新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

(先放公式在前便于學(xué)習(xí))數(shù)學(xué)公式

拋物線：y=ax*+bx+c

就是y等于ax的平方加上bx再加上c

a>0時(shí)開口向上

a<0時(shí)開口向下

c=0時(shí)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)

b=0時(shí)拋物線對稱軸為y軸

還有頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+h)*+k

就是y等于a乘以(x+h)的平方+k

-h是頂點(diǎn)坐標(biāo)的x

k是頂點(diǎn)坐標(biāo)的y

一般用于求最大值與最小值

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程:yt=2px

它表示拋物線的焦點(diǎn)在x的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(p/2,0)準(zhǔn)線方程為x=-p/2

由于拋物線的焦點(diǎn)可在任意半軸，故共有標(biāo)準(zhǔn)方程y"=2pxyA2=-2pxxA2=2py

xA2=-2py

圓：體積=4/3(pi)(rA3)

面積=(pi)(r"2)

周長=2(pi)r

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

(-)橢圓周長計(jì)算公式

橢圓周長公式：L=2nb+4(a-b)

橢圓周長定理：橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長(2TTb)加上四倍的該

橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的差。

(二)橢圓面積計(jì)算公式

橢圓面積公式：S=TTab

橢圓面積定理：橢圓的面積等于圓周率(TT)乘該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)

的乘積。

以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現(xiàn)橢圓周率T,但這兩個(gè)公式都是通過橢圓周率

T推導(dǎo)演變而來。常數(shù)為體，公式為用。

橢圓形物體體積計(jì)算公式橢圓的長半徑*短半徑*PAI*高

三角函數(shù)：

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2ir*3/n)+......+sin[a+2TT*(n-1)/n]=0

cosa+cos(a+2iT/n)+cos(a+2TT*2/n)+cos(a+2TT*3/n)+......+cos[a+2n*(n-1)/n]=0以及

sinA2(a)+sinA2(a-2TT/3)+sinA2(a+2ir/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

?萬能公式：

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

半角公式

sin(A/2)=W(1-cosA)/2)sin(A/2)=-^((1-cosA)/2)

cos(A/2)=^((1+cosA)/2)cos(A/2)=-^((1+cosA)/2)

tan(A/2)=^/((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-iJ((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=^((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-^((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+64-7+8+9+..,+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+..+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+1)

1A2+2A2+3A2+4A2+5A2+6A2+7A2+8A2+...+nA2=n(n+1)(2n+1)/6

1A3+2A3+3A3+4A3+5A3+6A3+...nA3=(n(n+1)/2)A2

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|<|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|-|a|<a<|a|

一元二次方程的解-b+V(b2-4ac)/2a-b?(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=-b/ax1*x2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式b2-4a=0注：方程有相等的兩實(shí)根

b2-4ac>0注：方程有兩個(gè)不相等的個(gè)實(shí)根

b2-4ac<0注：方程有共舸復(fù)數(shù)根

公式分類公式表達(dá)式

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h

正棱錐側(cè)面積S=1/2c*h'正棱臺側(cè)面積S=1/2(c+c')h'

圓臺側(cè)面積S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=S'L注：其中,S'是直截面面積，L是側(cè)棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

圖形周長面積體積公式

長方形的周長=(長+寬)x2

正方形的周長=邊長x4

長方形的面積=長、寬

正方形的面積=邊長x邊長

三角形的面積

已知三角形底a,高h(yuǎn),則$=2加2

已知三角形三邊a,b,c,半周長p,則S=4P(p-a)(p-b)(p-c)](海倫公式)

(p=(a+b+c)/2)

和：(a+b+c)*(a+b-c)*1/4

已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C,則S=absinC/2

設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,內(nèi)切圓半徑為r

則三角形面積=(a+b+c)r/2

設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,外接圓半徑為r

則三角形面積=abc/4r

已知三角形三邊a、b、c』US=4{1/4[CA2aA2-((cA2+aA2-bA2)/2『2]}("三斜求積”南宋

秦九韶)

|ab1|

SA=1/2*|cd1|

|ef1|

[|ab1|

Icd1|為三階行列式，此三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A(a,b),B(c,d),C(e,f),這里

ABC

|ef1|

選區(qū)取最好按逆時(shí)針順序從右上角開始取，因?yàn)檫@樣取得出的結(jié)果一般都為正值，如果

不按這個(gè)規(guī)則取，可能會得到負(fù)值，但不要緊，只要取絕對值就可以了，不會影響三角形

面積的大小!】

秦九韶三角形中線面積公式：

S=W(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

其中Ma,Mb,Me為三角形的中線長.

