4系統(tǒng)穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性描述當系統(tǒng)遭受外界擾動偏離原來的平衡狀態(tài)，在擾動消失后系統(tǒng)自身能否恢復到原來平衡狀態(tài)的一種性能。一個不穩(wěn)定系統(tǒng)是不能正常工作的，如何判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及如何改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析與設(shè)計的首要問題。所以討論穩(wěn)定性時只考慮的自由系統(tǒng)。Lyapunov穩(wěn)定性口考慮階自由系統(tǒng)：狀態(tài)向量：，向量：對，若存在某一狀態(tài)點，使得對所有的都為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)（平衡點）一個系統(tǒng)不一定存在平衡點，但有時又可以有多個平衡點。平衡點大多數(shù)在狀態(tài)空間的原點。若平衡點不在原點，而是狀態(tài)空間的孤立點，則可以通過坐標變換移到原點。經(jīng)典控制理論：用傳遞函數(shù)描述線性定常系統(tǒng)，主要用特征函數(shù)的極點分布、Routh（勞斯）判據(jù)、Hurwitz（胡爾維茨）判據(jù)、Nyquist（奈奎斯特）判據(jù)等來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性?，F(xiàn)代控制理論：用狀態(tài)空間描述MIMO線性時變系統(tǒng)或非線性時變系統(tǒng)。根據(jù)系數(shù)矩陣的特征值即系統(tǒng)極點的分布來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。求出的是“既能控又能觀”的極點，它也可以由傳遞函數(shù)求出；求出的是“能控不能觀”、求出的是“不能控能觀”、求出的是“既不能控又不能觀”部分的極點，他們由于“零極點相消”不能反映在傳遞函數(shù)中，因而也不能由傳遞函數(shù)求出；Lyapunov間接法：通過求解系統(tǒng)的動態(tài)方程（求解困難甚至求解不出，受到很大限制!），再根據(jù)解的性質(zhì)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；Lyapunov直接法：不通過求解系統(tǒng)的動態(tài)方程，只通過構(gòu)造Lyapunov標量函數(shù)直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。口4.1.1Lyapunov穩(wěn)定性定義口定義4-2（Lyapunov臨界穩(wěn)定）對任意給定的“小距離”（無論多么小的），總可以根據(jù)給定的和初始時間找到一個“半徑”，只要系統(tǒng)初態(tài)與平衡點的距離小于“半徑”時，就有任何時狀態(tài)與平衡點的距離小于給定的“小距離”，，則稱平衡狀態(tài)是Lyapunov穩(wěn)定（）。如果不需根據(jù)初始時刻來尋找“半徑”，則稱一致穩(wěn)定（）。稱多維空間距離Euclid范數(shù)（4-2）這就是說：根據(jù)指定的小和系統(tǒng)的初始狀態(tài)，以平衡點，以后系統(tǒng)的狀態(tài)就只能在指定的范圍內(nèi)運行，在平衡點附近振蕩，稱為Lyapunov臨界穩(wěn)定。如果我們只根據(jù)指定的小就能劃定一個半徑為的范圍，使系統(tǒng)只能在指定的范圍內(nèi)運行，稱為一致Lyapunov穩(wěn)定口圖4-1小球的穩(wěn)定性圖4-2李氏穩(wěn)定定義4-3（漸近穩(wěn)定，局部穩(wěn)定）系統(tǒng)不僅Lyapunov穩(wěn)定，而且，則稱平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定（）。如果不需根據(jù)初始時刻來尋找半徑，則稱一致漸近穩(wěn)定。物理意義：系統(tǒng)狀態(tài)開始在平衡點附近，則系統(tǒng)狀態(tài)軌線最終落在平衡點。只有漸近穩(wěn)定才是工程意義上的穩(wěn)定。但漸近穩(wěn)定仍然是某平衡點附近的穩(wěn)定（局部穩(wěn)定），并不意味著整個系統(tǒng)就能運行。圖4-3漸進穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）圖4-4全局穩(wěn)定圖4-5不穩(wěn)定定義4-4若對任意初始狀態(tài)，都有，則稱平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定物理意義：無論開始系統(tǒng)狀態(tài)在何處，其狀態(tài)軌線最終會落在平衡點定義4-5（不穩(wěn)定）對任意給定的“小距離”，無論“半徑”怎么小，系統(tǒng)至少有一個初態(tài)，當，則有任何時候的狀態(tài)與平衡點的距離大于給定的“小距離”，，則稱平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定（李氏不穩(wěn)定）。