的經濟損失。美國每年因為交通擁擠造成的經濟損失約為410億美元，12個最大城市每年的損失超過10億美元。日本東京每年因為交通擁擠造成的損失高達123000億日元。我國北京市由于道路擁擠程度逐年增加，導致公共汽車平均運營車速大幅度下降，每年的經濟損失高達792億元。（2）降低運輸效率。交通擁擠減少了運輸系統(tǒng)的產出，使其無法滿足新的交通量的需求。隨著擁擠程度進一步加大，產出會越來越小。由于交通擁擠無法進行自身調節(jié)，從而形成了一種惡性循環(huán)，如果不能夠及時地采取措施，任其發(fā)展，該地區(qū)的交通運輸系統(tǒng)就會因為交通事故、車輛故障及其救援等突發(fā)事件而陷入癱瘓狀態(tài)。（3）加速了城市環(huán)境的惡化。在城市交通擁擠狀況下，機動車輛不得不頻繁地啟動、加速、減速、停滯，不但增加了能耗，而且加大了尾氣排放，同時產生了巨大的噪音。據(jù)調查，我國城市機動車交通造成的污染約占整個城市污染的一半以上。（4）制約了經濟的增長。交通擁擠延誤了出行時間，而且這種延誤又無法預測，妨礙了雇員及時到達工作崗位，增加了企業(yè)的分配成本，使得經濟發(fā)展受到制約。1.2問題的提出嚴重的交通擁擠現(xiàn)象不僅存在于城市道路基礎設施比較薄弱的發(fā)展中國家，即便是在道路交通系統(tǒng)比較發(fā)達的國家，其城市中心區(qū)與郊區(qū)高速公路上的交通擁擠現(xiàn)象同樣相當嚴重。亞當斯（AnthonyDowns）在深入分析以上現(xiàn)象的基礎上，提出了著名的亞當斯定律——交通需求總趨向于大于交通供給。此定律可以解釋為：雖然由于新的道路基礎設施可以縮短交通出行者的出行時間或出行距離，使交通出行者能夠快速到達出行目的地，進而在一定的時間內降低了其出行時間，暫時緩解了交通擁擠程度；但與此同時寬闊舒適的道路條件又引發(fā)了新的交通需求，經過一段時間后，道路又恢復到原來的擁擠水平。一般來說，新的道路建設不會改變原有道路的擁擠水平，誘發(fā)的交通量將很快占據(jù)新增的道路設施，這部分潛在的交通量是由于受到原來道路交通供給短缺的制約沒有得到實現(xiàn)。西方城市交通發(fā)展的實踐證明了該定律的正確性，而且現(xiàn)在已經被世界交通工程界所認可。因而單純從增加道路基礎設施建設、擴大交通供給是無法解決城市交通擁擠問題的。要想獲得比較理想的效果就必須加強交通需求管理。道路擁擠收費作為交通需求管理的一項措施，其作用也日漸突出，它影響著交通參與者的出行決策。目前國內外許多專家學者在擁擠收費方面作了一定的研究工作，但所建立的模型往往都只適用于單車種的路網結構，或者運用確定性配流理論來研究，這與實際的交通狀況有著很大的差距。因此運用隨機配流理論來研究混合交通下路徑選擇、方式選擇和擁擠收費的組合模型，對實際交通規(guī)劃來說具有極強的理論指導意義。本文意在這方面做出一些有益的探討。1.3國內外實踐和理論研究概況1.3.1國內外實踐概況新加坡是世界上最早實施城市道路收費并且獲得成功的國家之一，其發(fā)展經歷了區(qū)域通行證方案和采用電子收費系統(tǒng)兩個階段。1975年開始實施的區(qū)域通行證方案劃定覆蓋中心商業(yè)區(qū)最擁擠的725公頃區(qū)域作為交通控制區(qū)，在邊界上設定27個車輛入口處，載客不足4人的車輛要想在高峰期進入控制區(qū)，必須出示購買的區(qū)域通行證。經過20多年的運行，區(qū)域通行證方案被證明是控制高峰期擁擠的有效手段：（1）早高峰期進入控制區(qū)的機動車輛從74000輛/日下降到41500輛/日；（2）提高了車輛行駛速度；（3）出行方式向公共交通轉移，工作出行中乘坐公共交通的比例從33％增加到69％；（4）增加了財政收入。1995年，新加坡在其東海岸公園大道實施道路收費系統(tǒng)，同樣取得了顯著的效果。1998年5月改為ERP系統(tǒng)。ERP主要由車內裝置、兩個相距15米的收費匝口、計算機中心處理系統(tǒng)組成。初步結果表明，ERP在控制交通流量方面成效顯著，在限制時間內進入控制區(qū)的機動車輛從16000輛/日下降到13000輛/日，出行速度提高到50－60km/h。與區(qū)域通行證方案相比，ERP更公平、方便、可靠。1998年8月，新加坡政府將ERP擴充到整個中心商業(yè)區(qū)、高速公路和交通擁擠的區(qū)域。另外，挪威、香港、美國、法國等國家也不同程度的實施的擁擠道路收費，并且取得了顯著的效果。1.3.2國內外理論研究概況Pigou（1920）和Knight（1924）是首先倡導擁擠收費的學者。80年代末期，英國的Walter定量研究道路擁擠的外部效果，把擁擠問題的各方面綜合起來，提出了短期邊際成本定價模型，確立了傳統(tǒng)擁擠定價模型。Vickery應用確定性排隊理論，首先在1969年提出了道路收費系統(tǒng)的動態(tài)模型——瓶頸模型。該模型作為內生出發(fā)時間的排隊擁擠模型，清晰地論述了排隊擁擠的消漲過程和用戶的出行時間決策，但其中嚴格的假設條件使模型過于簡化。為增強模型的現(xiàn)實性，近年來，眾多學者對其進行了改進和擴展，例如在動態(tài)模型中考慮彈性需求[2][3]或用戶存在屬性差異[4]或在一般的路網結構中研究動態(tài)收費[5][6]等情形。交通分配和道路收費分屬于宏觀和微觀兩個不同的領域，人們很少注意兩者關系的重要性。它們作為兩個彼此獨立的交通工程問題已經被分別研究，在各自的軌道上向前發(fā)展。而在智能化運輸系統(tǒng)（ITS）被提出和接受之后，人們開始以一個新的角度看待交通分配和道路收費的組合問題。Yang和Lam（1996）[7]提出了一個求解并非所有網絡的路段都能收費的這類問題的最優(yōu)收費算法，Yang和Bell（1997）[8]利用雙層規(guī)劃對道路收費問題進行了研究。May和Milne（2000）[9]考慮了劍橋(Cambridge)網絡的各種收費方案，包括基于時間、基于距離、基于擁擠的收費。Verhoef（2002）[10]提出在一般網絡結構的有效解中找到第二最優(yōu)收費的算法。Li（2002）[11]研究了應用于新加坡道路收費系統(tǒng)擁擠收費的實踐問題。這些交通模型均是基于靜態(tài)交通均衡分配模型。我國對此領域的研究起步較晚。一些學者利用數(shù)學規(guī)劃的方法來研究這一問題。李志純等（2001）[12]利用雙層規(guī)劃模型和基于步長加速法和懲罰函數(shù)法的啟發(fā)式算法對彈性需求下的擁擠道路收費問題進行了研究。谷強等（2002年）[13]構造出滿足用戶均衡原則和車種分離函數(shù)的極小值問題，并利用內點罰函數(shù)法求解，討論了混合交通條件下如何制定道路收費策略。這些模型也都是基于靜態(tài)均衡分配模型。黃海軍,楊海等[14][15][16]研究了道路收費（靜態(tài)和動態(tài)）、搭車、HOV的組合問題，得出收費可以誘導人們搭車和選用公共交通且提出合理設置收費水平的依據(jù)。