學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精上海市長寧區(qū)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含解析長寧區(qū)高二上期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1。若線性方程組的增廣矩陣為，為該方程組的解,則________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)增廣矩陣的定義，將線性方程組還原求解即可。【詳解】因為線性方程組的增廣矩陣為，所以線性方程組為：，解得，所以。故答案：5【點睛】本題主要考查增廣矩陣的定義及相對應(yīng)方程組的求解，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題。2。三階行列式中，元素3的代數(shù)余子式的值為________．【答案】1【解析】【分析】由題意結(jié)合代數(shù)余子式的定義計算行列式中代數(shù)余子式的值即可?！驹斀狻坑纱鷶?shù)余子式的定義可知，三階行列式中，元素3的代數(shù)余子式的值為:.故答案為：1．【點睛】本題主要考查代數(shù)余子式的計算，屬于基礎(chǔ)題.3。無窮等比數(shù)列的首項為1,公比為,則數(shù)列的各項和為________．【答案】2【解析】【分析】先由等比數(shù)列的求和公式,得到前項和,對前項和求極限,即可得出結(jié)果.【詳解】因為無窮等比數(shù)列的首項為,公比為,因此其前項和為，所以的各項的和為.故答案為：2【點睛】本題主要考查求無窮等比數(shù)列的各項和,熟記等比數(shù)列的求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.4.已知,,則在的方向上的投影為________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)向量在的方向上的投影為，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標運算和模的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，，則在的方向上的投影為。故答案為:?！军c睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算和模計算公式的應(yīng)用，以及向量的投影的概念與計算,其中解答熟記平面向量的數(shù)量積、模及投影的計算公式是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力。5。直線的傾斜角為________．【答案】【解析】分析】先求直線的斜率，進而用反三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為傾斜角即可?！驹斀狻恐本€的斜率為,設(shè)傾斜角為，所以,則故答案為：【點睛】本題關(guān)鍵是傾斜角以及反三角函數(shù)的問題,考查計算能力．6。我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________【答案】3【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an｝公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式能求出結(jié)果．詳解：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列｛an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381,解得a1=3．故答案為3.點睛:本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式,考查了推理能力與計算能力.7.已知直線，，若，則實數(shù)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線互相平行的判定公式得到結(jié)果.【詳解】直線,，若,則，當時，和化簡:,，此時，與重合,故時不符合題意當時，和化簡為:，,此時,與不重合且平行，故時符合題意故答案為：。【點睛】這個題目考查了已知兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。8.一條河兩岸平行,河寬2km，一快艇從河一岸的岸邊某處駛向?qū)Π叮舸贋?6km/h,水流速度為10km/h，則該快艇到達對岸的最快時間為________分鐘．【答案】5【解析】【分析】畫圖分析，根據(jù)向量的平行四邊形法則求解當船朝正對岸行駛時的速度,再求出行駛時間即可.【詳解】易得當船速與水流速度的和速度垂直于岸邊時最快到達,此時。故最快時間為故答案為:5【點睛】本題主要考查了平面向量在物理中的運用，需要根據(jù)題意確定船速與水速間的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理求得實際行船速度。