幾何意義是：無論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何接近平衡點，狀態(tài)遠離平衡點不會回到原平衡點或原平衡點附近。Lyapunov間接法判別穩(wěn)定性口定理4-1狀態(tài)穩(wěn)定性（內(nèi)部穩(wěn)定性）判別定理間接法。判斷平衡點的穩(wěn)定性。的特征值，所對應的約當塊是二維的是不穩(wěn)定平衡點。，顯然，當，有是不穩(wěn)定平衡點。由此不難得出：“漸近穩(wěn)定”的結(jié)論（2）和“不穩(wěn)定”的結(jié)論（3）*非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性間接法穩(wěn)定性判別定理只能用于線性系統(tǒng)，因此，對于非線性系統(tǒng)，必須先作線性化處理，是高階導數(shù)項。（4-3）令，，則（4-4）在系統(tǒng)一次近似的線性化方程基礎(chǔ)上，Lyapunov給出如下結(jié)論：口分析系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性系統(tǒng)非線性通常有多個平衡點。令，可求出系統(tǒng)的平衡點：將系統(tǒng)在處線性化：其特征值，表明非線性系統(tǒng)在處不穩(wěn)定。將系統(tǒng)在處線性化：其特征值的實部為零，不能來判斷系統(tǒng)在處是否穩(wěn)定。Lyapunov直接法判別穩(wěn)定性）口力學原理：消耗能量能量，吸收能量—能量電學原理：放電能量，充電能量，但系統(tǒng)能量圖4-6RC電路的充放電過程口（1）若能量變化小于零，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；（2）若能量變化大于零，系統(tǒng)不穩(wěn)定（3）若能量變化等于零，系統(tǒng)“臨界穩(wěn)定”。分析系統(tǒng)（1）電感、電容都是線性的，（例4.1.1）；（2）電感、電容都是線性的，（例4.1.2）；（3）電感是線性的，電容具有非線性的庫伏特性，（例4.1.3）；RLC串聯(lián)電路系統(tǒng)口解：（1）當電感、電容都是線性的，，以電感磁通和電容電荷為狀態(tài)變量，可寫出狀態(tài)方程，該電路無外界能量輸入，同時電路中沒有能量損耗，圖（1）時狀態(tài)方程圖所以電路總能量W恒定?？诳梢?，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡是一個橢圓。系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。（2）當電感、電容都是線性的，且，相應的狀態(tài)方程為圖（2）時狀態(tài)方程圖，電阻是耗能的，電路的總能量不斷減少。設(shè)，再令初始狀態(tài)為，求得方程的解為當時，，故系統(tǒng)總能量狀態(tài)軌跡圖表明，從原點附近出發(fā)的狀態(tài)軌跡不僅能保持在原點附近，且隨著時間的推移逐漸趨向于原點，因此系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。（3）當電感是線性的，電容具有非線性的庫伏特性，時，相應的狀態(tài)方程為此時電路無外界能量輸入，電路中也沒有能量損耗，所以電路總能量W恒定。口圖（3），時狀態(tài)方程圖令，得到系統(tǒng)的3個平衡點，分別是（0,0）、（±1,0）。狀態(tài)軌跡圖如圖?？v軸交點為，橫軸交點為由圖看出，過原點的狀態(tài)軌跡有的回到原點，也有的離開原點，因此，從原點任意小鄰域出發(fā)的軌跡都不能始終保持在原點附近，因此系統(tǒng)在原點處是不穩(wěn)定。以上例題表明了系統(tǒng)能量與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系。4.2Lyapunov穩(wěn)定性定理口1892年，俄國數(shù)學力學家Lyapunov在他的博士論文《運動穩(wěn)定性的一般問題》中提出了著名的Lyapunov穩(wěn)定性理論。其核心是構(gòu)造一個標量函數(shù)作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)（Lyapunov函數(shù)）?？谠O(shè)階系統(tǒng)，平衡狀態(tài)，如果存在一個對所有都有連續(xù)的一階偏導數(shù)的正定的標量函數(shù)定義（4-5）Sylvester判據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理）對非線性系統(tǒng)，，，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)，滿足以下條件若負定（，則是漸近穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）；若當時，，則系統(tǒng)是全局穩(wěn)定；半負定（，則是Lyapunov穩(wěn)定（臨界穩(wěn)定）；若（不是狀態(tài)方程的非零解），則是漸近穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）；正定（，則是不穩(wěn)定；試確定例4.2.1）系統(tǒng)，a二const.