1.4本文研究的意義和內容1.4.1研究的意義道路交通擁擠收費是被城市交通管理部門和經濟學家普遍看好的一項城市調控手段，同時也是交通需求管理的重要內容。合理的收費價格有益于調整交通結構，減少交通出行，實現(xiàn)交通需求在時間和空間上的平衡。如果收費價格過高，將會使現(xiàn)有道路資源不能得到充分利用，造成資源浪費；收費過低，又無助于解決交通擁擠。因此，在合理價格下對擁擠道路進行收費具有顯著的意義：（1）在一定程度上，可以抑制城市交通需求的過快增長，保持交通需求與交通供給的平衡。（2）節(jié)約交通基礎設施投資和有限而珍貴的城市土地資源。（3）由于出行交通量的減少，可以降低能源消耗，同時對保護城市環(huán)境也有較為重要的意義。（4）進行收費后，還可以增加財政收入，為城市基礎設施建設開辟新的資金來源。1.4.2研究的內容本文首先從交通工程學和經濟學的角度對交通擁擠現(xiàn)象進行分析，說明了道路擁擠收費的必要性；繼而提出了道路擁擠收費的理論框架，闡述了傳統(tǒng)的定價理論，分析其局限性；然后介紹了交通配流理論，運用非線性規(guī)劃和隨機效用理論的方法，將擁擠收費這一因素結合進交通配流理論中，建立了混合交通下的擁擠收費綜合模型。正文各章節(jié)的主要內容如下：第二章?lián)頂D道路收費問題的綜述，介紹了擁擠道路收費的概念、分類，在理論上分析了擁擠道路收費的原因，提出了擁擠道路收費的目的和目標；第三章?lián)頂D道路收費問題的理論框架，從靜態(tài)和動態(tài)兩方面介紹了擁擠道路收費的理論基礎，闡述了傳統(tǒng)的收費理論及其局限性；第四章交通配流理論介紹，介紹了基本的交通配流理論，特別是隨機配流理論，為建立擁擠收費的綜合模型打下基礎；第五章道路擁擠收費與交通配流的綜合模型，在交通分配理論的基礎上，運用非線性規(guī)劃理論和隨機效用理論，建立了混合交通下的SUE雙層規(guī)劃模型，并提出算法和算例；第六章結論。全文結構如下：第二章?lián)頂D道路收費問題綜述第二章?lián)頂D道路收費問題綜述第一章緒論研究背景、內容第三章?lián)頂D道路收費問題的理論框架第四章交通配流理論基礎第五章?lián)頂D道路收費與交通配流的綜合模型第六章結論圖1.2論文結構圖2擁擠道路收費問題的綜述2.1擁擠道路收費的概念介紹擁擠道路使用收費是對特定時段和路段的車輛實行收費，以從時間和空間上來疏散交通量，減少繁忙時段和繁忙路段的交通負荷。同時，促使交通量向高容量的交通系統(tǒng)轉移、抑制私人小汽車交通量的增加、促進小汽車的有效利用、推進多人合乘（Carpool，Vanpool）的實施，實現(xiàn)道路的最有效使用，達到緩解交通擁擠的目的。城市道路交通擁擠收費可以分為廣義的交通擁擠收費和狹義的交通擁擠收費。廣義的交通擁擠收費是指為了解決城市嚴重的交通擁擠問題，而對城市道路使用者從車輛擁有到道路使用的全過程中的收費，它不僅包括道路使用費，而且包括了為解決城市交通擁擠采取的其他形式的擁擠收費或稅收。如增加車輛購置稅、燃油稅、車輛配額和用車證制度等。狹義的擁擠道路收費就是指交通出行者在進入交通擁擠區(qū)域的時候，必須支付的那部分道路擁擠費用，是指在擁擠的城市道路上，對道路交通使用者征收一定的費用，使邊際個人成本提高到邊際社會水平，用于補償由于該交通出行者的加入而給社會帶來的外部不經濟，以期通過提高交通出行者的出行成本，促使交通出行者重新選擇自己的出行行為，減少交通需求，從而使得原來擁擠的城市道路的交通需求與交通供給相適應，最終實現(xiàn)緩解或者消滅擁擠的一種交通需求管理措施。本文主要討論的就是狹義的擁擠道路收費。擁擠道路使用收費不同于傳統(tǒng)意義上的高速公路（橋梁）收費。后者主要是為了緩解公路建設資金的短缺問題，收取的費用大部分用于償還貸款本息；而前者是在城市交通嚴重擁擠的情況下，通過對使用者收費來引導和調節(jié)交通需求，達到緩解交通擁擠的目的，增加財政收入只是副產品。理論和實踐表明，實行擁擠道路使用收費可以在不影響用戶綜合付出的條件下產生一定的經濟效益和社會效益，不僅可以緩解道路擁擠，而且可以把擁擠道路使用收費作為新的財政來源支持交通基礎設施建設,并且也保護了環(huán)境，減少了交通事故的發(fā)生。新加坡等國家在擁擠道路使用收費理論和實踐方面的有益嘗試對中國有很好的借鑒意義。2.2擁擠道路使用收費的分類一般來說，高峰期擁擠主要是由于用戶對出行時間和出行路線選擇不當所致。為此，最優(yōu)擁擠道路使用收費應當反映出時間和空間上需求的分布。但是多數(shù)已有的研究為了避開交通配流和網絡結構的復雜性，而將擁擠道路使用收費的時間維和空間維分開處理。擁擠道路使用收費從時間維和空間維上可以分為靜態(tài)收費和動態(tài)收費兩大類。僅考慮空間維的擁擠道路使用收費稱為靜態(tài)收費。（1）靜態(tài)擁擠道路使用收費適用于穩(wěn)態(tài)（即OD矩陣是固定的，不具有時變性）條件下的交通網絡，它不考慮收費的時變性，即是說靜態(tài)收費模型不考慮當前的收費對將來的交通擁擠水平的影響。（2）動態(tài)擁擠使用收費是指將時間維和空間維綜合考察的收費。動態(tài)擁擠道路使用收費考察的是出行需求和出行費用都是時變的，因而擁擠道路使用收費也是時變的。擁擠道路使用收費就其研究的方法來說，可以將其分為第一最優(yōu)擁擠道路使用收費（First-bestcongestionpricing）和第二最優(yōu)擁擠道路使用收費（Second-bestcongestionpricing）兩大類。（1）第一最優(yōu)擁擠道路使用收費又稱為邊際成本定價（因經濟學中的邊際成本定價原理而得名）。它假定路網中存在完善的收費體制，通過對路網中每一路段上的用戶收取值為邊際成本通行費MCT（MarginalCostToll）的擁擠道路使用收費，使用戶平衡轉化為系統(tǒng)最優(yōu)平衡狀態(tài)。由于第一最優(yōu)擁擠道路使用收費忽視了城市交通系統(tǒng)的復雜網絡特征，因而交通工程師對其一直存在疑慮。近來一些學者將第一最優(yōu)擁擠道路使用收費的思想推廣至一般網絡，提出了第二最優(yōu)擁擠道路使用收費的思想。（2）第二最優(yōu)擁擠道路使用收費考慮的是在一個路網存在約束（如資金預算約束，通行能力約束等）條件下的擁擠道路使用收費問題。這些理論研究多是針對標準網絡的，即假定路網中只有一種車。第一最優(yōu)擁擠道路使用收費和第二最優(yōu)擁擠道路使用收費又分屬于靜態(tài)和動態(tài)收費。2.3擁擠道路收費的合理性與必要性分析對于城市道路，一直以來都是當作是純公共產品進行經營管理，無償使用。在本節(jié)，作者將從城市道路的公共性和產權進行分析，闡明城市擁擠道路使用收費的合理性與必要性。2.3.1城市道路的公共性分析從消費而言，公共產品是指“每個人的消費并不導致任何其他人對該物品消費的減少”。