屬于基礎(chǔ)題。9。如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，，，其中與和的夾角分別為和，且，，若，則________．【答案】8【解析】【分析】過點作向量的平行線與它們的延長線分別交于兩點，得到四邊形平行四邊形，結(jié)合平面向量的基本定理，即可求解?！驹斀狻咳鐖D所示,過點作向量的平行線與它們的延長線分別交于兩點，所以四邊形平行四邊形，則，因為向量與和的夾角分別為和，即,則，在直角中，，，所以,在直角中，，，所以，又由,可得,又因為，所以，所以．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理,以及向量的線性運算和向量的運算法則的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的線性運算法則,合理利用平面向量的基本定理是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與運算能力．10。已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，且其前項和有最大值，則使得的的最大值為________．【答案】19【解析】【分析】首先根據(jù)條件，結(jié)合其前項和有最大值,可得數(shù)列的公差，從而得到，，根據(jù)求和公式可得，，最后得到結(jié)果.【詳解】由，可得,由它們的前項和有最大值，可得數(shù)列的公差，所以，，,所以，，所以使得的的最大值為，故答案為：?！军c睛】該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的求和公式,根據(jù)題意判斷有關(guān)最值，屬于簡單題目。11.當變化時方程表示一系列的直線，現(xiàn)從中選取四條圍成一個正方形,則該正方形的面積為________．【答案】4【解析】【分析】設(shè)圓,圓心,根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，則表示單位圓的切線方程，從而得到單位圓內(nèi)切于該正方形求解?！驹斀狻吭O(shè)圓,圓心，圓心到直線的距離為：，所以表示單位圓的切線方程，從中選取四條圍成一個正方形,從而得到單位圓內(nèi)切于該正方形如圖所示:所以正方形的邊長為2,面積為4．故答案為：4【點睛】本題主要考查直線方程以及直線與圓的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題。12.如圖所示，已知，，對任何，點按照如下方式生成,，且，，按逆時針排列，記點的坐標為(）,則________．【答案】【解析】【分析】依題意，，，可知任意相鄰兩向量的夾角均為，根據(jù)向量加法坐標運算公式可求得，根據(jù)等比數(shù)列求和公式以及數(shù)列極限的求解方法得到結(jié)果?！驹斀狻恳驗?,所以任意相鄰兩向量的夾角均為，且，所以,又因為，所以所以，，所以故答案為：.【點睛】該題考查的是有關(guān)向量和數(shù)列的綜合題，涉及到的知識點有向量的運算，無窮遞縮等比數(shù)列的各項和,屬于創(chuàng)新題目.二、選擇題13。記，則“”是“方程組有唯一解”的（）A。充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D。既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)矩陣的運算及可知，即判斷兩直線的位置關(guān)系；根據(jù)兩直線有唯一解的條件,即可判斷是否滿足，進而由充分必要條件的定義判斷。【詳解】，由可得，即,由兩直線方程可知，兩條直線必然相交，即有唯一交點,故滿足充分性；若方程組有唯一解，則兩直線相交，則滿足，即，所以由可知，故滿足必要性；綜上可知，“”是“方程組有唯一解"的充分必要條件,故選：C.【點睛】本題考查了二階矩陣的簡單運算，兩直線位置關(guān)系的判斷，充分必要條件的定義與判定，屬于基礎(chǔ)題。14.下圖中的直線、、的斜率分別為、、,則（)A. B。C。 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜率與直線傾斜角的關(guān)系判斷即可。【詳解】由圖可知：,,,且直線的傾斜角小于直線的傾斜角,所以,綜上可知：.故選：D．【點睛】本題主要考查了直線斜率與傾斜角的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題。15。平面上、、三點不共線，設(shè)，，則的面積等于(）A. B.C。 D.【答案】C【解析】【分析】由三角形的面積公式可知,結(jié)合數(shù)量積公式可選出正確答案.【詳解】解:由三角形的面積公式知。故選:C?！军c睛】本題考查了三角形的面積公式,考查了平面向量的數(shù)量積。16.設(shè)為兩個非零向量、的夾角,已知當實數(shù)變化時的最小值為2，則（)A。若確定，則唯一確定 B.若確定,則唯一確定C。若確定，則唯一確定 D。若確定，則唯一確定【答案】A【解析】【分析】畫圖利用點與直線上的點的距離大小關(guān)系,以及向量的加減法性質(zhì)判定即可.