一排列和組合的基本內(nèi)容（一）排列排列的定義我們用兩個(gè)例子來引出排列的概念例1從三位先進(jìn)工作者張、王、李里面選出一個(gè)人當(dāng)組長，一個(gè)人當(dāng)副組長，可有幾種選法？從張、王、李三個(gè)人里面選一個(gè)人當(dāng)組長的方法有三種，而不論選誰當(dāng)組長后，再選另一個(gè)人當(dāng)副組長的方法就有2種，例如選張當(dāng)組長后再選另一個(gè)人當(dāng)副組長的方法就有2種，就是選王或者選李，所以，選一個(gè)人當(dāng)組長，一個(gè)人當(dāng)副組長的方法共有3x2=6種。為了清楚說明問題起見，我們可以把這些選法列成下表組長張張王王李李副組長王李張李張王從表里可以看出，第一個(gè)選法和第三個(gè)選法，選出的兩個(gè)人是一樣的，但是指定他們擔(dān)任的職務(wù)卻不同，第一個(gè)選法是選張當(dāng)組長，而選王當(dāng)副組長，第三個(gè)選法是選王當(dāng)組長，而選張當(dāng)副組長，故這是兩種不同的選法。這一點(diǎn)反應(yīng)在表上，就是他們排列的順序不一樣：張王和王張。同理可以說明第二個(gè)選法和第五個(gè)選法是兩種不同的選法，就是張李和李張。第四個(gè)選法和第六個(gè)選法是兩種不同的選法，就是王李和李王。如果我們把當(dāng)組長的姓寫在前面，當(dāng)副組長的姓寫在后面，那么這6種選法就是：張王、張李、王張、王李、李張、李王例2.從三個(gè)不同的數(shù)字4,7,9里每次取出兩個(gè)不同的數(shù)字排列起來，一共可以組成多少個(gè)兩位數(shù)？從三個(gè)不同的數(shù)字里選出一個(gè)數(shù)字排在十位上有3種方法，每次選定一個(gè)數(shù)字排在十位上后，再選一個(gè)數(shù)字排在個(gè)位上有2種方法，故可以組成3x2=6個(gè)兩位數(shù)，就是47,49,74,79,94,97上面兩個(gè)例子所研究的事物是不同的，例1是張、王、李三個(gè)人，例2是4、7、9三個(gè)數(shù)字（以后我們都稱為元素），它們研究的問題也一樣，例1是要知道不同的選法有幾種，例2是要知道不同的兩位數(shù)字有幾個(gè)。但是我們可以看到，這兩個(gè)問題的共同特點(diǎn)，它們都是研究“從三個(gè)不同的元素里每次取出2個(gè)不同的元素，按照一定的順序擺成一排，一共有多少種不同的擺法？”“從三個(gè)不同的元素里每次取出2個(gè)不同的元素，按照一定的順序擺成一排”，對例1來說，就是表示“從三個(gè)人里每次取出2個(gè)人，一個(gè)人當(dāng)組長一個(gè)人當(dāng)副組長”的一種選法；對例2來說，就是表示“從三個(gè)不同的數(shù)里，每次取出2個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)”的一種選法，而且從“從三個(gè)不同的元素里每次取出2個(gè)不同的元素，按照一定的順序擺成一排”還可以在其他問題里得到他的具體內(nèi)容。上面“3個(gè)”或“兩個(gè)”在實(shí)際中還可以推廣到“m個(gè)”和“n個(gè)”，一般來說：從m個(gè)元素里，每次取出n個(gè)元素，按照一定的順序擺成一排，叫做從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素的排列。根據(jù)上面的定義，在例1的每一種選法，在例2的每一個(gè)兩位數(shù)，都是從3個(gè)元素里每次取出2個(gè)元素的一個(gè)排列。上面的排列的定義，其中m個(gè)元素，n個(gè)元素都不一定是各不相同的。而在這一部分里，我們只研究從m個(gè)不同的元素里每次取出n個(gè)（1unvm）各不相同的元素的排列，以后所說的從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素的排列都是指這樣的排列。從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素得到的一個(gè)排列，根據(jù)排列的定義，必須完成以下兩點(diǎn)：八、、：1.取出n個(gè)各不相同的元素；2.按照一定的順序擺成一排。因此，若兩種排列所含的元素不完全一樣，那么就是不同的排列；若兩種排列所含的元素雖然完全一樣，但擺的順序不同，那么也是不同的排列。只有當(dāng)兩個(gè)排列所含的元素完全一樣，并且擺的順序有完全相同，這兩個(gè)排列才算是相同的排列。例如，排列79和排列74是兩個(gè)不同的排列，排列47和排列74也是兩個(gè)不同的排列，而排列47和排列47是兩個(gè)相同的排列。上面定義的排列，如果m>n，這樣的排列就叫做選排列。例1和例2都是選排列問題。如果m=n這樣的排列（也就是每次取出所有的元素的排列）叫做全排列。全排列所有不同的是排列含有的元素完全一樣只是元素的排列順序不完全相同。下面我們討論有關(guān)選排列全排列的問題。II.計(jì)算排列的種數(shù)符號An、Pm從3個(gè)不同元素a、b、c里每次取出2個(gè)不同元素的所有不同的排列有6種：ab、ac、ba、bc、ca、cb。也就是說，從3個(gè)不同元素里，每次取出2個(gè)不同的元素的所有不同的排列種數(shù)有6.從m個(gè)不同的元素里每次取出n個(gè)元素所有不同的選排列的種數(shù)，通常用符號An表示。mAn（也記作P（n,r））是一個(gè)數(shù)，是從m個(gè)不同的元素里每次取出n個(gè)元素所有不同m的選排列的種數(shù)。必須注意，要把它和“排列”區(qū)分清楚，而且也要把它和“從m個(gè)不同的元素里每次取出n個(gè)元素所有不同的選排列”區(qū)分清楚。