二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有27頁\編輯于星期日優(yōu)選二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)ppt現(xiàn)在是2頁\一共有27頁\編輯于星期日在前面的章節(jié)中，我們分別討論了弦振動方程、熱傳導方程與拉普拉斯方程。這三類方程的形狀很特殊，它們是二階線性偏微分方程的三個典型代表。一般形式的二階線性偏微分方程之間的共性和差異，往往可以從對這三類方程的研究中得到。本章中，我們將以這三類方程的知識為基礎，研究一般形式的二階線性偏微分方程，并對這三類方程的性質(zhì)進行比較深入的分類和總結(jié)?，F(xiàn)在是3頁\一共有27頁\編輯于星期日§1.1兩個自變量的方程§1二階線性偏微分方程的分類§1.2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡§1.3方程的分類現(xiàn)在是4頁\一共有27頁\編輯于星期日§1二階線性偏微分方程的分類

遵循由簡單到復雜的認知規(guī)律，我們先研究兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類問題。前面遇到的一維熱傳導方程、弦振動方程和二維拉普拉斯方程都是兩個自變量的二階線性偏微分方程。不過它們的形式特殊，若用(x,y)記自變量，一般的二階線性方程總可以寫成如下的形狀§1-1兩個自變量的方程現(xiàn)在是5頁\一共有27頁\編輯于星期日

在前面弦振動方程的達朗貝爾解法(行波法)的學習中，我們已看到變量變換的意義。變換是研究微分方程的一個有效手段，通過適當?shù)淖儞Q往往可以把復雜的方程轉(zhuǎn)化為簡單的，把不易求解的方程轉(zhuǎn)化為容易求解的。方程(4.1)的二階導數(shù)項稱為它的主部。現(xiàn)在研究在什么樣的自變量變換下，方程的主部可以得到簡化?！?-1兩個自變量的方程現(xiàn)在是6頁\一共有27頁\編輯于星期日§1-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡設(x0,y0)是區(qū)域Ω內(nèi)一點，在該點的鄰域內(nèi)對方程(1)進行簡化。為此我們作下面的自變量變換在高等數(shù)學中，我們已經(jīng)知道：如果上述變換是二次連續(xù)可微的，且雅可比行列式現(xiàn)在是7頁\一共有27頁\編輯于星期日在(x0,y0)點不為零，那么在點(x0,y0)的鄰域內(nèi)，變換(4.3)是可逆的，也就是存在逆變換也就是說，方程(4.1)可以采用新的自變量ξ,η表示為運用復合函數(shù)的求導法則§1-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡現(xiàn)在是8頁\一共有27頁\編輯于星期日注意到(4.7)的第一個和第三個等式形式完全相同，因此，如果我們能選擇到方程的兩個函數(shù)無關的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，將變換取為ξ=φ1(x,y)和η=φ2(x,y)，方程(4.6)的系數(shù)。這樣就達到了簡化方程(4.1)的主部的目的。下面考察這種選取的可能性。§1-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡現(xiàn)在是9頁\一共有27頁\編輯于星期日我們知道，方程(4.8)的求解可以轉(zhuǎn)化為下述常微分方程在(x,y)平面上的積分曲線問題：設φ1(x,y)=c是方程(4.9)的一族積分曲線，則z=φ1(x,y)是方程(4.8)的一個解。稱方程(4.9)的積分曲線為方程(4.8)的特征線，方程(4.9)有時也稱為方程(4.8)的特征方程。顯然方程(4.9)可以分解為兩個方程§1-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡現(xiàn)在是10頁\一共有27頁\編輯于星期日這樣根據(jù)的符號不同，我們可以選取相應的變換代入方程(4.6)，從而得到不同的化簡形式這三個方程分別稱為二階線性偏微分方程的標準形式?！?-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡現(xiàn)在是11頁\一共有27頁\編輯于星期日由前面的討論可知，方程(4.1)通過自變量的可逆變換(4.3)化為那一種標準形式，主要決定于它的主部系數(shù)。也就是說由l,m平面上的二次曲線的性質(zhì)而定。由于這個曲線可以是橢圓、雙曲線或拋物線，因此我們相應地定義方程在一點的類型如下：若方程(4.1)的主部系數(shù)在區(qū)域Ω中某一點(x0，y0)滿足則稱方程在點(x0，y0)是雙曲型的；則稱方程在點(x0，y0)是橢圓型的。則稱方程在點(x0，y0)是拋物型的;相應地，(4.12)、(4.13)和(4.14)這三個方程分別稱為雙曲型、拋物型和橢圓型(二階線性)偏微分方程的標準形式?！?-3方程的分類現(xiàn)在是12頁\一共有27頁\編輯于星期日如果方程在區(qū)域Ω中每一點上均為雙曲型，那么我們稱方程在區(qū)域Ω中是雙曲型的。類似的，對橢圓型和拋物型也有同樣的定義。如果一個方程在區(qū)域Ω中的一部分區(qū)域表現(xiàn)為雙曲型，在另一部分表現(xiàn)為橢圓型，而在分界面上表現(xiàn)為拋物型，那么，這樣的方程在在區(qū)域Ω中稱為混合型的。舉例：容易看出，如果點(x0，y0)上方程(4.1)表現(xiàn)為雙曲型或橢圓型，那么一定存在該點的一個領域，使方程在這個領域內(nèi)是雙曲型或橢圓型的。但如果這個點上方程(4.1)表現(xiàn)為拋物型，則不一定存在一個領域，使方程在這個領域內(nèi)表現(xiàn)為拋物型。按照剛才的分類方法，很容易看出一維弦振動方程是雙曲型的，一維熱傳導方程是拋物型的，二維拉普拉斯方程是橢圓型的。前面我們已經(jīng)知道，以上三種方程描述的自然現(xiàn)象的本質(zhì)不同，其解的性質(zhì)也各異。這也從側(cè)面說明了我們對二階線性偏微分方程所進行的分類是有其深刻的原因的。例如，空氣動力學中，對于定常Euler方程而言，它在亞音速流動中表現(xiàn)為橢圓型方程，在超音速流動中表現(xiàn)為雙曲型，在跨音速流動中表現(xiàn)為混合型。而對于非定常Euler方程而言，它始終表現(xiàn)為雙曲型?！?-3方程的分類現(xiàn)在是13頁\一共有27頁\編輯于星期日例題：把方程分類并化為標準形式解：該方程的故該方程是拋物型的。顯然，該方程的特征方程為：從而得到方程的一族特征線為：作自變量代換(由于ξ和η必須函數(shù)無關,所以η宜取最簡單的函數(shù)形式,即η=x