平行四邊形的面積=底*高

梯形的面積=(上底+卜底)x高+2

直徑=半徑x2半徑=直徑+2

圓的周長=圓周率x直徑=

圓周率X半徑X2

圓的面積=圓周率X半徑X半徑

長方體的表面積=

(長X寬+長X高+寬X高)X2

長方體的體積=長、寬X高

正方體的表面積=棱長X棱長X6

正方體的體積=棱長X棱長X棱長

圓柱的側(cè)面積=底面圓的周氏X高

圓柱的表面積=上下底面面積+側(cè)面積

圓柱的體積=底面積X高

圓錐的體積=底面積X高*3

長方體(正方體、圓柱體)

的體積=底面積X高

平面圖形

名稱符號周長C和面積S

正方形a—邊長C=4a

S=a2

長方形a和b—邊長C=2(a+b)

S=ab

三角形a,b,c—三邊長

h-a邊上的高

s一周長的一半

ABC一內(nèi)角

其中s=(a+b+c)/2S=ah/2

=ab/2?sinC

=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2

=a2sinBsinC/(2sinA)

1過兩點(diǎn)有且只有一條直線

2兩點(diǎn)之間線段最短

3同角或等角的補(bǔ)角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

19推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

22邊角邊公理(sas)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

23角邊角公理(asa)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

24推論(aas)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

25邊邊邊公理(sss)有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

26斜邊、直角邊公理(hl)有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

28定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等（即等邊對等角）

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也

相等（等角對等邊）

35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

40逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形

43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線44

定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱

軸上

45逆定理如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這

條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即aA2+bA2=cA2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系aA2+b”=cA2,那么這個(gè)

三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于（42）x180。

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即$=（axb）+2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分

一組對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平

分

73逆定理如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某?點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)

圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同，底上的兩個(gè)角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直

線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半l=(a+b)+2

s=|xh

83⑴比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)如果a/b=c/d,那么(a士b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質(zhì)如果a/b=c/dj..=m/n(b+d+…+r#0),那么(a+c+...+m)/

(b+d+...+n)=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成

比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，

那么這條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的--邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三

角形三邊對應(yīng)成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三

角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似(asa)

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似(sas)

94判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似(sss)

95定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和?條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條

直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似

比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切

值

101圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的

弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一

組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也

相等

118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角

121①直線I和0。相交d<r

②直線I和。。相切d=r

③直線I和。o相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

125推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連

線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的

兩條線段的比例中項(xiàng)

132切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割

線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)

133推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的

積相等

134如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上

135①兩圓外離d>r+r②兩圓外切d=r+r

③兩圓相交r-r<d<r+r(r>r)

④兩圓內(nèi)切d=r-r(r>ij5兩圓內(nèi)含d<r-r(r>r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n23):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)xi80°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形

141正n邊形的面積sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積Y3a/4a表示邊長

143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為

360°,因此kx(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144弧長計(jì)算公式：仁nm/180

145扇形面積公式：s扇形=nirr2/360=li72

146內(nèi)公切線長=d-(r-r)外公切線長=d-(r+r)

147等腰三角形的兩個(gè)底腳相等

148等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

149如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等

150三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形

數(shù)學(xué)必修5模塊的教學(xué)研究

—,教學(xué)實(shí)錄

高中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是：使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高作為

未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足個(gè)人發(fā)展與社會進(jìn)步的需要。具體目標(biāo)如下。

1.獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了

解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)

學(xué)

習(xí)中的作用。通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

2.提高空間想像、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力。

3.提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題(包括簡單的實(shí)際問題)的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交

流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識的能力。

4.發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，力求對現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和

作出判斷。

5.提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。

6.具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判

性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進(jìn)一步樹立辯證唯物主

義

和歷史唯物主義世界觀。

本冊教科書包括“解三角形”、“數(shù)列”、“不等式”等三章內(nèi)容。全書約需36課時(shí)，

具體課時(shí)分配如下：

第一章解三角形約8課時(shí)

第二章數(shù)列約12課時(shí)

第三章不等式約16課時(shí)

三角恒等變換在數(shù)學(xué)中有一定的應(yīng)用，同時(shí)有利于發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力。在

木模塊中，學(xué)生將運(yùn)用向量的方法推導(dǎo)基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三

