第一章二次函數(shù)

一、二次函數(shù)概念：

1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=a/+bx+c(a,b,c是常數(shù)，30)的函數(shù)，叫做

二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a#0,而仇?？?/p>

以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

⑵a,b,c是常數(shù)，。是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：y=a/的性質(zhì)：

a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨

a>0向上(0,0)y軸

x的增大而減小；x=0時，y有最小值0.

x〉0時，y隨犬的增大而減小；x<0時，y隨

a<()向下(0,0)y軸

x的增大而增大；n=0時，y有最大值0.

2.丁二&+。的性質(zhì):

上加下減。

a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨

a>0向上(0,C)y軸

x的增大而減??；x=0時，y有最小值c.

x>0時、y隨x的增大而減小；x<0時，y隨

a<0向下(0,c)y軸

x的增大而增大；x=0時，y有最大值c.

3.y=Q(X-〃y的性質(zhì):

左加右減。

”的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

時，y隨x的增大而增大；x</?時，y隨

a>()向上(〃，0)X二h

x的增大而減小；x=/?時，y有最小值0.

%>/?時，y隨犬的增大而減小；兀<〃時，y隨

a<0向下俏，0)X二h

x的增大而增大；冗=力時，y有最大值0.

4.y=a(x-〃y+%的性質(zhì):

。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

時，y隨元的增大而增大；元＜力時，y隨

a>0向上(fi,k)X=h

x的增大而減??；x=〃時，y有最小值女.

x＞〃時，y隨x的增大而減小；x＜力時，y隨

a<0向下(/2,k)X=h

x的增大而增大；x=〃時，y有最大值

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=“(x-〃)2+0確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(/?,k)；

⑵保持拋物線y=的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到小，4)處，具體平移方法如下：

y=a(x-h)^■?y=a(x-h)2+k

向上代＞0)【或F(A＜0)］平移同個單位

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上"人值正右移，負(fù)左移；火值正上移，負(fù)下移

概括成八個字“左加右減，上加下減”.

方法二：

⑴y=ax2+bx+c沿y軸平移:向上(下)平移機(jī)個單位，yuai+bx+c變成

y-ax2+bx+c+m(或y=Qx2+bx+c-m)

(2)y=ax~+/?x+c沿軸平移：向左(右)平移〃z個單位，y=ax2+bx+c變成

y-a(x+m)2+b(x4-m)+c(或y-a(x-m)2+b(x-m)+c)

四、二次函數(shù)y=a(x-6)2+k與y=6+加:+(、的比較

從解析式上看，y=a(x-4+&與3，=?+飯+c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配

方可以得到前者，即y=a（x+2[+處*，其中力=_2,k=處二生.

■2a）4a2a4a

五、二次函數(shù)丫=以2+法+<、圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=4/+bx+c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-/?）2+%,確定

其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們

選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)（0,c）、以及（0,c）關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（2/?,。）、

與x軸的交點(diǎn)（西，0）,（x2,0）（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.

畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

六、二次函數(shù)廣加+bx+c的性質(zhì)

1.當(dāng)0>0時，拋物線開口向上，對稱軸為*=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為1-2,處二2].

2a（2〃4aJ

當(dāng)x<-2時，y隨x的增大而減?。寒?dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x=-2

2a2a2a

時，y有最小值華蘭.

4a

2.當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，對稱軸為x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為1-2,.當(dāng)

2a（2a44a""J"I

x<-_L時，y隨x的增大而增大；當(dāng)工>一2時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x=-2時，y

2a2a2a

有最大值當(dāng)一h匕~.

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：y=ax1+bx+c（a,b,c為常數(shù)，。/0）；

2.頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a,h,女為常數(shù)，a/0）；

3.兩根式：y=a（x-x^x-x2）（awO,e々是拋物線與工軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫

成交點(diǎn)式，只有拋物線與龍軸有交點(diǎn)，即/-QcNO時，拋物線的解析式才可以用交

點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)丫=。/+"+<；中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然ORO.

（1）當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，。的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越

大；

（2）當(dāng)a<0時，拋物線開口向下,的值越小，開口越小，反之。的值越大，開口越

大.

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，。的正負(fù)決定開口方向，時的大小決

定開口的大小.

2.一次項(xiàng)系數(shù)。

在二次項(xiàng)系數(shù)。確定的前提下，〃決定了拋物線的對稱軸.

⑴在a>0的前提下，

當(dāng)〃>0時，--<0,即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)：

±

=

九即拋物線的對稱軸就是），軸；

2

-

當(dāng)b<0時,〃即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè).

