第六章排隊(duì)論模型排隊(duì)論起源于1909年丹麥工程師A.K．愛(ài)爾朗的工作，他對(duì)通話擁擠問(wèn)題進(jìn)行了研究。1917年，愛(ài)爾朗發(fā)表了他的著名的文章—“自動(dòng)交換中的概率理論的幾個(gè)問(wèn)題的解決”。排隊(duì)論已廣泛應(yīng)用于解決軍事、運(yùn)輸、維修、生產(chǎn)、服務(wù)、庫(kù)存、醫(yī)療衛(wèi)生、教育、水利灌溉之類的排隊(duì)系統(tǒng)的問(wèn)題，顯示了強(qiáng)大的生命力。排隊(duì)是在日常生活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，如顧客到商店購(gòu)買物品、病人到醫(yī)院看病常常要排隊(duì)。此時(shí)要求服務(wù)的數(shù)量超過(guò)服務(wù)機(jī)構(gòu)（服務(wù)臺(tái)、服務(wù)員等）的容量。也就是說(shuō)，到達(dá)的顧客不能立即得到服務(wù)，因而出現(xiàn)了排隊(duì)現(xiàn)象。這種現(xiàn)象不僅在個(gè)人日常生活中出現(xiàn)，局的占線問(wèn)題，車站、碼頭等交通樞紐的車船堵塞和疏導(dǎo)，故障機(jī)器的停機(jī)待修，水庫(kù)的存貯調(diào)節(jié)等都是有形或無(wú)形的排隊(duì)現(xiàn)象。由于顧客到達(dá)和服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)性?？梢哉f(shuō)排隊(duì)現(xiàn)象幾乎是不可避免的。排隊(duì)論（QueuingTheory）也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，就是為解決上述問(wèn)題而發(fā)展的一門學(xué)科。它研究的內(nèi)容有下列三部分：（=1\*romani）性態(tài)問(wèn)題，即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要是研究隊(duì)長(zhǎng)分布、等待時(shí)間分布和忙期分布等，包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。（=2\*romanii）最優(yōu)化問(wèn)題，又分靜態(tài)最優(yōu)和動(dòng)態(tài)最優(yōu)，前者指最優(yōu)設(shè)計(jì)。后者指現(xiàn)有排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)營(yíng)。（=3\*romaniii）排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷，即判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于那種模型，以便根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行分析研究。這里將介紹排隊(duì)論的一些基本知識(shí)，分析幾個(gè)常見(jiàn)的排隊(duì)模型。§1基本概念1.1排隊(duì)過(guò)程的一般表示下圖是排隊(duì)論的一般模型。服務(wù)機(jī)構(gòu)（服務(wù)時(shí)間隨機(jī)）顧客排隊(duì)顧客隨機(jī)達(dá)到顧客離去服務(wù)機(jī)構(gòu)（服務(wù)時(shí)間隨機(jī)）顧客排隊(duì)圖中虛線所包含的部分為排隊(duì)系統(tǒng)。各個(gè)顧客從顧客源出發(fā)，隨機(jī)地來(lái)到服務(wù)機(jī)構(gòu)，按一定的排隊(duì)規(guī)則等待服務(wù)，直到按一定的服務(wù)規(guī)則接受完服務(wù)后離開排隊(duì)系統(tǒng)。凡要求服務(wù)的對(duì)象統(tǒng)稱為顧客，為顧客服務(wù)的人或物稱為服務(wù)員，由顧客和服務(wù)員組成服務(wù)系統(tǒng)。對(duì)于一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，如果服務(wù)機(jī)構(gòu)過(guò)小，以致不能滿足要求服務(wù)的眾多顧客的需要，那么就會(huì)產(chǎn)生擁擠現(xiàn)象而使服務(wù)質(zhì)量降低。因此，顧客總希望服務(wù)機(jī)構(gòu)越大越好，但是，如果服務(wù)機(jī)構(gòu)過(guò)大，人力和物力方面的開支也就相應(yīng)增加，從而會(huì)造成浪費(fèi)，因此研究排隊(duì)模型的目的就是要在顧客需要和服務(wù)機(jī)構(gòu)的規(guī)模之間進(jìn)行權(quán)衡決策，使其達(dá)到合理的平衡。1.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征一般的排隊(duì)過(guò)程都由輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則、服務(wù)過(guò)程三部分組成，現(xiàn)分述如下：1.2.1輸入過(guò)程輸入過(guò)程是指顧客到來(lái)時(shí)間的規(guī)律性，可能有下列不同情況：（=1\*romani）顧客的組成可能是有限的，也可能是無(wú)限的。（=2\*romanii）顧客到達(dá)的方式可能是一個(gè)—個(gè)的，也可能是成批的。（=3\*romaniii）顧客到達(dá)可以是相互獨(dú)立的，即以前的到達(dá)情況對(duì)以后的到達(dá)沒(méi)有影響；否則是相關(guān)的。（=4\*romaniv）輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)的，即相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布及其數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征都與時(shí)間無(wú)關(guān)，否則是非平穩(wěn)的。1.2.2排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則指到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客按怎樣的規(guī)則排隊(duì)等待，可分為損失制，等待制和混合制三種。（=1\*romani）損失制（消失制）。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有的服務(wù)臺(tái)均被占用，顧客隨即離去。（=2\*romanii）等待制。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有的服務(wù)臺(tái)均被占用，顧客就排隊(duì)等待，直到接受完服務(wù)才離去。例如出故障的機(jī)器排隊(duì)等待維修就是這種情況。（=3\*romaniii）混合制。介于損失制和等待制之間的是混合制，即既有等待又有損失。有隊(duì)列長(zhǎng)度有限和排隊(duì)等待時(shí)間有限兩種情況，在限度以內(nèi)就排隊(duì)等待，超過(guò)一定限度就離去。排隊(duì)方式還分為單列、多列和循環(huán)隊(duì)列。1.2.3服務(wù)過(guò)程（=1\*romani）服務(wù)機(jī)構(gòu)。