角

恒等變換公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換。

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本的數(shù)學(xué)模型。在本模塊中，學(xué)生將通

過對日常生活中大量實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并

掌

握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際

問

題。

不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。建立不等

觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問題是同樣重要的。在本模塊中，學(xué)生將通過具體情境,

感

受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系

的

意義和價(jià)值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實(shí)際問題；能用二元一

次

不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認(rèn)識基本不等式及其

簡

單應(yīng)用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。

高中新課程已實(shí)施了一年。這不得讓我們感到機(jī)遇與挑戰(zhàn)同在，問題與智慧共生。在高

中新課程的課堂上，我們欣喜地看到，豐富多彩的課堂正在出現(xiàn)，在民主寬松的課堂環(huán)境

下，

學(xué)生的思想獲得了解放，敢于放言陳述自己的觀點(diǎn)，思維方式也得到了大大的拓展，各方

面

的能力都有提高，教師經(jīng)常會有驚喜地發(fā)現(xiàn)。在這樣的課堂里，老師也經(jīng)常受到學(xué)生的啟

發(fā)，

真正體現(xiàn)了新課程使師生共同成長。

但一個(gè)模塊的教學(xué)時(shí)間為36學(xué)時(shí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。原因何在？是教材本身的問題，還是課

程標(biāo)準(zhǔn)的要求有問題，或者是教師在使用教材方面的問題？實(shí)施新課程以后，學(xué)生自己支

配

的時(shí)間多了，有些學(xué)生不知道如何科學(xué)地利用時(shí)間。從前都有老師跟著，老師都為他們安

排

好了，學(xué)什么？做什么？但現(xiàn)在，若老師不在身邊，有些學(xué)生就躁動(dòng)不安，不懂得如何自

主

地學(xué)習(xí)了。新課程的實(shí)施必然帶來許多新問題，作為教師，要經(jīng)常反思，及時(shí)找到新的對

策。

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二.模塊試卷的命制目的及試卷分析。

［模塊試卷樣本］：

?？谑幸恢?004-2005學(xué)年度第二學(xué)期

數(shù)學(xué)模塊

5考試試題

(解三角形、數(shù)列)

一、選擇題

1.在4ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，則角B為()

(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°

2.由a1=1,d=3確定的等差數(shù)列｛an｝,當(dāng)an=298時(shí)，序號n等于()

(A)99(B)100(C)96(D)101

3.在等比數(shù)列｛｝,a

=,a

=32

an327,則q=()

(A)2(B)-2(C)±2(D)4

4.在AABC中,若c2=a2+b2+ab,則/C=()

(A)60°(B)90°(C)150°(D)120°

5.在等差數(shù)列｛｝中，若，則+的值等于(

an

a2+a4+a5+a6+a8=450a2a8

)

(A)180(B)75(C)45(D)30

6.在等差數(shù)列｛｝an中，已知a1+a2=15,a3+a4=35,則a5+a6=()

(A)65(B)55(C)45(D)25

7.在AABC中,若sinAcosB=cosAsinB,則AABC為()

(A)直角三角形(B)等腰三角形

(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形

8.在等比數(shù)列｛an｝中，前三項(xiàng)分別為1,,2

qq,第二項(xiàng)加上2后構(gòu)成等差數(shù)列，則q()

(A)3(B)-1(33或一1十)2

9.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛b｝中，若bb=

n7.83,則

313loglogb

b+

2+……Iog314b+等于()

(A)5(B)6(C)7(D)8

第二卷

一、選擇題

題號123456789101112

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答案

二、填空題

10.在4ABC中，a=32,b=23,cosC=13,則SZXABC

11.在等比數(shù)列｛an｝中,a1=2,a3=8,則S6=

12.

1+

1+

1+......+

(

1

+1)

1x22x33x4nn

三、解答題

13.(10分)已知等差數(shù)列1112,912,712,…的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn最大的序號

n的值，并求Sn的值。

14.(10分)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,n

an

1G*)

S

1(

).(nN

3

(1)求，

aa；

12

⑵求證：數(shù)列｛｝是等比數(shù)列。

an

15.(8分)如圖，某海輪以60nmile/h的速度航行，在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏

東

60°,向北航行40min后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井P在南偏東30。，海輪改為北偏東60。的

航向再行駛80min到達(dá)C點(diǎn)，求P、C間的距離。

30°

60°

北

B

［模塊考試情況分析］:

A

60°

樣本容量為57（一個(gè)普通班學(xué)生）

P

選擇題各小題得分率如下：

題號123456789

得分率0.720.330.700.600.610.370.510.670.82

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填空題、解答題滿分率如下：

題號101112131415

得分率0.590.400.580.440.570.29

綜合以上對考試的試卷分析，對本模塊及以后的教學(xué)有著以下幾點(diǎn)啟示：

1、要重視基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)教學(xué)必須面向全體學(xué)生，立足基礎(chǔ)，教學(xué)過程中要落實(shí)基本概念

知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的要求，特別要關(guān)心數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，通過學(xué)習(xí)

興

趣培養(yǎng)和學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，使他們達(dá)到學(xué)習(xí)的基本要求，努力提高合格率。

2、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表述能力，提高學(xué)生的計(jì)算能力。學(xué)生在答題中，由于書寫表達(dá)的

不規(guī)范或是表述能力的欠缺，也是造成失分的原因。表述是一種重要的數(shù)學(xué)交流能力，因

此，

教學(xué)中要重視訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表述能力。同時(shí)也要加強(qiáng)考前指導(dǎo)，學(xué)習(xí)中考說

明

中有關(guān)答題的要求，盡量減少由于表述不清造成的失分。

3、強(qiáng)化思維過程，努力提高理性思維能力。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)要充分重視知識的形

成過程，解數(shù)學(xué)題要著重研究解題的思維過程，弄清基本數(shù)學(xué)方法和基本數(shù)學(xué)思想在解題

中

的意義和作用，研究運(yùn)用不同的思維方法解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題的多條途徑，注意增減直覺

猜

想，歸納抽象，邏輯推理，演繹證明，運(yùn)算求解等理性思維能力。如果這方面做得好的話。

4、倡導(dǎo)主動(dòng)學(xué)習(xí)，營造自主探索和合作交流的環(huán)境。學(xué)校和教師要為學(xué)生營造自主探索

和

合作交流的空間，善于從教材實(shí)際和社會生活中提出問題，開設(shè)研究性課程，讓學(xué)生自主

學(xué)

習(xí)、討論、交流，在解決問題的過程中，激發(fā)興趣，樹立信心，培養(yǎng)鉆研精神，同時(shí)提高

數(shù)

學(xué)表達(dá)能力和數(shù)學(xué)交流能力。

三.模塊教學(xué)反思。

(1)數(shù)學(xué)必修5的內(nèi)容共有三章，分別是：解三角形，數(shù)列，不等式；內(nèi)容較多，在

課改之前應(yīng)該是高二上學(xué)期的內(nèi)容，并且每周至少是6課時(shí)；現(xiàn)在實(shí)行課改后5周就上

完課

本的三分之二，每周是5課時(shí)；由于課時(shí)緊，任務(wù)大，我感覺學(xué)生學(xué)得不夠好，大多數(shù)

學(xué)生

反映“消化不良”。數(shù)學(xué)必修5結(jié)束一半時(shí)進(jìn)行了一次期末考試，結(jié)果也與我們預(yù)期的有較

大的出入；課本上原題（含例題、課后練習(xí)、習(xí)題A組與復(fù)習(xí)題的A組）占了整個(gè)試題

的

55%,結(jié)果有超過一半的學(xué)生不及格，原因在哪里呢？我想這應(yīng)該是我在下一個(gè)學(xué)段急需

解

決的主要問題；在上課時(shí)我也是一直是按新課程的理念貫穿整個(gè)教學(xué)的始終，也是處處體

現(xiàn)

為了每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展的理念，可為什么最后的結(jié)果會有如此大的反差呢？針對這樣的情

況，我該怎么辦，這也是我在今后所要解決的一個(gè)突出的問題。

另我感到欣慰的是：有相當(dāng)一部分學(xué)生懂得如何去學(xué)習(xí)，如何去鉆研、如何帶著質(zhì)疑的

態(tài)度去仔細(xì)斟酌;正是有了這種勤學(xué)好問的精神,所以學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了書本的好幾處錯(cuò)誤:

如：教材61頁最上面的、教材135頁例題3解答中也有一處、教材140頁A組第三

題、教

材146頁B組第二題等等。

我想這主要應(yīng)該是學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了巨大的變化才有這樣的結(jié)果，在課堂上學(xué)生不