例如，從3個(gè)不同元素a、b、c里每次取出2個(gè)不同元素的所有不同的排列是指“從3個(gè)不同元素a、b、c里每次取出2個(gè)不同元素按著一定的順序擺成一排”這一事件；從3個(gè)不同元素a、b、c里每次取出2個(gè)元素的所有不同排列是ab、ac、ba、bc、ca、cb，而A23是從3個(gè)元素a、b、c里每次取出2個(gè)元素所有不同的排列種數(shù)，A23=6，就是A23表示的是6。當(dāng)然，如果能夠把從3個(gè)元素a、b、c里每次取出2個(gè)元素所有不同的排列都表示出來，也就知道A23=6了。m個(gè)元素所有的全排列的種數(shù)通常用符號Pm表示，就是Pm=Amm寫出所有不同排列的方法：在實(shí)際工作中常常要求寫出某個(gè)排列問題里所有的不同的排列，所以必須學(xué)會怎樣寫，而且這對指導(dǎo)計(jì)算排列的種數(shù)Amm的公式也有幫助。寫出某個(gè)排列問題里所有不同的排列，必須做到不重復(fù)不遺漏。如果不掌握寫的方法，常常不能達(dá)到這個(gè)要求。例如，要我們寫出四個(gè)元素a、b、c、d里每次取出3個(gè)元素的的所有不同排列，怎樣才能做到不重復(fù)不遺漏呢？關(guān)于這一點(diǎn)，我們從外文字典的排法和查法得到啟發(fā)。寫出這樣一個(gè)排列要從左到右順次寫出三個(gè)元素，第一個(gè)位置上的元素的寫法有四種a、b、c、d；每次把第一個(gè)位置上的元素寫好后，第二個(gè)位置上的寫法就有三種了。例如，第一個(gè)位置上的元素寫的是b，那么，第二個(gè)位置上就只能是寫元素a、c、d三種情況，即ba、bc、bd。第一個(gè)、第二個(gè)位置上的元素寫好后，第三個(gè)位置上的元素的寫法只有二種。把上面的過程列出來，可以比較清楚地看出寫的方法。aababcbbabacccacabddadababdbadcaddacacacbbcbcacbcbadbdbaacdbcdcbddbcadadbbdbdacdcdadcdcaadcbdccdbdcb上表的最右邊的4x3x2=24個(gè)排列，就是要求寫出的所有排列。首先，這樣寫不會遺漏，因?yàn)槿我庖粋€(gè)合乎題意的排列，都可以用查字典的方法在所寫的排列里找到。其次，最后寫出24個(gè)排列里不會有相同的，也就是這樣寫不會重復(fù)。例如，第一個(gè)位置上是a的6個(gè)排列和其他的18個(gè)排列第一個(gè)位置上的元素就不同，而第一個(gè)位置上是a的6個(gè)排列里，開頭是ab的兩個(gè)排列和開頭是ac、ad的四個(gè)排列，第二個(gè)位置上的又不相同，開頭是ab的二個(gè)排列，第三個(gè)位置上的元素又不同。如果能夠從4個(gè)元素里每次取出3個(gè)元素的所有不同的排列寫出來就很容易算出A34=4x3x2=24了。同樣我們可以寫出全排列的所有排列。III.計(jì)算An、七的公式首先，我們來研究怎樣推出A〃公式。上面雖然介紹了寫出從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素的所有不同的排列的方法，但是當(dāng)m和n比較大的時(shí)候要把所有的排列都寫出來就困難了。例如，從11個(gè)不同元素里每次取出10個(gè)不同的元素的所有不同排列有39116800種。這么多的排列，不可能在短時(shí)間內(nèi)把他們都寫出來。而在一般的情況下，常常只要求出所有不同的排列種數(shù)，卻不要寫出所有的排列來。所有推導(dǎo)計(jì)算An的公式是十分必要的。m現(xiàn)行代數(shù)課本里推到計(jì)算Amm的公式按照下列方法進(jìn)行：（1）當(dāng)n=1時(shí)，很明顯A1m=m（2）當(dāng)n=2時(shí)，因?yàn)?，A1；=m，把從m個(gè)元素里每次取出1個(gè)元素所有不同的排列寫成m列［（m-1）行］，然后在每一種這樣的排列的后面寫上其余的（m-1）個(gè)元素里的每一個(gè)元素，就得到（m-1）種從m個(gè)元素每次取出2個(gè)元素的排列，所以m列就一共可以得到m（m-1）個(gè)排列，就是A2m=m（m-1）例如，從四個(gè)元素a、b、c、d里每次取出2個(gè)元素的排列，先把a(bǔ)、b、c、d寫成四列三行的形式，然后在每個(gè)元素后面寫出其余3個(gè)元素，如下abbacadaacbccbdbadbdcddc（3）當(dāng)n=3時(shí)，把上面n=2時(shí)的m（m-1）個(gè)排列寫成m（m-1）列［（m-2）行］，然后在每一種這樣的排列的后面寫上其余的（m-2）個(gè)元素里的每一個(gè)元素，就得到（m-2）種從m個(gè)元素里每次取出3個(gè)元素的排列，所以m（m-1）列就一共可以得到m（m-1）（m-2）個(gè)排列。就是A3m=［m（m-1）］（m-2）=m（m-1）（m-2）譬如，從四個(gè)元素a、b、c、d里每次取出3個(gè)元素的排列，先把上面的排列寫成12列4-2=2行的形式，再在每個(gè)元素后面寫出其余2個(gè)元素，如下abcacbadcbacbcabdacabcbacdadacdbadcaabdacdadbbadbcdbdccadcbdcdbdabdbddcb一般地說An=m（m-1）（m-2）（m-n+1）m這種推倒的方法是不完全歸納法（也可用數(shù)學(xué)歸納法證明）在研究這個(gè)公式時(shí)我們不能滿足于能夠記住公式，而更重要的是要理解這種推導(dǎo)方法。不僅對以后解應(yīng)用題有好處，就