主要有以下幾種類型：?jiǎn)畏?wù)臺(tái)；多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)（每個(gè)服務(wù)臺(tái)同時(shí)為不同顧客服務(wù)）；多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)（多服務(wù)臺(tái)依次為同一顧客服務(wù)）；混合型。（=2\*romanii）服務(wù)規(guī)則。按為顧客服務(wù)的次序采用以下幾種規(guī)則：①先到先服務(wù)，這是通常的情形。②后到先服務(wù)，如情報(bào)系統(tǒng)中，最后到的情報(bào)信息往往最有價(jià)值，因而常被優(yōu)先處理。③隨機(jī)服務(wù)，服務(wù)臺(tái)從等待的顧客中隨機(jī)地取其一進(jìn)行服務(wù)，而不管到達(dá)的先后。④優(yōu)先服務(wù)，如醫(yī)療系統(tǒng)對(duì)病情嚴(yán)重的病人給予優(yōu)先治療。1.3排隊(duì)模型的符號(hào)表示排隊(duì)模型用六個(gè)符號(hào)表示，在符號(hào)之間用斜線隔開，即。第一個(gè)符號(hào)表示顧客到達(dá)流或顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布；第二個(gè)符號(hào)表示服務(wù)時(shí)間的分布；第三個(gè)符號(hào)表示服務(wù)臺(tái)數(shù)目；第四個(gè)符號(hào)是系統(tǒng)容量限制；第五個(gè)符號(hào)是顧客源數(shù)目；第六個(gè)符號(hào)是服務(wù)規(guī)則，如先到先服務(wù)FCFS，后到先服務(wù)LCFS等。并約定，如略去后三項(xiàng)，即指的情形。我們只討論先到先服務(wù)FCFS的情形，所以略去第六項(xiàng)。表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的分布的約定符號(hào)為：—指數(shù)分布（是Markov的字頭，因?yàn)橹笖?shù)分布具有無(wú)記憶性，即Markov性）；—確定型（Deterministic）；—階愛(ài)爾朗(Erlang)分布；—一般（general）服務(wù)時(shí)間的分布；—一般相互獨(dú)立（GeneralIndependent）的時(shí)間間隔的分布。例如，表示相繼到達(dá)間隔時(shí)間為指數(shù)分布、服務(wù)時(shí)間為指數(shù)分布、單服務(wù)臺(tái)、等待制系統(tǒng)。表示確定的到達(dá)時(shí)間、服務(wù)時(shí)間為指數(shù)分布、個(gè)平行服務(wù)臺(tái)（但顧客是一隊(duì)）的模型。1.4排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)為了研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率，估計(jì)其服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，評(píng)價(jià)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是否合理并研究其改進(jìn)的措施，必須確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，這些數(shù)量指標(biāo)通常是：(=1\*romani)平均隊(duì)長(zhǎng)：指系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)（包括正被服務(wù)的顧客與排隊(duì)等待服務(wù)的顧客）的數(shù)學(xué)期望，記作。(=2\*romanii)平均排隊(duì)長(zhǎng):指系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望，記作。(=3\*romaniii)平均逗留時(shí)間：顧客在系統(tǒng)內(nèi)逗留時(shí)間（包括排隊(duì)等待的時(shí)間和接受服務(wù)的時(shí)間）的數(shù)學(xué)期望，記作。（=4\*romaniv）平均等待時(shí)間：指一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中排隊(duì)等待時(shí)間的數(shù)學(xué)期望，記作。（=5\*romanv）平均忙期：指服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙時(shí)間（顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起，到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次空閑止的時(shí)間）長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)期望，記為。還有由于顧客被拒絕而使企業(yè)受到損失的損失率以及以后經(jīng)常遇到的服務(wù)強(qiáng)度等，這些都是很重要的指標(biāo)。計(jì)算這些指標(biāo)的基礎(chǔ)是表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)的概率。所謂系統(tǒng)的狀態(tài)即指系統(tǒng)中顧客數(shù)，如果系統(tǒng)中有個(gè)顧客就說(shuō)系統(tǒng)的狀態(tài)是，它的可能值是（=1\*romani）隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制時(shí)，，（=2\*romanii）隊(duì)長(zhǎng)有限制，最大數(shù)為時(shí)，，（=3\*romaniii）損失制，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)是時(shí)，。這些狀態(tài)的概率一般是隨時(shí)刻而變化，所以在時(shí)刻、系統(tǒng)狀態(tài)為的概率用表示。穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)為的概率用表示?！?輸入過(guò)程與服務(wù)時(shí)間的分布排隊(duì)系統(tǒng)中的事件流包括顧客到達(dá)流和服務(wù)時(shí)間流。由于顧客到達(dá)的間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間不可能是負(fù)值，因此，它的分布是非負(fù)隨機(jī)變量的分布。最常用的分布有泊松分布、確定型分布，指數(shù)分布和愛(ài)爾朗分布。2.1泊松流與指數(shù)分布設(shè)表示在時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)（），令表示在時(shí)間區(qū)間內(nèi)有個(gè)顧客到達(dá)的概率，即當(dāng)合于下列三個(gè)條件時(shí)，我們說(shuō)顧客的到達(dá)形成泊松流。這三個(gè)條件是：1o在不相重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立的，我們稱這性質(zhì)為無(wú)后效性。2o對(duì)充分小的，在時(shí)間區(qū)間內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與無(wú)關(guān)，而約與區(qū)間長(zhǎng)成正比，即（1）其中，當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的高階無(wú)窮小。