【詳解】如圖，記、、,則,當時，取得最小值,若確定,則唯一，不確定,若確定,可能有兩解(圖中或），若確定,則不確定，從而也不確定.故選:A．【點睛】本題主要考查了平面向量的圖形表示，需要結(jié)合點到直線的距離最值以及平面向量的加法性質(zhì)分析.屬于中檔題。三、解答題17。在平面直角坐標系中，已知向量,．(1）若,求實數(shù)的值；(2）若對于平面內(nèi)任意向量，都存在實數(shù)、,使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直,其數(shù)量積等于0,利用向量數(shù)量積公式得到對應(yīng)的等量關(guān)系式，求得結(jié)果；（2）平面內(nèi)任意向量，都存在實數(shù)、,使得,其等價結(jié)果為向量和向量是兩個不共線向量,根據(jù)坐標關(guān)系得到結(jié)果?！驹斀狻浚?）若，則有,即,又因，，所以，即，解得;（2）對于平面內(nèi)任意向量，都存在實數(shù)、，使得，所以向量和向量是兩個不共線向量，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標表示,平面向量基本定理，一組向量可以作為基底的條件，屬于基礎(chǔ)題目.18.河北省趙縣的趙州橋是世界上歷史最悠久的石拱橋之一，趙州橋的跨度約為37。4m，圓拱高約為7。2m．如圖建立直角坐標系,求該圓拱所在圓的標準方程（數(shù)值精確到0。1m）．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)圓心在弦的中垂線上可求得圓心坐標，再求出圓心到的距離即為半徑即可.【詳解】由題,因為關(guān)于原點對稱,故圓心在軸上,設(shè)。又中點為，且斜率,故,解得。即。又半徑。故圓拱所在圓的標準方程為：?！军c睛】本題主要考查了根據(jù)三點求解圓的方程的問題，需要根據(jù)圓心在弦的中垂線上進行求解圓心,進而求得半徑。屬于基礎(chǔ)題。19。已知直線及點．（1)求點關(guān)于直線對稱的點的坐標；（2）求過點且與直線夾角為的直線的方程．【答案】（1）;（2）和．【解析】【分析】（1）設(shè),再根據(jù)直線與垂直，且的中點在直線上列式求解即可。（2）利用兩直線夾角的斜率公式求解直線的斜率，再利用點斜式求解直線的方程即可.【詳解】(1)設(shè)，因為關(guān)于直線對稱，故，即，解得,故.(2)設(shè)直線的傾斜角為，。則直線的傾斜角為或.當直線的傾斜角為時,的斜率,故直線的方程為,化簡得。當直線的傾斜角為時，的斜率,故直線的方程為，化簡得.所以直線的方程為和.【點睛】本題主要考查了求點關(guān)于直線對稱點的坐標，同時也考查了求與已知直線呈一定夾角的直線的方程。屬于中檔題。20.已知點,，點滿足,記點的軌跡為．（1）求的方程；(2）設(shè)直線與交于、兩點,求的面積（為坐標原點)；（3）設(shè)是線段中垂線上的動點，過作的兩條切線、,、分別為切點,判斷是否存在定點，直線始終經(jīng)過點，若存在，求出點的坐標，若不存在,說明理由．【答案】（1）；(2）；（3）定點的坐標為．【解析】【分析】（1）根據(jù)列出關(guān)于的方程再化簡即可.（2)求解到直線的距離以及弦長,進而求得面積即可.(3)設(shè),,，根據(jù)以及可得，滿足的方程,進而求得定點即可.【詳解】(1)因為，故,即，化簡可得；（2）到直線的距離為,∴,從而；（3）設(shè),,,其中,，由可得，化簡得，同理,有,將,看作方程的兩組不同的解,由方程思想，可知直線的方程即,當時,,∴所求定點的坐標為．【點睛】本題主要考查了軌跡方程的求解，同時也考查了直線與圓方程中的定點問題,需要根據(jù)題意確定切點滿足的關(guān)系式,再利用方程的思想求出直線方程，進而求得定點.屬于中檔題。21.設(shè)數(shù)列前項和為，對任意，點都在函數(shù)圖像上．（1）求、、,并猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想；（3）若數(shù)列滿足:，，且對任意的，都有、、成公比為的等比數(shù)列,、、成等差數(shù)列,設(shè),求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）2，4，6,；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1)由題意化簡可得，再分別令，代入求解、、即可猜測.(2)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的一般方法，分析時,命題成立,再假設(shè)時，命題成立,即。則時代入求解得即可證明。（3）根據(jù)題意先求根據(jù)求得,再根據(jù)、、成公比為的等比數(shù)列，以及、、成等差數(shù)列可得,進而求得，再代入計算可得即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，進而求得通項公式?！驹斀狻?1）由題意,,∴，令，得,∴，令,得,∴,令,得，∴，猜測；（2）證明：時,命題成立,假設(shè)時,