⑵在a<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

±

班

當(dāng)>O-

勿即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè);

±

=

當(dāng)8=0時,一即拋物線的對稱軸就是），軸；

2?

當(dāng)b<0時，--<0,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè).

2a

總結(jié)起來，在。確定的前提下，。決定了拋物線對稱軸的位置.

。匕的符號的判定：對稱軸x=-2在y軸左邊則。8>0,在y軸的右側(cè)則成<0,

2a

概括的說就是“左同右異”

總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c>0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在無軸上方，即拋物線與），軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;

⑵當(dāng)c=0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；

⑶當(dāng)c<0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).

總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

總之，只要a,b,c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.

二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的

解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下兒種情

況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；

3.已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

1.關(guān)于X軸對稱

y=ax2+"+《關(guān)于1軸對稱后，得到的解析式是y=-云-c；

y=a(x-h)2+k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-〃(1-力)-k；

2.關(guān)于y軸對稱

y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；

y=a(x-h)2+k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=++k；

3.關(guān)于原點(diǎn)對稱

y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得至I」的解析式是y=-ax1+bx-c；

y=a(x-h)\k關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y=-a(x+/z)2-k；

4.關(guān)于頂點(diǎn)對稱(即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。)

h2

y=ax2+Z?x+c關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得至IJ的解析式是y=-ax2-bx+c----；

2a

y=a(x-h)2+k關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y二-4工-力丫+k.

5.關(guān)于點(diǎn)(加，〃)對稱

y=a(x-爐+左關(guān)于點(diǎn)(加，〃)對稱后，得到的解析式是y=-a(^x+h-2m)"+2n-k

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此同

永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適

的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確

定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況)：

一元二次方程以2+打+c=0是二次函數(shù)y="?+bx+c當(dāng)函數(shù)值y=0時的特殊情況.

圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)：

①當(dāng)公=匕2-4*>0時，圖象與x軸交于兩點(diǎn)4(占，0),0)(x產(chǎn)/)，其中的國，x2

是一元二次方程a/+bx+c=0(ax0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離

II"2-4℃

AB=\x2-xt\=―—.

②當(dāng)△=()時，圖象與x軸只有一個交點(diǎn)；

③當(dāng)A<0時，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

r當(dāng)。>0時，圖象落在X軸的上方，無論X為任何實(shí)數(shù)，都有y>0；

2,當(dāng)。<0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y<0.

2.拋物線丫="2+W+C的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,C）；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

（3）根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)丫=4』+法+0中a,b,C的符號，或由二次函數(shù)中a,

b,c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

（4）二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或

已知與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點(diǎn)坐標(biāo).

⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式辦2+以+,伍/0）本身就是所含字母

x的二次函數(shù)；下面以a>0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的

內(nèi)在聯(lián)系：

A>0拋物線與X軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個不相等實(shí)根

兩個交點(diǎn)可零、可負(fù)

A=0拋物線與X軸只二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

有一個交點(diǎn)

A<0拋物線與X軸無二次三項(xiàng)式的值恒為正?元二次方程無實(shí)數(shù)根.

交點(diǎn)

二次函數(shù)圖像參考:

十一、函數(shù)的應(yīng)用

‘剎車距離

二次函數(shù)應(yīng)用〈何時獲得最大利潤

最大面積是多少

二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型

1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數(shù)＞=(〃?—2)x2+m2-m-2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則〃z的值是.

2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角

坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù)y=H+6的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)＞=日2+必—1的圖

3.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中

檔解答題和選拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點(diǎn)，對稱軸為x=』，求這條拋物線的解析式。

3

4.考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、:次函數(shù)的極值,有關(guān)試題為解答題，

如：

已知拋物線y=+c(a=0)與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一1、3,與y軸交點(diǎn)的縱

坐標(biāo)是一機(jī)

(1)確定拋物線的解析式；(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

5.考查代數(shù)與兒何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。

【例題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

例1⑴二次函數(shù)y=o?+以+c的圖像如圖1,則點(diǎn)M(b,與在()

a

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0)的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同

號；②當(dāng)x=l和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時，x的值只能取0.其中正

確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【點(diǎn)評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.

例2.已知二次函數(shù)y=ax、bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)（-2,0）、（x”0）,且l〈xK2,與y軸

的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)（0,2）的下方.下列結(jié)論：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<0；?2a-b+l>0,

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A1個B.2個C.3個D.4個

答案:D

會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的對稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A（2,-3）B.（2,1）C⑵3）D.（3,2）

答案：C

例4、如圖（單位：m）,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB

與CD重合.設(shè)x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym?.