從生產而言，公共產品具有關聯(lián)性或不可分性，一般由政府提供。公共產品具有以下特征：在生產、消費過程中具有不可分性；由很少或單一的生產者提供；消費者對其使用存在外部正效應，即“搭便車”現(xiàn)象；消費者對其使用具有同時性，即公共產品具有非排他性與非競爭性。根據(jù)公共產品中“公共性”的強度，可以把公共產品分為純公共產品和準公共產品。前述公共產品的定義就是純公共產品，如國防、法律等。準公共產品是指其消費過程介于純公共產品和純私人產品之間的一種產品，如學校、醫(yī)院、道路等。其特征是：生產的不可分性；消費的適當分離性；消費過程中確實存在著“享受”性消費。城市道路究竟是純公共產品還是準公共產品呢？城市道路的使用有著以下特征：（1）城市道路既是向全社會提供，其效用為整個社會成員所共享，同時它又具有一定程度的效用可分割性。具體表現(xiàn)為其在技術上可以提供排他性的措施，如擁擠道路使用收費。（2）在不達到擁擠的前提下，城市道路的邊際成本為零，具有非競爭性。（3）城市道路在實際使用中具有排他性。如在公共車道上，一輛車占用的位置別的車就無法占用。特別是在交通擁擠的時候，這種排他性表現(xiàn)得尤其突出。從以上分析可以看出，城市道路的特征既體現(xiàn)了它的公共性，又體現(xiàn)了它的私人性，由此可見城市道路是準公共產品。2.3.2城市交通擁擠的經濟學解釋經濟學家認為：“純粹的私人產品和純粹的公共產品的消費不存在擁擠問題。擁擠總是意味著有限的消費容量和無限的消費規(guī)模之間的沖突?！蔽覀兛梢园l(fā)現(xiàn)造成城市交通擁擠的真正原因在于對城市道路產權的安排。由于城市道路的產權屬于政府，那么道路的產權就不會得到確定。由于產權得不到確定，道路就變?yōu)榧児伯a品。人們對道路上的使用就不會有成本上的考慮，無需對道路的使用效率負責。對于每個出行者，出行時計算的只是個人的邊際費用，根本沒有考慮到由于加劇了道路的擁擠而加在別人身上的額外成本。只要個人收益大于個人成本，個人車量就會不斷地加入車流。由于外部效應，造成了邊際個人成本與邊際社會成本不相等，它們之間的差額就造成了擁擠現(xiàn)象，即實際使用城市道路的車流量超過了最佳車流量，也就是對道路的過度使用。由此可見，模糊的產權制度使城市道路由準公共產品轉變?yōu)榧児伯a品。而擁擠道路收費正是把價格機制引入到城市交通管理中來，它使城市道路的產權得到了確定，為市場有效的配置城市道路這種資源提供了保障。它作為交通需求管理的一項措施，在當今嚴峻的交通狀況下是合理且必要的。2.4擁擠道路使用收費的目的和目標2.4.1擁擠道路使用收費的目的道路擁擠收費的目的是在一定的交通供給規(guī)模下，控制交通需求總量，削減不合理的交通需求。通過對擁擠區(qū)域或擁擠路段征收一定的擁擠費用的手段，使得交通需求在時間和空間上再分配，實現(xiàn)交通供給與交通需求在一定時間內的平衡，保證城市交通系統(tǒng)有效運行，讓客貨出行迅速、安全得到達目的地，緩解城市交通擁擠、改善城市生態(tài)環(huán)境和居民生活環(huán)境質量。2.4.2擁擠道路使用收費的目標道路擁擠收費的目標可以分為過程目標和最終目標。過程目標是為最終目標服務的。目標的制定應該既要具有科學性，又要切實可行，具有可操作性。我們不難知道道路擁擠收費的最終目標是要實現(xiàn)交通需求與當前的交通供給相適應，緩解交通擁擠。在實現(xiàn)這一最終目標的過程中，又可以制定出如下四種過程目標：減少交通源的產生從交通源頭開始，對交通需求進行全過程的主動控制是道路擁擠收費的一個重要目標。交通需求在每次出行前都有一個出行選擇過程，這一過程實際上也是一次個人出行的成本效益分析過程。如果我們對某些交通擁擠路段或區(qū)域實行了擁擠收費，那么就是提高了交通出行者進入該區(qū)域或路段的出行成本。人們在選擇進入該路段或區(qū)域時，就會重新考慮是否進行這次出行。改變交通結構城市交通方式按照交通設施分為道路交通和軌道交通；按照服務對象的不同可以劃分為公共交通與非公共交通（私人小汽車、摩托車、自行車等）。各種交通方式具有不同的技術經濟優(yōu)勢，并且人均所占道路面積不同，在造成城市交通擁擠、堵塞中所起的作用大小不同。我國目前城市結構不合理。同國外一些大城市相比較，城市公共交通在客運交通中所占比例過低，而自行車、摩托車的比例高居不下。隨著我國經濟的發(fā)展，私人小汽車也將大大增長，如果不采取有效的措施，其在交通結構中的比例也會大幅度增長，城市交通結構將會變得更加不合理。因此改變交通需求者的出行交通方式，使更多的出行者選擇公共交通，減少城市道路時空消耗，應該成為交通擁擠收費的目標之一。改變交通時間結構城市交通在時間分布上呈現(xiàn)馬鞍形狀，即有一個早高峰和晚高峰組成。一般早高峰出現(xiàn)在職工上班和學生上學時間；晚高峰則出現(xiàn)在職工下班和學生放學時間。通過高峰時段收費措施，促使彈性交通需求避開高峰時間，利用平峰時間出行，從而達到“削峰填谷”的目的，實現(xiàn)交通需求在時間上的平衡。改變交通空間結構城市交通網絡縱橫交錯，從出發(fā)點到達目的地，路線往往有很多條，且有長有短，人們在出行選擇時往往選擇近路，導致了交通熱線的產生，也就出現(xiàn)了交通熱線經常性的擁擠和堵塞，近路往往欲速則不達。于是就存在交通空間調控的可能性。通過對交通熱線征收擁擠費，引導消費者選擇交通冷線，可以使有限的道路資源得到充分利用。3擁擠道路使用收費的理論框架3.1交通擁擠的定義交通擁擠的定義各國尚無統(tǒng)一標準，為了明確交通擁擠的定義，這里首先對某交通系統(tǒng)隨著外來交通量的加入，交通密度、行駛速度以及車流量之間的相互作用如何變化這一過程作簡要分析。如圖3-1所示，AB為自由流區(qū)，在該區(qū)內，車輛可以自由地行使，車輛與車輛之間沒有任何干擾，車速也最大。隨著外界車輛不斷加入該系統(tǒng)，交通量不斷增加、交通密度也隨之增大，當車輛之間行駛的空間越來越小時，行駛的車輛不得不因為相互之間的干擾而放慢速度，車流也就進入了BC穩(wěn)定流區(qū)。在BC區(qū)內，隨著外界車輛不斷加入該系統(tǒng)，導致的結果仍然是交通量不斷增加、交通密度不斷增大，車輛之間行駛的空間變得更加狹小，車流也進入了CD非穩(wěn)定流區(qū)，直至交通量達到道路交通飽和容量：即，此時的交通供給等于交通需求，車流也進入了DE強迫流區(qū)。其后，如果不能夠及時采取措施，仍然允許外界車輛進入該交通系統(tǒng)，在車速繼續(xù)下降的同時，交通量非但不能夠增加，而且出現(xiàn)下降，道路空間資源使用效率隨之降低。最后，隨著交通擁擠的進一步加劇，整個交通系統(tǒng)處于停滯狀態(tài)，陷入癱瘓，交通量為零。AABCDE流量(Veh/h)車速(km/h)圖3-1車速與流量關系圖QF根據(jù)以上分析，我們可以得出以下的定義：定義一（以D點作為交通擁擠的分界點）：所謂交通擁擠就是指當交通需求大于交通供給時，超過交通供給的那部分交通滯留在道路上的現(xiàn)象。