.1．△1．△ABC中，∠A=90°，點D在線段BC上(端點B除外)，∠EDB=∠C，BE⊥DE于點E，DE(1)當AB=AC時(如圖1)，求證：①FM=MD；②FD=2BE；(2)當AB=kAC時(k＞0，如圖2)，用含k的式子表示線段FD與BE之間的數(shù)量關系，并說明理2．如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動和小軍在社區(qū)廣場散步，小聰問小軍：“你有多高？”小軍一時語塞．小聰思考片D為0.8米的正方形地磚鋪成，小聰?shù)纳砀逜C為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．請你根據(jù)以AD于點F，交CD延長線于點G．(1)求證：PB=PD．(2)若DF：FA=1：2②當△DGP是等腰三角形時，求tan∠DAB的值．試證明：AB?AD=AE?BF．6．如圖，點B在線段AC上，點D、E在AC同側，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．(1)求證：AC=AD+CE；(2)若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q．若點77．已知===k，求k的值．Q，與BA、BC的延長線于E、F(1)如圖1，若EF∥AC，求證：PE+QF=2PQ；(2)如圖2，若EF與AC不平行，則(1)中的結論是否仍然成立？若成立，加以證明；不成立，上，并且EF=AC．(1)求證：AF=CE；(2)當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結論；(3)四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？直線上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如圖2，△DEF從圖1出發(fā)，(1)△DEF在平移的過程中，當點D在Rt△ABC的邊AC上時，求t的值； 1111(2)以點B為位似中心，在網格中畫出△ABC，使△ABC與△ABC位似，且位似比為2：1，并直2222222，(1)求的值；(2)若CDFD與AC交于點N，求FN：ND的值．12345123EF：DF=5：8，AC=24．(1)求AB的長；(2)當AD=4，BE=1時，求CF的長．15．點D為Rt△ABC的斜邊AB上一點，點E在AC上，連接DE，CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥(1)如圖1，若AC=BC，求證：AF⊥AB；(2)如圖2，若AC≠BC，當點D在AB上運動時，求證：AF⊥AB．(1)求證：2EF=BD，(2)四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積．17．已知：Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示，P(3，4)為OB的中點，點C為折線OAB((1)以原點O為位似中心，把線段AB縮小為原來的；(2)若(1)中畫出的線段為A′B′，請寫出線段A′B′兩個端點A′、B′的坐標；(1)求點A、B的坐標．(2)當t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？(3)求出(2)中當以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似時，線段PQ的長度．21．如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m(m＞4)，點P是AB邊上的任意一點(不與點A、B重合)，連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．(1)當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說(2)連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長(用含m的代數(shù)式表示)；(3)若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關系式，22．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是邊AC上一動點(不與端點A、C重合)，過動(1)設CD=1，點E在邊AB上，△ADE與△ABC相似，求此時BE的長度．(2)如果點E在邊AB上，以點E、B、F為頂點的三角形與以點E、A、D為頂點的三角形相似，(3)設CD=1，以點E、B、F為頂點的三角形與以點E、A、D為頂點的三角形相似，求S：S△EBF△EAD23．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．點M為邊BC的中點，以M為頂點作∠EMF=∠B，射線ME交腰AB于點E，射線MF交腰CD于點F，連接EF．(1)求證：△MEF∽△BEM；(2)若△BEM是以BM為腰的等腰三角形，求EF的長；(3)若EF⊥CD，求BE的長．