或η=y)于是，原方程化簡后的標準形式為：§1-3方程的分類現(xiàn)在是14頁\一共有27頁\編輯于星期日練習題：例1、2，P100~101；習題2、3，P102~103?，F(xiàn)在是15頁\一共有27頁\編輯于星期日§1.1線性方程的疊加原理§3三類方程的比較§1.2解的性質(zhì)的比較§1.3定解問題的提法比較現(xiàn)在是16頁\一共有27頁\編輯于星期日現(xiàn)在我們以前面各章對三類典型方程的研究為基礎，就雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程這三種不同類型的方程的解的性質(zhì)、定解問題的提法等方面進行分析和總結(jié)。我們將看到：這三類方程在其系數(shù)的代數(shù)性質(zhì)上的差別實際上反映著許多本質(zhì)的差異?！?三類方程的比較現(xiàn)在是17頁\一共有27頁\編輯于星期日§3三類方程的比較§3-1線性方程的疊加原理——共性線性方程的共性是滿足疊加原理。前面的學習中，我們多次利用疊加原理把一個復雜的問題轉(zhuǎn)化為若干個簡單的問題進行求解。分離變量法和齊次化原理實際上都是疊加原理的具體應用?，F(xiàn)在是18頁\一共有27頁\編輯于星期日（以熱傳導方程為例）疊加原理I現(xiàn)在是19頁\一共有27頁\編輯于星期日疊加原理II現(xiàn)在是20頁\一共有27頁\編輯于星期日疊加原理III

現(xiàn)在是21頁\一共有27頁\編輯于星期日疊加原理IV現(xiàn)在是22頁\一共有27頁\編輯于星期日三類典型方程在數(shù)學性質(zhì)上的差異往往是相應的物理現(xiàn)象的本質(zhì)差異在數(shù)學上的表現(xiàn)。下面我們以三類典型方程(波動方程、熱傳導方程和拉普拉斯方程)為例來敘述其差別。對于一般的變系數(shù)方程，情況更復雜一些，但類似結(jié)論仍然成立。§3三類方程的比較§3-2解的性質(zhì)的比較——差異現(xiàn)在是23頁\一共有27頁\編輯于星期日1）解的光滑性對于不同類型的方程來說，解的光滑性可以很不相同。對于弦振動方程來說，如果初始條件中高階的導數(shù)不存在，那么解的高階導數(shù)也就不存在；對于熱傳導方程，只要初始條件是有界的，那么其解是無窮可微的；對于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定義域內(nèi)都是解析函數(shù)。課本上從物理角度對上述解的光滑性差異進行了解釋。下面的圖形形象地反映了不同類型方程的解的光滑性?，F(xiàn)在是24頁\一共有27頁\編輯于星期日2）解的極值性質(zhì)熱傳導方程和拉普拉斯方程都存在極值原理，但它們所采取的形式是有區(qū)別的。拉普拉斯方程解的極值只可能存在于邊界。至于熱傳導方程，區(qū)域內(nèi)部的最大值不能超過區(qū)域初始時刻和邊界面上的最大值。雙曲型方程通常不存在極值原理，這是因為波在疊加時可以出現(xiàn)擾動增大的情況?，F(xiàn)在是25頁\一共有27頁\編輯于星期日3）影響區(qū)和依賴區(qū)從影響區(qū)和依賴區(qū)來看，三類方程也有很大區(qū)別。波動方程的擾動是以有限速度傳播的，因而其影響區(qū)和依賴區(qū)是錐體狀的。對熱傳導方程而言，其擾動傳播進行的十分迅速，某個點的其影響區(qū)是該點以上的整個上