再是聽課的機(jī)器，而是積極參與到課堂教學(xué)當(dāng)中，成了課堂真正的主人。在課堂上我讓學(xué)

生

自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，然后解決問題。自己解決不了問題在學(xué)習(xí)小組之內(nèi)討論解決,

在

小組還解決不了的問題在全班共同討論解決，直至問題得到完滿的解決。這樣學(xué)生在無形

之

中就變成了學(xué)習(xí)的主人，成了學(xué)習(xí)的主角；因?yàn)槭亲约喊l(fā)現(xiàn)的問題，自己來嘗試解決，因

而

學(xué)生的積極性也就很高，學(xué)習(xí)熱情就很飽滿。當(dāng)然在學(xué)生最需要幫助的時(shí)候，我便與學(xué)生

起探討，關(guān)鍵的時(shí)候給予必要的指點(diǎn)和表揚(yáng)，以保持學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的持續(xù)性。

我的教學(xué)方式：在教數(shù)學(xué)必修5的內(nèi)容時(shí)我基本上是讓學(xué)生自己先預(yù)習(xí)后提出問題，其

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新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

他同學(xué)一起幫助解決問題，我僅僅是在課堂上控制一下課堂節(jié)奏；引導(dǎo)學(xué)生如何傾聽他人

的

觀點(diǎn)；在學(xué)生感到非常困難是加以分析、引導(dǎo)；指導(dǎo)他們?nèi)绾芜M(jìn)行合作學(xué)習(xí)；思考如何讓

學(xué)

生都“動(dòng)”起來等等。

（2）“內(nèi)容多，課時(shí)少”是學(xué)生反映最強(qiáng)烈的問題.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，78%的學(xué)生認(rèn)為老師講課

速度快，學(xué)習(xí)跟不上，沒有時(shí)間理解和消化所學(xué)習(xí)的內(nèi)容.因而有必要適當(dāng)調(diào)整部分教學(xué)

內(nèi)

容，如在高一第一學(xué)期開設(shè)的數(shù)學(xué)課程不宜過多，可以考慮只開一個(gè)模塊，讓學(xué)生對高中

的

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個(gè)適應(yīng)的過程，以實(shí)現(xiàn)初高中的平穩(wěn)過渡.同時(shí)，對現(xiàn)有的部分內(nèi)容，該充

實(shí)

的還是要充實(shí)，讓教材內(nèi)容更具體，學(xué)生學(xué)習(xí)起來更方便.例如，關(guān)于信息技術(shù)的應(yīng)用，

學(xué)

生普遍要求教材能對具體操作步驟更細(xì)致些，老師不僅對有關(guān)軟件作演示，還應(yīng)教會學(xué)生

操

作的方法，正所謂“授之以魚不如授之以漁”.又如，某些公式、定理的證明、推導(dǎo)，雖然

課程標(biāo)準(zhǔn)中不要求學(xué)生掌握，但教材中還是可以以某種恰當(dāng)?shù)男问浇o出（如小字的形式,

以

某個(gè)問題啟發(fā)學(xué)生思考，介紹某些參考書或某些網(wǎng)站讓學(xué)生自己去查閱等）.學(xué)生對某知

識

了解其來龍去脈，理解、記憶會更深刻，從而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生更大的興趣.

數(shù)學(xué)5第一章解三角形

章節(jié)總體設(shè)計(jì)

（一）課標(biāo)要求

本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)

在解三角形的應(yīng)用上。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決

一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)

的生活實(shí)際問題。

（二）編寫意圖與特色

1.數(shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識的理

解和掌握。

本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提出問題、思考解決問題的策

略等方面對學(xué)生進(jìn)行具體示范、引導(dǎo)。本章的兩個(gè)主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理,

它

們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知

識，

就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊及

其所夾的角相等,那么這兩個(gè)三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題："在

任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系

準(zhǔn)

確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊

及

其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我

們

仍然從量化的角度來研究這個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三

角

形的另一邊和兩個(gè)角的問題。”設(shè)置這些問題，都是為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

2.注意加強(qiáng)前后知識的聯(lián)系

加強(qiáng)與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，注意復(fù)習(xí)和應(yīng)用已學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做

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新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

好準(zhǔn)備，能使整套教科書成為一個(gè)有機(jī)整體，提高教學(xué)效益，并有利于學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識

的

學(xué)習(xí)和鞏固。

本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系，已知三

角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí),

讓

學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小

角

的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?二在引入余弦定理內(nèi)

