2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《壓軸題-等腰直角三角形問(wèn)題》強(qiáng)化練習(xí)1.如圖①，已知拋物線L：y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，3)，B(1，0)，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的關(guān)系式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)將拋物線L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)(包括△OAE的邊界)，求h的取值范圍；(4)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2＋bx＋c(b，c是常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(0，3)．點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．(1)求此拋物線的解析式．(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出m的取值范圍．(3)若此拋物線在點(diǎn)P左側(cè)部分(包括點(diǎn)P)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2﹣m．①求m的值．②以PA為邊作等腰直角三角形PAQ，當(dāng)點(diǎn)Q在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．3.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C(2，﹣4)在拋物線上，且△ABC是等腰直角三角形．(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)D(2，0)的直線與拋物線交于點(diǎn)M，N，試問(wèn)：以線段MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．4.已知拋物線y＝ax2＋bx﹣2經(jīng)過(guò)(2，2)，且頂點(diǎn)在y軸上．(1)求拋物線解析式；(2)直線y＝kx＋c與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．①點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)k＝0，且△ABP為等腰直角三角形時(shí)，求c的值；②設(shè)直線y＝kx＋c交x軸于點(diǎn)M(m，0)，線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)c＝1，m＞6時(shí)，求點(diǎn)N縱坐標(biāo)n的取值范圍．5.拋物線y＝x2﹣(m＋3)x＋3m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(不與點(diǎn)O重合)．(1)若點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，且△OBC為等腰直角三角形．①求拋物線的解析式；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得點(diǎn)O為△BCD的外心，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣9，將直線PC向下平移n(1≤n≤4)個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線P′C′，若直線P′C′與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求△ABC面積的取值范圍．6.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx﹣3(x≤3)的圖象過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，c)，記為L(zhǎng)．將L沿直線x＝3翻折得到“部分拋物線”K，點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'，C'．(1)求a，b，c的值；(2)畫(huà)出“部分拋物線”K的圖象，并求出它的解析式；(3)某同學(xué)把L和“部分拋物線”K看作一個(gè)整體，記為圖形“W”，若直線y＝m和圖形“W”只有兩個(gè)交點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))．①直接寫(xiě)出m的取值范圍；②若△MNB為等腰直角三角形，求m的值．7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋6與x軸交于點(diǎn)A(﹣2，0)和點(diǎn)B(6，0)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，聯(lián)結(jié)BC交拋物線的對(duì)稱軸l于點(diǎn)E．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)聯(lián)結(jié)CD、BD，點(diǎn)P是射線DE上的一點(diǎn)，如果S△PDB＝S△CDB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M是線段BE上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果△EMN是以EM為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．8.拋物線y＝x2﹣(m＋3)x＋3m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)如圖1，若點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，△OBC為等腰直角三角形，求拋物線的解析式；(2)在(1)的條件下，點(diǎn)D(﹣2，5)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，令四邊形BDCM的面積為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣9，作直線PC，將直線PC向下平移n(n＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線P'C'，若直線P'C'與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．①直接寫(xiě)出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫(xiě)出當(dāng)1≤n≤5時(shí)m的取值范圍．