（1）寫出y與x的關(guān)系式；

（2）當(dāng)x=2,3.5時，y分別是多少？Ap

（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時，\

三角形移動了多長時間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、\

對稱軸.\

BC

例5、已知拋物線y=Lx'+x-E.

22

（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸.

（2）若該拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A、B,求線段AB的長.

【點(diǎn)評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一

元二次方程的關(guān)系.

例6、“已知函數(shù)y+/?x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c,-2）,

求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3J題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法

辨認(rèn)的文字。

（1）根據(jù)己知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫

出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象：若不能，請說明理由。

（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充

完整。

點(diǎn)評：對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就

要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c,

-2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函

數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題

中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的

一個任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)等。

［解答］（1）根據(jù)y=+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c,-2）,圖象的對稱軸是x=3,得

1,c

—c"2+bc+c=-2,

2

---=3

c1

2?一

2

h=-3,

解得《

c=2.

所以所求二次函數(shù)解析式為y=g/-3x+2.圖象如圖所示。

（2）在解析式中令y=0,得，/一3工+2=0,解得/=3+方,々=3-巧.

2

所以可以填“拋物線與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+仆,0）”或“拋物線與x軸的一個

交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3-逐,0）.

令x=3代入解析式，得y=-|,

所以拋物線y=^x2-3x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-|）,

所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3--）等等。

2

函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背

景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注

函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。

用二次函數(shù)解決最值問題

例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2,BF=1.試

在AB上求一點(diǎn)P,使矩形PNDM有最大面積.

【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的結(jié)合在?起,

能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.同時，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.

例2某產(chǎn)品每件成本10元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）

之間的關(guān)系如下表：

X（元）152030???

y（件）252010???

若日銷售量y是銷售價x的?次函數(shù).

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤

是多少元?

I5k+b=25,

【解析】(1)設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.則＜解得k=-l,b=40,

2k+b=20

即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40.

(2)設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元

w=(x-10)(40-x)=-X2+50X-400=-(X-25)2+225.

產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元.

【點(diǎn)評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：(1)

設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時，什么最大(或最小、最省)”的設(shè)問中，“某某”要設(shè)為自

變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；(2)問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題

一、選擇題

1.二次函數(shù)y=V—4x—7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,-11)B.(-2,7)C.(2,11)D.(2,-3)

2.把拋物線y=-2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是()

A.y=-2(x+1)2B.y=—2(x—I)2C._y=—2x2+1D.y=—2x2-1

3.函數(shù))，=丘2-々和y=K(AHO)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()

4.已知二次函數(shù)y=a/+云+c(a#O)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論：①a,b同號;②

當(dāng)x=l和x=3時,函數(shù)值相等;③4。+6=0@當(dāng)/=一2時，x的值只能取0.其中正

確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.已知二次函數(shù)y=+歷c+c'(aKO)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-3.2)及部分圖象(如圖),

由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程。/+云+。=0的兩個根分別是占=1.3和々=

()

A.—1.3B.~2.3C.-0.3D.-3.3

6.已知二次函數(shù)y=ax2+云+c的圖象如圖所示，則點(diǎn)(ac,牡)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7

7.方程2x—/=±的正根的個數(shù)為()

x

A.0個B.1個C.2個.3個

8.已知拋物線過點(diǎn)A(2,0),B(T,0),與y軸交于點(diǎn)C,且0C=2.則這條拋物線的解析式為

A.y=—x—2B.y=-x~+x+2

C.y=x2-x-2^y=-x2+x+2D.y=-x2-x-2^y=x2-]-x+2

二、填空題

9.二次函數(shù))，=爐+區(qū)+3的對稱軸是x=2,則匕=o

10.已知拋物線y=-2(x+3)2+5,如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是.

11.個函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點(diǎn)(一1,2),②當(dāng)尤＜0時，函數(shù)值y隨自變量x的

增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是(只寫一個即可)。

12.拋物線y=2(x-2)2-6的頂點(diǎn)為C,已知直線y=-履+3過點(diǎn)C,則這條直線與兩坐

標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。

13.二次函數(shù)^=2/-4》一1的圖象是由丁=2工2+加;+。的圖象向左平移1個單位，再向

下平移2個單位得到的,則b=,c=。

14.如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心

M處5米的地方，橋的高度是(n取3.14).

三、解答題：

15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x+3=0,圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點(diǎn)為(0,-1).

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；。

(2)當(dāng)x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0?

