第八節(jié)拋物線

1．拋物線的定義

滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：

(1)在平面內(nèi)；

(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等；

(3)定點(diǎn)不在定直線上．

2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py(p＞

標(biāo)準(zhǔn)方程(p＞0)(p＞0)(p＞0)0)

p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離

圖形

頂點(diǎn)O(0,0)

對(duì)稱軸y＝0x＝0

pppp

焦點(diǎn)F，0F－，0F0，F(xiàn)0，－

2222

離心率e＝1

pppp

準(zhǔn)線方程x＝－x＝y(tǒng)＝－y＝

2222

范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R

開(kāi)口方向向右向左向上向下

焦半徑|PF|＝

ppp

(其中|PF|＝x＋p|PF|＝y(tǒng)＋|PF|＝－y＋

02－x＋0202

P(x，y))02

00

[小題體驗(yàn)]

1．(2018·杭州七校聯(lián)考)拋物線C：y＝ax2的準(zhǔn)線方程為y＝

1

－，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______，實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．

4

1

解析：由題意得焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，，拋物線C的方程可化為x2

4

111

＝y(tǒng)，由題意得－＝－，解得a＝1.

a4a4

1

答案：0，1

4

2．焦點(diǎn)在直線2x＋y＋2＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

________．

答案：y2＝－4x或x2＝－8y

3．(教材習(xí)題改編)拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________；

準(zhǔn)線方程為_(kāi)___________．

11

解析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，，

416

1

準(zhǔn)線方程為y＝－.

16

11

答案：0，y＝－

1616

1．拋物線的定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，

當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)且與直線垂直的直線．

2．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p易忽視，只有p＞0才能證明其幾

何意義是焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離，否則無(wú)幾何意義．

3．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式要注意，根據(jù)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)或

準(zhǔn)線方程時(shí)，要注意標(biāo)準(zhǔn)形式的確定．

[小題糾偏]

1．平面內(nèi)到點(diǎn)(1,1)與到直線x＋2y－3＝0的距離相等的點(diǎn)的

軌跡是()

A．橢圓B．雙曲線

C．拋物線D．一條直線

答案：D

2．拋物線8x2＋y＝0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．

1

解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－y.

8

111

∴2p＝，p＝，∴焦點(diǎn)為0，－.

81632

1

答案：0，－

32

考點(diǎn)一拋物線定義及應(yīng)用重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研

[典例引領(lǐng)]

1

1．(2019·溫州十校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y＝x2的焦點(diǎn)為F，直

4

線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，|AF|＝3，線段AB的中點(diǎn)到拋物線

C的準(zhǔn)線的距離為4，則|BF|＝()

7

A.B．5

2

C．4D．3

解析：選B拋物線C的方程可化為x2＝4y，由線段AB的中

點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為4，可得|AF|＋|BF|＝8，又|AF|＝3，

所以|BF|＝5.

2．已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：

(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是()

A．4B．5

C．6D．7

解析：選B依題意，由點(diǎn)M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l：y＝

－1引垂線，垂足為M(圖略)，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM|，結(jié)

11

合圖形可知|MA|＋|MM|的最小值等于圓心C(－1,5)到y(tǒng)＝－1的距

1

離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值

是5，故選B.

[由題悟法]

應(yīng)用拋物線定義的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相

互轉(zhuǎn)化．

(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|

pp

＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.

22

[即時(shí)應(yīng)用]

1．如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上

有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸

上，則△BCF與△ACF的面積之比是()

|BF|－1|BF|2－1

A.B.

|AF|－1|AF|2－1

|BF|＋1|BF|2＋1

C.D.

|AF|＋1|AF|2＋1

解析：選A由圖形可知，△BCF與△ACF有公

共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線，易知△BCF與

|BC|

△ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知其

|AC|

焦點(diǎn)F(1,0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x＝－1.∵點(diǎn)A，B在拋物

線上，過(guò)A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，

且與y軸分別交于點(diǎn)N，M.由拋物線定義，得|BM|＝|BF|－1，|AN|

|BC||BM||BF|－1

＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.

|AC||AN||AF|－1

2．已知直線l：4x－3y＋6＝0和直線l：x＝－1，拋物線y2

12

＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l和直線l的距離之和的最小值是()

12

35

A.B．2

5

11

C.D．3

5

解析：選B由題可知l：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，

2

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，則動(dòng)點(diǎn)P到l的距離等于|PF|，則動(dòng)

2

點(diǎn)P到直線l和直線l的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)F到直線l：

121

|4－0＋6|

4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值是＝2.