是對記憶公式也有好處，所以在這個(gè)公式推導(dǎo)出來以后，應(yīng)當(dāng)想一想:（1）為什么要用乘法？（2）為什么要有n個(gè)因數(shù)相乘？（3）為什么第一個(gè)因數(shù)是m，第二個(gè)因數(shù)是m-1第n個(gè)因數(shù)是m-n+1？計(jì)算!的公式可以從計(jì)算而的公式里使m=n而推導(dǎo)出來就是：P=Amm=m（m-1）（m-2）4?3?2T這里需要31階乘的概念，就是自然數(shù)1到m的乘積123……（m-2）（m-1）m通常用m！來表示，讀作“m的階乘”這就是p=m！IV.有關(guān)的計(jì)算問題：（1）計(jì)算排列種數(shù)的公式有時(shí)需要反過來應(yīng)用，這就要求我們把公式記得很熟。例如式子（m-2）（m-3）（m-4）（m-n+2），就知道他是An-3的展開式，這里，練習(xí)下-2面的變形，對掌握公式會有幫助。An=m（m-1）（m-2）（m-n+1）m=m?Am-i=m（m-1）A&-2=m（m-1）（m-2）A?-3==Al?An-1=A2?An-2=A3?Am-3==（m-n+1）An-1=（m-n+2）（m-n+1）An-2=（m-n+3）（m-n+2）（m-n+1）An-3=...（2）有關(guān)階乘問題自然數(shù)階乘，如5!=120,6!=720有時(shí)會使計(jì)算迅速。例如8!-7!=7?7!=49x720=35280；遇到公式運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先把分式約簡，對形如2?n!和（2n）!這類式子要區(qū)分清楚。此外，還應(yīng)當(dāng)熟悉形如以下的一些形式(k+3)!(k!3)(k+2)(k+3)!(k!3)(k+2)(k+1)!=(k+1)k!=(k+1)k(k-1)!=k+2(n+1)(2n)!2n(2n-1)???2?1二t=n=2n(2n-1)An=m(m-1)(m-2)(m-n+1)mm(m-1)(m—2)??????(m-n+1)(m—n)!(n+1)(m-n)!m!(m-n)!m!因此，Anm!因此，An-m=(m-n)!這里，若m=n就得到m!Amm=Pm=W但是，,=Amm=m!。為了使An_()!在m=n的情況下也成立，我們規(guī)定0!=1我們還規(guī)定：(2n+1)!!=(2n*"=1?3?5(2n+1)(-1)!!=02nn!(2n)!!=2nn!=2-4-6(2n)0!!=0當(dāng)n=0時(shí)，Ao=1an、、對m>n時(shí)，得至Uam+an=am-n，當(dāng)m=n時(shí)，一=1，a+an=an-n=a0為了使這an個(gè)運(yùn)算法則能使用m=n的情況，我們就規(guī)定a0=1，顯然我們規(guī)定0!=1的情況是相似的。V.排列的應(yīng)用問題1.比較簡單的應(yīng)用題慎重審題，是否能把它歸為排列問題來求解，若能再考慮以下幾點(diǎn)：八、、：在這個(gè)應(yīng)用題里，m個(gè)不同的元素指什么；這里的n個(gè)元素是指什么？從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素的每一種排列對應(yīng)的是什么事情。例1.用1、2、3、4四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不重復(fù)的四位數(shù)？解：用排列來求解。如果先寫出幾個(gè)符合條件的四位數(shù)，如1234,3241等，就可以想到這里的m個(gè)和n個(gè)元素都是指數(shù)字1、2、3、4，從這四個(gè)元素里每次取出4個(gè)元素一個(gè)排列對應(yīng)的是一個(gè)合乎條件的四位數(shù)。因此所求的四位數(shù)是從四個(gè)元素里每次取出4個(gè)元素的全排列。P4=4!=4x3x2x1=24例2,某人有9本不同的書籍，把其中的5本書排在書架上，一共有多少種不同的擺法？解：這里的元素是書籍，從9個(gè)不同的元素里每次取出5個(gè)元素的一個(gè)排列對應(yīng)的是把其中的5本書排在書架上的一種排法。因此，書籍的排法的排列種數(shù)就是A59=9x8x7x6x5=15120上面的兩個(gè)問題，比較容易的看出歸為排列問題來解決，但是，有些問題能歸結(jié)為排列問題來解決不像這樣明顯，這就要求我們仔細(xì)分析。例3.一條鐵路線上有8個(gè)車站，一共需要多少種普通的車票？解：因?yàn)槊糠N車票只能適用一個(gè)車站到另一個(gè)車站，例如，甲站到乙站的車票不同于乙站到甲站的車票。這樣，這個(gè)問題可以歸結(jié)為從8個(gè)元素里每次取出2個(gè)元素的排列問題來求解。這里，8個(gè)車站是8個(gè)元素，從8個(gè)元素里每次取出2個(gè)元素的一種排列對應(yīng)一種車票，因此，要求的車票的種數(shù)就等于所有的排列種數(shù)A2。8A2=8x7=568當(dāng)然，這個(gè)題目也可以不把它歸結(jié)為排列問題來解決，而用一般的方法來考慮也很簡便。因?yàn)槊總€(gè)車站有7中車票，所以一共有8x7=56種車票通過一些習(xí)題的練習(xí)，可以看出解排列的應(yīng)用問題主要是怎樣把“元素”、“排列”和“排列種數(shù)”這三個(gè)概念靈活運(yùn)用到具體問題里去。這三個(gè)概念之間的關(guān)系可以形象的用下面的幾句話來表達(dá)：有m個(gè)不同的元素，又有一排n個(gè)位子（m>n）從這m個(gè)元素里一次擺在這n個(gè)位子上組成的一種排列，一共有Anm種擺的方法。在解決實(shí)際問題時(shí)，首先要弄清楚把什么當(dāng)做“元素”把什么當(dāng)做“位子”，例如“10本不同的書籍，分配給10個(gè)人，每人一本，一共有多少種不同的分法？”在這個(gè)問題里可以把書作為“元素”把人作為“位子”把書分配給人，或者把人作為“元素”把書作為“位子”，二人去取書，結(jié)果都得到P10種分法?！?個(gè)人從10本不同的書籍里，每人借一本，共有多少種不同的借法？”在這問里，就把書作為“元素”，人把人作為“位子”，把書分配給人所以有氣種分法?！坝?0本不同的書，有12個(gè)人去借，限定每人最多借一本，并且完全借出，一共有多少種不同的借法”在這個(gè)問題中，把人并作為“元素”把書作為“位子”，人去借書A1012種借法。例4，（1）一排10個(gè)座位，有5個(gè)人去坐，一共有多少種不同的坐法？（2）一排有10個(gè)座位，從15個(gè)人里選10個(gè)去坐，一共有多少種不同的坐法？