第九章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程返回總目錄TheoreticalMechanics第四篇?jiǎng)恿W(xué)現(xiàn)在是1頁\一共有50頁\編輯于星期三第九章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程目錄

引言

§9-1牛頓定律

§9-2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

§9-3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題

現(xiàn)在是2頁\一共有50頁\編輯于星期三引言第四篇?jiǎng)恿W(xué)動(dòng)力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用在該物體上的力之間的關(guān)系。在研究動(dòng)力學(xué)問題中一般選取牛頓的運(yùn)動(dòng)三定律作為動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，并稱之為牛頓定律或動(dòng)力學(xué)基本定律?，F(xiàn)在是3頁\一共有50頁\編輯于星期三力學(xué)模型∶質(zhì)點(diǎn)、剛體和質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)：只有質(zhì)量而無大小的物體。剛體：有質(zhì)量、不會(huì)變形的物體。質(zhì)點(diǎn)系：由若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的、有內(nèi)在聯(lián)系的系統(tǒng)。在下面兩種情況下，可以把物體視為質(zhì)點(diǎn)：物體作平移的時(shí)候；當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于它自身的尺寸、忽略其大小對(duì)問題的性質(zhì)無本質(zhì)影響的時(shí)候。引言第四篇?jiǎng)恿W(xué)現(xiàn)在是4頁\一共有50頁\編輯于星期三艦載飛機(jī)在發(fā)動(dòng)機(jī)和彈射器推力作用下從甲板上起飛

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題現(xiàn)在是5頁\一共有50頁\編輯于星期三

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題若已知初速度、一定的時(shí)間間隔后飛離甲板時(shí)的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需要多長的跑道。若已知推力和跑道可能長度，則需要多大的初速度和一定的時(shí)間隔后才能達(dá)到飛離甲板時(shí)的速度?，F(xiàn)在是6頁\一共有50頁\編輯于星期三

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題

棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。Fv1v2現(xiàn)在是7頁\一共有50頁\編輯于星期三

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題載人飛船的交會(huì)與對(duì)接Av1Bv2現(xiàn)在是8頁\一共有50頁\編輯于星期三

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題航空航天器的姿態(tài)控制現(xiàn)在是9頁\一共有50頁\編輯于星期三

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題高速列車的振動(dòng)問題現(xiàn)在是10頁\一共有50頁\編輯于星期三動(dòng)力學(xué)主要研究以下兩類基本問題引言第四篇?jiǎng)恿W(xué)動(dòng)力學(xué)正問題－已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求作用在物體上的力；動(dòng)力學(xué)反問題－已知作用在物體上的力及運(yùn)動(dòng)的初始條件，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?，F(xiàn)在是11頁\一共有50頁\編輯于星期三牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中的貢獻(xiàn)

牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個(gè)中等農(nóng)戶家中。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時(shí)母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。1661年牛頓進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)學(xué)士學(xué)位。在大學(xué)期間他全面掌握了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)和光學(xué)。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學(xué)校暫時(shí)停辦，他回到老家。這段時(shí)間中他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定律，開始了光學(xué)中的顏色實(shí)驗(yàn)，即白光由7種色光構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)。而且由于一次躺在樹下看到蘋果落地開始思索地心引力問題。在30歲時(shí)，牛頓被選為皇家學(xué)會(huì)的會(huì)員，這是當(dāng)時(shí)英國最高科學(xué)榮譽(yù)?，F(xiàn)在是12頁\一共有50頁\編輯于星期三★

牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說?！锱ｎD在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理?！锱ｎD在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，也是牛頓對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究成果，后人將這本書所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)?，F(xiàn)在是13頁\一共有50頁\編輯于星期三第一定律（慣性定律）

任何質(zhì)點(diǎn)如不受力作用，則將保持其原來靜止的或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)不變。

質(zhì)點(diǎn)保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。

事實(shí)上，不存在不受力的質(zhì)點(diǎn)，若作用在質(zhì)點(diǎn)上的力系為平衡力系，則等效于質(zhì)點(diǎn)不受力。

該定律表明：力是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。

9.1牛頓定律現(xiàn)在是14頁\一共有50頁\編輯于星期三第二定律（力與加速度關(guān)系定律）

質(zhì)點(diǎn)受力作用時(shí)所獲得的加速度的大小與作用力的大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。即：或由于上式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，所以通常稱上式為動(dòng)力學(xué)基本方程。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受幾個(gè)力的作用時(shí)上式中的F應(yīng)理解為這些力的合力。9.1牛頓定律現(xiàn)在是15頁\一共有50頁\編輯于星期三