容

時(shí)，提出探究性問題"如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方

法，

這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也

就

是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題?！边@樣，

從

聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認(rèn)識，同時(shí)使新

知

識建立在已有知識的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)五的第一部分內(nèi)容，位置

相對靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章

知

識聯(lián)系密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加

簡

潔。比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進(jìn)行討

論，

方法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)

思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三

角

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”，并進(jìn)而指出，“從余弦定理

以

及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所

對

的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平

方，

那么第三邊所對的角是銳角,從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣

3.重視加強(qiáng)意識和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力

學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比較突出的兩個(gè)問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不

強(qiáng)，創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)

用

到實(shí)際問題中去，對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的實(shí)際背景了解不多，雖然學(xué)生機(jī)械地模仿一些常見數(shù)

學(xué)

問題解法的能力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問題時(shí)卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、

類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學(xué)思維方法了解不夠。針對這些實(shí)際

情

況，本章重視從實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題。

（三）教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時(shí)）

1.2應(yīng)用舉例（約4課時(shí)）

1.3實(shí)習(xí)作業(yè)（約1課時(shí)）

（四）評價(jià)建議

1.要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題。在對

于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應(yīng)該因勢利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過程中學(xué)生思

考

問題的方向來啟發(fā)學(xué)生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用

向

量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個(gè)定理解

決

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新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

有關(guān)的解三角形和測量問題的過程中，一個(gè)問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵(lì)

學(xué)

生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比較。對于一些常見的測量

問

題甚至可以鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)用的算法。

2.適當(dāng)安排一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，提高學(xué)生分析問題

的解決實(shí)際問題的能力、動(dòng)手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果能力，

增

強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。教師要注意對于學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對于

實(shí)

際測量問題的選擇，及時(shí)糾正實(shí)際操作中的錯(cuò)誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題。

1.1.1正弦定理

（-）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明

方

法；會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)

系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)

用

的實(shí)踐操作。

3.情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合

情

推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識

間

的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：

sin

aA

sinbB

since,接著就一般斜

三角形進(jìn)行探索,發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系;分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進(jìn)行推導(dǎo),

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。

教學(xué)用具：直尺、投影儀、計(jì)算器

（四）教學(xué)設(shè)想

［創(chuàng)設(shè)情景］

如圖1.1-1,固定AABC的邊CB及/B,使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。A

思考：NC的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角/C的大小的增大而增大。能否

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？C

B

［探索研究］（圖1.1-1）

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等

式關(guān)系。如圖1.1-2,在RtAABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正

弦函數(shù)

的定義，有

a=sinA,

b=sinB,又sinC=

1=

c,A

ccc

則

sin

aA

sinbB

sin

cC

=cb

c

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從而在直角三角形ABC中，

a=

b=c

CaB

sinAsinBsinC

（S1.1-2）

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)

的

定義，有CD=asinBb=sinA,則

a=b,C

sinAsinB

同理可得

c=b,ba

sinCsinB

從而

a=

b=c

AcB

sinAsinBsinC

（圖1.1-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研

究

這個(gè)問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作jlAC,C

....G

由向量的加法可得ABACCB+

.......G

...............G

則.

(+

jABjACCB)A

B

.......G

...................G

G

；.jABjACjCB=+.j(..)

.......G

……G

jAB

(?A)=+

cos9000

CB

cos900.

C)

Acsin=sinC,即sin

aA

sin

cC

Aa

G

同理，過點(diǎn)C作j-BIC,可得sin

bB

sin

cC

從而

a=

b=c

sinAsinBsinC

類似可推出，當(dāng)AABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。(由學(xué)生課后自己推導(dǎo))

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

abc

sinAsinBsinC

［理解定理］

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù),

即

存在正數(shù)k使ak=sin,bk=sinB,cksinC；

A=

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(2)

a=

b=c

等價(jià)于

a=b,

c=b,

a=

c

sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinBsinAsinC

從而知正弦定理的基本作用為：

sinbA

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如

a=；

sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA=asinBo

b

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

［例題分析］

例1.在AABC中,已知A=32.00,B=81.80,a=42.9cm,解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C

=1800.(A+

B)

000

=180.(32.0+81.8)

=66.20；

根據(jù)正弦定理，

b=

asinB

42.9sin81.80

=80.1(cm

);

sinAsin32.00

根據(jù)正弦定理，

asinC

42.9sin66.20

c==

=74.1(cm

).

sinAsin32.00

評述：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2.在AABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=400,解三角形(角度精確到10,邊

長精確到1cm)。

解：根據(jù)正弦定理，

bsinA

28sin400

sinB==

=0.8999.