分析：（1）如果把10個(gè)座位（可以編成1號、2號，……，10號）作為10個(gè)“元素”，把5個(gè)人作為5個(gè)“位子”（位子以甲、乙、丙、丁、戊表示）從10個(gè)元素里每次取出5個(gè)元素的一種排列對應(yīng)一種座法，例如，23517表示甲坐在第二個(gè)座位上，乙坐在第三個(gè)座位上等等，而其他沒有選到的元素就表示這些坐位是空位，因此，一共有A；。種坐法。以上是把座位看作元素，以座位為元素來考慮問題的。我們也可以以人為主來考慮解法?？梢赃@樣想：甲去坐一個(gè)座位，可以有10種坐法，甲不論用哪一種方法坐好后，乙再去坐的方法有9種方法，甲乙不論用哪種方法坐好后丙再去坐都有8種方法，同理，丁去坐有7種方法，戊去坐有6種方法，這實(shí)際上就是計(jì)算A50的方法。由此可見，若掌握公式推導(dǎo)的原理和問題分析方法，不硬套公式也可以把問題解出來。（2）很明顯這里可以把15個(gè)人當(dāng)做5個(gè)元素，從15個(gè)元素里每次取出10個(gè)元素的一種排列對應(yīng)一種坐法，所以一共有A10種坐法。15比較復(fù)雜的應(yīng)用題：對于簡單的排列問題，只要能把問題正確的歸結(jié)為排列問題來求解就可以很快的得到答案。但是，在解比較復(fù)雜的問題時(shí)，還必須考慮限定條件（一般對元素或者“位子”做些限定）在解題時(shí)，首先要對元素或者“位子”做些研究，然后再考慮解法。下面我們研究限定條件比較簡單的例子。例1.9個(gè)人并排照相，如果一個(gè)人必須坐在中間，有多少種坐法？分析：這里，一個(gè)人限定坐在中間，也就是9個(gè)人里面有一個(gè)人的位置固定了，而余下的8個(gè)人可以互相調(diào)換位置，所以有七種坐法。這個(gè)例子可以推廣到一般，就是：從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素的排列，如果限定某一元素必須在某一位置上那么就有A〃-1種排法。m-1例2.用0到9這10個(gè)數(shù)，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的三位數(shù)？分析1.因?yàn)槿粩?shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以，百位上數(shù)字的選法有9種，而每當(dāng)百位上的數(shù)字選定后，再選其余兩個(gè)位上數(shù)字的方法有A29種。因此所求的三位數(shù)有9xA29種。上面這個(gè)解法就是從順次選定三位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字來考慮的。它抓住了“百位上的數(shù)字不能為零”這一點(diǎn)，把問題分析成了兩步：選百位上的數(shù)字和選其余兩數(shù)位上的數(shù)字。分析2.從10個(gè)不同的數(shù)字里每次取數(shù)3個(gè)數(shù)字所有不同的排列種數(shù)為A310。這些種數(shù)的排列包括兩類，一類是以0為排頭的排列，有A29種；另一類不是以0為排頭的排列，這些排列組成的三位數(shù)字是符合要求的三位數(shù)。因此，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A%。-A29。上面的分析方法是從“如果沒有限定條件”出發(fā)考慮分類的。就是先考慮“百位上的數(shù)字不能為零”這一點(diǎn)，求出所有排列的種數(shù)（如果很容易的話），而在這些排列里又符合條件的也有不符合條件的；再求出不符合條件的所有排列的種數(shù)（如果也很容易的話），這就可以間接地求出合乎條件的排列種數(shù)。分析3.因?yàn)榘傥簧系臄?shù)不能為0，把數(shù)字0先放在一邊求出不含有數(shù)字0的三位數(shù)，有A；個(gè)，這些是符合要求的三位數(shù)的一部分。因?yàn)椴缓袛?shù)字0的兩位數(shù)有A2，而每一個(gè)這樣的兩位數(shù)，在她的兩個(gè)數(shù)字中間或者末尾放上數(shù)字0就構(gòu)成兩個(gè)三位數(shù)，這樣的三位數(shù)也是符合條件的，有2A3個(gè)。因此，所求的三位數(shù)一共有A3+242=9聾個(gè)。上面這個(gè)解法是從直接求出符合條件的排列出發(fā)的，把符合條件的排列分成含有0和不含有0的兩類，而這兩個(gè)排列的種數(shù)都是比較求出的。上面這個(gè)例子三種解法是我們比較常用的方法。一般地說，從m個(gè)不同元素里，每次取出n個(gè)不同的元素的排列，如果規(guī)定了其中一個(gè)元素不能排在某一位置上，那么所有排列的種數(shù)是（m-1）An-1，或An-An-1或An+（n-1）An-1。m-1mm-1m-1m-1例3.6個(gè)人站成一排，其中一人不站在排頭，也不站在排尾，一共有多少種站法？分析1.因?yàn)槟橙瞬徽驹谂蓬^也不站在排尾，站在這兩個(gè)位子上的人就只能從其余5個(gè)人里選出來，所以有A52種站法；而對其中的一種站法，站在中間位子上的4個(gè)人又有烏種不同的站法，因此，一共有種A52P廣4飛站法。分析2.6個(gè)人站成一排，如果沒有限定什么條件，那么可以有P種站法。這些站法里6有符合條件的也有不符合條件的。不符合條件的是某一個(gè)人站在排頭的P5種站法和他站姿排尾的P種站法，一共有2P種站法。因此符合條件的站法一共有P-2P種站法。5565分析3.因限定某一人不站在排頭也不站在排尾，如果除去這個(gè)人其余的人站成一排就有P種站法，而對每一種站法再讓這個(gè)人站進(jìn)去就有4種站法（不站在排頭和排尾），所以一共有4P種站法。5例4.班委6人，分工擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員、勞動委員、文娛委員、體育委員六種職務(wù)，其中甲不擔(dān)任班長，乙不擔(dān)任勞動委員，一共有多少種不同的分工方法？