該定律表明：1、力與加速度的關(guān)系是瞬時(shí)關(guān)系，即力在某瞬時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變是通過該瞬時(shí)確定的加速度表現(xiàn)的。作用力并不直接決定質(zhì)點(diǎn)的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。2、若相等的兩個(gè)力作用在質(zhì)量不同的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，則質(zhì)量越大，加速度越小；質(zhì)量越小，加速度越大。這說明：質(zhì)量越大，保持其原來運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力越強(qiáng)，即質(zhì)量越大，慣性也越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性大小的度量。9.1牛頓定律現(xiàn)在是16頁\一共有50頁\編輯于星期三

在重力場(chǎng)中，物體均受重力作用。物體在重力作用下自由下落所獲得的加速度稱為重力加速度，用g表示。由第二定律有式中是物體所受重力的大小，稱為物體的重量，是重力加速度的大小。通常取。在國際單位制中，長度、質(zhì)量和時(shí)間的單位是基本單位，分別取米、千克和秒；力的單位是導(dǎo)出單位，為牛頓。即：9.1牛頓定律現(xiàn)在是17頁\一共有50頁\編輯于星期三

必須指出的是：質(zhì)點(diǎn)受力與坐標(biāo)無關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。第三定律（作用與反作用定律）

兩個(gè)物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。

以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。9.1牛頓定律現(xiàn)在是18頁\一共有50頁\編輯于星期三9.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受到力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用,沿某曲線軌跡運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓第二定律，得三種形式的微分方程自然坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式矢徑形式現(xiàn)在是19頁\一共有50頁\編輯于星期三9.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第一類基本問題，是已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求解此質(zhì)點(diǎn)所受的力。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類基本問題，是已知作用質(zhì)點(diǎn)上的力，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)在是20頁\一共有50頁\編輯于星期三

例9-1如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方程為求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。

解：以質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。分析運(yùn)動(dòng)：由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t，得可見質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)得：例題9.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題現(xiàn)在是21頁\一共有50頁\編輯于星期三

代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即可求得主動(dòng)力的投影為：于是可見，力與矢徑共線反向，其大小正比于矢徑的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。例題9.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題現(xiàn)在是22頁\一共有50頁\編輯于星期三

例質(zhì)量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點(diǎn)A、B，如圖。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑r＝0.5m,求兩繩的拉力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，任一瞬時(shí)小球受力如圖。方向指向O點(diǎn)。MOrBA45o60o小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。B60oArOMmgFBFAvan現(xiàn)在是23頁\一共有50頁\編輯于星期三

建立自然坐標(biāo)系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有當(dāng)時(shí)，兩繩才同時(shí)受力。否則將只有其中一繩受力。B60oArOMmgFBFAvanbnt現(xiàn)在是24頁\一共有50頁\編輯于星期三

例3從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計(jì)空氣阻力，求物體在重力單獨(dú)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：研究拋射體,列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程積分后得xyM初始條件為現(xiàn)在是25頁\一共有50頁\編輯于星期三

軌跡方程為：由此可見，物體的軌跡是一拋物線。于是物體的運(yùn)動(dòng)方程為：確定出積分常數(shù)為：現(xiàn)在是26頁\一共有50頁\編輯于星期三

例4垂直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)速度，并求第二宇宙速度。不計(jì)空氣阻力及地球自轉(zhuǎn)的影響。由于所以由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得：由于，將上式改寫為解：以物體為研究對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)。質(zhì)點(diǎn)在任一位置受地球引力的大小為：現(xiàn)在是27頁\一共有50頁\編輯于星期三

分離變量得：設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為v0，在空中任一位置x處的速度為v，對(duì)上式積分得所以物體在任意位置的速度為：可見物體的速度將隨x的增加而減小?，F(xiàn)在是28頁\一共有50頁\編輯于星期三若v02<2gR，則物體在某一位置x＝R+H時(shí)速度將為零，此后物體將回落，H為以初速v0向上發(fā)射物體所能達(dá)到的最大高度。將x＝R+H及v＝0代入上式可得若v02>2gR，則不論x為多大，甚至為無限大時(shí)，速度v均不會(huì)減小為零，因此欲使物體向上發(fā)射一去不復(fù)返時(shí)必須具有的最小速度為若取g＝9.8m/s2，R＝6370km，代入上式可得這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速度?，F(xiàn)在是29頁\一共有50頁\編輯于星期三

例5在重力作用下以仰角a初速度v0拋射出一物體。假設(shè)空氣阻力與速度成正比，方向與速度方向相反，即FR＝-Cv，C為阻力系數(shù)。試求拋射體的運(yùn)動(dòng)方程。解：以物體為研究對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。建立圖示坐標(biāo)。在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得因?yàn)関0vMFRmgOyxaq現(xiàn)在是30頁\一共有50頁\編輯于星期三將它們代入運(yùn)動(dòng)微分方程，并令，得：這是兩個(gè)獨(dú)立的線性二階常系數(shù)常微分方程，由常微分方程理論可知，它們的解為求導(dǎo)得其中，C1、C2、D1、D2為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)初始條件確定?，F(xiàn)在是31頁\一共有50頁\編輯于星期三當(dāng)t＝0時(shí)，x0＝0，y0＝0；vx0＝v0cosa，vy0＝v0sina代入以上四式，求得于是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為上式即為軌跡的參數(shù)方程，軌跡如圖所示。由第一式可知軌跡漸近線為。對(duì)于拋射體的射程：當(dāng)a較大時(shí)，，當(dāng)a較小時(shí)，由運(yùn)動(dòng)方程求。v0vMFRmgOyxaq現(xiàn)在是32頁\一共有50頁\編輯于星期三