參考答案1.解：(1)∵拋物線L：y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，3)，B(1，0)，∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x＋3；(2)如圖，過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，設(shè)P(m，m2﹣4m＋3)，∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E(3，3)，∴直線OE的解析式為：y＝x，∴G(m，m)，∴PG＝m﹣(m2﹣4m＋3)＝﹣m2＋5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG＋S△EPG＝eq\f(1,2)PG?AE＝eq\f(1,2)×3×(﹣m2＋5m﹣3)＝﹣eq\f(3,2)(m2﹣5m＋3)＝﹣(m﹣)2＋，∵﹣eq\f(3,2)＜0，∴當(dāng)m＝eq\f(5,2)時(shí)，△OPE面積最大，此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，﹣eq\f(3,4))；(3)由y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，得拋物線l的對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)為(2，﹣1)，拋物線L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度后頂點(diǎn)為F(2，﹣1＋h)．設(shè)直線x＝2交OE于點(diǎn)DM，交AE于點(diǎn)N，則E(2，3)，∵直線OE的解析式為：y＝x，∴M(2，2)，∵點(diǎn)F在△OAE內(nèi)(包括△OAE的邊界)，∴2≤﹣1＋h≤3，解得3≤h≤4；(4)設(shè)P(m，m2﹣4m＋3)，分四種情況：①當(dāng)P在對(duì)稱軸的左邊，且在x軸下方時(shí)，如圖，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM＋∠NPF＝∠PFN＋∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF(AAS)，∴OM＝PN，∵P(m，m2﹣4m＋3)，則﹣m2＋4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝eq\f(5,2)＋eq\f(\r(5),2)(舍)或eq\f(5,2)﹣eq\f(\r(5),2)，∴P的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)﹣eq\f(\r(5),2)，eq\f(1,2)﹣eq\f(\r(5),2))；②當(dāng)P在對(duì)稱軸的左邊，且在x軸上方時(shí)，同理得：2﹣m＝m2﹣4m＋3，解得：m1＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(5),2)(舍)或m2＝eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)，∴P的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)，eq\f(1,2)＋eq\f(\r(5),2))；③當(dāng)P在對(duì)稱軸的右邊，且在x軸下方時(shí)，如圖，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則﹣m2＋4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(5),2)或m2＝eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)(舍)；P的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)＋eq\f(\r(5),2)，eq\f(1,2)﹣eq\f(\r(5),2))；④當(dāng)P在對(duì)稱軸的右邊，且在x軸上方時(shí)，如圖，同理得m2﹣4m＋3＝m﹣2，解得：m＝eq\f(5,2)＋eq\f(\r(5),2)或eq\f(5,2)﹣eq\f(\r(5),2)(舍)，P的坐標(biāo)為：(eq\f(5,2)＋eq\f(\r(5),2)，eq\f(1,2)＋eq\f(\r(5),2))；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(eq\f(5,2)﹣eq\f(\r(5),2)，eq\f(1,2)﹣eq\f(\r(5),2))或(eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)，eq\f(1,2)＋eq\f(\r(5),2))或(eq\f(3,2)＋eq\f(\r(5),2)，eq\f(1,2)﹣eq\f(\r(5),2))或(eq\f(5,2)＋eq\f(\r(5),2)，eq\f(1,2)＋eq\f(\r(5),2))．2.解：(1)將(1，0)，(0，3)代入y＝x2＋bx＋c得，解得，∴y＝x2﹣4x＋3．