等比數(shù)列2.4.1人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材溫故知新：1、等差數(shù)列定義：2、等差中項(xiàng)定義：3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:(d為常數(shù))(d為常數(shù))引例：①如下圖是某種細(xì)胞分裂的模型：細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)可以組成下面的數(shù)列：124816…引例：②莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！庇矛F(xiàn)代語言敘述為：一尺長(zhǎng)的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完。這樣，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么，得到的數(shù)列是：1…引例：③一種計(jì)算機(jī)病毒可以查找計(jì)算機(jī)中的地址簿，通過郵件進(jìn)行傳播。如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪，郵件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪，依此類推。假設(shè)每一輪每一臺(tái)計(jì)算機(jī)都感染20臺(tái)計(jì)算機(jī)，那么在不重復(fù)的情況下，這種病毒每一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是：120202203…引例：④除了單利，銀行還有一種支付利息的方式——復(fù)利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息，也就是通常說的“利滾利”。按照復(fù)利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率）存期?，F(xiàn)在存入銀行10000元錢，年利率是1.98%，那么按照復(fù)利，5年內(nèi)各年末的本利和組成了下面的數(shù)列：

如果一個(gè)數(shù)列從第__項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的_等于_一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做

這個(gè)常數(shù)叫做等

數(shù)列的_____1.等比數(shù)列定義：二比同等比數(shù)列公比等差數(shù)列定義

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差公差通常用字母d表示公比通常用字母q表示比q≠0

等比數(shù)列由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都有可能作分母，故a1≠0且q≠0等差數(shù)列由于等差數(shù)列是作差故a1d沒有要求

判斷數(shù)列是等差數(shù)列的方法判斷數(shù)列是等比數(shù)列的方法或an+1-an=d(n≥1)an

–an-1=d(n≥2)想一想判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列。若是，則公比是多少，若不是，請(qǐng)說明理由1)、16，8，4，2，1，…；2)、5，-25，125，-625，…；

4)、2，2，2，2，2，…；3)

、1，0，1，0，1，…；5)、0，0，0，0，0，…；

公比q是每一項(xiàng)（第2項(xiàng)起）與它的前一項(xiàng)的比；防止把被除數(shù)與除數(shù)弄顛倒；公比可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，可以是1，但不可以為0

注意公比是0.5公比是-5

不是

不是公比是16)、-2，-4，-8，-16，…；7)、3，9，27，81，243，…；公比是2公比是3迭乘法迭加法

2、等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo):等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo):

設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}，則有:

a2

－a1=da3

－a2=da4

－a3=d……an

－an－1=dan

－a1=(n－1)d(n≥2）等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d的通項(xiàng)公式為

________________an=a1+(n－1)d，n∈N+設(shè)公比為q的等比數(shù)列{an}，則有:…n－1個(gè)qqq首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1qn－1(a1≠0且q≠0

n∈N+)(n≥2）n－1個(gè)

等比數(shù)列等差數(shù)列

常數(shù)列都是等差數(shù)列但常數(shù)列卻不一定是等比數(shù)列，如0，0，0，0，……等差數(shù)列通項(xiàng)公式:等比數(shù)列通項(xiàng)公式:

首項(xiàng)為a1，公差為d的通項(xiàng)公式為

________________an=a1+(n－1)d，n∈N+首項(xiàng)為a1，公比為q的的通項(xiàng)公式：an=a1qn－1(a1≠0且q≠0,n∈N+)an=am+(n－m)d，n∈N+變形公式:變形公式:

等比數(shù)列等差數(shù)列

等差數(shù)列通項(xiàng)公式:等比數(shù)列通項(xiàng)公式:an=pn+q，n∈N+an=a1qn－1(a1≠0且q≠0,n∈N+)d=pa1=p+qan=a1+(n－1)d，n∈N+一次函數(shù)形式：q=ca1=bc指數(shù)函數(shù)形式：an=bcn①函數(shù)觀點(diǎn)；①函數(shù)觀點(diǎn)；②方程思想.②方程思想.方程中有四個(gè)量，知三求一，這是公式最簡(jiǎn)單的應(yīng)用.方程中有四個(gè)量，知三求一，這是公式最簡(jiǎn)單的應(yīng)用.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的變形已知等比數(shù)列的公比為q,第m項(xiàng)為,求.等比中項(xiàng)

觀察如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后者三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等比數(shù)列：（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1

在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。例1：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)（精確到1年）？分析：時(shí)間：剩留量:

最初1

經(jīng)過1年a1=0.84

經(jīng)過2年a2=0.842

經(jīng)過3年a3=0.843

經(jīng)過n年an=0.84n解：設(shè)這種物質(zhì)最初的物質(zhì)是1，經(jīng)過n年，剩留量是an。{an}是一個(gè)等比數(shù)列

0.84n=0.5lg0.84n=lg0.5nlg0.84=lg0.5n=lg0.5/lg0.84=4答：這種物質(zhì)的半衰期大約是4年例題講解例３．一個(gè)等比數(shù)列的第３項(xiàng)和第４項(xiàng)分別是１２和１８，求它的第１項(xiàng)和第２項(xiàng)．(分析：要求第１項(xiàng)和第２項(xiàng)，必先求公比q.可利用方程的思想進(jìn)行求解。)例題講解解：用｛an｝表示題中公比為q的等比數(shù)列，由已知條件，有解得

因此，答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是例３．一個(gè)等比數(shù)列的第３項(xiàng)和第４項(xiàng)分別是１２和１８，求它的第１項(xiàng)和第２項(xiàng)．-7299±4課堂練習(xí)1.定義2.公比(