是常數(shù)，它表示單位時(shí)間有一個(gè)顧客到達(dá)的概率，稱為概率強(qiáng)度。3o對(duì)于充分小的，在時(shí)間區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客到達(dá)的概率極小，以致可以忽略，即（2）在上述條件下，我們研究顧客到達(dá)數(shù)的概率分布。由條件2o，我們總可以取時(shí)間由0算起，并簡(jiǎn)記。由條件1o和2o，有由條件2o和3o得因而有，.在以上兩式中，取趨于零的極限，當(dāng)假設(shè)所涉及的函數(shù)可導(dǎo)時(shí)，得到以下微分方程組：，.取初值，，容易解出；再令，可以得到及其它所滿足的微分方程組，即，.由此容易解得.正如在概率論中所學(xué)過(guò)的，我們說(shuō)隨機(jī)變量服從泊松分布。它的數(shù)學(xué)期望和方差分別是；。當(dāng)輸入過(guò)程是泊松流時(shí)，那么顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔必服從指數(shù)分布。這是由于內(nèi)呼叫次數(shù)為零那么，以表示的分布函數(shù)，則有而分布密度函數(shù)為.對(duì)于泊松流,表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù),所以就表示相繼顧客到達(dá)平均間隔時(shí)間，而這正和的意義相符。對(duì)一顧客的服務(wù)時(shí)間也就是在忙期相繼離開系統(tǒng)的兩顧客的間隔時(shí)間，有時(shí)也服從指數(shù)分布。這時(shí)設(shè)它的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別是，我們得到這表明，在任何小的時(shí)間間隔內(nèi)一個(gè)顧客被服務(wù)完了（離去）的概率是。表示單位時(shí)間能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，稱為平均服務(wù)率，而表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。2.2常用的幾種概率分布及其產(chǎn)生2.2.1常用的連續(xù)型概率分布我們只給出這些分布的參數(shù)、記號(hào)和通常的應(yīng)用范圍，更詳細(xì)的內(nèi)容參看專門的概率論書籍。（=1\*romani）均勻分布區(qū)間內(nèi)的均勻分布記作。服從分布的隨機(jī)變量又稱為隨機(jī)數(shù)，它是產(chǎn)生其它隨機(jī)變量的基礎(chǔ)。如若為分布，則服從。（=2\*romanii）正態(tài)分布以為期望，為方差的正態(tài)分布記作。正態(tài)分布的應(yīng)用十分廣泛。正態(tài)分布還可以作為二項(xiàng)分布一定條件下的近似。（=3\*romaniii）指數(shù)分布指數(shù)分布是單參數(shù)的非對(duì)稱分布，記作，概率密度函數(shù)為：它的數(shù)學(xué)期望為，方差為。指數(shù)分布是唯一具有無(wú)記憶性的連續(xù)型隨機(jī)變量，即有，在排隊(duì)論、可靠性分析中有廣泛應(yīng)用。（=4\*romaniv）Gamma分布Gamma分布是雙參數(shù)的非對(duì)稱分布，記作，期望是。時(shí)蛻化為指數(shù)分布。個(gè)相互獨(dú)立、同分布（參數(shù)）的指數(shù)分布之和是Gamma分布（。Gamma分布可用于服務(wù)時(shí)間，零件壽命等。Gamma分布又稱愛(ài)爾朗分布。（=5\*romanv）Weibull分布Weibull分布是雙參數(shù)的非對(duì)稱分布，記作。時(shí)蛻化為指數(shù)分布。作為設(shè)備、零件的壽命分布在可靠性分析中有著非常廣泛的應(yīng)用。（=6\*romanvi）Beta分布Beta分布是區(qū)間內(nèi)的雙參數(shù)、非均勻分布，記作。2.2.2常用的離散型概率分布（=1\*romani）離散均勻分布（=2\*romanii）Bernoulli分布（兩點(diǎn)分布）Bernoulli分布是處取值的概率分別是和的兩點(diǎn)分布，記作。用于基本的離散模型。（=3\*romaniii）泊松（Poisson）分布泊松分布與指數(shù)分布有密切的關(guān)系。當(dāng)顧客平均到達(dá)率為常數(shù)的到達(dá)間隔服從指數(shù)分布時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)服從泊松分布，即單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)位顧客的概率為記作。反過(guò)來(lái)也是這樣。泊松分布在排隊(duì)服務(wù)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、生物與醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、天文、物理等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。（=4\*romaniv）二項(xiàng)分布在獨(dú)立進(jìn)行的每次試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的概率為，則次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即發(fā)生次的概率為.記作。二項(xiàng)分布是個(gè)獨(dú)立的Bernoulli分布之和。它在產(chǎn)品檢驗(yàn)、保險(xiǎn)、生物和醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。當(dāng)很大時(shí)，近似于正態(tài)分布；當(dāng)很大、很小，且約為常數(shù)時(shí)，近似于?！?標(biāo)準(zhǔn)的模型標(biāo)準(zhǔn)的模型是指適合下列條件的排隊(duì)系統(tǒng)：（=1\*romani）輸入過(guò)程—顧客源是無(wú)限的，顧客單個(gè)到來(lái)，相互獨(dú)立，一定時(shí)間的到達(dá)數(shù)服從泊松分布，到達(dá)過(guò)程已是平穩(wěn)的。（=2\*romanii）排隊(duì)規(guī)則—單隊(duì)，且對(duì)隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制，先到先服務(wù)。（=3\*romaniii）服務(wù)機(jī)構(gòu)—單服務(wù)臺(tái)，各顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的，服從相同的指數(shù)分布。此外，還假定到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。在分析標(biāo)準(zhǔn)的模型時(shí)，首先要求出系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)為（系統(tǒng)中有個(gè)顧客）的概率，它決定了系統(tǒng)運(yùn)行的特征。