5

考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——多角探明

[鎖定考向]

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題

形式出現(xiàn)．

常見(jiàn)的命題角度有：

(1)求拋物線方程；

(2)拋物線的對(duì)稱性．

[題點(diǎn)全練]

角度一：求拋物線方程

1．(2019·臺(tái)州重點(diǎn)校聯(lián)考)已知直線l過(guò)拋物線y2＝－2px(p

＞0)的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)是8，AB

的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是()

A．y2＝－12xB．y2＝－8x

C．y2＝－6xD．y2＝－4x

解析：選B過(guò)A，B分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別

為A，B，由拋物線定義知|AF|＝|AA|，|BF|＝|BB|，則|AA|＋

11111

p

|BB|＝22＋＝8，解得p＝4，所以此拋物線的方程是y2＝－8x.

12

角度二：拋物線的對(duì)稱性

x2y2

2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線

a2b2

y2＝2px(p＞0)分別交于O，A，B三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的

離心率為2，△AOB的面積為3，則p＝()

3

A．1B.

2

C．2D．3

b

yx

解析：選B雙曲線的漸近線方程為＝±a，

因?yàn)殡p曲線的離心率為2，

b2by＝3x，

所以1＋＝2，＝3.由

a2a

y2＝2px，

2p

x＝，

3

x＝0，

解得或

y＝023p

y＝.

3

由曲線的對(duì)稱性及△AOB的面積得，

123p2p

2×××＝3，

233

933

解得p2＝，即p＝p＝－舍去.

422

[通法在握]

求拋物線方程的3個(gè)注意點(diǎn)

(1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種

類型中的哪一種；

(2)要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向與方程之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用它的

幾何意義來(lái)解決問(wèn)題．

[演練沖關(guān)]

1．(2019·寧波質(zhì)檢)已知點(diǎn)M是拋物線C：y2＝2px(p＞0)上

一點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，MF的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2)，則p的值為()

A．1B．2

C．3D．4

p

解析：選D拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，0，設(shè)

2

y2py2

M1，y，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知＋1＝2×2，y＋0＝2×2，解得

2p122p1

p＝4.

2．(2019·麗水高三質(zhì)檢)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F的直

線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線準(zhǔn)線交于M，且FM＝3FP，

則|FP|＝()

32

A.B.

23

43

C.D.

34

解析：選C設(shè)直線l的傾斜角為θ，如圖所示，

過(guò)點(diǎn)P作PN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)N，由拋物線定義知|PN|

＝|PF|.∵FM＝3FP，∴|FM|＝3|FP|，即|PM|＝2|PN|.

11

在Rt△MNP中，cos∠MPN＝，∵PN∥x軸，∴cosθ＝，由拋物

22

p244

線焦半徑的性質(zhì)可得|PF|＝＝＝，即|FP|＝.

1＋cosθ133

1＋

2

考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系

重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研

[典例引領(lǐng)]

(2018·長(zhǎng)興中學(xué)模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)

1

為F，P為C上一點(diǎn)，|PF|＝4，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于3.

1

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

1

(2)設(shè)A，B為拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使得線段AB的中點(diǎn)

1

D在直線y＝x上，P(0,2)為定點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

p

解：(1)由題意，＋3＝4，∴p＝2，

2

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.

1

(2)設(shè)直線AB：x＝ty＋b，A(x，y)，B(x，y)．

1122

x＝ty＋b，

聯(lián)立方程

y2＝4x

消元化簡(jiǎn)得y2－4ty－4b＝0，

Δ＝16t2＋16b＞0.

且y＋y＝4t，x＋x＝t(y＋y)＋2b＝4t2＋2b，

121212

所以D(2t2＋b,2t)，2t2＋b＝2t.

由Δ＞0得0＜t＜2.

|－2t－b||2t2－4t|

所以點(diǎn)P到直線AB的距離d＝＝，

1＋t21＋t2

所以|AB|＝1＋t216t2＋16b＝41＋t22t－t2，

11|2t2－4t|

所以S＝|AB|d＝×41＋t22t－t2＝

△ABP221＋t2

22t－t2·|2t2－4t|.

令m＝2t－t2，

則m∈(0,1]，且S＝4m3.

△ABP

由函數(shù)單調(diào)性可知，(S)＝4.