(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大？AN-------f------

第15題圖

16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h(米)和時間t(秒)符合關(guān)系式/?=咻/-(o〈tW2),

其中重力加速度g以10米/秒2計算.這種爆竹點(diǎn)燃后以v?=20米/秒的初速度上升，

(1)這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時間離地15米？

(2)在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說

明理由.

17.如圖，拋物線y=Y+8x-c經(jīng)過直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個交

點(diǎn)A、B,此拋物線與X軸的另一個交點(diǎn)為C,拋物線頂點(diǎn)為D.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，求使SM>C：SM°=5：4的點(diǎn)P

的坐標(biāo)。

18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物

售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的山廠家負(fù)責(zé)處理）.當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸.該

建材店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價每下

降10元時，月銷售量就會增加7.5噸.綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付

廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）.

（1）當(dāng)每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；

（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？

（4）小靜說：''當(dāng)月利潤最大時，月銷售額也最大.”你認(rèn)為對嗎？請說明理由.

練習(xí)試題答案

一，選擇題、

1.A2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.C

二、填空題、

9.b=10.X<-311.如y=-2x2+4,y=2x+4等（答案不唯一）

12.113.-8714.15

三、解答題

15.⑴設(shè)拋物線的解析式為、=加+以+~由題意可得

v。+C=—6]s1、

5解得〃=—,b=-3,c=—所以y=—x2—3x—

c=—2222

I2

(2)x=-l或-5(2)x<-3

16.(1)由已知得，15=20r—』xl0x產(chǎn)，解得乙=3/2=1當(dāng)f=3時不合題意，舍去。

2

所以當(dāng)爆竹點(diǎn)燃后1秒離地15米.(2)由題意得，力=—5/+20r=—5Q—2)2+20,可

知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)/=2,又拋物線開口向下，所以在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至108秒這段時間

內(nèi)，爆竹在上升.

[9+3&-c=O[b=-2

17.⑴直線y=x—3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A(3,0),B(0,-3).則《解得《

[-c=-3[c=3

所以此拋物線解析式為y=x2-2x-3.(2)拋物線的頂點(diǎn)D(1,-4),與龍軸的另

一個交點(diǎn)C(—1,0).設(shè)P(a,a2-2a-3),JjliJ(^-x4x|?2-2a-3|):x4x4)=5:4.

化簡得,2—2a—3卜5

當(dāng)"一2a—3>0時，42-2。—3=5得a=4,a=-2/.P(4,5)或P(—2,5)

當(dāng)。2一2。一3<0時，一。2+2。+3=5即。2+2“+2=0,此方程無解.綜上所述，

滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,5)或(-2,5).

18.(1)45+26；；40*7.5=60(噸).(2)y=(x-100)(45+x7.5),化簡得：

y=--x2+315x-24000.(3)y=--x2+315x-24000=--(x-21O)2+9075.

444

紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應(yīng)定為每噸210元.

(4)我認(rèn)為，小靜說的不對.理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時，x為210元，而對

于月銷售額W=x(45+26：Jx7.5)=-；(x-160>+19200來說，

當(dāng)x為160元時，月銷售額W最大.，當(dāng)x為210元時，月銷售額W不是最大..?.小

靜說的不對.

方法二：當(dāng)月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200

元時，月銷售額為18000元.?.?17325V18000,...當(dāng)月利潤最大時，月銷售額W不是最大.二

小靜說的不對.

第二章相似

相似

【課標(biāo)要求】

知識與技能目標(biāo)

考

課標(biāo)要求靈活

點(diǎn)了解理解掌握

應(yīng)用

比例的基本性質(zhì)，線段的比。成比例線段V

認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)V

圖相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面

形積的比等于對應(yīng)邊比的平方V

的

相兩個三角形相似的概念，圖形的位似

V

似

探索兩個三角形相似的條件V

利用位似將一個圖形放大或縮小V

考點(diǎn)一、比例的基本性質(zhì)，線段的比。

（一）考點(diǎn)內(nèi)容分解：

1、比例式與比例系數(shù)。1。_C_

1、一一.......K

hd

2、比例的基本性質(zhì)：ac

2、①一二—=ad=be

兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積；bd

ab-

②一=—n〃一=ac

黃金分割與比例中項(xiàng)。bc

門ac,Q+C+…ac.