質(zhì)點(diǎn)的速度公式為由上式可見，質(zhì)點(diǎn)的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是隨著時(shí)間的增加而不斷減小，當(dāng)t→∞時(shí)，vx→∞；質(zhì)點(diǎn)的速度在y軸上的投影vy，隨著時(shí)間的增加，大小和方向都將變化，當(dāng)t→∞時(shí)，vx→g/m，方向鉛垂向下。因此，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過一段時(shí)間后將鉛直向下作勻速運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在是33頁\一共有50頁\編輯于星期三

例6如圖所示，一細(xì)常桿桿端有一小球M，其質(zhì)量為m，另一端用光滑鉸固定。桿長為l，質(zhì)量不計(jì)，桿在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)小球位于鉛垂位置，突然給小球一水平初速度v0，求桿處于任一位置q時(shí)對(duì)球的約束力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。建立圖示的自然坐標(biāo)。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知：qOlO1Sv0M(+)nt現(xiàn)在是34頁\一共有50頁\編輯于星期三

（1）式是一常系數(shù)二階非線性微分方程，其解為橢圓積分，較為復(fù)雜。將其積分一次求出，代入（2）式即可求出FT。因?yàn)樗詑OlO1Sv0mgFTM(+)nt在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得即現(xiàn)在是35頁\一共有50頁\編輯于星期三

得：由初始條件：t＝0時(shí)，q0＝0，代入上式得將其代入（2）式，得下面將計(jì)算結(jié)果作進(jìn)一步的討論：現(xiàn)在是36頁\一共有50頁\編輯于星期三

由(3)得此式表示桿在任意位置時(shí)球的速度。由此式可知:當(dāng)時(shí)小球才能作圓周運(yùn)動(dòng)，否則球作擺動(dòng)。(4)式給出約束力FT隨q角的變化規(guī)律。當(dāng)q＝0時(shí)，當(dāng)q＝p時(shí)，若令T=0，可由(4)式給出約束力為零時(shí)，桿的位置(設(shè)此時(shí)桿的位置用qA表示)所滿足的條件因此，要使T>0，必須滿足。現(xiàn)在是37頁\一共有50頁\編輯于星期三即若則因此，在區(qū)間范圍內(nèi)，總存在確定的qA值，使小球在這一點(diǎn)不受桿的作用。當(dāng)q<qA時(shí)，F(xiàn)T＞0，即小球受拉；當(dāng)q>qA時(shí)，F(xiàn)T＜0，即小球受壓?，F(xiàn)在是38頁\一共有50頁\編輯于星期三umgs例7：質(zhì)量為m長為l的擺在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)。初始時(shí)小球的速度為u,=0。求繩作用在小球上的力F(),并分析小球的運(yùn)動(dòng)。解：1、取研究對(duì)象畫受力圖2、確定坐標(biāo)系3、建立微分方程4、求解5、分析小球運(yùn)動(dòng)Fn運(yùn)動(dòng)微分方程積分上式可得：現(xiàn)在是39頁\一共有50頁\編輯于星期三分析小球微幅擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：等時(shí)性（周期與初始條件無關(guān)）初始條件：微分方程的通解確定積分常數(shù)現(xiàn)在是40頁\一共有50頁\編輯于星期三解：1、取炮彈為研究對(duì)象,建立矢量方程2、建立直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程yxovmgR例8:建立拋體的運(yùn)動(dòng)微分方程。設(shè)空氣阻力的大小與速度的平方成正比運(yùn)動(dòng)微分方程現(xiàn)在是41頁\一共有50頁\編輯于星期三炮彈運(yùn)動(dòng)軌跡圖現(xiàn)在是42頁\一共有50頁\編輯于星期三飛機(jī)空投物體速度大小隨時(shí)間的變化現(xiàn)在是43頁\一共有50頁\編輯于星期三例9:質(zhì)點(diǎn)與圓柱面間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f，圓柱半徑為r為1m。（1）建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）分析其運(yùn)動(dòng)。o解：取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象由（2）式解得：代入（1）式得：當(dāng)：同理，當(dāng)：現(xiàn)在是44頁\一共有50頁\編輯于星期三數(shù)值方法給出質(zhì)點(diǎn)位置、速度和切向加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律ot(s)現(xiàn)在是45頁\一共有50頁\編輯于星期三yxovmg思考題:

給出垂直上拋物體上升時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。設(shè)空氣阻力