平衡點的穩(wěn)定性。令求得是唯一平衡點。試取處，漸進穩(wěn)定不穩(wěn)定李氏穩(wěn)定有連續(xù)偏導數(shù)①當，有，是穩(wěn)定平衡點；口②當，有，是不穩(wěn)定平衡點；口③當，有，是Lyapunov穩(wěn)定平衡點；口表明所選可判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，是Lyapunov函數(shù)。試確定平衡點的穩(wěn)定性。Lyapunov函數(shù)法：令求得是唯一平衡點?？谟羞B續(xù)偏導數(shù)符號不定，無法確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，因此不是Lyapunov函數(shù)取有連續(xù)偏導數(shù)，只要在的“橫軸”上（不一定在原點），就有，因此是Lyapunov穩(wěn)定平衡點，是Lyapunov函數(shù)。，但不恒等于0（半負定），是漸近穩(wěn)定又，因而是大范圍漸近穩(wěn)定。取函數(shù)：根據(jù)定理可知是漸近穩(wěn)定，所以是Lyapunov函數(shù)?？梢奓yapunov函數(shù)并非唯一，無論怎樣取Lyapunov，只要符合函數(shù)的條件，能判別平衡點的穩(wěn)定性，就是Lyapunov函數(shù)口此題為線性系統(tǒng)，也可以采用“間接法”來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：系數(shù)矩陣為，，根據(jù)Routh方法，一階和二階系統(tǒng)，只要系數(shù)為正，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。實際上的實部＜0。例4-5設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖，試分析穩(wěn)定性。一口即一,取，并不影響討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故其解為這是系統(tǒng)。Lyapunov函數(shù)法：設(shè)于是穩(wěn)定性與輸入無關(guān)，只考慮齊次方程是唯一平衡點。試取有連續(xù)偏導數(shù)根據(jù)定理可知系統(tǒng)是Lyapunov,Lyapunov穩(wěn)定在工程意義上是不穩(wěn)定的這與經(jīng)典控制理論的結(jié)是的，顯然，故是Lyapunov試分析系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性?？诹钍俏ㄒ黄胶恻c。試取，有連續(xù)偏導數(shù)當，在的圓上，，故是Lyapunov穩(wěn)定平衡點；當，在的圓內(nèi)，，同上討論，對狀態(tài)方程的非零解，，故是漸近穩(wěn)定平衡點；所選可判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，是Lyapunov函數(shù)。其穩(wěn)定域是單位圓內(nèi)系統(tǒng)不是大范圍漸近穩(wěn)定的。Lyapunov函數(shù)構(gòu)造方法線性系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)構(gòu)造方法口以下給出判別線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件。設(shè)，取正定二次型作Lyapunov函數(shù)，即為正定對稱矩陣，有（4-5）口（4-6）式中：，顯然，若是正定對稱矩陣，則，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，于是有以下定理。線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是，給定一個正定對稱矩陣，若一個正定對稱矩陣，滿足Lyapunov方程（4-7）口此時Lyapunov函數(shù)為（4-8）口矩陣只要滿足正定對稱，并無其他要求的任意性正表明Lyapunov函數(shù)的不唯一性），取然后通過Lyapunov方程求解出正定對稱矩陣，對階對稱矩陣共有個獨立元素，求解出這個獨立元素，就可確定，計算的順序主子式的符號可確定對稱矩陣的定號性，由此可構(gòu)造出Lyapunov函數(shù)，再根據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Lyapunov方程方法分析系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性。設(shè)對稱矩陣求解Lyapunov方程確定f口解得：一個對稱矩陣若方程無解，說明找不到對稱矩陣。計算的順序主子式的符號的正定性奇數(shù)主子式：偶數(shù)主子式：根據(jù)判據(jù)，有，即是正定對稱矩陣，再根據(jù)定理4-可以判別系統(tǒng)是的。系統(tǒng)的一個Lyapunov函數(shù)為口Matlab軟件給出了求解Lyapunov方程的函數(shù)，他的一般形式為P=lyap（A,,Q）口的解。