分析1.因?yàn)榧撞粨?dān)任班長乙不擔(dān)任勞動委員可以有下面幾種情況：（1）甲、乙二人都不擔(dān)任班長和體育委員，這時(shí)，選班長和體育委員有A2種方法，4對其中的每一種選法，再分配其他的工作有P種方法。所以，一共有A2P種分工方法。444（2）甲擔(dān)任體育委員，乙不擔(dān)任班長就有4P種分工方法。4（3）乙擔(dān)任班長，甲不擔(dān)任體育委員就有4P種分工方法。4（4）甲擔(dān)任體育委員，乙擔(dān)任班長就有P種分工方法。4因此，一共有A2P+4p+4p+p=21p種分工方法。444444這種解法是從限定“甲、乙”的條件出發(fā)，把符合要求的分成四類來考慮的。這四類選法是并列的，所以不會有重復(fù)的選法，也不會有其他選法被遺漏。分析2.若沒限定什么條件，那么可以有P種分工方法。其中不符合條件的有：（1）甲擔(dān)任班長的分工方法有P5種。（2）乙擔(dān)任體育委員的分工方法有P5種。但是，在這兩種分工方法里都包含甲擔(dān)任班長，乙擔(dān)任體育委員的分工方法，所以不符合條件的分工方法有（2P-P4）種。因此，甲不擔(dān)任班長乙不擔(dān)任勞動委員的分工方法有P-（2P-P）=P-2P+P=21P種。TOC\o"1-5"\h\z546544同理，也可以把不符合條件的分工方法分成互相獨(dú)立的三類出發(fā)來考慮，就是：（1）甲擔(dān)任班長，乙不擔(dān)任體育委員有4P種方法；（2）甲不擔(dān)任班長，乙擔(dān)任體育委員有4P44種方法；（3）甲擔(dān)任班長，乙擔(dān)任體育委員有P種方法。因此，甲不擔(dān)任班長乙不擔(dān)任勞4動委員的分工方法有P-（4P+4P+P）=21P種64444分析3.因?yàn)榘嚅L和體育委員的人員選有條件限定，先考慮分配擔(dān)任班長和體育委員的方法：（1）甲、乙二人都不擔(dān)任班長和體育委員的分工方法有42種；（2）甲擔(dān)任體育委員，4乙不擔(dān)任班長的方法有A1種分工方法；（3）甲不擔(dān)任體育委員，乙不擔(dān)任班長的方法有勺44種分工方法；（4）甲擔(dān)任體育委員，乙擔(dān)任班長只有1種分工方法。所以有A2+A4+A4+1=21種方法。班長和體育委員人選定后，再分配其他工作就有匕種方法，因此一共有21P4種分工方法。例5.用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)：（1）能夠組成多少個(gè)是25的倍數(shù)的四位數(shù)？（2）能夠組成多少個(gè)比240135大的數(shù)？分析：（1）沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，如果是25的倍數(shù)末尾兩位上的數(shù)有兩種情況：＜i＞末尾是25有A2-3=9個(gè)；＜ii＞末尾是50的有A2=12個(gè)。所以，一共有12+9=21個(gè)四位數(shù)是25的倍數(shù)。解這一類題目以前，要先復(fù)習(xí)因數(shù)的檢驗(yàn)方法。一個(gè)數(shù)各位數(shù)字上的和，如果是3的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)；如果各位數(shù)字上的和是9的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是9的倍數(shù);一個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)的和等于偶數(shù)位上數(shù)的和，那么這個(gè)數(shù)是11的倍數(shù)。（2）用這6個(gè)數(shù)字組成多少個(gè)比240135大而且沒有重復(fù)的六位數(shù)，有：＜i＞首位上的數(shù)字分別是3、4、5的3八個(gè)；＜ii＞首位上的數(shù)字是2,第二位上的數(shù)字是4、5的一共有2P個(gè)，包括240135這個(gè)數(shù)在內(nèi)。因此，一共可以組成（3P+2P-1）個(gè)，也就是（17P-1）4544個(gè)比240135大的數(shù)。這個(gè)解法是從符合條件的各種情況出發(fā)考慮的。但這里要特別注意，在＜ii＞里要出去“240135”這個(gè)排列。這個(gè)題目也可以從反面來考慮，用這六個(gè)數(shù)字組成的不符合條件的六位數(shù)，有＜i＞首位上數(shù)字是0、1的，有2P；＜ii＞開頭兩位數(shù)是20、21、23的，有3P4個(gè)；＜iii＞考慮六位數(shù)字240135,若沒有限定什么條件那么可以有p個(gè)六位數(shù)。所以符合條件的六位數(shù)有P-（2P+3P+1）=30P-13P-1=（17P-1）個(gè)。54444例6.有m個(gè)男同學(xué)和n個(gè)女同學(xué)站成一排，如果女同學(xué)必須站在一起，一共有多少種不同的排法？分析：這可以把n個(gè)女同學(xué)當(dāng)做一個(gè)元素，這樣，n個(gè)女同學(xué)和m個(gè)男同學(xué)站成一排就有Pn+1種排法。而對于其中沒一種排法，女同學(xué)還可以互相調(diào)換位置，有Pi種排法。所以一共有P+1P1種排法。總之，排列的概念是具有廣泛的實(shí)際意義的。有些問題的形式雖然不同，但是我們都可以把他們歸結(jié)為同一個(gè)排列問題來解決。例如：（1）用數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個(gè)不重復(fù)的兩位數(shù)？（2）8個(gè)人里選出組長、副組長各一人，有多少種方法？（3）8個(gè)人互相贈送照片一張，一共需要多少種照片？