因已知到達(dá)規(guī)律服從參數(shù)為的泊松過(guò)程，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所以在時(shí)間區(qū)間內(nèi)有：（=1\*romani）有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為；沒(méi)有顧客到達(dá)的概率就是。（=2\*romanii）當(dāng)有顧客在接受服務(wù)時(shí)，1個(gè)顧客被服務(wù)完了（離去）的概率是，沒(méi)有離去的概率就是。（=3\*romaniii）多于一個(gè)顧客的到達(dá)或離去的概率是，是可以忽略的。設(shè)（否則隊(duì)列將排至無(wú)限遠(yuǎn)），我們可以推出在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)以上式為基礎(chǔ)可以算出系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)：（=1\*romani）在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值）（=2\*romanii）在隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)（排隊(duì)長(zhǎng)期望值）（=3\*romaniii）在系統(tǒng)中顧客逗留時(shí)間的期望值（=4\*romaniv）在隊(duì)列中顧客等待時(shí)間的期望值§4產(chǎn)生給定分布的隨機(jī)數(shù)的方法Matlab可以產(chǎn)生常用分布的隨機(jī)數(shù)。下面我們介紹按照給定的概率分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一般方法，這些方法都以分布的隨機(jī)變量為基礎(chǔ)。(=1\*romani)反變換法定理設(shè)是一個(gè)具有連續(xù)分布函數(shù)的隨機(jī)變量，則在[0，1]上有均勻分布。設(shè)概率分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)增的，的反函數(shù)記作。先產(chǎn)生，再取即為所求，稱為反變換法。指數(shù)分布能夠方便地用反變換法產(chǎn)生。由的分布函數(shù)，可得思考有的書上用代替上式，對(duì)嗎，為什么？（=2\*romanii）卷積法如果隨機(jī)變量是個(gè)獨(dú)立、同分布的另一隨機(jī)變量之和，而又容易產(chǎn)生時(shí)，先產(chǎn)生個(gè)獨(dú)立的，再令即可。因?yàn)榈姆植己瘮?shù)是分布函數(shù)的卷積，故稱為卷積法。二項(xiàng)分布可以用卷積法產(chǎn)生。因?yàn)槭莻€(gè)獨(dú)立的之和，而很容易由按以下方法得到：若，令；否則令。(=3\*romaniii)取舍法若隨機(jī)變量在有限區(qū)間內(nèi)變化，但概率密度具有任意形式（甚至沒(méi)有解析表達(dá)式），無(wú)法用前面的方法產(chǎn)生時(shí)，可用取舍法。一種比較簡(jiǎn)單的取舍法的步驟是：1o產(chǎn)生和；2o記，若，則??；否則，舍去，返回1o。§5排隊(duì)模型的計(jì)算機(jī)模擬5.1確定隨機(jī)變量概率分布的常用方法在模擬一個(gè)帶有隨機(jī)因素的實(shí)際系統(tǒng)時(shí)，究竟用什么樣的概率分布描述問(wèn)題中的隨機(jī)變量，是我們總是要碰到的一個(gè)問(wèn)題，下面簡(jiǎn)單介紹確定分布的常用方法：1o根據(jù)一般知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，可以假定其概率分布的形式，如顧客到達(dá)間隔服從指數(shù)分布；產(chǎn)品需求量服從正態(tài)分布；訂票后但未能按時(shí)前往機(jī)場(chǎng)登機(jī)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布。然后由實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)分布的參數(shù)等，參數(shù)估計(jì)可用極大似然估計(jì)、矩估計(jì)等方法。2o直接由大量的實(shí)際數(shù)據(jù)作直方圖，得到經(jīng)驗(yàn)分布，再通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)，擬合分布函數(shù)，可用檢驗(yàn)等方法。3o既缺少先驗(yàn)知識(shí)，又缺少數(shù)據(jù)時(shí)，對(duì)區(qū)間內(nèi)變化的隨機(jī)變量，可選用Beta分布（包括均勻分布）。先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定隨機(jī)變量的均值和頻率最高時(shí)的數(shù)值（即密度函數(shù)的最大值），則Beta分布中的參數(shù)可由以下關(guān)系求出：，.5.2計(jì)算機(jī)模擬當(dāng)排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的概率分布很復(fù)雜時(shí)，或不能用公式給出時(shí)，那么就不能用解析法求解。這就需用隨機(jī)模擬法求解，現(xiàn)舉例說(shuō)明。例1設(shè)某倉(cāng)庫(kù)前有一卸貨場(chǎng)，貨車一般是夜間到達(dá)，白天卸貨，每天只能卸貨2車，若一天內(nèi)到達(dá)數(shù)超過(guò)2車，那么就推遲到次日卸貨。根據(jù)下表所示的數(shù)據(jù)，貨車到達(dá)數(shù)的概率分布（相對(duì)頻率）平均為1.5車/天，求每天推遲卸貨的平均車數(shù)。到達(dá)車數(shù)0123456概率0.230.300.300.10.050.020.00解這是單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)，可驗(yàn)證到達(dá)車數(shù)不服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間也不服從指數(shù)分布（這是定長(zhǎng)服務(wù)時(shí)間）。隨機(jī)模擬法首先要求事件能按歷史的概率分布規(guī)律出現(xiàn)。模擬時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)與事件的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：到達(dá)車數(shù)概率累積概率對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)012345230.303010050.0223538393980000.230.230.530.530.830.830.930.930.980.981.001.00我們用a1表示產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，a2表示到達(dá)的車數(shù)，a3表示需要卸貨車數(shù)，a4表示卸貨車數(shù)，a5表示推遲卸貨車數(shù)。