△ABPmax

[由題悟法]

解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的2種常用方法

(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)

系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．

(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線

的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x＋x＋p，若

12

不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式．

[即時(shí)應(yīng)用]

如圖所示，已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直

線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．

(1)若線段AB的中點(diǎn)在直線y＝2上，求直線l

的方程；

(2)若線段|AB|＝20，求直線l的方程．

解：(1)由已知，得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．

因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線y＝2上，

所以直線l的斜率存在，

設(shè)直線l的斜率為k，A(x，y)，B(x，y)，AB的中點(diǎn)M(x，

11220

y2＝4x，

11

y)，由得(y＋y)(y－y)＝4(x－x)，

0y2＝4x，121212

22

所以2yk＝4.

0

又y＝2，所以k＝1，故直線l的方程是y＝x－1.

0

(2)設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，與拋物線方程聯(lián)立得

x＝my＋1，

消去x，得y2－4my－4＝0，

y2＝4x，

所以y＋y＝4m，yy＝－4，Δ＝16(m2＋1)＞0.

1212

|AB|＝m2＋1|y－y|

12

＝m2＋1·y＋y2－4yy

1212

＝m2＋1·4m2－4×－4

＝4(m2＋1)．

所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，

所以直線l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1．(2019·湖州質(zhì)檢)已知拋物線y2＝2px(p＞0)，點(diǎn)C(－4,0)，

過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，

若△CAB的面積為24，則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

()

A．y2＝4xB．y2＝－4x

C．y2＝8xD．y2＝－8x

解析：選D∵AB⊥x軸，且AB過(guò)點(diǎn)F，∴AB是焦點(diǎn)弦，∴|AB|

1p

＝2p，∴S＝×2p×＋4＝24，解得p＝4或p＝－12(舍去)，

△CAB22

∴直線AB的方程為x＝2，∴以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

程是y2＝－8x，故選D.

2．(2018·江山質(zhì)檢)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，橫坐標(biāo)為4

的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為()

1

A.B．1

2

C．2D．3

p

解析：選C由拋物線的定義可知，4＋＝5，解得p＝2.

2

3．(2018·珠海模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為

l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，PA⊥l，垂足為A，|PF|

＝4，則直線AF的傾斜角等于()

7π2π

A.B.

123

3π5π

C.D.

46

解析：選B由拋物線y2＝4x知焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程

為x＝－1，由拋物線定義知|PA|＝|PF|＝4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為

23－0

(3,23)，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,23)，所以k＝＝－3，

AF－1－1

2π

所以直線AF的傾斜角為.

3

4．(2019·寧波六校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝23x，過(guò)焦點(diǎn)F

且斜率為3的直線與C相交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上

的投影分別為M，N兩點(diǎn)，則S＝()

△MFN

A．8B．23

C．43D．83

3

解析：選B法一：由題意可得p＝3，F(xiàn)，0.不妨設(shè)點(diǎn)P

2

在x軸上方，由拋物線定義可知|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|，設(shè)直線

π

PQ的傾斜角為θ，則tanθ＝3，∴θ＝，由拋物線焦半徑的

3

p3p

性質(zhì)可知，|PF|＝＝＝23，|QF|＝

1－cosθπ1＋cosθ

1－cos

3

323π

＝＝，∴|MN|＝|PQ|sinθ＝(|PF|＋|QF|)·sin＝

π33

1＋cos

3

83311

×＝4，∴S＝|MN|·p＝×4×3＝23.

32△MFN22

3

法二：由題意可得F，0，直線PQ的方程為

2

33

y＝3x－＝3x－，與拋物線方程y2＝23x

22

39

聯(lián)立，得3x－2＝23x，即3x2－53x＋＝0，設(shè)P(x，y)，

2411

535383

Q(x，y)，則x＋x＝，∴|PQ|＝x＋x＋p＝＋3＝，

221231233

π

∵直線PQ的斜率為3，∴直線PQ的傾斜角為.∴|MN|＝|PQ|sin

3

π8331

＝×＝4，∴S＝×4×3＝23.

332△MFN2

5．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與其到

1

焦點(diǎn)的距離之比為，則點(diǎn)P到x軸的距離為_(kāi)_______．

2

解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為

PP

x＝－1，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的

x1

距離，故P＝，

x－－12

P

解得x＝1，

P

所以y2＝4，所以|y|＝2.

PP

答案：2

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)

1．(2018·臨海期初)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(0,1)，且與直線y＝－1相切，

則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()

A．y＝0B．x2＋y2＝1

C．x2＝4yD．y2＝4x

解析：選C設(shè)動(dòng)圓圓心M(x，y)，則x2＋y－12＝|y＋

1|，解得x2＝4y.