這幾個(gè)問題的形式雖然不同，但是我們可以把它們歸結(jié)為從8個(gè)元素里，每次取出2個(gè)元素的排列問題來求解。例7.4個(gè)學(xué)生2個(gè)教師站成一排，要求兩位教師不相鄰且不站在排頭和排尾，不同的排法有多少種？分析：排頭和排尾只能從4個(gè)學(xué)生里選2個(gè)站在排頭和排尾，有A2種排法；中間4位有2位教師和2位學(xué)生，總共的排法有P4種，它包括2位教師相鄰的排法。兩位教師相鄰可以把兩位教師看成是一個(gè)人，這樣中間的3個(gè)人（實(shí)際4個(gè)人，即2個(gè)教師和2個(gè)學(xué)生）的排法有P種，如果兩位教師互換位置，那么，中間的3個(gè)人（實(shí)際4個(gè)人，即2個(gè)3教師和2個(gè)學(xué)生）不符合要求的排法有2P種。因此，中間符合要求的排法有（P-2P）343種。所以，不同的排法有A：（P-2P3）=144種排法。（二）組合組合的意義要理解什么是組合，就必須和研究排列一樣，先研究幾個(gè)具體的例子，分析他們的共同特點(diǎn)，然后再概括抽象出組合的意義。例1.從3位先進(jìn)工作者張王李里面，選出兩位代表，一共有幾種選法？這里，很容易看出，選代表的方法有3種，就是；選張、王；選張、李；選王、李。我們可以這樣想，若選姓張的當(dāng)代表，那么，選代表的的方法只有選張、王和張、李兩種方法；若若選姓張的不當(dāng)代表，那么選代表的方法只有選王、李一種了。因此，一共有3種選法?，F(xiàn)在我們來看，這個(gè)問題與上面講過的“從張、王、李里面選一個(gè)人當(dāng)組長一個(gè)人當(dāng)副組長，可有幾種選法？”有什么區(qū)別？在后邊這個(gè)問題里，若同樣選出兩人，張當(dāng)組長王當(dāng)副組長和選王當(dāng)組長張當(dāng)副組長，這兩種選法的順序不同，是兩種不同的選法。事實(shí)上，兩次選出的人雖然都是張王兩人但是他們的分工不同，故事兩種選法。而現(xiàn)在的問題是選出兩人都代表，選張、王兩人當(dāng)代表和選王、張兩人當(dāng)代表實(shí)際上是相同的，是一種選法而不是兩種選法；也就是說“選張王兩人黨代表是不需要考慮順序的?！崩?.從不在一條直線上的三點(diǎn)A、B、C里面每次取出兩個(gè)點(diǎn)連成一條直線，可以得到幾條直線？解：根據(jù)直線的性質(zhì)，過任意兩點(diǎn)可畫一條直線，并且只能畫一條直線。所以過點(diǎn)A、-■B只能連接成一條直線；同樣過點(diǎn)A、C和點(diǎn)B、C也都只能連成一條直線。因此，可以得到三條直線AB、BC、AC。也就是說“把兩點(diǎn)連結(jié)成直線”是不需要考慮順序的。以上兩個(gè)例題所研究的問題是不相同的，例1是求代表的選法有幾種，例2是求煉成的直線有幾條，但是他們也有共同點(diǎn)，就是兩個(gè)例題都是：“從3個(gè)不同的元素里，每次取出2個(gè)元素，不管怎樣的順序并成一組”對例1來說，就是表示“從3個(gè)人里每次取出2個(gè)人當(dāng)代表”的一種選法；對例2來說，就是表示“從3個(gè)點(diǎn)里每次取出2個(gè)點(diǎn)連成一條直線”的一種選法。從3個(gè)不同的元素里，每次取出2個(gè)元素，不管怎樣的順序并成一組，加以推廣，一般說：從m個(gè)元素里，每次取出n個(gè)元素，不管怎樣的順序并成一組，叫做從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素的組合。同樣的，上面的組合定義，其中“m個(gè)元素、n各元素”都不一定是各不相同的。而在這部分里，我們只研究從m個(gè)不同的元素每次取出n個(gè)（1《n《m）各不相同的元素的組合，以后所說的從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素的組合，都是只這樣的組合。從上面所說的我們看到，在有些實(shí)際問題里，雖然都是“每次取出n個(gè)元素”，但是，有時(shí)考慮順序問題（例如，從3個(gè)人里選一個(gè)人當(dāng)組長和一個(gè)人當(dāng)副組長），有時(shí)卻不考慮順序問題（例如，從3個(gè)人里選出2人當(dāng)代表）。這一點(diǎn)反應(yīng)在排列和組合的定義上，就是前者里有“按著一定的順序序排列”后這里有“不管怎樣的順序并成一組”。這是必須去別的。而且以后在各種實(shí)際問題中還必須注意這一點(diǎn)，這才會使我們深刻的理解這個(gè)概念。根據(jù)組合的概念，兩個(gè)組合所含有的元素完全一樣，就是相同的組合。例如從4個(gè)元素a、b、c、d里每次取出3個(gè)元素的組合abc和組合bca就是相同的組合。如果兩個(gè)組合里所含的元素不完全一樣，就是不同的組合，例如abc和abd是不同的組合。II.計(jì)算組合的種數(shù)1.符號M（也記作C（n,r））根據(jù)上面所說的可以知道，從3個(gè)元素a、b、c里每次取出2個(gè)不同的元素的組合有3種：ab、ac、bc。也就是說，從3各元素里每次取出2個(gè)元素的組合數(shù)是3.從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素，所有不同的種數(shù)通常用符號辣表示。辣是一個(gè)數(shù)，要把它和“組合”區(qū)分清楚。例如C;=2,而從3個(gè)元素a、b、c里每次取出2個(gè)元素所有不同的組合是ab、ac、bc。寫出所有不同的組合數(shù)的方法有時(shí)我們需要把所有不同的組合都寫出來。例如，（a+b+c+d）2的時(shí)候就是要寫出從a、b、c里每次取出2個(gè)元素的所有不同的組合。有如，在應(yīng)用n次方程根和系數(shù)關(guān)系時(shí)，也許要寫出所有不同的組合。因此，應(yīng)當(dāng)學(xué)會怎樣寫出不同的組合，而且做到不重復(fù)也不遺漏。下面就介紹寫的方法。