編寫程序如下：clearrand('state',sum(100*clock));n=50000;m=2a1=rand(n,1);a2=a1;%a2初始化a2(find(a1<0.23))=0;a2(find(0.23<=a1&a1<0.53))=1;a2(find(0.53<=a1&a1<0.83))=2;a2(find(0.83<=a1&a1<0.93),1)=3;a2(find(0.93<=a1&a1<0.98),1)=4;a2(find(a1>=0.98))=5;a3=zeros(n,1);a4=zeros(n,1);a5=zeros(n,1);a3(1)=a2(1);ifa3(1)<=ma4(1)=a3(1);a5(1)=0;elsea4(1)=m;a5(1)=a2(1)-m;endfori=2:na3(i)=a2(i)+a5(i-1);ifa3(i)<=ma4(i)=a3(i);a5(i)=0;elsea4(i)=m;a5(i)=a3(i)-m;endenda=[a1,a2,a3,a4,a5];sum(a)/n例2銀行計(jì)劃安置自動(dòng)取款機(jī)，已知型機(jī)的價(jià)格是型機(jī)的2倍，而型機(jī)的性能—平均服務(wù)率也是型機(jī)的2倍，問(wèn)應(yīng)該購(gòu)置1臺(tái)型機(jī)還是2臺(tái)型機(jī)。為了通過(guò)模擬回答這類問(wèn)題，作如下具體假設(shè)，顧客平均每分鐘到達(dá)1位，型機(jī)的平均服務(wù)時(shí)間為0.9，型機(jī)為1.8分鐘，顧客到達(dá)間隔和服務(wù)時(shí)間都服從指數(shù)分布，2臺(tái)型機(jī)采取模型（排一隊(duì)），用前100名顧客（第1位顧客到達(dá)時(shí)取款機(jī)前為空）的平均等待時(shí)間為指標(biāo)，對(duì)型機(jī)和型機(jī)分別作1000次模擬，進(jìn)行比較。理論上已經(jīng)得到，型機(jī)和型機(jī)前100名顧客的平均等待時(shí)間分別為，，即型機(jī)優(yōu)。對(duì)于模型，記第位顧客的到達(dá)時(shí)刻為，離開時(shí)刻為，等待時(shí)間為，它們很容易根據(jù)已有的到達(dá)間隔和服務(wù)時(shí)間按照以下的遞推關(guān)系得到（，設(shè)已知）：，，在模擬型機(jī)時(shí)，我們用cspan表示到達(dá)間隔時(shí)間，sspan表示服務(wù)時(shí)間，ctime表示到達(dá)時(shí)間，gtime表示離開時(shí)間，wtime表示等待時(shí)間。我們總共模擬了次，每次個(gè)顧客。程序如下：ticrand('state',sum(100*clock));n=100;m=1000;mu1=1;mu2=0.9;forj=1:mcspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);ctime(1)=cspan(1);gtime(1)=ctime(1)+sspan(1);wtime(1)=0;fori=2:nctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);gtime(i)=max(ctime(i),gtime(i-1))+sspan(i);wtime(i)=max(0,gtime(i-1)-ctime(i));endresult1(j)=sum(wtime)/n;endresult_1=sum(result1)/mtoc類似地，模擬型機(jī)的程序如下：ticrand('state',sum(100*clock));n=100;m=1000;mu1=1;mu2=1.8;forj=1:mcspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);ctime(1)=cspan(1);ctime(2)=ctime(1)+cspan(2);gtime(1:2)=ctime(1:2)+sspan(1:2);wtime(1:2)=0;flag=gtime(1:2);fori=3:nctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);gtime(i)=max(ctime(i),min(flag))+sspan(i);wtime(i)=max(0,min(flag)-ctime(i));flag=[max(flag),gtime(i)];endresult2(j)=sum(wtime)/n;endresult_2=sum(result2)/mtoc讀者可以用下面的程序與上面的程序比較了解編程的效率問(wèn)題。ticclearrand('state',sum(100*clock));n=100;m=1000;mu1=1;mu2=0.9;forj=1:mctime(1)=exprnd(mu1);gtime(1)=ctime(1)+exprnd(mu2);wtime(1)=0;fori=2:nctime(i)=ctime(i-1)+exprnd(mu1);gtime(i)=max(ctime(i),gtime(i-1))+exprnd(mu2);wtime(i)=max(0,gtime(i-1)-ctime(i));endresult(j)=sum(wtime)/n;endresult=sum(result)/mtoc習(xí)題六1.一個(gè)車間內(nèi)有10臺(tái)相同的機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器運(yùn)行時(shí)每小時(shí)能創(chuàng)造4元的利潤(rùn)，且平均每小時(shí)損壞一次。而一個(gè)修理工修復(fù)一臺(tái)機(jī)器平均需4小時(shí)。以上時(shí)間均服從指數(shù)分布。設(shè)一名修理工一小時(shí)工資為6元，試求：（=1\*romani）該車間應(yīng)設(shè)多少名修理工，使總費(fèi)用為最??；（=2\*romanii）若要求不能運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器的期望數(shù)小于4臺(tái)，則應(yīng)設(shè)多少名修理工；（=3\*romaniii）若要求損壞機(jī)器等待修理的時(shí)間少于4小時(shí)，又應(yīng)設(shè)多少名修理工。到達(dá)某鐵路售票處顧客分兩類：一類買南方線路票，到達(dá)率為/小時(shí)，另一類買北方線路票，到達(dá)率為/小時(shí)，以上均服從泊松分布。該售票處設(shè)兩個(gè)窗口，各窗口服務(wù)一名顧客時(shí)間均服從參數(shù)的指數(shù)分布。試比較下列情況時(shí)顧客分別等待時(shí)間：（=1\*romani）兩個(gè)窗口分別售南方票和北方票；（=2\*romanii）每個(gè)窗口兩種票均出售。（分別比較時(shí)的情形）第七章對(duì)策論§1引言社會(huì)及經(jīng)濟(jì)的發(fā)展帶來(lái)了人與人之間或團(tuán)體之間的競(jìng)爭(zhēng)及矛盾，應(yīng)用科學(xué)的方法來(lái)解決這樣的問(wèn)題開始于17世紀(jì)的科學(xué)家，如C.，Huygens和W.，Leibnitz等?，F(xiàn)代對(duì)策論起源于1944年J.，VonNeumann和O.，Morgenstern的著作《TheoryofGamesandEconomicBehavior》。對(duì)策論亦稱競(jìng)賽論或博弈論。是研究具有斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法。一般認(rèn)為，它既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支，也是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)重要學(xué)科。對(duì)策論發(fā)展的歷史并不長(zhǎng)，但由于它所研究的現(xiàn)象與人們的政治、經(jīng)濟(jì)、軍事活動(dòng)乃至一般的日常生活等有著密切的聯(lián)系，并且處理問(wèn)題的方法又有明顯特色。