2111322的面積為S，…，△BDC的面積為S，通過計算S，S，…，的值，歸納出S的表達式(用含n2n+1nnn12n于點N，連接QE并延長交直線BC于點M，連接PM、QN．(1)試判斷四邊形PMNQ的形狀，并說明理由；(2)若要使四邊形PMNQ是一個矩形，則△ABC還應滿足什么條件？請說明理由；(3)若BC=10，AD=6，則當點E在何處時，四邊形PMNQ的面積與△APQ的面積相等？【解答】【解答】(1)證明：①如圖1，∵AB=AC，∠A=90°∴∠ABC=∠C=45°1．△1．△ABC中，∠A=90°，點D在線段BC上(端點B除外)，∠EDB=∠C，BE⊥DE于點E，DE(1)當AB=AC時(如圖1)，求證：①FM=MD；②FD=2BE；(2)當AB=kAC時(k＞0，如圖2)，用含k的式子表示線段FD與BE之間的數(shù)量關系，并說明理【分析】(1)①利用等腰直角三角形得出結合平行線的性質得出∠DMF=∠MFD，進而得出答案；②根據(jù)題意證明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性質，得到BE與FD的數(shù)量關系；(2)首先證明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性質得到BE與FD的數(shù)EDBEDB=∠C∴∠EDB=22.5°∵FM∥AC，∴∠FMB=45°，∴∠MFD=22.5°，∴∠DMF=∠MFD，∴MF=MD；②在△BEF和△DEB中∵∠E=∠E=90°∠EBF=∠EDB=22.5°∴△BEF∽△DEB如圖1：作BG平分∠ABC，交DE于G點，∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形設設EF=x，BE=y，則：BG=GD=y，F(xiàn)D=y+y﹣x，(2)解：過點D作DG∥AC，交BE的延長線于點G，與BA交于點N，..∵DG∥AC，∴∠GDB=∠C，∵∠EDB=∠C，∴∠EDB=∠GDE，∵BE⊥DE，∴∠BED=∠DEG，，，∴△DEG≌△DEB(ASA)，在△DEG和△DEB∴∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，∴△GBN∽△FDN，∴=，即=，又又∵DG∥AC，∴△BND∽△BAC，∴=，即==k，∴=，∴FD=BE．2．如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行分類討論：比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行分類討論：=時，△BPQ∽△BAC，即=；=∵∠PBQ=∠ABC，∴∴當=時，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2(s)；當=時，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8(s)；為0.8米的正方形地磚鋪成，小聰?shù)纳砀逜C為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．請你根據(jù)以【】先證明△CAD~△MND，利用相似三角形的性質求得MN=9.6，再證明△EFB~△MFN，即可∴△∴△CAD~△MND【解答】解：由題意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=∠MDN，，∴MN=9.6，又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN，∴△EFB~△MFN，4．如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP長線于點G．(1)求證：PB=PD．(2)若DF：FA=1：2②當△DGP是等腰三角形時，求tan∠DAB的值．【】(1)根據(jù)菱形的性質得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；((2)①先證明△DFP≌△BEP，進而得出，②由(1)證得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根據(jù)平行線的性質，得到∠G=∠ABP，(Ⅰ)若DG=PG若DG=PG根據(jù)△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=..(Ⅱ)若DG=DP，設DG=DP=3m，則PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，，，得到tan∠DAB==設AH=x，求得FH=【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP=∠BAP，在在△APB和△APD中，，∴△APB≌△APD，∴PB=PD；(2)解：①∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFP∽△CBP，，，由(1)知PB=PD，∴，∴PF=PD．②由(1)證得△APB≌△APD，∴∠ABP=∠ADP，∵GC∥AB，∴∠G=∠ABP，∴∠ADP=∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG．((Ⅰ)，若DG=PG，∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB=EB，由(2)知，設PF=2a，則則PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由△DGP∽△EBP，得DG=a，∴AB=AD=2DG=9a，∴AF=6a，如圖1，作FH⊥AB于H，設AH=x，F(xiàn)H=∴tan∠DAB=；(Ⅱ)若DG=DP，如圖2，，設DG=DP=3m，則PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，設設AH=x，∴(4m)2﹣x2=(5m)2﹣(6m﹣x)2，解得x=m，∴FH=，∴tan∠DAB==．試證明：AB?AD=AE?BF．【分析】根據(jù)四邊形ABCD是矩形可得出∠BAD=∠D=90°，再根據(jù)相似三角形的判定定理可得出△ADE∽△BFA，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．∴∠∴∠AFB=∠1+∠3=90°．∴∠2=∠3．(2分)又∵∠D=∠AFB=90°，(3分)∴△ADE∽△BFA．(4分)∴．∴AB?AD=AE?BF．(5分)【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，能根據(jù)題意得出△ADE∽△BFA是解答此題的關6．如圖，點B在線段AC上，點D、E在AC同側，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．(1)求證：AC=AD+CE；(2)若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q．若點【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證；(2)過點Q作QF⊥BC于F，根據(jù)△BFQ和△BCE相似可得，然后求出QF=BF，再根據(jù)△ADP和△FPQ相似可得，然后整理得到(AP﹣BF)(5﹣AP)=0，從而求出AP=BF，最后【解答】解：(1)∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣=∴∠1=∠E，∵在△ABD和△CEB中，，∴△，∴△ABD≌△CEB(AAS)，∴AB=CE，∴AC=AB+BC=AD+CE；((2)如圖，過點Q作QF⊥BC于F，則△BFQ∽△BCE，∴，即，∴QF=BF，∵∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠FPQ=180°﹣90°=90°，∵∠APD+∠ADP=180°﹣90°=90°，∴∠ADP=∠FPQ，又∵∠A=∠PFQ=90°，∴△ADP∽△FPQ，∴，即，∴5AP﹣AP2+AP?BF=3?BF，APBFAP=0，∵點P與A，B兩點不重合，∴∴AP≠5，∴AP=BF，由△ADP∽△FPQ得，，∴．EAPBF是解題的關鍵．77．已知===k，求k的值．===k，∴k=QQ，與BA、BC的延長線于E、FQ(2)如圖2，若EF與AC不平行，則(1)中【分析】(1)先由MP∥OA，DM=MO，得出DP=PA．再由平行四邊形的性質得出∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP，然后利用AAS證明△APE≌△DPQ，得出PE=PQ．同理，QF=PQ，則PE+QF=2PQ；(2)過O點作ON∥AD交EF于N，則ON是梯形CFPA的中位線，由梯形中位線的性質定理得出AP+CF=2ON，再利用AAS證明△OMN≌△DMP，得出ON=PD，則AP+CF=2PD．然后由CF∥PD，根據(jù)平行根據(jù)平行線分線段成比例定理得出=，由DQ∥AE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出=，將兩個式子相加，化簡整理后得出QF+PE=2PQ，判斷(1)中的結論仍然成立．【解答】解：(1)如圖1，∵MP∥OA，DM=MO，∴DP=PA．在口ABCD中，∵AB∥CD，∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．在△APE與△DPQ中，，，∴△APE≌△DPQ(AAS)，∴PE=PQ．同理，QF=PQ，∴PE+QF=2PQ；(2)若EF與AC不平行，則(1)中的結論仍然成立．理由如下：如圖2，過O點作ON∥AD交EF于N，則ON是梯形CFPA的中位線，則AP+CF=2ON．AP+CF=2PD．∵DQ∥AE，∴=，，++=+==∴QF+PE=2PQ．==，是解題的關鍵．FAC(1)求證：AF=CE；.D.(2)當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結論；(3)四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？