應用Matlab軟件來判斷上例的穩(wěn)定性，可執(zhí)行m-文件（eye（2）為2階單位矩陣）得到進一步，由給出矩陣的特征值或者，由于矩陣所有特征值都是正的，矩陣是正定的，系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定。（任何矩陣都可以通過非奇異變換成“對角元是矩陣特征值”的對角矩陣，而對角元為正的對角矩陣，矩陣必定是正定的）。在一些實際控制系統(tǒng)中，操作員往往需要在線調(diào)整一些參數(shù)以改善系統(tǒng)的特性，然而這些參數(shù)的改變不應該導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，為此需要確定這些參數(shù)可允許調(diào)節(jié)的范圍，以確保系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例4-8（例4.3.2）在保證系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的情況下，確定系統(tǒng)增益的可調(diào)節(jié)范圍。解：，；，。由圖可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性時，均可假設(shè)在用Lyapunov方程處理方法來判別線性時不變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性時，右邊的矩陣有時也允許是半正定的，這樣可以使數(shù)學運算得到簡化。式中矩陣，，，，滿足半正定的充要條件，所以是半正定的。求解相應的線性方程組可得：矩陣是正定的充要條件是：，因此當滿足條件時，系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。用Krasovski（克拉索夫斯基）方法構(gòu)造Lyapunov函數(shù)口由上面討論可知，若找到了Lyapunov函數(shù)，用直接法分析穩(wěn)定性是方便的，然而構(gòu)造Lyapunov函數(shù)卻成了新問題。盡管通過研究得到了一些方法，但Lyapunov函數(shù)的方法?？跀?shù)學知識：設(shè)，那么特例：；下面介紹一種Krasovski方法構(gòu)造函數(shù)?？趯ο到y(tǒng)，平衡點為取，記共軛為“”，轉(zhuǎn)置為“”，共軛轉(zhuǎn)置為“~”。若則是漸近穩(wěn)定的Lyapunov函數(shù)為口（4-9）當，則是大范圍漸近穩(wěn)定。Krasovski方法構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。口證明：其中，且是Lyapunov函數(shù)。證畢。口特別當，若是非奇異的，則只有唯一一個平衡點，有，當是實數(shù)矩陣時，，因此就有以下推論。對線性定常系統(tǒng)，若是非奇異實數(shù)矩陣，（4-10）則是大范圍漸近穩(wěn)定平衡點對線性定常系統(tǒng)，采用克拉索夫斯基方法構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)是一個可以給出漸近穩(wěn)定的。口分析系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性。令是唯一平衡點。，根據(jù)二次型及其定號性，順序主子式為奇數(shù)：偶數(shù)：根據(jù)二次型及其定號性則，即負定，根據(jù)定理4-3，是漸近穩(wěn)定平衡點，且Lyapunov函數(shù)為口當，故是大范圍漸近穩(wěn)定。分析系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性。是非奇異，且是唯一平衡點。奇數(shù)主子式：偶數(shù)主子式：根據(jù)二次型及其定號性即負定是，Lyapunov函數(shù)為口且當，故是大范圍漸近穩(wěn)定。值得指出的是：通過Krasovski方法構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)是一個充分條件，并非所有系統(tǒng)都可以找到Lyapunov函數(shù)。若用這種方法找不到Lyapunov函數(shù)，并不能就此判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須用其他方法尋找Lyapunov函數(shù)。Lyapunov函數(shù)口若負定（，則是漸近穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）；若當時，，則系統(tǒng)是全局穩(wěn)定；（）若正定，則是不穩(wěn)定；（）若半負定，則是臨界穩(wěn)定；若則是漸近穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）；給定正定對稱，若Lyapunov方程一個正定對稱，函數(shù)為Krasovski方法，則是漸近穩(wěn)定的函數(shù)為當，則是大范圍漸近穩(wěn)定。