(2)令x2﹣4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，(3，0)，∵拋物線開(kāi)口向上，∴m＜1或m＞3時(shí)，點(diǎn)P在x軸上方．(3)①∵y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，﹣1)，對(duì)稱軸為直線x＝2，當(dāng)m＞2時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，∴﹣1＝2﹣m，解得m＝3，當(dāng)m≤2時(shí)，點(diǎn)P為最低點(diǎn)，將x＝m代入y＝x2﹣4x＋3得y＝m2﹣4m＋3，∴m2﹣4m＋3＝2﹣m，解得m1＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(5),2)(舍)，m2＝eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)．∴m＝3或m＝eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)．②當(dāng)m＝3時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，AP＝2，∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，﹣1)，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2，﹣1)或(2，1)符合題意．當(dāng)m＝eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)時(shí)，如圖，∠QPA＝90°過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線，交x軸于點(diǎn)F，作QE⊥PF于點(diǎn)E，∵∠QPE＋∠APF＝∠APF＋∠PAF＝90°，∴∠QPE＝∠PAF，又∵∠QEP＝∠PFA＝90°，QP＝PA，∴△QEP≌△PFA(AAS)，∴QE＝PF，即2﹣m＝m2﹣4m＋3，解得m1＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(5),2)(舍)，m2＝eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)．∴PF＝2﹣eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)，AF＝PE＝1﹣eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)，∴EF＝PF＋PE＝2﹣eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)＋1﹣eq\f(3,2)﹣eq\f(\r(5),2)＝eq\r(5)，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2，eq\r(5))．綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2，﹣1)或(2，1)或(2，eq\r(5))．3.解：連接AC、BC，過(guò)點(diǎn)C作CP垂直于x軸于點(diǎn)P．在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，點(diǎn)C(2，﹣4)，∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP＋PB＝4＋2＝6，∴點(diǎn)A(﹣2，0)，點(diǎn)B(6，0)，把點(diǎn)A(﹣2，0)，點(diǎn)B(6，0)，點(diǎn)C(2，﹣4)代入函數(shù)解析式得，解得，∴拋物線的解析式為：y＝eq\f(1,4)x2﹣x﹣3．故答案為：y＝eq\f(1,4)x2﹣x﹣3．(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)D(2，0)的直線MN解析式為y＝k(x﹣2)＝kx﹣2k，聯(lián)立直線與拋物線解析式得關(guān)于x的等式：kx﹣2k＝eq\f(1,4)x2﹣x﹣3，化簡(jiǎn)得＝0，xN＋xM＝﹣＝4(k＋1)，xNxM＝＝8k﹣12.①，聯(lián)立直線與拋物線解析式得關(guān)于y的等式：y＝(＋2)2﹣(＋2)﹣3，化簡(jiǎn)得y2＋(﹣﹣1)y﹣4＝0，yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣16k2..②，線段MN的中點(diǎn)就是圓的圓心，∴xO＝eq\f(1,2)(xN＋xM)＝2(K＋1)，代入直線方程得yO＝2k2，∴圓心坐標(biāo)為(2k＋2，2k2)，直徑MN＝＝，把①、②代入上式化簡(jiǎn)整理得直徑MN＝，設(shè)圓上某一點(diǎn)(x，y)到圓心的距離等于半徑，∴＝，化簡(jiǎn)整理得16k2＋12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x＋y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx＋x2﹣4x＋y2，圓過(guò)定點(diǎn)，所以與k值無(wú)關(guān)，看作是關(guān)于k的二次等式，k2、k的系數(shù)，常量對(duì)應(yīng)相等，得﹣8＝﹣4x，x＝2，16＝﹣4y，y＝﹣4，由以上分析，所以以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(2，﹣4)．故答案為：以線段MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(2，﹣4)．4.