2．(2018·紹興二模)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線

y＝3(x－1)與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)．若AF＝

mFB，則m的值為()

3

A.3B.

2

C．2D．3

343

解析：選D直線方程為x＝y(tǒng)＋1，代入y2＝4x可得y2－

33

23

y－4＝0，則y＝23，y＝－，所以|y|＝3|y|，因?yàn)锳F＝mFB，

AB3AB

所以m＝3.

3．(2018·寧波十校聯(lián)考)已知拋物線x2＝4y，過(guò)焦點(diǎn)F的直

線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，若直線l的傾斜角

|AF|

為30°，則的值等于()

|BF|

5

A．3B.

2

3

C．2D.

2

3

解析：選A由題可得，F(xiàn)(0,1)，設(shè)l：y＝x＋1，A(x，y)，

311

B(x，y)．將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x，化簡(jiǎn)得3y2－

22

1|AF|y＋1

10y＋3＝0，解得y＝3，y＝.由拋物線的定義可知＝1＝

123|BF|y＋1

2

3＋1

＝3.

1

＋1

3

1

4．已知P為拋物線y＝x2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為

2

17

點(diǎn)M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是6，，則|PA|＋|PM|的最小值是()

2

19

A．8B.

2

21

C．10D.

2

11

解析：選B依題意可知焦點(diǎn)F0，，準(zhǔn)線方程為y＝－，

22

延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于點(diǎn)H(圖略)．

1

則|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－，

2

1

|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，

2

即求|PF|＋|PA|的最小值．

因?yàn)閨PF|＋|PA|≥|FA|，

171

又|FA|＝62＋－2＝10.

22

119

所以|PM|＋|PA|≥10－＝，故選B.

22

5．(2019·嘉興六校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦

3

點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，且|MO|＝|MF|＝(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則

2

OM·MF＝()

77

A．－B.

44

99

C.D．－

44

p

解析：選A設(shè)M(m，2pm)，拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，0，

2

39p3

因?yàn)閨MO|＝|MF|＝，所以m2＋2pm＝①，m＋＝②，由①②

2422

111

解得m＝，p＝2，所以M，2，F(xiàn)(1,0)，所以O(shè)M＝，2，MF

222

117

＝，－2，故OM·MF＝－2＝－.

244

6．(2018·寧波期初)已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)M

在拋物線上，|MF|＝4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠MFO＝________.

解析：由題可得，p＝2，焦點(diǎn)在y軸正半軸，所以F(0,1)．

因?yàn)閨MF|＝4，所以M(±23，3)．

23

所以tan∠MFO＝－tan(π－∠MFO)＝－＝－3，

3－1

2π

所以∠MFO＝.

3

2π

答案：

3

7．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p＞0)

上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的

斜率的最大值為_(kāi)_______．

p

解析：如圖，由題可知F，0，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為

2

y2―→―→―→―→1―→

0，y(y＞0)，則OM＝OF＋FM＝OF＋FP＝

2p003

y

0

―→1―→―→1―→2―→y2py3

OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝0＋，0，k＝＝

3336p33OMy2p

0＋

6p3

222

≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)y2＝2p2時(shí)等號(hào)成立，所以直線OM的

y2p20

022

p＋y

0

2

斜率的最大值為.

2

2

答案：

2

8．(2018·嵊州一模)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M(5，

0)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C點(diǎn)，

S

BFBCFACF△BCF

||＝3，則△與△的面積之比S＝________.

△ACF

解析：設(shè)點(diǎn)A在第一象限，B在第四象限，A(x，y)，B(x，

112

y)，直線AB的方程為x＝my＋5.由y2＝4x，得p＝2，因?yàn)閨BF|

2

p

＝3＝x＋＝x＋1，所以x＝2，則y2＝4x＝4×2＝8，所以y＝

2222222

y2＝4x，

－22，由得y2－4my－45＝0，則yy＝－45，

12

x＝my＋5，

5

所以y＝10，由y2＝4x，得x＝.過(guò)點(diǎn)A作AA′垂直于準(zhǔn)線x

11112

＝－1，垂足為A′，過(guò)點(diǎn)B作BB′垂直于準(zhǔn)線x＝－1，垂足為B′，

S|BC||BB′|

易知△CBB′∽△CAA′，所以△BCF＝＝.又|BB′|＝

S|AC||AA′|

△ACF

p57S36

△BCF

|BF|＝3，|AA′|＝x＋＝＋1＝，所以＝＝.