所以日益引起廣泛的注意。在日常生活中，經(jīng)?？吹揭恍┚哂邢嗷ブg斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)性質(zhì)的行為。具有競(jìng)爭(zhēng)或?qū)剐再|(zhì)的行為稱為對(duì)策行為。在這類行為中。參加斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)的各方各自具有不同的目標(biāo)和利益。為了達(dá)到各自的目標(biāo)和利益，各方必須考慮對(duì)手的各種可能的行動(dòng)方案，并力圖選取對(duì)自己最為有利或最為合理的方案。對(duì)策論就是研究對(duì)策行為中斗爭(zhēng)各方是否存在著最合理的行動(dòng)方案，以及如何找到這個(gè)合理的行動(dòng)方案的數(shù)學(xué)理論和方法?！?對(duì)策問(wèn)題對(duì)策問(wèn)題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。先考察一個(gè)實(shí)際例子。例1警察同時(shí)逮捕了兩人并分開關(guān)押，逮捕的原因是他們持有大量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒(méi)有找到充分證據(jù)，希望他們能自己供認(rèn)，這兩個(gè)人都知道：如果他們雙方都不供認(rèn)，將被以持有大量偽幣罪被各判刑18個(gè)月；如果雙方都供認(rèn)偽造了錢幣，將各被判刑3年；如果一方供認(rèn)另一方不供認(rèn)，則供認(rèn)方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判刑7年。將嫌疑犯、被判刑的幾種可能情況列表如下：嫌疑犯供認(rèn)不供認(rèn)嫌疑犯供認(rèn)（3，3）（0，7）不供認(rèn)（7，0）（1.5，1.5）表中每對(duì)數(shù)字表示嫌疑犯被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔(dān)心對(duì)方供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險(xiǎn)的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。從這一簡(jiǎn)單實(shí)例中可以看出對(duì)策現(xiàn)象中包含有的幾個(gè)基本要素。2.1對(duì)策的基本要素（=1\*romani）局中人在一個(gè)對(duì)策行為（或一局對(duì)策）中，有權(quán)決定自己行動(dòng)方案的對(duì)策參加者，稱為局中人。通常用表示局中人的集合．如果有個(gè)局中人，則。一般要求一個(gè)對(duì)策中至少要有兩個(gè)局中人。在例1中，局中人是兩名疑犯。（=2\*romanii）策略集一局對(duì)策中，可供局中人選擇的一個(gè)實(shí)際可行的完整的行動(dòng)方案稱為一個(gè)策略。參加對(duì)策的每一局中人，，都有自己的策略集。一般，每一局中人的策略集中至少應(yīng)包括兩個(gè)策略。（=3\*romaniii）贏得函數(shù)（支付函數(shù)）在一局對(duì)策中，各局中人所選定的策略形成的策略組稱為一個(gè)局勢(shì)，即若是第個(gè)局中人的一個(gè)策略，則個(gè)局中人的策略組就是一個(gè)局勢(shì)。全體局勢(shì)的集合S可用各局中人策略集的笛卡爾積表示，即當(dāng)局勢(shì)出現(xiàn)后，對(duì)策的結(jié)果也就確定了。也就是說(shuō)，對(duì)任一局勢(shì)，，局中人可以得到一個(gè)贏得。顯然，是局勢(shì)的函數(shù)，稱之為第個(gè)局中人的贏得函數(shù)。這樣，就得到一個(gè)向量贏得函數(shù)。本節(jié)我們只討論有兩名局中人的對(duì)策問(wèn)題，其結(jié)果可以推廣到一般的對(duì)策模型中去。2.2零和對(duì)策（矩陣對(duì)策）零和對(duì)策是一類特殊的對(duì)策問(wèn)題。在這類對(duì)策中，只有兩名局中人，每個(gè)局中人都只有有限個(gè)策略可供選擇。在任一純局勢(shì)下，兩個(gè)局中人的贏得之和總是等于零，即雙方的利益是激烈對(duì)抗的。設(shè)局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分別為，當(dāng)局中人Ⅰ選定策略和局中人Ⅱ選定策略后，就形成了一個(gè)局勢(shì)，可見(jiàn)這樣的局勢(shì)共有個(gè)。對(duì)任一局勢(shì)，記局中人Ⅰ的贏得值為，并稱為局中人Ⅰ的贏得矩陣（或?yàn)榫种腥刷虻闹Ц毒仃嚕?。由于假定?duì)策為零和的，故局中人Ⅱ的贏得矩陣就是。當(dāng)局中人Ⅰ、Ⅱ和策略集、及局中人Ⅰ的贏得矩陣確定后，一個(gè)零和對(duì)策就給定了，零和對(duì)策又可稱為矩陣對(duì)策并可簡(jiǎn)記成。例2設(shè)有一矩陣對(duì)策，其中，，從中可以看出，若局中人Ⅰ希望獲得最大贏利30，需采取策略，但此時(shí)若局中人Ⅱ采取策略，局中人Ⅰ非但得不到30，反而會(huì)失去22。為了穩(wěn)妥，雙方都應(yīng)考慮到對(duì)方有使自己損失最大的動(dòng)機(jī)，在最壞的可能中爭(zhēng)取最好的結(jié)果，局中人Ⅰ采取策略時(shí)，最壞的贏得結(jié)果分別為其中最好的可能為。如果局中人Ⅰ采取策略，無(wú)論局中人Ⅱ采取什么策略，局中人Ⅰ的贏得均不會(huì)少于2。局中人Ⅱ采取各方案的最大損失為，，，和。當(dāng)局中人Ⅱ采取策略時(shí)，其損失不會(huì)超過(guò)2。注意到在贏得矩陣中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此時(shí)，只要對(duì)方不改變策略，任一局中人都不可能通過(guò)變換策略來(lái)增大贏得或減少損失，稱這樣的局勢(shì)為對(duì)策的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)或穩(wěn)定解。定義1設(shè)為一個(gè)定義在及上的實(shí)值函數(shù)，如果存在，，使得對(duì)一切和，有則稱為函數(shù)的一個(gè)鞍點(diǎn)。定義2設(shè)為矩陣對(duì)策，其中，，。若等式（1）成立，記，則稱為對(duì)策的值，稱使（1）式成立的純局勢(shì)為對(duì)策的鞍點(diǎn)或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與相對(duì)應(yīng)的元素稱為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，與分別稱為局中人Ⅰ與Ⅱ的最優(yōu)純策略。給定一個(gè)對(duì)策，如何判斷它是否具有鞍點(diǎn)呢？為了回答這一問(wèn)題，先引入下面的極大極小原理。定理1設(shè)，記，，則必有。證明，易見(jiàn)為Ⅰ的最小贏得，為Ⅱ的最小贏得，由于是零和對(duì)策，故必成立。定理2零和對(duì)策具有穩(wěn)定解的充要條件為。證明：（充分性）由和的定義可知，存在一行（例如行）為行中的最小元素且存在一列（例如列）為列中的最大元素。故有且又因，所以，從而得出，為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，為的穩(wěn)定解。（必要性）若具有穩(wěn)定解，則為贏得矩陣的鞍點(diǎn)。