線性平穩(wěn)過(guò)程第1頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第一節(jié)

自回歸過(guò)程一、一階自回歸AR(1)二、二階自回歸AR(2)三、P階自回歸AR(p)第2頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、一階自回歸AR(1)1、模型表達(dá)式：稱上式為一階自回歸過(guò)程，記為AR(1)（一）AR(1)特征式中at為均值為0、方差為sa2的白噪聲序列.第3頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

計(jì)算過(guò)程：

令

稱為的中心化序列第4頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、模型特點(diǎn)：（1）基本假定(i)與

有線性關(guān)系；在

已知條件下，與無(wú)關(guān)；(ii)為白噪聲,即：(iii)第5頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）模型實(shí)質(zhì)使相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為獨(dú)立數(shù)據(jù)的變化器（3）與普通回歸的關(guān)系不同:

（i）變量不同（ii）依存關(guān)系不同（iii）假設(shè)不同（iv）狀態(tài)不同聯(lián)系:固定時(shí)刻t-1，且觀察值已知時(shí)，AR（1）就是一個(gè)普通的一元線性回歸模型。第6頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（二）AR(1)的可逆性與平穩(wěn)性1、AR（1）模型可逆性判別

可逆性——一個(gè)過(guò)程是否具有逆轉(zhuǎn)形式，也就是說(shuō)逆函數(shù)是否存在的性質(zhì)，通常稱為過(guò)程是否具有可逆性，如果一個(gè)過(guò)程可以用一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型逼近，即逆函數(shù)存在，我們就稱該過(guò)程具有可逆性。AR（1）模型是無(wú)條件可逆的第7頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、AR（1）模型平穩(wěn)性判別

例

考察如下兩個(gè)模型的平穩(wěn)性第8頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第9頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第10頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的

判別方法格林函數(shù)判別法特征根判別法（輔助方程判別法）第11頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（1）格林函數(shù)判別法?Green函數(shù)定義Green函數(shù)是描述系統(tǒng)記憶擾動(dòng)程度的函數(shù)。若將序列表示成其中系數(shù)稱為Green函數(shù)。第12頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二?Green函數(shù)的意義

是前個(gè)時(shí)間單位以前進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)現(xiàn)在行（響應(yīng)）為影響的權(quán)數(shù)。

客觀的刻畫(huà)了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)衰減的快慢程度。

是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的真實(shí)描述。

第13頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二?AR(1)的格林函數(shù)AR(1):從而格林函數(shù)為

上式是差分方程的解。它表明系統(tǒng)是怎樣記憶擾動(dòng)或某一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)對(duì)后繼行為的影響程度，是過(guò)去擾動(dòng)的權(quán)重函數(shù)。第14頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

1接近于1,表明系統(tǒng)的記憶較強(qiáng)；相反，1接近于0，表明系統(tǒng)的記憶較弱，故格林函數(shù)亦稱為記憶函數(shù)。

由于格林函數(shù)描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性，那么在隨機(jī)擾動(dòng)序列已知的情況下，格林函數(shù)就完全能夠確定系統(tǒng)的行為，從而根據(jù)已知的擾動(dòng)序列和格林函數(shù)便可確定系統(tǒng)的響應(yīng)。

第15頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二?平穩(wěn)性的Green函數(shù)判別法欲使序列平穩(wěn)，則格林函數(shù)應(yīng)滿足即：第16頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個(gè)特征根都在單位圓內(nèi)根據(jù)特征根和輔助方程的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價(jià)判別條件是該模型的自回歸輔助方程的根都在單位圓外平穩(wěn)域表示

平穩(wěn)域（2）特征根判別法與輔助方程判別法第17頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（3）AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域第18頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差（三）AR(1)的統(tǒng)計(jì)特征1、AR(1)的方差：第19頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二遞推公式2、AR(1)的自協(xié)方差函數(shù)第20頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3、AR(1)的ACF：（1）ACF的求解第21頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）ACF的特點(diǎn)4、AR(1)的PACF：（1）PACF的求解第22頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）PACF的特點(diǎn)第23頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3.2考察如下AR模型的自相關(guān)與偏自相關(guān)第24頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二自相關(guān)函數(shù)按指數(shù)形式單調(diào)收斂到零第25頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二理論偏自相關(guān)函數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第26頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第27頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二理論偏自相關(guān)函數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第28頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、二階自回歸AR(2)（一）AR(2)特征1、模型表達(dá)式2、模型特點(diǎn)第29頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（二）AR(2)的可逆性與平穩(wěn)性1、AR（2）模型可逆性判別