定義二（以B點作為交通擁擠的分界點）：從交通工程學的角度來講是指道路交通密度達到一定程度后，行駛的車輛之間出現(xiàn)相互干擾，從而造成車速下降，用戶成本上升的現(xiàn)象。擁擠道路使用收費就是在定義二的擁擠狀況下對交通出行者收費。3.2靜態(tài)擁擠道路使用收費的理論基礎3.2.1邊際成本理論介紹（1）總成本（TotalCost）總成本等于總的固定成本與總的可變成本之和，以TC表示，即TC=TFC+TVC。其中，TFC為總固定成本，TVC為總可變成本。如果以代表總固定成本，代表銷量，以代表變動成本，則總成本可以表示為：TC=；（2）平均成本（AverageCost）平均成本是指每增加一個單位產量所需要的成本，以表示，即；平均成本也等于平均固定成本與平均可變成本之和，即；（3）邊際成本（MarginalCost）邊際成本是指每增加一個單位產量所增加的成本：（4）邊際收入（MarginalRevenue）邊際收入是指每增加一個單位的總產銷量所增加的總收入：（5）定理該定理內容為：利潤最大化或損失最小的均衡條件為——邊際收入等于邊際成本，即。3.2.2靜態(tài)擁擠道路使用收費的理論基礎20世紀50年代中期到70年代，美國的Walters.A.把擁擠問題的各方面結合起來，提出了一個短期邊際成本定價模型。該理論成為靜態(tài)擁擠道路使用收費的理論基礎。一般來說，在交通擁擠較嚴重的交通系統(tǒng)中各用戶的最優(yōu)線路選擇未必帶來系統(tǒng)的最好結果，這是因為用戶在選擇出行路徑和出發(fā)時間時，往往只考慮自己能感知或者說自己將付出的成本。當?shù)缆返耐ㄐ心芰Τ渥銜r，這種“自私”的行為不會影響到其他人的出行。但是，當交通流量接近通行能力時，擁擠程度上升，道路上每新增加一個出行單位都會使系統(tǒng)中所有成員的利益受損。此時，如果大家都堅持原來的出行計劃，不另擇它路或改變出發(fā)時間，就會使交通系統(tǒng)擁擠不堪，直到癱瘓。如果硬逼某一部分人改變行駛路徑和出發(fā)時間也是不可能的，最好的辦法是用經濟手段。用戶之所以堅持在擁擠路段出行，就在于他們僅僅考慮自己的感知成本或者平均可變成本AVC（即邊際個人成本），而沒有支付他們給其他用戶所帶來的“外部不經濟”(externality)，即用戶沒有為其出行支付全部社會費用（即邊際社會成本，還可以包括由交通導致的環(huán)境污染）。用戶對出行成本的錯誤感知（或部分支付），將導致網絡的潛在需求過高和交通量的無節(jié)制增長，從而造成路網中某些路段上流量達到飽和或過飽和狀態(tài)，引起交通擁擠和排隊，產生資源的浪費。經濟學家相信，緩解城市交通擁擠的一個最直接、經濟上最有效的辦法就是對擁擠路段的使用者收費，付費的人還可以在原來的路段上和時段上行駛，不想付費的人就另擇他路或改變出發(fā)時間。這樣，原來的擁擠的路段就被緩解了。邊際成本定價原理認為，為使整個道路系統(tǒng)得到最有效的利用，行駛在擁擠路段上的用戶應支付一定的費用，才能抵消他所產生的外部不經濟。收取費用的大小等于邊際社會成本和邊際個人成本之差，通過對擁擠路段上的用戶征收這樣一個通行費來修正其對出行費用的錯誤感知，以保證用戶在做出行決策時考慮自己的出行強加給其他用戶的外部不經濟，從而最終在達到用戶平衡的同時也達到了系統(tǒng)最優(yōu)，因而提高了交通系統(tǒng)運行的有效性，達到緩解交通擁擠的目的。3.3靜態(tài)擁擠道路使用收費的定性推導與定量描述3.3.1靜態(tài)擁擠道路使用收費的定性推導（1）供需平衡關系的推導供需平衡關系是導出邊際成本定價的理論基礎，用供需平衡關系研究靜態(tài)擁擠道路使用收費理論時，費用－流量關系是核心。由車速與流量關系圖（圖3.1）可以很容易導出圖3-2所示的時間流量關系圖。將圖3.2的縱坐標乘上時間價值再加上運營成本，便得到平均可變成本與流量曲線AVC（或邊際個人成本曲線）（圖3.3）。流量（輛/h）流量（輛/h）時間（h）Q圖3.2時間流量關系圖流量（輛/h）流量（輛/h）成本（$）MSCAVCQ圖3.3成本流量關系圖圖3.3中，MSC曲線為邊際社會成本曲線，它表示路網中增加一輛車所引起的總成本的增量。當流量接近通行能力Q時，MSC曲線趨于無窮，因為此時不可能有更大的流量發(fā)生。圖3.3是分析邊際成本定價的基礎，在擁擠道路使用收費的經濟模型中發(fā)揮著重要的作用。（2）靜態(tài)擁擠道路使用收費的供需平衡分析為方便分析靜態(tài)擁擠道路使用收費原理，將前面討論的供需平衡關系結果用更清楚的圖3-5表示。圖中D為需求曲線，AVC為邊際個人成本曲線。這里需要說明一點的是，供需平衡關系中所討論的交通流為標準情形，即是同質（homogeneous）的交通流，它們在相同的路段上沿相同的方向運動，路段上僅有一個入口，一個出口，并且除通行能力約束外，沒有任何因素能阻礙交通流的移動。成本（$）成本（$）MSCMSCAVCDMABE0圖3.4流量（輛/h）流量（輛/h）由前面介紹的擁擠道路使用收費原理，在任何需求水平下，邊際社會成本曲線MSC與邊際個人成本曲線AVC的差反映了該需求水平下的擁擠成本。當路網不收費時，由于用戶僅考慮自身的成本，平衡在需求曲線D與邊際個人成本曲線AVC的交點A處達到，此時用戶忽略了他們強加給其他用戶的外部不經濟，任何用戶將以大于他所感知的費用出行，即以出行。結合經濟學原理：完善的市場條件下，資源的有效配置發(fā)生在所有商品和服務的價格都是基于邊際社會成本上定義的；邊際成本等于邊際效益時的均衡價格是最優(yōu)的。因此，從圖中可以看出，最優(yōu)流為邊際社會成本曲線與需求曲線D的交點B所對應的需求處。從系統(tǒng)的角度來說，不收費下的實際需求是超負荷的，因為第個用戶僅得到的效益為，而他引起的邊際社會成本為，此時用戶的出行給系統(tǒng)帶來了的損失。超出最優(yōu)流的交通量所產生的總成本為所圍成的面積，而這些交通量所獲得的效益為所圍成的面積，因此福利損失為所圍成的面積。對于超出需求的其他需求水平有類似的結果。低于的需求也不是最優(yōu)的，因為它將使得路網潛在消費者剩余沒有被充分利用。在最優(yōu)需求處，擁擠道路使用收費為(邊際社會成本減去邊際個人成本)，在這個收費下，路網的經濟效益（總效益減去總成本）將達到最大。擁擠道路使用收費是通過使交通需求從減少到而使經濟效益達到最大的。流量從變到，用戶的旅行成本節(jié)省了，而為減少擁擠，用戶支付的擁擠費為，前者總是小于后者，因此擁擠道路使用收費會帶來一定的經濟收入，這些收入可以用來改善交通基礎設施和改善公共交通。3.3.2擁擠道路使用收費的定量描述假設路網中所有用戶都具有相同的時間價值，設為路段上的流量；是路段由行駛時間折算的成本，它是的嚴格增函數(shù)；則路段上所有用戶的總行駛成本是。