例如，已知6個(gè)元素a、b、c、d、e、f要求寫出每次取出2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)元素的所有不同的組合。（1）從6個(gè)元素a、b、c、d、e、f要求寫出每次取出2個(gè)元素的組合。ab、ac、ad、ae、af；bc、bd、be、bf；cd、ce、cf；de、df；ef。這里，先寫出6個(gè)元素a、b、c、d、e、f。然后從第一個(gè)元素a開始，依次寫出a和它后面的各個(gè)元素和組合；b和它后面的各個(gè)元素的組合；……，這樣寫下去一直到最后兩個(gè)元素的組合ef為止。寫的時(shí)候只要注意“和它后面的各個(gè)元素的組合”就不給重復(fù)也不會遺漏。（2）從6個(gè)元素a、b、c、d、e、f要求寫出每次取出3個(gè)元素的所有不同的組合是：abc、abd、abe、abf；acd、ace、acf；ade、adf、aef；bcd、bce、bcf；bde、bdf；cde、cdf；cef、def。上面的寫法是以（1）為基礎(chǔ)的。（1）的第一個(gè)組合是ab，寫出ab和b后面的各個(gè)元素的組合；寫出ac和c后面的各個(gè)元素的組合；■……這樣寫下去一直到de和f的組合def。而（1）里最后兩個(gè)含f的組合af、bf就樂意不考慮，因?yàn)閒后面沒有其他元素了。下面兩種寫法的道理和前面的一樣。（3）從6個(gè)元素a、b、c、d、e、f要求寫出每次取出4個(gè)元素的所有不同的組合是：abcd、abce、abcf；abde、abdf；abef；acde、acdf；acef；adef；bcde、bcdf；bcef；bdef；cdefo（4）從6個(gè)元素a、b、c、d、e、f要求寫出每次取出5個(gè)元素的所有不同的組合是：abcde、abcdf；abcef；abdef；acdef；bcdef。當(dāng)每次取出的元素每次超過全部元素的一半時(shí)，可以用舍去元素的方法來寫。例如，（4）里寫出的是從6個(gè)元素里每次取出5個(gè)元素的組合。而這里的每個(gè)組合可以看成是從全部元素里去掉一個(gè)元素所組成的組合。例如，abcde是去掉f所成的組合；abcdf是去掉e所成的；abcef是去掉d所成的組合等等。又如，（3）寫出的是從6個(gè)元素里每次取出4個(gè)元素的組合。這些組合可以看成是從全部元素里每次去掉2個(gè)元素所成的組合，而寫出從6和元素里每次取出2個(gè)元素的組合是很容易的。這就比較方便的寫出從6個(gè)元素里每次取出4個(gè)元素的所有不同的組合（這種寫法對以后理解組合的第一個(gè)性質(zhì)也有幫助）。計(jì)算Cn的公式從排列和組合的定義知道，“從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素的排m列”、“從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素的組合”之區(qū)別，前者是“每次取出n個(gè)元素，還要按照一定的順序擺成一排”，后者是“每次取出n個(gè)元素，不管怎樣的順序并成一組”。這樣求排列的種數(shù)和求組合的種數(shù)之間就有一定關(guān)系。因此，如果我們能夠把兩者之間的關(guān)系找出來，利用計(jì)算排列種數(shù)An的公式就可以計(jì)算出Cm的公式來。我們來看一個(gè)具體的例子。例如，從4個(gè)元素a、b、c、d里每次取出3個(gè)元素的組合是：abc、abd、acd、bcd（這就是說C3=4）。4如果把一種組合里的3個(gè)元素?cái)[不同的順序可以得到〈種排列，現(xiàn)在有C：種組合，所以一共有C4?〈種排列。就是AbcabdacdbcdAcbadbadcbdcBacbadcadcbdBcabadcdacdbCabdabdacdbcCbadbadacdcb而這些排列的種數(shù)，恰好是從4個(gè)元素a、b、c、d里每次取出3個(gè)元素所有的排列種數(shù)A3。4所以A：是C4的［倍。一般的說An是Cm的弓倍。這是因?yàn)?，如果把這樣的一種組合里的n個(gè)元素?cái)[成不同的順序，可以得到弓個(gè)排列，現(xiàn)在有Cn個(gè)組合，所以一共有Cn?弓種排列。而這些排列的種數(shù)恰好是An。就是a：=p?C^。有了這個(gè)關(guān)系，應(yīng)用A：、。的計(jì)算公式可得到Cn的計(jì)算公式Anm(m—1)(m—2)??????(m—n+1)Cn=—m=mPn!n<m!An=m(m—n)!Cn=卻mn!(m—n)!如果對排列的計(jì)算較熟，計(jì)算含有Cn的式子就容易得多了。但是要是運(yùn)算達(dá)到熟練的m程度，就必須做一定數(shù)量的練習(xí)，并且熟練下面的變形。m(m一1)(m一2)??????(m一n+1)TOC\o"1-5"\h\zCn=,-cm1?2?3?nm(m—1)(m—2)(m—n+1)m—?—(/n一1n1?2?3??(n—1)nm—1...Cn=^Cn-1mnm—1n+1(m+1)m(m—1)(m—2)(m—n+1)n+1Cn==Cn+11?2?3??n(n+1)mm+11?2?3??n(n+1)m+1m+1...Cn=住Cn+1mm+1m+1n+1m(m—1)1?2?3??n(n+1)Cn==Cn+1mm—n1?2?3??n?(n+1)m—nmOn—Cn+1mm—nmm(m-l)(m-2)(m-n+l)(m-n)mC'i==mm-n1?2?3??nm-nCnm-nm~l通過上面這些變形的練習(xí),我們初步掌握了變形的方法，就可以根據(jù)需要，把計(jì)算C〃m的公式變成其他形式。117例1.已知——Cncncn\o"CurrentDocument"567求c；儼c7?6……(8-n)76?5?..(8-n)(7-n)7解：S==-—?=-—Cn(1)7].2n7-n7-n6八6-n八同理得，Cn=Cn(2)566677n把(1)(2)代入原式，得—-1=——6-n107化簡，得n2-23n+42=0,.,.n=2,n=21(不合題意,棄之）所以，Cn=C2=28881111例2.