解：(1)∵頂點(diǎn)在y軸上，∴b＝0，∵拋物線y＝ax2＋bx﹣2經(jīng)過(guò)(2，2)，∴4a﹣2＝2，∴a＝1，∴y＝x2﹣2；(2)①當(dāng)k＝0時(shí)，y＝c，聯(lián)立，∴A(，c)，B(﹣，c)，∵△ABP為等腰直角三角形，∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上，∴P點(diǎn)在拋物線的頂點(diǎn)(0，﹣2)處，∵AB＝2，AP＝BP＝，∴2[c＋2＋(c＋2)2]＝4(c＋2)，∴c＝0；②∵c＝1，∴y＝kx＋1，∴m＝﹣，由題意可知，k＜0，∵m＞6，∴﹣eq\f(1,6)＜k＜0，聯(lián)立，∴x2﹣kx﹣2＝0，∴xA＋xB＝k，∴AB的中點(diǎn)為(，＋1)，設(shè)AB的線段垂直平分線所在直線解析式為y＝k'x＋b，∴與x軸的交點(diǎn)P(﹣，0)，與y軸的交點(diǎn)為N(0，b)，∵PN⊥AB，∴∠PNO＝∠AMO，∴＝，∴k'＝m＝﹣，∴y＝﹣x＋b，∴線段AB的垂直平分線為y＝﹣x＋＋，∴N點(diǎn)縱坐標(biāo)為n＝＋，∴＜n＜．5.解：(1)①令y＝0，則x2﹣(m＋3)x＋3m＝0，解得x＝3或x＝m，∴A(m，0)，B(3，0)，令x＝0，則y＝3m，∴C(0，3m)，∵△OBC為等腰直角三角形，∴﹣3m＝3解得m＝﹣1，∴y＝x2﹣2x﹣3；②存在一點(diǎn)D，使得點(diǎn)O為△BCD的外心，理由如下：∵點(diǎn)O為△BCD的外心，∴OB＝OC＝OD＝3，設(shè)D(t，t2﹣2t﹣3)，∴3＝，解得t＝，∴D(，)或(，)；(2)∵y＝x2﹣(m＋3)x＋3m，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣9，∴P(，﹣9)，設(shè)直線PC的解析式為y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝﹣6x＋3m，∴平移后的直線P'C'的解析式為y＝﹣6x＋3m﹣n，聯(lián)立方程組，整理得，x2﹣(m﹣3)x＋n＝0，∵直線P′C′與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝(m﹣3)2﹣4n＝0，∴n＝，∵1≤n≤4，∴1≤≤4，∴﹣1≤m≤1或5≤m≤7，∵A(m，0)，B(3，0)，∴AB＝3﹣m，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×(3﹣m)×(﹣3m)＝eq\f(3,2)(m﹣eq\f(3,2))2﹣eq\f(27,8)，當(dāng)﹣1≤m≤1時(shí)，0＜S△ABC≤6；5≤m≤7時(shí)，15≤S△ABC≤42．6.解：(1)將A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3，將C(0，c)代入y＝x2﹣2x﹣3，可得c＝﹣3；(2)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)關(guān)于x＝3對(duì)稱的點(diǎn)分別為A'(7，0)，B(3，0)，C(6，﹣3)，設(shè)拋物線的解析式為y＝x2＋b'x＋c'，∴，解得，∴y＝x2﹣10x＋21；(3)①∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)為(1，﹣4)，∴當(dāng)m＝﹣4時(shí)，直線y＝m和圖形“W”只有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m＞0時(shí)，直線y＝m和圖形“W”只有兩個(gè)交點(diǎn)；∴m＞0或m＝﹣4時(shí)，直線y＝m和圖形“W”只有兩個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)m＝﹣4時(shí)，M(1，﹣4)，N(5，﹣4)，∴BM＝BN，∴△MNB是等腰三角形但不是直角三角形；當(dāng)m＞0時(shí)，M(1﹣，m)，N(5＋，m)，∴BM＝BN，當(dāng)BM⊥AM時(shí)，2＋＝m，解得m＝0(舍)或m＝5，∴m＝5．7.解：(1)將A(﹣2，0)，B(6，0)代入y＝ax2＋bx＋6，得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣eq\f(1,2)x2＋2x＋6；(2)如圖：∵y＝﹣eq\f(1,2)x2＋2x＋6＝﹣eq\f(1,2)(x﹣2)2＋8，∴C(0，6)、D(2，8)，∵B(6，0)，∴BC＝6eq\r(2)，CD＝2eq\r(2)，BD＝4eq\r(5)，∴BC2＋CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC?CD＝12，∵S△PDB＝eq\f(1,2)PD?(6﹣2)＝2PD＝S△CDB＝12，∴PD＝6，∴P(2，2)；(3)∵B(6，0)，C(0，6)．∴直線BC的解析式為y＝﹣x＋6，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵y＝﹣eq\f(1,2)x2＋2x＋6，∴對(duì)稱軸l為x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣x＋6＝4，∴E(2，4)，設(shè)M(m，﹣m＋6)，且2＜m＜6，①當(dāng)∠MEN＝90°，EM＝EN時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥MN于H，∴MN＝2EH，∠EMN＝∠ENM＝45°，∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NME＝∠OCB，∴MN∥y軸，∴N(m，﹣eq\f(1,2)m2＋2m＋6)，∴MN＝﹣eq\f(1,2)m2＋2m＋6＋m﹣6＝﹣eq\f(1,2)m2＋3m，EH＝m﹣2，∴﹣eq\f(1,2)m2＋3m＝2(m﹣2)，解得m＝4或m＝﹣2(不合題意，舍去)，∴M(4，2)；②當(dāng)∠EMN＝90°，EM＝MN時(shí)，∴EH＝NH＝MH＝eq\f(1,2)EN，∠MEN＝∠ENM＝45°，∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠MEN＝∠OBC，∴EN∥x軸，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4，當(dāng)y＝4時(shí)，﹣eq\f(1,2)x2＋2x＋6＝4，解得x＝2＋2eq\r(2)或x＝2﹣2eq\r(2)(不合題意，舍去)，∴N(2＋2eq\r(2)，4)，∴EN＝2＋2eq\r(2)﹣2＝2eq\r(2)，∴EH＝MH＝eq\f(1,2)EN＝eq\r(2)，∴m＝2＋eq\r(2)，∴M(2＋e