若不考慮其它固定費用支出，則邊際個人成本是，邊際社會成本是，邊際成本定價原理認為，收費水平應設置為，即每一個新增用戶給系統(tǒng)帶來的外部不經濟。3.3.3邊際成本定價理論的局限性邊際成本定價理論有其重要的歷史意義，但也具有自身的局限性：（1）該理論將收費路段定義為之有一個出口和一個入口，這與實際的城市路網狀況不符。該理論沒有考慮到交通擁擠在空間上的分布，忽略了不同路徑之間的相互替代性，尤其是在市區(qū)，道路發(fā)達，一個路段的交通擁擠往往波及到其它路段。傳統(tǒng)定價理論中一個交通量只對應一個定價水平，而沒有認識到擁擠的動態(tài)變化，所以該理論只能應用于瓶頸道路的收費方式。（2）該理論的最終定價是邊際社會成本與邊際個人成本之差，然而這兩個參數(shù)在實際應用過程中是很難得到的，很難用具體的數(shù)值量化。（3）在傳統(tǒng)的分析過程中，將各種交通方式單純地用車輛表示，沒有考慮城市客運系統(tǒng)中交通方式的多樣性。邊際成本定價理論把各種交通方式等同起來，忽略了他們之間的可替代性。（4）該理論是從純經濟學的角度進行分析的，缺乏與交通工程學的結合，不能夠研究排隊擁擠，也不能夠分析出行者關于出行的決策行為，而這些通常都是現(xiàn)實交通系統(tǒng)中常見的現(xiàn)象。3.4動態(tài)擁擠道路使用收費在靜態(tài)收費理論中，出行需求和出行成本不隨時間發(fā)生變化，因此靜態(tài)模型收費理論不能分析車輛排隊的消漲過程，不能分析用戶關于出行時間的決策行為，不能分析不同時間價值的人們對收費政策的不同反應，不能實現(xiàn)動態(tài)的收費體制。Vickrey應用確定性排隊理論，首先在1969年提出了道路收費系統(tǒng)的動態(tài)模型——瓶頸模型。瓶頸模型假定用戶行駛于一條連接生活區(qū)和工作區(qū)的公路上，公路入口處有一個通行能力有限的瓶頸。所有用戶都想在上班時刻到達工作區(qū)，但受瓶頸能力限制，這是不可能的，總會有一些人早到一些人遲到。早到和遲到的費用稱作計劃延誤費用（scheduledelaycost）。不收費時，出行費用由行駛時間費用（包括走行時間和等待時間）和計劃延誤費用兩部分構成。每個用戶對何時從生活區(qū)出發(fā)進行決策，以減少其出行總費用。當系統(tǒng)達到平衡時，所有用戶的出行總費用相等。在動態(tài)收費方式下，一定時刻的收費水平等于不收費平衡時該時刻用戶的等待時間費用，這樣就能以收費取代排隊等待時間費用使平衡條件滿足，瓶頸滿負荷運行且無排隊現(xiàn)象。收費并未改變高峰期間，總計劃延誤費用不變，但總行駛時間費用中，由于消除了排隊等待時間費用而使整個系統(tǒng)達到社會最優(yōu)。瓶頸模型作為內生出發(fā)時間的排隊擁擠模型，清晰地論述了排隊擁擠地消漲過程和用戶的出行時間決策，但其中嚴格的假設條件使模型過于簡化。近年來，為了增強模型的現(xiàn)實性，眾多學者對其進行了改進和擴展。交通配流理論基礎由于第三章3.4.3所闡述的種種邊際成本定價理論的局限性，運用邊際成本定價理論來制定收費策略已遠遠不能滿足現(xiàn)實的需要。筆者借助交通規(guī)劃中交通配流理論的思想，建立交通分配與擁擠收費的綜合模型，制定收費策略。所以在這里有必要先介紹交通分配的一些基礎理論，為第五章打下基礎。交通配流問題也就是交通網絡中OD流在網絡中的配置問題。所謂OD流在網絡中的配置，就是將所得的各種交通工具的出行分布數(shù)據(jù)，按照合理可行的原則，分派于某一特定的運輸系統(tǒng)網絡中，其所得的結果為每一路段的交通量。本章先介紹用戶平衡（UE-UserEquilibrium）條件下固定需求、變動需求、車種分離的等價數(shù)學規(guī)劃模型。由于UE條件下的平衡配流問題有諸多假設條件不符合路網的實際情況，所以需要將這些假設條件拓寬，進而介紹了隨機用戶平衡（SUE-StochasticUserEquilibrium）條件下的平衡配流問題。4.1符號定義——網絡所有節(jié)點構成的集合；——所有有向?。绰范危嫵傻募?；——交通源產生節(jié)點的集合（又稱為交通出行節(jié)點集），有;——交通吸引節(jié)點集，；——代表一個起始節(jié)點，；——代表一個終訖節(jié)點，；——OD對之間的所有連接線路構成的線路集合；——OD對之間的交通出行需求量；——OD矩陣（），——路段上的交通量，；——向量（…,,…），；——單位PCU標準機動車通過路段的交通阻抗（也稱綜合行程費用），它包含多項內容：行程時間、安全、成本和舒適程度等，但主要是指時間。通常記：，；——向量（…,,…），；——連接OD對的路徑上的交通流量，；——向量（…,,…），；——OD對間路徑上的阻抗，；——向量（…,,…），——路段線路關聯(lián)變量：關于路段與路徑之間的流量和阻抗，有如下關系：，，4.2用戶平衡（UE）條件下的平衡配流問題有關交通量分配方法很多，但綜合起來，分配模型被分為兩大類：均衡分配模型和非均衡分配模型。如果分配模型滿足Wandrop第一原則，這種模型稱之為均衡分配模型。均衡分配模型由于是按線性、動態(tài)或用其他非線性數(shù)學規(guī)劃理論建模，因而是最優(yōu)分配模型。如果分配模型不使用上述原理，而是用非優(yōu)化的啟發(fā)式解法或其他解法，則被稱為非均衡分配模型。Wardrop（1952年）提出交通均衡UE分配原則。這一用戶最優(yōu)配流策略認定，規(guī)劃目的意義下的路網交通流態(tài)是網絡用戶均衡狀態(tài)下的流態(tài)，即：在交通網絡任意起訖點之間所有可供選擇的路線中，交通需求者使用的諸線路的交通阻抗全部相等，而且小于或等于未被使用的線路的交通阻抗。在路網中，只有當不存在司機能夠單方面改變其路徑、降低其阻抗時，該路網達到穩(wěn)定狀態(tài)，這就是用戶平衡條件的特征。當達到用戶平衡狀態(tài)時，整個系統(tǒng)達到穩(wěn)定，不再存在什么力量可以使這種狀態(tài)變化。用戶平衡條件有如下幾點假設：（1）假設出行者（司機）都力圖選擇阻抗最小的路徑；（2）假設出行者（司機）隨時掌握整個網絡的狀態(tài)，即能精確計算每條路徑的阻抗，從而可以作出完全正確的擇路決策；（3）假設每個出行者（司機）的計算能力是相同的。在以上這些假設條件下的配流問題稱為確定性配流，得到的平衡條件稱為確定性平衡條件，即UE條件。Wardrop第一原則可以用以下數(shù)學模型來描述（Beckmann于1956年首次提出）：式中：為OD對間最小阻抗。4.2.1固定需求用戶均衡配流模型當運量需求的OD是固定的，也就是每個起訖點之間的交通量給定的情況下，求出網絡中每條弧上的流量滿足Wardrop第一原則。該問題等價于下列數(shù)學規(guī)劃：min（4.1a）s.t.（4.1b）（4.1c）（4.1d）模型（4.1）中的目標函數(shù)是所有弧阻抗函數(shù)積分的和，它本身并沒有什么直觀的經濟含義，但對推導（4.1）的解與Wardrop第一原則之間的等價關系非常有用。