3、一二-...........=kn-------=—=—=k

3、等比性質(zhì)。hd/?+〃+???bd

,aca-bc-d(a+bc+d\

4、合分比性質(zhì)。4、-=-=>----------=------------------------=-----------

bdbdybd)

（二）典型例題精講精練:

例01.已知蟲=?,求二的值。

x8y

變式：線段X,》滿足（爐+4y2）:盯=4:1,求x:y的值

例02.已知】=：=；,求X；）'+3N的值

2343x-y

例03.已知兩數(shù)4和8,試寫出第三個數(shù)，使這三個數(shù)中，

其中一個數(shù)是其余兩個數(shù)的比例中項(xiàng)，第三個數(shù)是。

例04.設(shè)一一=」一=」一=女，求女的值

y+zz+xx+y

（三）針對練習(xí)：

,3〃bc八?5〃-3Z7+2c入…，

1.如果三=彳=700,則-；-------k的值為_________O

2344Q+C-2Z?

2.若當(dāng)'=］則?的值是__________欠

/\

3.已知：如圖，在AA6C中，AB=\2,AE=6,EC=4,且組■=%■/U\l

DBECn/__V

（1）求A。的長；（2）求證："=星/\

考點(diǎn)二、認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)

（一）考點(diǎn)內(nèi)容分解：

⑴對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個三角形是相似三角形。

⑵對應(yīng)邊的比值是相似三角形的相似比。

⑶基本性質(zhì)定理：對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方。

（二）典型例題精講精練：例01說明本題考查

例01.已知：A48C的三邊長分別是3,4,5,與其相似的AA'8'C'的最相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)

鍵是求出對應(yīng)邊的比，易錯

大邊長是15,則M'B'C面積S..為________o

MBC點(diǎn)是“面積的比等于對應(yīng)邊

例02.已知：如圖，ZABC=ZCDB=90°,AC=a,BC=b,比的平方”。

（1）當(dāng)BD與a,b之間滿足怎樣的關(guān)系時，AABC^ACDB；

（2）當(dāng)與a,匕之間滿足怎樣的關(guān)系時，AABCSAB。。；例02說明本題是一

（3）當(dāng)BD與a,匕之間滿足怎樣的關(guān)系時，這兩個三角形相似。個條件探索性問題，易錯點(diǎn)

是弄錯對應(yīng)邊或第（3）小

AoC題不分類討論.

BD

考點(diǎn)三、探索兩個三角形相似的條件

（一）考點(diǎn)內(nèi)容分解：

①如果有兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；

②如果三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似；

③如果有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，那么這兩個三角形相似。

（二）典型例題精講精練：

例01、如圖所示，已知平行四例01說明：充分利用平行四邊形性質(zhì)及

邊形/閱9中，￡為/〃延長線上一相似的基本判定與基本性質(zhì)解題。

點(diǎn)，AD=2DE,BE交DC于F,

指出圖中各對相似三角形及相似

比.

例02.已知：如圖，在四邊形ABCD中，

AE:EB=AF.FD,BG:GC=DH:HC.求證:XOEF

sbOHG

例03.如圖，在AABC中，NA=47°,AB=1.5cm,

AC=2cm；在\DEF中，ZE=47°,DE=2.8cm,

EF=2.1cm,試判斷這兩個三角形是否相似.

例04.已知：如圖，在A43C中，ZC=90°,D、E

分別是A8、AC上的兩點(diǎn)，并且=

求證：ED1AB

例05.如圖，已知。為A48C內(nèi)一點(diǎn)，E為A48C外

一點(diǎn)，且N1=N2,/3=N4,

求證：MBCSADBE

例06.如圖1T,在大小為4X4的正方形方格中，AABC

的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上，請?jiān)趫D中畫一個△

ABG,使△AIBCS^ABC（相似比不為1）,且點(diǎn)A八Bi、G都

在單位正方形的頂點(diǎn)上。

（三）針對練習(xí)：

1、已知：如圖，在正方形儂》中，尸是犯上的點(diǎn)，支BF=3FC,0是5的中點(diǎn).

求證：XADQ^XQCF.

考點(diǎn)四、探索兩個三角形相似的類型

（一）考點(diǎn)內(nèi)容分解：

1、"寶塔"型（"A字"）與"8字”型1、典型特征：

①與“平行線”互相依存，對應(yīng)點(diǎn)在同一直線上;

②平行線所分線段對應(yīng)成比例。

2、“交錯”型與“雙交錯”型2、典型特征：

①對應(yīng)點(diǎn)相互錯開，對應(yīng)線段相互錯開；

②一般是通過“兩個角對應(yīng)相等”或“兩邊對應(yīng)成

比例且夾角相等“來證明。

3^“母子”型（“雙垂直”）3、典型特征：