故有從而可得，但根據(jù)定理1，必成立，故必有。上述定理給出了對(duì)策問(wèn)題有穩(wěn)定解（簡(jiǎn)稱為解）的充要條件。當(dāng)對(duì)策問(wèn)題有解時(shí)，其解可以不唯一，當(dāng)解不唯一時(shí)，解之間的關(guān)系具有下面兩條性質(zhì)：性質(zhì)1無(wú)差別性。即若與是對(duì)策的兩個(gè)解，則必有性質(zhì)2可交換性。即若和是對(duì)策的兩個(gè)解，則和也是解。§3零和對(duì)策的混合策略具有穩(wěn)定解的零和問(wèn)題是一類特別簡(jiǎn)單的對(duì)策問(wèn)題，它所對(duì)應(yīng)的贏得矩陣存在鞍點(diǎn)，任一局中人都不可能通過(guò)自己?jiǎn)畏矫娴呐?lái)改進(jìn)結(jié)果。然而，在實(shí)際遇到的零和對(duì)策中更典型的是的情況。由于贏得矩陣中不存在鞍點(diǎn)，此時(shí)在只使用純策略的范圍內(nèi)，對(duì)策問(wèn)題無(wú)解。下面我們引進(jìn)零和對(duì)策的混合策略。設(shè)局中人Ⅰ用概率選用策略，局中人Ⅱ用概率選用策略，，記，，則局中人Ⅰ的期望贏得為。記：策略：策略概率概率分別稱與為局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略。定義4若存在維概率向量和維概率向量，使得對(duì)一切維概率向量和維概率向量有則稱為混合策略對(duì)策問(wèn)題的鞍點(diǎn)。定理3任意混合策略對(duì)策問(wèn)題必存在鞍點(diǎn)，即必存在概率向量和，使得：。使用純策略的對(duì)策問(wèn)題（具有穩(wěn)定解的對(duì)策問(wèn)題）可以看成使用混合策略的對(duì)策問(wèn)題的特殊情況，相當(dāng)于以概率1選取其中某一策略，以概率0選取其余策略。例3為作戰(zhàn)雙方，方擬派兩架轟炸機(jī)Ⅰ和Ⅱ去轟炸方的指揮部，轟炸機(jī)Ⅰ在前面飛行，Ⅱ隨后。兩架轟炸機(jī)中只有一架帶有炸彈，而另一架僅為護(hù)航。轟炸機(jī)飛至方上空，受到方戰(zhàn)斗機(jī)的阻擊。若戰(zhàn)斗機(jī)阻擊后面的轟炸機(jī)Ⅱ，它僅受Ⅱ的射擊，被擊中的概率為0.3(Ⅰ來(lái)不及返回攻擊它)。若戰(zhàn)斗機(jī)阻擊Ⅰ，它將同時(shí)受到兩架轟炸機(jī)的射擊，被擊中的概率為0.7。一旦戰(zhàn)斗機(jī)未被擊落，它將以0.6的概率擊毀其選中的轟炸機(jī)。請(qǐng)為雙方各選擇一個(gè)最優(yōu)策略，即：對(duì)于方應(yīng)選擇哪一架轟炸機(jī)裝載炸彈？對(duì)于方戰(zhàn)斗機(jī)應(yīng)阻擊哪一架轟炸機(jī)？解雙方可選擇的策略集分別是，：轟炸機(jī)Ⅰ裝炸彈，Ⅱ護(hù)航：轟炸機(jī)Ⅱ裝炸彈，Ⅰ護(hù)航，：阻擊轟炸機(jī)Ⅰ：阻擊轟炸機(jī)Ⅱ贏得矩陣，為方采取策略而方采取策略時(shí)，轟炸機(jī)轟炸方指揮部的概率，由題意可計(jì)算出：，即易求得，。由于，矩陣不存在鞍點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)求最佳混合策略?，F(xiàn)設(shè)以概率取策略、概率取策略；以概率取策略、概率取策略。先從方來(lái)考慮問(wèn)題。采用時(shí)，方轟炸機(jī)攻擊指揮部的概率期望值為，而采用時(shí)，方轟炸機(jī)攻擊指揮部的概率的期望值為。若，不妨設(shè)，則方必采用以減少指揮部被轟炸的概率。故對(duì)方選取的最佳概率和，必滿足：即由此解得，。同樣，可從方考慮問(wèn)題，得即并解得，。方指揮部被轟炸的概率的期望值。記零和對(duì)策的解集為，下面三個(gè)定理是關(guān)于對(duì)策解集性質(zhì)的主要結(jié)果：定理4設(shè)有兩個(gè)零和對(duì)策，其中，，為任一常數(shù)。則（=1\*romani）（=2\*romanii）定理5設(shè)有兩個(gè)零和對(duì)策，其中為任一常數(shù)。則（=1\*romani）（=2\*romanii）定理6設(shè)為一零和對(duì)策，且為斜對(duì)稱矩陣。則（=1\*romani）（=2\*romanii）其中和為局中人Ⅰ和Ⅱ的最優(yōu)策略集?！?零和對(duì)策的線性規(guī)劃解法當(dāng)且時(shí)，通常采用線性規(guī)劃方法求解零和對(duì)策問(wèn)題。局中人Ⅰ選擇混合策略的目的是使得其中為只有第個(gè)分量為1而其余分量均為零的單位向量，。記，由于，在，時(shí)達(dá)到最小值，故應(yīng)為線性規(guī)劃問(wèn)題（2）的解。同理，應(yīng)為線性規(guī)劃（3）的解。由線性規(guī)劃知識(shí)，（2）與（3）互為對(duì)偶線性規(guī)劃，它們具有相同的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。不妨設(shè)，作變換，則線性規(guī)劃問(wèn)題（2）化為：同理，作變換，則線性規(guī)劃問(wèn)題（3）化為：例4在一場(chǎng)敵對(duì)的軍事行動(dòng)中，甲方擁有三種進(jìn)攻性武器，可分別用于摧毀乙方工事；而乙方有三種防御性武器來(lái)對(duì)付甲方。據(jù)平時(shí)演習(xí)得到的數(shù)據(jù)，各種武器間對(duì)抗時(shí)，相互取勝的可能如下：對(duì)2：1；對(duì)3：1；對(duì)1：2；對(duì)3：7；對(duì)3：2；對(duì)1：3；對(duì)3：1；對(duì)1：4；對(duì)2：1解先分別列出甲、乙雙方的贏得的可能性矩陣，將甲方矩陣減去乙方矩陣的對(duì)應(yīng)元素，得零和對(duì)策時(shí)甲方的贏得矩陣如下：編寫程序如下：cleara=[1/3,1/2,-1/3;-2/5,1/5,-1/2;1/2,-3/5,1/3];b=10;a=a+b*ones(3);%把贏得矩陣的每個(gè)元素變成大于0的數(shù)[x0,u]=linprog(ones(3,1),-a',-ones(3,1),...[],[],zeros(3,1));x=x0/u,v1=1/u-b[y0,v]=linprog(-ones(3,1),a,ones(3,1),[],[],zeros(3,1));y=y0/abs(v),v2=1/v+b解得，，，故乙方有利。習(xí)題七1.有甲、乙兩支游泳隊(duì)舉行包括三個(gè)項(xiàng)目的對(duì)抗賽。這兩支游泳隊(duì)各有一名健將級(jí)運(yùn)動(dòng)員（甲隊(duì)為李，乙隊(duì)為王），在三個(gè)項(xiàng)目中成績(jī)都很突出，但規(guī)則準(zhǔn)許他們每人只能參加兩項(xiàng)比賽，每隊(duì)的其他兩名運(yùn)動(dòng)員可參加全部三項(xiàng)比賽。已知各運(yùn)動(dòng)員平時(shí)成績(jī)（秒）見(jiàn)下表。甲隊(duì)乙隊(duì)李王100米蝶泳100米仰泳100米蛙泳59.767.274.163.268.475.557.163.270.358.661.572.661.464.773.464.866.576.9假定各運(yùn)動(dòng)員在比賽中都發(fā)揮正常水平，又比賽第一名得5分，第二名得3分，第三名得1分，問(wèn)教練員應(yīng)決定讓自己隊(duì)健將參加哪兩項(xiàng)比賽，使本隊(duì)得分最多？（各隊(duì)參加比賽名單互相保密，定下來(lái)后不準(zhǔn)變動(dòng)）2.有三張紙牌，點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，顯然按大小順序?yàn)?。先由任抽一張，看過(guò)后反放在桌上，并任喊大（）或?。ǎ?。然后由從剩下紙牌中任抽一張，看過(guò)后，有兩種選擇：第一，棄權(quán)，付給1元；第二，翻的牌，當(dāng)喊時(shí)，得點(diǎn)數(shù)小的牌者付給對(duì)方3元，當(dāng)喊時(shí)，得點(diǎn)數(shù)大的牌者付給對(duì)方2元。要求：（=1\*romani）說(shuō)明各有多少個(gè)純策略；（=2\*romanii）根據(jù)優(yōu)超原則淘汰具有劣勢(shì)的策略，并列出對(duì)的贏得矩陣；（=3\*romaniii）求解雙方各自的最優(yōu)策略和對(duì)策值。