【分析】(1)先根據(jù)FD⊥BC，∠ACB=90°得出DF∥AC，再由EF=AC可知四邊形EFAC是平行四(2)由點(2)由點E在BC的垂直平分線上可知DB=DC=BC，BE=EC，由直角三角形的性質可求出∠B=∠ECD=30°，再由相似三角形的判定定理可知BDE∽△BCA，進而可得出AE=CE，再求出∠ECA的度數(shù)即可得出△AEC是等邊三角形，進而可知CE=AC，故可得出結論；【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，F(xiàn)D⊥BC，∴∠ACB=∠FDB=90°，∴DF∥AC，又又∵EF=AC，∴四邊形EFAC是平行四邊形，∴AF=CE；C∴DB=DC=BC，BE=EC，∴∠B=∠ECD=30°，∵DF∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴==，即BE=AB，∴AE=CE又∵∠ECA=90°﹣30°=60°，∴△AEC是等邊三角形∴CE=AC，∴四邊形EFAC是菱形；直線上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如圖2，△DEF從圖1出發(fā)，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根∵DE=DF，∴(1)△DEF在平移的過程中，當點D在Rt△ABC的邊AC上時，求t的值； (2)①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根據(jù)相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根據(jù)相似得出比例式，④當5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PGECEC=CF=EF=5，∴t=5．(2)存在．∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，AP=AQ，t=8﹣t，∴t=4；②②AP=PQ，作PH⊥AC于H，AH=HQ=AQ=4﹣t，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴=∴=，∴t=；③AQ=PQ，作QI⊥AB于I，AI=PI=AP=t(等腰三角形的性質三線合一)，∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=，∠A，△△AIQ∽△ACB，∴=，∴=，∴t=，④當5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，BHBH=(10﹣t)=6﹣t，QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣(8﹣t)=2﹣，PGPG=HC=6﹣(6﹣t)=t，PQ=AQ=8﹣(10﹣t)=t﹣2，∴PQ2=PG2+QG2，((t﹣2)2=(t)2+(2﹣)2，解得：t=秒，其它情況不符合要求，(3)由勾股定理：CE=CQ=t，∵∵sinA===，cosA===，∴PW=t，AW=t，∴PQ2=PM2+QW2=(t)2+(8﹣t)2=t2﹣t+64，..2③當∠EPQ=90°時PQ2+PE2=EQ2，PE2=PH2+EH2=(t+8RtPEQRtPEQ中PQ2+QE2=PE2，==；②∠PEQ=90°，PEPE2+EQ2=PQ212121111((2)以點B為位似中心，在網格中畫出△ABC，使△ABC與△ABC22222221112222221111(2)如圖，△ABC即為所求，C(1，0)，222221(2)延長BA到A，使AA=AB，延長BC到C，使CC=BC，然后連接AC即可，再根據(jù)平面直222222角坐標系寫出C點的坐標，利用△ABC所在的矩形的面積減去四周(1)求(2)若，(2)把x=2k，y=3k，z=4k代入得出2k+3=k2，求出方程的解，注意無理方程要進行檢驗．(2)(1)，，小題的方法，解(2)小題求出k的值要進行檢驗．BC：CD=2：1，連接FD與AC交于點N，求FN：ND的值．.據(jù)已知推出CD=BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理推出=【解答【解答】解：過點F作FE∥BD，交AC于點E，∴=，∵AF：BF=1：2，∴=，∴=，即FE=BC，∵BC：CD=2：1，∴CD=BC，∵FE∥BD，∴===．即FN：ND=2：3．證法二、連接CF、AD，∵AF：BF=1：2，BC：CD=2：1，∴==，∵∠B=∠B，∴△BCF∽△BDA，∴==，∠BCF=∠BDA，∴FC∥AD，∴△CNF∽△AND，∴==．12345123EF：DF=5：8，AC=24．(1)求AB的長；(2)當AD=4，BE=1時，求CF的長．123(2)(2)根據(jù)l∥l∥l，得出==，求出OB、OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出==，123【解答】【解答】(1)解：∵l∥l∥l，EF：DF=5：8，AC=24，∴==，∴=，123((2)解：∵l∥l∥l∴==，∴=，∴OB=3，∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，123∴∴==，∴=，∴CF=4．..15．