方程（4.1b）代表路徑流量與OD流量之間的守恒關系，（4.1d）保證所有的路徑流量一定是正值。而方程（4.1c）是弧流量與路徑流量之間的關聯(lián)關系，有（4.2）在模型（4.1）中，假設弧阻抗僅僅是該弧流量的函數(shù)，與其它弧上的流量沒有聯(lián)系。另一個假設是：弧阻抗是流量的嚴格增函數(shù)。兩個假設用數(shù)學的形式表達就是：（4.3a）（4.3b）4.2.2需求變動的用戶平衡配流模型需求變動的用戶平衡配流問題，是上節(jié)所介紹的固定需求UE問題的擴展，即運量需求的OD陣不再是固定的，而是網絡達到平衡狀態(tài)時的OD費用陣的函數(shù)：變需求UE問題的等價極小值問題如下：（4.4a）s.t.（4.4b）（4.4c）（4.4d）式中是需求函數(shù)的反函數(shù)，向量且。4.2.3車種分離平衡問題公共汽車是我們日常生活中比較常見的一種交通工具。由于公共汽車的行駛路線是固定的，所以對選定公共汽車的出行者就不能用通常的配流方法。假設網絡的每個OD對都有公共汽車線連接，并且假設從選用公交的阻抗是常數(shù)，令其為，而其運量定義為。另一個假設是公交車流與小汽車流互相獨立，故從的公交線可以額外用一條路徑表示（圖4.1）。rrs基本網絡公交線圖4.1圖4.1兩車種UE條件為：（1）基本網絡上的流量滿足UE條件；（2）、運輸方式分離函數(shù)，即（4.5）式中：表示發(fā)生的總的交通量，是發(fā)生的公交車的交通量，；是一個待估的參數(shù)。與條件（1）、（2）等價的極小值問題如下：（4.6a）s.t.（4.6b）（4.6c）（4.6d）4.3隨機用戶平衡（SUE）下的平衡配流問題上一節(jié)所介紹的是確定性配流問題。它的一個核心假設就是：司機總是選擇起訖點間的最短或最低成本或最小阻抗路徑，它要求司機對整個網絡的交通狀況有完全正確的了解，能夠計算最小路徑阻抗，且全部司機在交通行為上是一致的，這一假設是UE條件的基礎。但實際情況并非這么簡單：司機不可能對整個網絡的交通狀況有完全正確的理解；由于交通網絡的復雜性，司機不能夠精確計算最小的路徑阻抗；每個司機的理解力并不是都相同的，所以在交通行為上也不會完全一致。因此有必要放開這個嚴格而不現(xiàn)實的假設條件，讓司機對路段阻抗的估計有一個隨機誤差，從而用隨機模型來描述路徑選擇過程。4.3.1幾個基本概念4.3.1.1一種離散選擇模型——LOGIT模型人們對眾多方案選擇問題，總是難以下決策的。某方案的效用值表明了如果決策者選擇該方案將會獲得的好處大小。決策者總是選擇能產生最高效用值的方案。設方案的集合為K，方案的效用為，向量。令a是向量變量，則。在這里將效用定義成一個隨機變量，它有確定性的系統(tǒng)項和附加的隨機項誤差組成，即：（4.7）式中是系統(tǒng)項，為隨機誤差項，且，此即意味著，。又稱作“感覺效用”或“認識效用”，即它是決策者對第個方案感覺到的、或理解到的、或認識到的效用值，而稱作“測量效用”，它是系統(tǒng)分析員對第個方案測得的效用值。當效用值的分布已知時，一個方案被某個決策者選中的概率就可以計算出來。即方案被選中的概率就是效用高于其他方案效用的概率：（4.8）選擇函數(shù)擁有一般概率函數(shù)的特征，即當誤差項的分布已知時，效用的分布就可以確定下來，然后選擇函數(shù)也可以直接計算出來。因此選擇概率取決于效用函數(shù)的特征和隨機項的分布。使用最廣泛的隨機選擇模型是LOGIT模型。在這里假設每個效用函數(shù)的隨機誤差項都是互相獨立的，且都服從Gumbel變量分布，則從效用極大的原理出發(fā)可以推導出如下的選擇概率：（4.9）可見方案的選擇概率是該方案測量效用值與其他方案測量效用值之差的函數(shù)。Gumbel變量的分布函數(shù)是：式中W為任意實數(shù)，E是歐拉常數(shù)。4.3.1.2隨機路徑選擇問題假設一組司機準備從一起始節(jié)點行駛至另一終訖節(jié)點，起始節(jié)點與終訖節(jié)點之間有多條被選路徑，每一條路徑上均有一定的阻抗。由于各種不明因素的作用（天氣、光線等），每一司機都會對路徑阻抗有不同的理解，因此把司機對路徑的理解阻抗模擬成分布與司機組上的隨機變量是很自然合理的事情。再假定：給定司機的理解阻抗后司機必定選擇起始點至終訖點的最短路徑。由于司機從不同角度理解與估算路徑阻抗，故司機選擇的路徑可能不相同。隨機運量加載問題就是要研究在路徑的理解阻抗的分布函數(shù)基礎上，估算有多少司機使用每一條路徑，或者說，在假設路徑阻抗為隨機變量的前提下，以及每位司機有不同的阻抗理解值的基礎上，路徑是如何被選中的。設為起始點與終訖點之間路徑上的理解阻抗，為隨機變量；再令為實際的路徑阻抗值（或側得的值），且設（4.10）式中是隨機誤差項，且有，或者。如果從至的車輛很多，由弱大數(shù)定理知：這么多司機中，選擇第條路徑的司機所占的比例是路徑被選中的概率就是該路徑的阻抗被理解為最小阻抗的概率。當從至的OD運量為，路徑被選中的概率為，路徑上的運量應該是：（4.11）路段流量則是：（4.12）隨機路徑選擇模型在實際運用上效果好過確定性UE模型，其原因之一就是確定性模型對于網絡本身的細微變化過于敏感，而事實上不應如此。它既要求司機對網絡狀況和路徑阻抗有準確地認識和計算，又不允許阻抗測定上的細小的誤差，這種嚴格的條件在實際問題中是難以滿足的。而隨機運量加載模型通常沒有太高的靈敏度，并且它對路徑阻抗沒有要求精確的認識和計算，這些都比較符合實際的交通網絡狀況。4.3.1.3滿意函數(shù)在介紹滿意函數(shù)之前，先介紹滿意度的概念。“滿意度”是決策者從K個方案中能估算到的效用。若每個決策者都想選擇效用最大的方案，則“滿意度”就是最大效用方案的期望值，即：（4.13）若給定，和隨機項的分布，則“滿意度”可以表示成向量的函數(shù)，這就是滿意函數(shù)，即：（4.14）滿意函數(shù)有下列二個重要的性質：（1）滿意函數(shù)對是凸的，本文討論的離散選擇模型中，滿意函數(shù)還是嚴格凸的；（2）滿意函數(shù)對某方案的系統(tǒng)效用求偏導，就是該方案的選擇概率：（4.15）4.3.1.4期望理解阻抗令為與之間眾多路徑的期望理解阻抗，即（4.16）假設司機在路徑上行駛的效用是，為正的比例參數(shù)，則在與之間有一定的關系：（4.17）因此，期望理解阻抗有如下性質：（1）相對于是凹的；（2）相對于的偏導數(shù)就是路徑被選中的概率，即（4.18）4.3.2隨機用戶平衡下居民出行分析在分析隨機用戶平衡下的居民出行行為前，具體的符號重新定義如下：假定交通網絡存在兩種交通工具：小汽車和公交車，所以混合交通的情況下，交通需求量分為兩部分：——起始節(jié)點和終訖節(jié)點間總的OD流量；——起始節(jié)點和終訖節(jié)點間小汽車的OD流量；——起始節(jié)點和終訖節(jié)點間公交車的OD流量；——弧上的小汽車流量；——弧上的公交車流量；——弧上的小汽車期望阻抗，；——弧上的公交車期望阻抗，；——OD對和間路徑上的小汽車流量；——OD對和間路徑上的公交車流量；——OD對和間路徑上的小汽車阻抗（隨機變量）；——OD對和間路徑上的小汽車廣義期望阻抗，——OD對和間路徑上的公交車期望阻抗；——OD對和間小汽車路徑的集合；——OD對和間公交車路徑的集合；——OD對和間小汽車的吸引力；——OD對和間公交車的吸引力；4.3.2.1路徑選擇分析根據(jù)效用最大化原理，居民出行將選擇交通阻抗（出行時間，出行費用也包括擁擠收費）最小的路徑，也就是說所有被居民采用的路徑阻抗都相同，并且都比任何未被使用的路徑阻抗小。