咖啡店創(chuàng)業(yè)計(jì)劃書第一部分：背景在中國(guó)，人們?cè)絹?lái)越愛(ài)喝咖啡。隨之而來(lái)的咖啡文化充滿生活的每個(gè)時(shí)刻。無(wú)論在家里、還是在辦公室或各種社交場(chǎng)合，人們都在品著咖啡?？Х戎饾u與時(shí)尚、現(xiàn)代生活聯(lián)系在一齊。遍布各地的咖啡屋成為人們交談、聽(tīng)音樂(lè)、休息的好地方，咖啡豐富著我們的生活，也縮短了你我之間的距離，咖啡逐漸發(fā)展為一種文化。隨著咖啡這一有著悠久歷史飲品的廣為人知，咖啡正在被越來(lái)越多的中國(guó)人所理解。第二部分：項(xiàng)目介紹第三部分：創(chuàng)業(yè)優(yōu)勢(shì)目前大學(xué)校園的這片市場(chǎng)還是空白，競(jìng)爭(zhēng)壓力小。而且前期投資也不是很高，此刻國(guó)家鼓勵(lì)大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，有一系列的優(yōu)惠政策以及貸款支持。再者大學(xué)生往往對(duì)未來(lái)充滿期望，他們有著年輕的血液、蓬勃的朝氣，以及初生牛犢不怕虎的精神，而這些都是一個(gè)創(chuàng)業(yè)者就應(yīng)具備的素質(zhì)。大學(xué)生在學(xué)校里學(xué)到了很多理論性的東西，有著較高層次的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，現(xiàn)代大學(xué)生有創(chuàng)新精神，有對(duì)傳統(tǒng)觀念和傳統(tǒng)行業(yè)挑戰(zhàn)的信心和欲望，而這種創(chuàng)新精神也往往造就了大學(xué)生創(chuàng)業(yè)的動(dòng)力源泉，成為成功創(chuàng)業(yè)的精神基礎(chǔ)。大學(xué)生創(chuàng)業(yè)的最大好處在于能提高自己的潛力、增長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)，以及學(xué)以致用;最大的誘人之處是透過(guò)成功創(chuàng)業(yè)，能夠?qū)崿F(xiàn)自己的理想，證明自己的價(jià)值。第四部分：預(yù)算1、咖啡店店面費(fèi)用咖啡店店面是租賃建筑物。與建筑物業(yè)主經(jīng)過(guò)協(xié)商，以合同形式達(dá)成房屋租賃協(xié)議。協(xié)議資料包括房屋地址、面積、結(jié)構(gòu)、使用年限、租賃費(fèi)用、支付費(fèi)用方法等。租賃的優(yōu)點(diǎn)是投資少、回收期限短。預(yù)算10-15平米店面，啟動(dòng)費(fèi)用大約在9-12萬(wàn)元。2、裝修設(shè)計(jì)費(fèi)用咖啡店的滿座率、桌面的周轉(zhuǎn)率以及氣候、節(jié)日等因素對(duì)收益影響較大?？Х瑞^的消費(fèi)卻相對(duì)較高，主要針對(duì)的也是學(xué)生人群，咖啡店布局、格調(diào)及采用何種材料和咖啡店效果圖、平面圖、施工圖的設(shè)計(jì)費(fèi)用，大約6000元左右3、裝修、裝飾費(fèi)用具體費(fèi)用包括以下幾種。(1)外墻裝飾費(fèi)用。包括招牌、墻面、裝飾費(fèi)用。(2)店內(nèi)裝修費(fèi)用。包括天花板、油漆、裝飾費(fèi)用，木工、等費(fèi)用。(3)其他裝修材料的費(fèi)用。玻璃、地板、燈具、人工費(fèi)用也應(yīng)計(jì)算在內(nèi)。整體預(yù)算按標(biāo)準(zhǔn)裝修費(fèi)用為360元/平米，裝修費(fèi)用共360*15=5400元。4、設(shè)備設(shè)施購(gòu)買費(fèi)用具體設(shè)備主要有以下種類。(1)沙發(fā)、桌、椅、貨架。共計(jì)2250元(2)音響系統(tǒng)。共計(jì)450(3)吧臺(tái)所用的烹飪?cè)O(shè)備、儲(chǔ)存設(shè)備、洗滌設(shè)備、加工保溫設(shè)備。共計(jì)600(4)產(chǎn)品制造使用所需的吧臺(tái)、咖啡杯、沖茶器、各種小碟等。共計(jì)300凈水機(jī)，采用美的品牌，這種凈水器每一天能生產(chǎn)12l純凈水，每一天銷售咖啡及其他飲料100至200杯，價(jià)格大約在人民幣1200元上下。咖啡機(jī)，咖啡機(jī)選取的是電控半自動(dòng)咖啡機(jī)，咖啡機(jī)的報(bào)價(jià)此刻就應(yīng)在人民幣350元左右，加上另外的附件也不會(huì)超過(guò)1200元。磨豆機(jī)，價(jià)格在330―480元之間。冰砂機(jī)，價(jià)格大約是400元一臺(tái)，有點(diǎn)要說(shuō)明的是，最好是買兩臺(tái)，不然夏天也許會(huì)不夠用。制冰機(jī)，從制冰量上來(lái)說(shuō)，一般是要留有富余?？钪票鶛C(jī)每一天的制冰量是12kg。價(jià)格稍高550元，質(zhì)量較好，所以能夠用很多年，這么算來(lái)也是比較合算的。5、首次備貨費(fèi)用包括購(gòu)買常用物品及低值易耗品，吧臺(tái)用各種咖啡豆、奶、茶、水果、冰淇淋等的費(fèi)用。大約1000元6、開業(yè)費(fèi)用開業(yè)費(fèi)用主要包括以下幾種。(1)營(yíng)業(yè)執(zhí)照辦理費(fèi)、登記費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi);預(yù)計(jì)3000元(2)營(yíng)銷廣告費(fèi)用;預(yù)計(jì)450元7、周轉(zhuǎn)金開業(yè)初期，咖啡店要準(zhǔn)備必須量的流動(dòng)資金，主要用于咖啡店開業(yè)初期的正常運(yùn)營(yíng)。預(yù)計(jì)2000元共計(jì)： 120000+6000+5400+2250+450+600+300+1200+1200+480+400+550+1000+3000+450+2000=145280元第五部分：發(fā)展計(jì)劃1、營(yíng)業(yè)額計(jì)劃那里的營(yíng)業(yè)額是指咖啡店日常營(yíng)業(yè)收入的多少。在擬定營(yíng)業(yè)額目標(biāo)時(shí)，必須要依據(jù)目前市場(chǎng)的狀況，再思考到咖啡店的經(jīng)營(yíng)方向以及當(dāng)前的物價(jià)情形，予以綜合衡量。按照目前流動(dòng)人口以及人們對(duì)咖啡的喜好預(yù)計(jì)每一天的營(yíng)業(yè)額為400-800，根據(jù)淡旺季的不同可能上下浮動(dòng)2、采購(gòu)計(jì)劃依據(jù)擬訂的商品計(jì)劃，實(shí)際展開采購(gòu)作業(yè)時(shí)，為使采購(gòu)資金得到有效運(yùn)用以及商品構(gòu)成達(dá)成平衡，務(wù)必針對(duì)設(shè)定的商品資料排定采購(gòu)計(jì)劃。透過(guò)