對線性定常系統(tǒng)，是非奇異實數(shù)矩陣，則是大范圍漸近穩(wěn)定平衡點Lyapunov穩(wěn)定性方法在控制系統(tǒng)分析中的應用Lyapunov穩(wěn)定性方法在控制系統(tǒng)分析中的有著廣泛應用（1）判別一個系統(tǒng)的穩(wěn)定性，或者確定系統(tǒng)中某些參數(shù)的取值范圍，以使系統(tǒng)保持穩(wěn)定；（2）穩(wěn)定化控制器的設(shè)計；（3）線性系統(tǒng)時間常數(shù)的估計；（4）確定系統(tǒng)的最優(yōu)化參數(shù)等。漸近穩(wěn)定線性系統(tǒng)時間常數(shù)的估計在經(jīng)典控制理論中用來估計系統(tǒng)的響應速度。LyapunovLyapunov函數(shù)，其值恰好是狀態(tài)到原點距離的平方?？谠O(shè)階線性定常系統(tǒng)有唯一的平衡點，且是漸近穩(wěn)定的。其狀態(tài)響應為，這是線性定常系統(tǒng)的零輸入響應，其運動將從任一初態(tài)出發(fā)，向平衡點衰減Lyapunov函數(shù)收斂（衰減）的幾何意義口可以度量狀態(tài)趨向原點的速度，（參見圖4-7），我們要問衰減速度如何呢？當系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定時，“能量”是正定的，而“能量的變化”是負定的，因此可以引入一個變量（4-11）一般的，是時變的，要從（4-11）估計狀態(tài)的衰減率還是很困難的，為了方便，可以取的最小值來分析。定義狀態(tài)最小衰減率：（4-12）根據(jù)（4-11）和（4-12）可得：（4-13）的量綱是，它給出了趨于0的速度的估計。由于常常取成狀態(tài)的二次型，故也可以作為狀態(tài)趨于原點的速度的估計。的量綱是時間，可以解釋為Lyapunov函數(shù)衰減到0的最大時間常數(shù)，它約為系統(tǒng)自由響應時間常數(shù)的一半。對于一般系統(tǒng)，的求取是很困難的。但對于線性系統(tǒng)，總可以取作為系統(tǒng)的一個Lyapunov函數(shù)，而，是任意給定的對稱正定矩陣，是Lyapunov方程的解矩陣?？谶M一步，由于（4-14）表示矩陣的最小特征值。例4-11（例4.4.1）估計的，，因此，收斂到0的時間常數(shù)上界為，系統(tǒng)自由響應時間常數(shù)的上界為?；贚yapunov穩(wěn)定性的參數(shù)優(yōu)化口考慮系統(tǒng)（4-12）（4-1）（4-1）圖4-8曲線所包圍的面積性能指標值越小，系統(tǒng)狀態(tài)衰減到零的速度越快，調(diào)節(jié)時間越短，震蕩幅度越小，故動態(tài)特性越好。由于選擇的參數(shù)要保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，所以對任意對稱正定矩陣，Lyapunov方程為（4-1）口（4-12）Lyapunov函數(shù)，且沿該系統(tǒng)的任意軌跡滿足口對上式兩邊對時間積分，并利用系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，可得由于是任意對稱正定矩陣，故可選（4-1）（4-1）Lyapunov矩陣方程（4T）（4T）（4T）口（4-1）。Lyapunov穩(wěn)定性的控制器設(shè)計口應用Lyapunov穩(wěn)定性理論可以用來設(shè)計使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器，這是經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性分析所不能及的。例4-13（例4.4.3）由圖，采用輸出反饋（比例P控制）的雙積分系統(tǒng)仍然是“臨界穩(wěn)定”而不是漸近穩(wěn)定的，構(gòu)造一個控制律，通過狀態(tài)反饋（也可以視為微分D控制）使其成為一個漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)?？诮猓河衫?-5可知，，是唯一平衡點。，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，不是漸近穩(wěn)定。考慮一個正定的候選Lyapunov函數(shù)，其導數(shù)口現(xiàn)在找一個適當?shù)目刂坡桑故秦摱ǖ幕虬胴摱ǖ?，顯然，滿足此要求的是很多的。特別的，選取，（，微分控制），是半負定的，進一步，若不是恒為零，它是漸進穩(wěn)定的。討論：（1）由圖，原系統(tǒng)實際上是一個輸出反饋的比例P控制，它仍然只能使系統(tǒng)“臨界穩(wěn)定”，一方面可以看成“輸出變化D控制”，就是速度負反饋補償措施，它能增加系統(tǒng)的阻尼，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定；（2）另一方面可以看成“狀態(tài)反饋”，可見“狀態(tài)反饋”比“輸出反饋”能使系統(tǒng)性能更加“優(yōu)化”。（參見第五章，狀態(tài)反饋控制器設(shè)計）小結(jié)：（1）選取一個正定的標量函數(shù)（線性時不變系統(tǒng)可以選為二次型）；（2）通過使（負定的或半負定的）確定穩(wěn)