AR（2）模型是無(wú)條件可逆的第30頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、AR(2)模型平穩(wěn)性判別

（1）格林函數(shù)判別法AR(2)的Green函數(shù)第31頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(2)特征根判別法與輔助方程判別法AR(2)模型平穩(wěn)的充要條件是特征方程的根都在單位圓內(nèi)AR(2)模型平穩(wěn)的充要條件是自回歸輔助方程的根都在單位圓外第32頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二AR(2)的特征方程為：則可以導(dǎo)出第33頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（3）AR(2)模型平穩(wěn)條件平穩(wěn)域第34頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3.3考察如下模型的平穩(wěn)性第35頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第36頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第37頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為1、AR(2)的協(xié)方差函數(shù)（三）AR(2)的統(tǒng)計(jì)特征第38頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、AR(2)的ACF（1）ACF的求解第39頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）ACF的特點(diǎn)3、AR(2)的PACF（1）PACF的求解第40頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第41頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）PACF的特點(diǎn)第42頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二AR(2)ACF、PACF示例第43頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第44頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第45頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3.4考察如下AR模型的自相關(guān)與偏自相關(guān)第46頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性第47頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二理論偏自相關(guān)函數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第48頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二自相關(guān)函數(shù)不規(guī)則衰減第49頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二理論偏自相關(guān)函數(shù)樣本偏自相關(guān)函數(shù)圖第50頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、p

階自回歸模型AR(p)具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡(jiǎn)記為(一)AR(p)特征第51頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二自回歸系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，模型又可以簡(jiǎn)記為

自回歸系數(shù)多項(xiàng)式自回歸輔助方程第52頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二AR(p)模型是無(wú)條件可逆的（二）AR(p)的可逆性與平穩(wěn)性1、AR(p)模型的可逆性第53頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、AR(p)模型平穩(wěn)性判別（1）格林函數(shù)判別法AR(p)的Green函數(shù)AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是第54頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）特征根判別法與輔助方程判別法AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是自回歸輔助方程的根都在單位圓外第55頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1、方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得（三）AR(p)的統(tǒng)計(jì)特征第56頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式第57頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3、自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)的定義平穩(wěn)AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)遞推公式第58頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二·AR模型自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈復(fù)指數(shù)衰減第59頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4、偏自相關(guān)函數(shù)滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實(shí)際上就等于k階自回歸模型第個(gè)k回歸系數(shù)的值。第60頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二根據(jù)Cramer法則，有其中第61頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二·偏自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)AR(p)模型偏自相關(guān)函數(shù)P步截尾第62頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第二節(jié)

移動(dòng)平均過(guò)程一、MA模型的定義二、MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

三、MA模型的可逆性第63頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡(jiǎn)記為第64頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二當(dāng)時(shí)，稱模型為中心化的第65頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式：引進(jìn)延遲算子，模型又可以簡(jiǎn)記為

階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式第66頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)（一）均值第67頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（二）方差第68頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（三）自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)q階截尾第69頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（四）自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)q階截尾第70頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二常用MA模型的自相關(guān)函數(shù)MA(1)模型MA(2)模型第71頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二偏自相關(guān)函數(shù)拖尾（五）偏自相關(guān)函數(shù)第72頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3.1考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)第73頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二MA模型的自相關(guān)函數(shù)截尾

第74頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第75頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

第76頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

第77頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、MA模型的可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例3.1中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)第78頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（一）可逆的定義可逆MA模型定義若一個(gè)MA模型能夠表示稱為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型可逆概念的重要性一個(gè)自相關(guān)系數(shù)列唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆MA模型.第79頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（二）MA模型的可逆條件MA(q)模型的可逆條件是：MA(q)模型的特征根都在單位圓內(nèi)等價(jià)條件是移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外第80頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二可逆MA(1)模型

第81頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（三）逆函數(shù)的遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式第82頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3.2

考察如下MA模型的可逆性第83頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(1)—(2)逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式第84頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(3)—(4)

逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式不可逆第85頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第三節(jié)

自回歸移動(dòng)平均模型一、ARMA模型的定義二、平穩(wěn)條件與可逆條件

三、ARMA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)四、

ARMA模型的性質(zhì)總結(jié)第86頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為第87頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，模型又可以簡(jiǎn)記為

階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式第88頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、平穩(wěn)條件與可逆條件