點D為Rt△ABC的斜邊AB上一點，點E在AC上，連接DE，CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥(1)如圖1，若AC=BC，求證：AF⊥AB；(2)如圖2，若AC≠BC，當點D在AB上運動時，求證：AF⊥AB．【分析】(1)根據(jù)∠ADE=∠BCD可得出∠FDC=∠B=45°，進而可得到△CDB≌△CAF，由全等三角形的性質即可得出AF⊥AB；(2)先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ACB∽△FDC，進而得出△BCD∽△ACF，再由相似三角【】證明：(1)∵∠ADE=∠BCD，∴∠FDC=∠B=45°，∴CD=CF，∴△CDB≌△CAF，∴∠CAF=45°，∴AF⊥AB；(2)∵∠ADE=∠BCD，∠ACD+∠DCB=90°，∠DCA+∠ACF=90°，∴∠ACF=∠BCD=∠ADF，∵∠AED=∠CEF，∴∠BAC=∠CFD，∵∠ACB=∠DCF=90°，∴△ACB∽△FDC，∴∴，∴△BCD∽△ACF，∴∠B=∠CAF，∴AF⊥AB．(1)求證：2EF=BD，(2)四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積．根據(jù)三角形中位線推根據(jù)三角形中位線推出EF∥BD，推出△AEF∽△ABD且兩三角形相似比K=1：2，得出面積比是，【解答】(1)證明：∵DC=AC，CF為∠ACB的平分線，∴AF=DF，∵AE=EB，AF=DF，∴EF為△ABD的中位線，∴2EF=BD．(2)解：∵EF為△ABD的中位線，∴EF∥BD，2EF=BD，∴△AEF∽△ABD=K2=，則4(S﹣6)=S，解得：S=8．△ABD△ABD△ABD求出EF是三角形ABD的中位線和推出△AEF∽△ABD，主要烤箱學生運用性質進行推理和計算的17．已知：Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示，P(3，4)為OB的中點，點C為折線OAB又當PC⊥OB時，分割得到的三角形與Rt△OAB也相似，根據(jù)網格結構，利用勾股定理求出OB的PC∥OA時，△PCB∽△OAB，此時點C的坐標為(6，4)，PC⊥OB時，△CPB∽△OAB，根據(jù)勾股定理得，OB==10，∵P(3，4)為OB的中點，∴PB=OB=5，∴=，即=，解得BC=，【點評】本題考查了利用相似變換作圖，相似三角形的判定，需要特別注意“PC⊥OB”的情況容易((1)以原點O為位似中心，把線段AB縮小為原來的；(2)若(1)中畫出的線段為A′B′，請寫出線段A′B′兩個端點A′、B′的坐標；為為B′，然后連接A′B′；A′B′與AB在位似中心O異側時，連接AO并延長至A′，使OA′=OA，在x軸的負半軸取點B′，使OB′=OB，然后連接A′B′；(2)根據(jù)平面直角坐標系分別寫出點的坐標即可；(3)根據(jù)規(guī)律，縮小后線段上的點的橫坐標與縱坐標的絕對值都(3)(3)M′(，)或(﹣，﹣)．(1)求點A、B的坐標．t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？xx==(3)求出(2)中當以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似時，線段PQ的長度．(2)(3)小題由已知相似得到比例式，代入即可求出t和PQ的長度，注意(2)(3)都有兩種情況．(2)此題有兩種情況：在△ABO中∠BOA=90°，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10，∵∠BAO=∠BAO，BQ=2t，AQ=10﹣2t，AP=t，第第一種情況：=時，△AQP∽△ABO，即=，解得：t=，==時△AQP∽△AOB，即=答案為：當答案為：當t為或時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似．(3)∵以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似，==解得PQ==，，答答案為：當以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似時，線段PQ的長度是或．====；=①，∵DP⊥=①，∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠BPQ=90°，=(2)連接AC，設BP=y，則AP=m﹣y，∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°，∴∠APD=∠BQP，21．如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m(m＞4)，點P是AB邊上的任意一點(不與點A、B重合)，連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．