20

因?yàn)?0<B<1800(a),所以B=640,或BH16.0

(1)當(dāng)B=640時(shí)，

C

0)1800000,

18O.(A+

B?.(40+64)=76

asinC

20sin760

c==

0=30(cm

).

sinAsin40

⑵當(dāng)BM160時(shí),

C

0)1800000,

18O.(A+

B~(40+116)=24

asinC

20sin240

c==

=13(cm

).

sinAsin400

評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

［隨堂練習(xí)］第5頁練習(xí)第1(1)、2(1)題。

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++

例3.已知AABC中,ZA=600,a=3,求

abc

sinA+sinB+sinC

abc

分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k>0)使

sinA

sinB

sinC

=k,

C++

證明出

a=

b==

abc

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

解：設(shè)

a=

b=

c=kk

(>o)

sinAsinBsinC

則有ak=sin,bk=sinB,cksinC

A=

abcsinAksin+sinC

++

k+

Bk

從而

sinA+sinB+sinC=

sinA+sinB+sinC

=k

abc

又

a=

30=2=k,所以

++

=2

sinAsin60sinA+sinB+sinC

ababc

C++

評述：在AABC中，等式

sinA

sinB

sinC

sinA+sinB+sinC

=kk>0)

恒成立。

A:sinab

［補(bǔ)充練習(xí)］已知AABC中,sin:sinBC=1:2:3,求::c（答案：1：2：3）

［課堂小結(jié)］（由學(xué)生歸納總結(jié)）

(1)定理的表示形式:

a=

b==

abc=kk>0)

C++

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

或ak=sin,bk=sinB,cksinC(k>0)

A=

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

（五）評價(jià)設(shè)計(jì)

①課后思考題：（見例3）在AABC中，

sin

aA

sinbB

sincC

=kk

（＞o）,這個(gè)k與AABC有

什么關(guān)系？

②課時(shí)作業(yè):第10頁[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

112余弦定理

（-）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦

定

理解決兩類基本的解三角形問題。

2,過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦

定

理解決兩類基本的解三角形問題，

3.情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函

數(shù)、

余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從

已

知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容

易

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地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角

教學(xué)用具：直尺、投影儀、計(jì)算器

（四）教學(xué)設(shè)想

［創(chuàng)設(shè)情景］C

如圖1.1-4,在AABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和ZC,求邊cba

AcB^1.1-4）

［探索研究］

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。A

如圖1.1-5,設(shè)CB=a=,A=,那么cab=,則b

G

G

,CAbBc.

2..G

……G

c=.=

ccabab

(

)(.)

……G

..G

aabb2abCaB

G

2..G

2

=a+b2ab

從而c2=a2b22cosc（圖1.1-5）

+.ab

同理可證a2=b2c22cosA

+.

be

222

b=ac2cosB

+.ac

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

的余弦的積的兩倍。即a2=b2c22cosA

+.

be

222

b=ac2cosB

+.

ac

222

c=ab2cosC

+.ab

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否

由

三邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

222

+.

bca

cosA=

2bc

222

+.

Bacb

cos=

2ac

222

+.

Cbac

cos=

2ba

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

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新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

22

(由學(xué)生總結(jié))若AABC中，C=900,則cosC=0,這時(shí)cab2

=+

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在AABC中,已知a=23,c6

=+2,B=600，求b及A

222

⑴解：；=+.2cos

bac

acB

=(23)2+(6+2)2.223(..6+2)cos450

=12+(6+2)2.43(3+1)

=8

：.b=

22.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

222

Abca

⑵解法一：’.'cos=+.

=(22)2+(6+2)2.(23)2

1,

2bc222x(6+2)2

:.A=60.0

解法二：','sinA=

asinB=

23.sin45,0

b22

又：6+2〉2.41.43.8,

+=

23<21.83.6,

x=

Aa<c,即OOVA<90,0

:.A=60.0

評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

例2.在AABC中,已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形

（見課本第8頁例4,可由學(xué)生通過閱讀進(jìn)行理解）

解：由余弦定理的推論得：

222

+.

bca

cosA=

2bc

222

87.8+161.7.134.6

287.8161.7

XX

=0.5543,

0

A?5620,

;

222

+.

Bcab

cos=

2ca