在這里，把交通阻抗的相反數(shù)定義為居民在路徑選擇上可獲得的效用，因此路徑被選中的概率為：或；記，其中；假定，，且都服從參數(shù)為的Gumbel分布，即密度函數(shù)為；記對的一個給定值，因為被假定為獨立的，所以這個聯(lián)合事件的條件概率是：則，記，故變換后：其中因此路徑被小汽車選用的概率是：（4.19）從而路徑上的小汽車交通流量是：（4.20）這實際上就是Logit模型。同理可以證明路徑上的公交車的交通流量是：（4.21）進一步可以證明選用小汽車出行的居民選擇路徑的滿意度是：（4.22）具體證明過程如下：==其中故的密度函數(shù)為：所以，令，根據(jù)則由此得證。同理可以證明，選用公交車出行的居民選擇路徑的滿意度是：（4.23）4.3.2.2方式選擇分析根據(jù)效用最大化原理，居民將選擇能帶來最大效用的出行方式。本文將分為小汽車、公交車兩種出行方式。這里，小汽車、公交車可帶來的效用分別是：因此小汽車被選中的概率是：記并且其中：假定相互獨立，且都服從參數(shù)為的Gumbel分布，即密度函數(shù)為記對的一個給定的值，因為，被假定為相互獨立的，這個聯(lián)合事件的條件概率是：因為則=記所以變換后其中因此在從起訖點間，選用小汽車出行的概率為：從而起訖點間，小汽車的交通流量是：（4.24）這實際上也就是Logit模型。同理可以證明，起訖點間公交車的交通流量是：（4.25）進一步可以證明在起訖點間出行者在選擇方式上的滿意度是：=（4.26）具體證明過程如下：因為而==所以=其中所以的密度函數(shù)為：因此令，根據(jù)則=4.3.2.3結論綜合以上的分析，我們得出在隨機用戶平衡條件下，并且存在雙車種的情形下，隨機平衡配流的基本模型是：（4.27a）（4.27b）（4.27c）（4.27d）居民出行在路徑選擇和方式選擇上的滿意度分別是：（4.27e）=（4.27f）擁擠道路收費與交通分配的綜合模型在這一章筆者建立了擁擠道路收費與交通分配的綜合模型，以期望制定出有效的收費策略。擁擠道路收費的研究是以經濟學上的成本定價原理為基礎的。這一研究方法沒有考慮到路網的具體的拓撲結構，因而也就忽略了用戶對收費策略所做出的反應，容易導致不合理的收費決策。本章就以交通配流的理論為基礎，運用數(shù)學規(guī)劃和隨機效用的方法，建立擁擠收費與交通分配的雙層規(guī)劃模型。交通系統(tǒng)可以看作是具有兩個決策者的集合——交通規(guī)劃管理者和交通需求者。其中交通規(guī)劃管理者先掌握交通需求者對擁擠收費決策的反應，并以此來制定收費策略，而交通需求者根據(jù)交通規(guī)劃管理者指定的收費策略及路網的交通狀況來決定自己的出行行為。因此可以將擁擠道路收費問題描述為一個雙層的數(shù)學規(guī)劃問題，其中交通規(guī)劃管理者為上層決策者（Leader），而交通需求者為下層決策者（Follower）。上層決策者通過它自身的決策來影響下層決策者的決策，并不是直接控制下層決策者的決策行為。Yang和Lam（1996）、Yang和Bell（1997）利用雙層規(guī)劃和機遇靈敏度分析的算法對擁擠道路收費問題進行了研究。李志純、谷強和史峰（2001）建立了彈性需求下?lián)頂D道路收費的模型，但該模型只是針對標準的交通網絡的，在該網絡中只有一種車。谷強、李志純（2002）建立了混合交通平衡下的擁擠道路收費模型，該模型將標準網絡進行拓展，考慮了公交車和小汽車混合交通下的收費策略，但是以確定性的配流理論為基礎。所以有必要對上述各研究成果進行改進。本章將以隨機配流理論為基礎，建立混合交通下的擁擠道路收費雙層規(guī)劃模型。5.1混合交通下?lián)頂D道路收費雙層規(guī)劃模型的建立5.1.1混合交通下下層SUE模型的建立首先考慮路徑選擇的隨機用戶平衡。假定任意起訖點和間所有小汽車司機相信路徑具有最小的阻抗，根據(jù)4.3.2.1可知，隨機用戶平衡下，OD對和間路徑被選中的概率是：（5.1）所以，（5.2）并且：（5.3）同理可證，起訖點和間所有公交車司機相信路徑具有最小的阻抗，則路徑被選中的概率是：（5.4）所以，（5.5）并且有（5.6）其次，考慮方式選擇。根據(jù)4.3.2.2可知，在OD對已經確定的條件下，小汽車被選中的概率是：（5.7）其中（5.8a）（5.8b）現(xiàn)在問題是如何確定一個收費策略，能夠得到，是它們分別滿足約束條件：（5.9a）（5.9b）（5.9c），，，（5.9d）并且同時滿足：(5.10a)(5.10b)(5.10c)(5.10d)為此，可以構造極小值模型如下（P1）：++－s.t.（5.11a）（5.11b）（5.11c）（5.11d）（5.11e）,,,,（5.11f）目標函數(shù)中，表示路段上小汽車的廣義出行費用，其中包括道路擁擠收費，即：（5.12）這里所需指出的是，為了計算上的方便，本文所討論的收費其單位是與阻抗的單位相一致，即都是以時間作為衡量標準。把與實際的時間價值相乘就能得出真正意義上的收費。并且路徑的廣義出行費用與路段上的費用之間的關系是：（5.13）上述模型的目標函數(shù)本身并沒有任何直觀的物理含義，創(chuàng)建上述形式的目標函數(shù)的目的僅在與推導模型的解與路徑流量、方式選擇等要求之間的等價關系。約束條件（5.11a）是OD需求約束；（5.11b）、（5.11c）分別表示小汽車、公交車的路徑流量與OD流量之間的關系；（5.11d）、（5.11e）分別表示小汽車、公交車的弧流量與路徑流量之間的關聯(lián)關系；（5.11f）是非負約束。5.1.2下層極值模型與路徑流量、方式選擇要求的等價性證明該模型是一個帶線性等式和非負值約束的極小值問題，其Lagrangian函數(shù)為：+其中，分別是對約束條件（5.11a）、（5.11b）、（5.11c）的對偶變量。對于任何一個數(shù)學規(guī)劃問題，其任意局部極小解或駐點解均滿足一階條件。