(1)當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說(2)連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長(用含m的代數(shù)式表示)；(3)若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S(2)連接AC，設BP=y，則AP=m﹣y，由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC，△APD∽△BQP，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求出BQ的表達式；(3)連接DQ，把四邊形PQCD化為兩個直角三角形，再用m表示出PD及CQ的長，利用三角形在在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2，在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即PC2=42+(10﹣x)2，在Rt△PCD中，CD2=DP2+PC2，即102=42+x2+42+(10﹣x)2，故當m=10時，存在點P使得點Q與點C重合，此時AP=2或8；=②，①②聯(lián)立得，=∴△=②，①②聯(lián)立得，=∴△APD∽△BQPBQBQ=(3)連接DQ，由已知PQ⊥PD，所以只有當DP=PQ時，△PQD(3)連接DQ，由已知PQ⊥PD，所以只有當DP=PQ時，△PQD為等腰三角形(如圖)，∴PB=DA=4，AP=BQ=m﹣4，SS=S﹣S﹣S=4m﹣×4×(m﹣4)﹣×4×(m﹣4)=16，四邊形PQCD矩形ABCD△DAP△QBP∵AD=4，m＞4，△PBC中PB是直角三角形的另一直角邊，∴m＞4．22．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是邊AC上一動點(不與端點A、C重合)，過動(1)設CD=1，點E在邊AB上，△ADE與△ABC相似，求此時BE的長度．(2)如果點E在邊AB上，以點E、B、F為頂點的三角形與以點E、A、D為頂(3)設CD=1，以點E、B、F為頂點的三角形與以點E、A、D為頂點的三角形相似，求S：S的值．△EBF△EAD【分析】(1)小題由已知△ADE和△ABC相似得出比例式就能求出BE；(2)小題利用點E、B、F首先進行分類(圖(2)圖(3))，分別證出兩三角形相似，進而得到比例式求出答案．【解答】解：(1)在△ABC中∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=5，∵要使△ADE與△ABC相似，∠A=∠A，且與與射線AB相交于點E，與射線BC相交于點F，如果△BEF與△EAD相似，那么只能∠1=∠A，又∵∠ACF=∠ACB=90°，∠1=∠A，∴△FDC∽△ABC，∴∴，由△EBF∽△EDA得S：S==，△EBF△EADD由∠1=由∠1=∠A得△EBF∽△EDA，進而，由△FDC∽△ABC，得，由，得CF=，∴BF=，由△EBF∽△EDA得：S：S=△EBF△EAD綜上所述，S：S的值等于或．△EBF△EAD=，判定的綜合運用，關鍵是找出相似的條件判斷兩三角形相似，進而利用相似的性質求出BFAD的長23．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．點M為邊BC的中點，以M為頂(1)求證：△MEF∽△BEM；(2)若△BEM是以BM為腰的等腰三角形，求EF的長；(3)若EF⊥CD，求BE的長．【分析】(1)先根據(jù)已知條件判斷出梯形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性質可得出△MEF∽△MFC，由相似三角形的性質及判定定理可得出△MEF∽△BEM；(2)由(1)可知△MEF∽△BEM，BM=BF=3=MC，則△MEF≌△FMC，由全等三角形的對應邊相等等可得出EF的長；同理，若BM=BM=3=MC，則△MEF≌△FMC，由全等三角(3)根據(jù)EF⊥CD，△MEF∽△BEM可求出∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，設BE=x，則BH=，EH=MH=，由MH+BH=3即可求出答案．【解答】證明：(1)在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，(1分)∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC，(1分)，(1，(1分)∵MC=MB，∴∴△EMB∽△MFC，∴，又∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM；(1分)(2)解：若△BEM是以BM為腰的等腰三角形，則有兩種情況：①①BM=ME，那么根據(jù)△MEF∽△BEM，∴=，∴=，即EF=MF根據(jù)第(1)問中已證△根據(jù)第(1)問中已證△BME∽△MFC，∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB延長BA和CD相交于點G，又點M是BC的中點，∴∴MF是△GBC的中位線，∴MF=GB，又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴∴===，∴=1，即AG=AB=6，∴GB=12，∴MF=EF=6