用函數的觀點一元二次方程用函數的觀點看一元二次方程(1)1．通過探索，使學生理解二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系。2．使學生能夠運用二次函數及其圖象、性質解決實際問題，提高學生用數學的意識。3．進一步培養(yǎng)學生綜合解題能力，滲透數形結合思想。重點：使學生理解二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，能夠運用二次函數及其圖象、性質去解決實際問題是教學的重點。難點：進一步培養(yǎng)學生綜合解題能力，滲透數形結合的思想是教學的難點．一、引言在現實生活中，我們常常會遇到與二次函數及其圖象有關的問題，如拱橋跨度、拱高計算等，利用二次函數的有關知識研究和解決這些問題，具有很現實的意義。本節(jié)課，請同學們共同研究，嘗試解決以下幾個問題。二、探索問題問題1：某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個噴頭向外噴水。連噴頭在內，柱高為。水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖(1)所示。根據設計圖紙已知：如圖(2)中所示直角坐標系中，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)4之間的函數關系式是y＝－x2＋2x＋(1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少(2)如果不計其他的因素，那么水池至少為多少時，才能使噴出的水流都落在水池內教學要點1．讓學生討論、交流，如何將文學語言轉化為數學語言，得出問題(1)就是求函數y＝－x245＋2x＋最大值，問題(2)就是求如圖(2)B點的橫坐標；52．學生解答，教師巡視指導；3．讓一兩位同學板演，教師講評。問題2：一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現測得，當水面寬AB＝時，涵洞頂點與水面的距離為。這時，離開水面處，涵洞寬ED是多少是否會教學要點1．教師分析：根據已知條件，要求ED的寬，只要求出FD的長度。在如圖(3)的直角坐標系中，即只要求出D點的橫坐標。因D點D的縱坐6．對于問題(3)，教師組織學生分組討論、交流，各6．對于問題(3)，教師組織學生分組討論、交流，各343標，所以利用拋物線的函數關系式可以進一步算出點D的橫坐標。2．讓學生完成解答，教師巡視指導。3．教師分析存在的問題，書寫解答過程。這時，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，開口向下，所以可設它的數關系式為：y＝ax2(a＜0)(1)AB因為AB與y軸相交于C點，所以CB＝2＝(m)，又OC＝，所以點B的坐標是，－。154因為點B在拋物線上，將它的坐標代人(1)，得－＝a×所以：a＝－4154因此，函數關系式是y＝－x2(2)4因為OF＝，設FD＝xm(x＞0)，則點D坐標為(x，－。因為點D的坐標在拋物線上，將它1112102的坐標代人(2)，得411510101022ED＝2FD＝2×x1＝2×5＝510≈5×≈(m)25所以涵洞ED是10m，會超過1m。5yxx根據圖象回答下列問題。3(2)當x取何值時，y＝0這里x的取值與方程x2－x－4＝0有什么關系(3)你能從中得到什么啟發(fā)教學要點1．先讓學生回顧函數y＝ax2＋bx＋c圖象的畫法，按列表、描點、連線等步驟畫出函數y34＝x2－x－的圖象。43．教師講評，并畫出函數圖象，如圖(4)所示。4．4．教師引導學生觀察函數圖象，回答(1)提出的問13題，得到圖象與x軸交點的坐標分別是(－0)和(5．讓學生完成(2)的解答。教師巡視指導并講評。4即為方程x2－x－＝0的解；從“數”的方面看，當二次433函數y＝x2－x－4的函數值為0時，相應的自變量的值即為方程x2－x－4＝0的解。更一般地，ax2＋bx＋c的函數值為0時，相應的自變量的值即為方程ax2＋bx＋c＝0的解，這一結論反映了二次函數與一元二次方程的關系。三、試一試13132222x＜時，y＜0；當x＜－或x＞時，2222(2)能否用含有x的不等式來描述(1)中的問題(能用含有x的不等式采描述(1)中的問3344題，即x2－x－＜0的解集是什么x2－x－＞044想一想：二次函數與一元二次不等式有什么關系讓學生類比二次函數與一元二次不等式方程的關系，討論、交流，達成共識：(1)從“形”的方面看，二次函數y＝ax2＋bJ＋c在x軸上方的圖象上的點的橫坐標，即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x軸下方的圖象上的點的橫坐標．即為一元二次不等(2)從“數”的方面看，當二次函數y＝ax2＋bx＋c的函數值大于0時，相應的自變量的值axbxcyaxbxc時，相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。這一結論反映了二次函數與一元二次不等式的關系。五、小結：1．通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲有什么困惑＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情況。六、作業(yè)：x2．已知函數y＝x2－x－2。(1)先確定其圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標，再畫出圖象xyy＞0；③y＜0。3．學校建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA任意平面上的拋物線如圖(5)所示，建立直角坐標系(如圖(6))，水流噴出的高度y(m)53與水面距離x(m)之間的函數關系式是y＝－x2＋x＋(1)花形柱子OA的高度；(2)若不計其他因素，水池的半徑至少要