如果該模型的一階條件等價于路徑流量、方式選擇要求，則說明任意極小點（或駐點上），路徑流量、方式選擇要求成立，問題的一階條件等價于使Lagrangian函數(shù)極小的條件，同時要求：,,,,Lagrangian函數(shù)的變量是,,,，及對偶變量，，其一階條件為：（5.12a）（5.12b）（5.12c）（5.12d）（5.12e）因模型中存在，所以一階條件（5.12a）、（5.12b）、（5.12c）、（5.12d）可以改寫為：因為=同理經計算得（5.13a）（5.13b）（5.13c）（5.13d）=0（5.13e）（5.13f）（5.13g）根據(jù)（5.13a）得則（5.14）則(5.15)同理根據(jù)（5.13b）得由（5.14）得（5.16）將（5.15）代入（5.13c）得：同理則所以（5.17a）同理可證（5.17b）這說明極小值問題的解就是滿足路徑流量、方式選擇的要求，從而完成了等價性的證明。5.1.3上層決策者模型的建立從上層管理者的角度來看，擁擠道路收費的最終目的是要使整個路網系統(tǒng)的性能達到最優(yōu)，通常用來衡量路網性能的指標有以下兩個：（1）使總的網絡成本最??；（2）使總的網絡收益最大。用表示總的網絡成本：=（5.18）用表示總的網絡收益：=（5.19）一般來說，同時優(yōu)化兩個目標的收費是不相同的。如果僅以作為上層模型的目標函數(shù)，則當總的網絡成本達到最小時，總的網絡收益卻不能達到最優(yōu)；同樣，以作為目標函數(shù)，當總的網絡收益達到最大，有可能會導致網絡成本不合理。僅以或作為上層模型的目標函數(shù)并不能全面地體現(xiàn)整個交通網絡的性能，所以，為了協(xié)調這兩者之間的關系，本文以總的網絡收益與總的網絡成本之差，即，作為上層決策者模型的目標函數(shù)。當和之間的差距越大，則說明所實現(xiàn)的網絡收益越大，網絡成本越小。所以，上層模型（P2）如下：max=-s.t.（5.20a）（5.20b）（5.20c）其中，分別是路段的通行能力與公交車的承載能力（Capacity）。為乘坐小汽車的人數(shù)與小汽車的比例，在本文設。5.1.4混合交通平衡下?lián)頂D道路收費的雙層規(guī)劃模型將上層決策者模型與下層混合交通下的SUE模型結合形成如下的雙層規(guī)劃模型（P3）：max-s.t.式中的由下層規(guī)劃模型得到：++－s.t.,,,,這一雙層規(guī)劃模型就是尋找一個收費策略，使得當交通網絡滿足混合交通下的路徑選擇和方式選擇的要求時，整個系統(tǒng)的性能達到最優(yōu)。5.2雙層規(guī)劃模型的求解算法5.2.1下層SUE模型的算法在介紹下層SUE模型的算法之前，先來證明該模型最優(yōu)解的唯一性?？梢宰C明目標函數(shù)是嚴格凸函數(shù)，具體證明過程如下：因為則根據(jù)（4.3b）可知，同理并且所以[]對應的Hessian矩陣是正定的，故它是嚴格凸函數(shù)。因，則是嚴格凸函數(shù)。同理可證，，，是嚴格凸函數(shù)；而是線性函數(shù)，也試凸函數(shù)。所以目標函數(shù)是嚴格凸函數(shù)。因為約束條件為線性的，故為凸集，因此下層SUE模型具有唯一解。模型的求解可以利用方向搜索法得到，具體步驟如下：第一步初始化。給定、，令，確定訖點間的路徑阻抗，以及相應的，置迭代次數(shù)n=1；第二步使用公式（5.10a）、（5.10b）、（5.10c）、（5.10d）計算輔助路徑流量、輔助方式劃分OD流量，；第三步確定相應的輔助弧流量；第四步求解，使下式最小+－－＋－（5.21）其中，，第五步求出，置，，，，，第六步收斂性檢驗（5.22）這里是一個給定的正數(shù)，如果滿足收斂性準則，則停止迭代，否則重復進行。5.2.2雙層規(guī)劃模型的解法在介紹雙層規(guī)劃模型的算法之前先介紹步長加速法的基本原理，如下：假定欲求某函數(shù)的極小點，為此，任選一基點，算出此點的目標函數(shù)值。然后沿第個坐標方向以某一步長進行探索，即在和這兩點中尋找能使目標函數(shù)值下降的點，并把它作為臨時矢點；再有此點出發(fā)沿另一坐標方向進行同樣的探索，如能得到比以前更好的點，就以該點替代前面的點作為新的臨時矢點。如此沿各個坐標方向輪流探查一遍，并選這一輪探索最好的電（最后的臨時矢點）作為第二個基點。由第一個基點和第二個基點構成了第一個矢模，把第一個矢模加長，即乘以一個加速因子得到。設是第二個矢模的終點，下一步迭代的初始臨時矢點，這樣就構成了第二個矢模。如此繼續(xù)下去就可得到越來越好的目標下降點。如果探索進行到某一步時得不到新的下降點，則應縮小步長以進行更精細的探索，當步長已縮小到某一精度要求，但仍得不到新的下降點時，即可將該點作為所求得近似極小點，就此停止迭代。本文設計了一個基于步長加速法和懲罰函數(shù)法的直接搜索發(fā)來求解雙層規(guī)劃模型。該算法把下層SUE模型視為上層模型的約束條件，下層模型在雙層規(guī)劃模型中的作用是傳遞變量值，整個算法的核心是求解上層模型。先將上層模型利用懲罰函數(shù)法化為無約束的極值問題，得到如下模型（P4）：－++（5.23）s.t.算法的基本思路是：對給定的懲罰因子利用步長加速法求解模型（P4）。選定一組初始收費方案，先進行探測搜索：即在當前收費方案下，求解下層SUE模型，將求解得到的路段流量和OD流量反饋到上層模型中，再按一定步長探求一組使目標函數(shù)式（5.23）下降的新的收費方案，若這樣的方案不存在，則判斷是否滿足停止準則（為達到該精度要求的步長），如果不滿足，則減小步長重新探求；若存在這樣的方案，則進行模式搜索，循著找到的有利下降方向，采用加速因子做步長加速搜索。對每一固定的懲罰因子，兩種搜索重復進行，直至滿足停止準則，得到該懲罰因子下的最優(yōu)解。如果該最優(yōu)解中存在路段流量超過其通行能力，則增大懲罰因子的值，重復以上過程，直至每一條路段上的流量都不超過其通行能力時為止，此時的解即是雙層規(guī)劃模型的最優(yōu)解。算法的具體步驟如下：第0步給定初始懲罰因子，置；第1步選定一組初始收費方案，置，求解下層SUE問題，得到，代入上層目標中計算，選擇初始步長和加速因子，置（）；第2步探測搜索，置（為第個元素為1，其余元素為0的單位向量），先置，求解下層SUE問題，計算上層目標。若<，則值不變；否則就置，如果這時仍舊>,則，，重復第二步，即同理，重復進行上面的運算，得出；第3步模式搜索，若、，則令，，，轉第2步；若、，則轉第4步，否則置，，轉第2步；第4步若，則加大懲罰因子，即，令轉第1步，否則，輸出的作為最優(yōu)解，停止運算。5.3算例網絡圖如圖1所示，有一個OD對（1,2）、3個節(jié)點、3條路段。1123333123圖5-1圖中，實線為小汽車路段，虛線為公交線（該線僅經過路段3）。設分別為路段1、2、3上的擁擠收費，各路段的阻抗函數(shù)為：公交車的阻抗函數(shù)為：。假定OD對需求量，，，，，，?，F(xiàn)要制定擁擠收費策略，使網絡性能達到最佳。下層模型的求解步驟：（收斂準則）設，則：則則