1222S77

△ACF

2

6

答案：

7

9．(2018·杭州高三檢測(cè))如圖，過(guò)拋物線M：y＝

x2上一點(diǎn)A(點(diǎn)A不與原點(diǎn)O重合)作拋物線M的切線AB

交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是拋物線M上異于點(diǎn)A的點(diǎn)，設(shè)G

為△ABC的重心(三條中線的交點(diǎn))，直線CG交y軸于點(diǎn)D.

(1)設(shè)A(x，x2)(x≠0)，求直線AB的方程；

000

|OB|

(2)求的值．

|OD|

解：(1)因?yàn)閥′＝2x，所以直線AB的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x＝2x，

00

所以直線AB的方程為y－x2＝2x(x－x)，

000

即y＝2xx－x2.

00

(2)由(1)得，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y＝－x2，

B0

x

0

所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，0.

2

x

0

設(shè)C(x，y)，G(x，y)，直線CG的方程為x＝my＋.

11222

x

x＝my＋0，x2

20

由得m2y2＋(mx－1)y＋＝0.

04

y＝x2，

因?yàn)镚為△ABC的重心，所以y＝3y.

12

由根與系數(shù)的關(guān)系，

1－mxx2

00

得y＋y＝4y＝，yy＝3y2＝.

122m21224m2

1－mx2x2

00

所以y2＝＝，

216m412m2

解得mx＝－3±23.

0

xx2

00

所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y＝－＝，

D2m6±43

|OB|y

故＝B＝43±6.

|OD|y

D

10．(2018·臺(tái)州模擬)已知拋物線C：y2＝4x和C：x2＝2py(p

12

＞0)的焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，點(diǎn)P(－1，－1)，且FF⊥OP(O為坐標(biāo)

1212

原點(diǎn))．

(1)求拋物線C的方程；

2

(2)過(guò)點(diǎn)O的直線交C的下半部分于點(diǎn)M，交C的左半部分于

12

點(diǎn)N，求△PMN面積的最小值．

p―→p

解：(1)由題意知F(1,0)，F(xiàn)0，，則FF＝－1，，

122122

∵FF⊥OP，

12

―→―→pp

∴FF·OP＝－1，·(－1，－1)＝1－＝0，

1222

∴p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y.

2

Oykxk

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為＝(＜0)，

y＝kx，44

聯(lián)立得M，，

y2＝4xk2k

y＝kx，

聯(lián)立得N(4k,4k2)，

x2＝4y

44

從而|MN|＝1＋k2·－4k＝1＋k2·－4k，

k2k2

|k－1|

又點(diǎn)P到直線MN的距離d＝，

1＋k2

1|k－1|4

故S＝··1＋k2·－4k

△PMN21＋k2k2

21－k1－k321－k21＋k＋k2

＝＝

k2k2

11

＝2k＋－2k＋＋1，

kk

1

tkt

令＝＋k(≤－2)，

則S＝2(t－2)(t＋1)≥8，

△PMN

當(dāng)t＝－2，即k＝－1時(shí)，S取得最小值．

△PMN

即當(dāng)過(guò)點(diǎn)O的直線為y＝－x時(shí)，△PMN面積的最小值為8.

三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校

1．(2018·臺(tái)州高三模擬)已知拋物線x2＝2py(p＞0)，點(diǎn)M是

拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A(0，λp)(λ∈R)的動(dòng)直線l

交拋物線于B，C兩點(diǎn)．

(1)求證：MB·MC≥0，并求等號(hào)成立時(shí)實(shí)數(shù)λ的值；

(2)當(dāng)λ＝2時(shí)，設(shè)分別以O(shè)B，OC(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的兩

圓相交于另一點(diǎn)D，求|DO|＋|DA|的最大值．

解：(1)由題意知?jiǎng)又本€l的斜率存在，且過(guò)點(diǎn)A(0，λp)，

則可設(shè)動(dòng)直線l的方程為y＝kx＋λp，

代入x2＝2py(p＞0)，消去y并整理得x2－2pkx－2λp2＝0，

Δ＝4p2(k2＋2λ)＞0，

設(shè)B(x，y)，C(x，y)，

1122

則x＋x＝2pk，xx＝－2λp2，

1212

yy＝(kx＋λp)(kx＋λp)＝k2xx＋λpk(x＋x)＋λ2p2＝

12121212

λ2p2，

y＋y＝k(x＋x)＋2λp＝2pk2＋2λp＝2p(