角的平分線教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1．角平分線的性質(zhì)定理的證明．2．角平分線的逆定理的證明．3.會(huì)用尺規(guī)作圖作角平分線；4.定理的應(yīng)用.(二)能力訓(xùn)練要求1．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力，培養(yǎng)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言、圖形語言的能力．2．體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，提高實(shí)踐能力．(三)情感與價(jià)值觀要求1．能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲．2．在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．教學(xué)重點(diǎn)角平分線的定理的證明．教學(xué)難點(diǎn)1．正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題．2．正確地將文字語言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言和圖形語言，對幾何命題加以證明．教學(xué)方法探索——引導(dǎo)法教學(xué)過程一、設(shè)置情境問題，搭建探究平臺(tái)問題：同學(xué)們知道角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎？你是怎樣得到的？下面我們用折紙的方法探索過角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，步驟如下：(1)在一張紙上任意畫一個(gè)角∠AOB，沿角的兩邊將角剪下，將這個(gè)角對折，使角的兩邊重合(2)在折痕(即角平分線)上任意取一點(diǎn)C(3)過點(diǎn)C折OA邊的垂線，得到新的折痕CD，其中，點(diǎn)D是折痕與OA邊的交點(diǎn)，即垂足(4)將紙打開，新的折痕與OB邊的交點(diǎn)為E從折紙過程中，我們可以得出CD＝CE，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．[師]你能證明它嗎？二、展示思維空間，構(gòu)建活動(dòng)空間[師]我們從折紙過程中得到了角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，我們還需運(yùn)用所學(xué)的公理和已證的定理證明它．請同學(xué)們自己嘗試著證明它，然后在全班進(jìn)行交流．[生]已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．求證：PD＝PE．證明：∵∠1＝∠2，OP＝OP，∠PDO＝∠PEO＝90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．(教師在教學(xué)過程中對有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo))[師]我們用公理和已學(xué)過的定理證明了我們折紙過程中得出的結(jié)論．我們把它叫做角平分線的性質(zhì)定理，我們再來一起陳述：(用多媒體演示)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．我們經(jīng)常用逆向思維得到一個(gè)原命題的逆命題．你能寫出這個(gè)定理的逆命題嗎？我們在前面學(xué)習(xí)線段的垂直平分線時(shí)，已經(jīng)歷過構(gòu)造其逆命題的過程，我們可以類比著構(gòu)造角平分線性質(zhì)定理的逆命題．[生]如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上．[生]我覺得這個(gè)命題是假命題．角平分線是角內(nèi)部的一條射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)．[師]這位同學(xué)思考問題很仔細(xì)．事實(shí)上，從同一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線一般組成兩個(gè)角，而“角的內(nèi)部”通常是指其中小于180°的角的內(nèi)部，其余部分為角的外部．如上圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)的集合應(yīng)是射線OC、OD、OE、OF，但其中只有射線OC(即在∠AOB內(nèi)部的射線)才是∠AOB的平分線．因此逆命題中應(yīng)加上“在角的內(nèi)部”的條件．誰再來完整地?cái)⑹鲆幌陆瞧椒志€性質(zhì)定理的逆命題呢？[生]在一個(gè)角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上．[師]它是真命題嗎？[生]沒有加“在角的內(nèi)部”時(shí)，是假命題．但根據(jù)題意我覺得應(yīng)加上“在角的內(nèi)部”這一條件，因此角平分線性質(zhì)定理的逆命題是真命題．[師]你能證明它嗎？(由大家自己獨(dú)立思考完成，在全班討論交流，對困難學(xué)生可個(gè)別輔導(dǎo))[生]證明如下：已知：在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足且PD＝PE，求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上．證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1＝∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)．[師]逆命題利用公理和我們已證過的定理證明了，那么我們就可以把這個(gè)逆命題叫做原定理的逆定理．給它起個(gè)名字嗎？[生]我們就把它叫做角平分線的判定定理吧，因?yàn)闈M足條件的點(diǎn)在角平分線上，連接角的頂點(diǎn)與此點(diǎn)就得到了這個(gè)角的角平線了．[師]很好！我們就把它叫做角平分線的判定定理吧！我們一起再來陳述一下它的內(nèi)容：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上．三、例題解析例已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線．讓學(xué)生思考：這樣作角平分線的理由是什么?為什么作出的射線就是角的平分線?讓學(xué)生對這個(gè)作法有一個(gè)很好的理解，而不只是機(jī)械的模仿。四、隨堂訓(xùn)練如圖，AD、AE分別是△ABC中∠A的內(nèi)角平分線和外角平分線，它們有什么關(guān)系？解：∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2＝∠CAB．又∵AE平分∠CAF，∴∠3＝∠4＝∠CAF．∵∠CAB＋∠CAF＝180°，∴∠1＋∠3＝(∠CAB＋∠CAF)＝×180°＝90°，即AD⊥AE．五、課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們在折紙的基礎(chǔ)上，證明了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和應(yīng)用，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力．六、課后作業(yè)1．P122練習(xí)、P122-P123習(xí)題．2．習(xí)題.七、活動(dòng)與探究如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取OQ＝OP，OT＝OS，PT和QS相交于點(diǎn)C．求證：OC平分∠AOB．證明：在△OPT和△OQS中，OP＝OQ，OT＝OS，∠POT＝∠QOS，∴△OPT≌△OQS(SAS)．∴∠OTC＝∠OSC(全等三角形的對應(yīng)角相等)．在△CQT和△CPS中，∵OT＝OS，OP＝OQ，∴OT－OQ＝OS－OP即QT＝SP，又∵∠PCS＝∠QCT，∠OTC＝∠QS