求證1+-Ci+-C2++C?=(Ci+C2++C〃+i)2〃3nm+zi+1〃+im+1〃+11八證明：因?yàn)?二一C1n+1n+l111(n+l)n1八2n2n+l1?2〃+1n+l1?1〃(〃一1)1(〃+1)〃(〃一1)1八3?31*277+11?2?3n+l〃+】-Ck-i=-???(〃-*+2)1Ckknk1?2???(S1)n+l〃+1Cn=C?+ln+lnn+l〃+1…1111所以1+—Cl。2++Cn—(C1+++C?+1)2n3nfl+1nZl+1h+1n+ln+lIII.組合的性質(zhì)1.組合的第一個(gè)性質(zhì)Cn=Cm-nmm證明：這個(gè)性質(zhì)利用計(jì)算組合的種數(shù)的公式來證明，是非常簡便的。m!.「Cn=mn!(m-n)!m!Cm-n=m(m-n)!n!Cn=Cm-n以，Cn=Cm-n。組合的這個(gè)性質(zhì)

出3個(gè)去打掃大禮堂

AbcD這就是說我們也可以根據(jù)組合的定義直接推的這個(gè)性質(zhì)。首先，從m個(gè)元素里每次取出以，Cn=Cm-n。組合的這個(gè)性質(zhì)

出3個(gè)去打掃大禮堂

AbcD這就是說TOC\o"1-5"\h\z我們可以用具體例子來驗(yàn)證。例如，從4個(gè)同學(xué)a、b、c、d里面選和選出一個(gè)人整理圖書的方法分別是：abdacdbcdcba從4個(gè)人里選出3個(gè)人的方法種數(shù)，和從4個(gè)人里選出1個(gè)人的方法的種數(shù)是相等的，即，c：=C4。一m在前面寫出的所有不同的組合時(shí)，實(shí)際上用過這個(gè)性質(zhì)，當(dāng)n>時(shí)，利用這個(gè)性質(zhì)計(jì)2算Cn比較方便。例如:m100?99?98C97=C3==1617001001001?2?3在解題時(shí)經(jīng)常利用組合的地提個(gè)性質(zhì)。如：(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，求證:n+1n-1(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，求證:n+1n-1C2=C2nnn+1n+1證明C2=Cn-2nnn+1?.?C2nn—1=C2n(2)求證Cm-2=C3m+1m+1證明?/Cm-2=Cm+1-(m-2)m+1m+1Cm-2=C3m+1m+1已知解:C4=Cm-4???Cm-4=C6

解:C4=Cm-4???Cm-4=C6

m，m-4=6，m=10另外這個(gè)性質(zhì)可以證明C0=1mCnn-1=0，當(dāng)n>m時(shí)，Cn=0。m2.組合的第二個(gè)性質(zhì)，楊輝恒等式Cn+Cn-1=Cnm!m!m!(m—n+1)+m!n證明,mmn!(m一n)!(n-1)![m-(n-1)]!n![(m+1)—n]!(m+1)!==Cnn![(m+1)—n]!m+1Cm+Cm-1=Cm+1我們也可以根據(jù)組合的定義直接得出這個(gè)性質(zhì)。首先，從m+1個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素所有不同的組合數(shù)是Cn。其次，這些組合對某一個(gè)元素a來說，可以分成兩類：一類m+1是不含a的組合，共有Cm種；一類是含a的組合，共有Cm-1種。所以Cn1=Cn+Cn-1組合的這個(gè)性質(zhì)，我們可以用具體例子來驗(yàn)證。例如：從一個(gè)有10個(gè)成員的小組里，選出3個(gè)代表有C3=120中選法。這些選法力包括：小組長被選在內(nèi)的選法有C92=36種；小組長沒有被選在內(nèi)的選法有C3=84種。這里C3=C3+C,這個(gè)證法的特點(diǎn)，是把所有不同的組合的種數(shù)分成：“不含有某元素a的組合數(shù)”和“含有某元素a的組合數(shù)”兩類。這個(gè)特點(diǎn)，對我們掌握組合的第二個(gè)性質(zhì)有幫助。例如C4=C4+C3Ck-1=C-；+Ck-2這里C;和C：-;都可以看成不含某一元素a的所有不同的組合的種數(shù)；C;和C：-;都可以看成含某一元素a的所有不同的組合的種數(shù)。學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理時(shí)，若應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明，其過程就用到組合的第二個(gè)性質(zhì)。就是假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，(x+a)k=xk+Ciaxk-1+C2a2xk-2++Ciaixk-i++Ck-1ak-1x+ak當(dāng)n=k+1時(shí)，(x+a)k+1=(x+a)k(x+a)=(xk+Ciaxk-1+C2a2xk-2++Ciaixk-i++Ck-1ak-1x+ak)(x+a)=xk+1+(1+C^)axk+(Ci+C2)a2xk-1++(Ci-1+C)aixk+1-1++ak+1在研究二次展開式里各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，有下面的表(楊輝三角)：(a+b)o1(a+b)111m+1=1(a+b)2121m+1=2(a+b)31331m+1=3(a+b)4(a+b)510(a+b)4(a+b)51010m+1=5(a+b)61520156m+1=6這個(gè)表里除“1”以外的每個(gè)數(shù)都等于它偏上兩個(gè)數(shù)之和。關(guān)于這一點(diǎn)，利用組合的第二個(gè)性質(zhì)很容易說明。如，20=10+10，也就是C亍C2+C3，這里m+1=6（橫看），n=3（斜看）利用這個(gè)性質(zhì)，還可以證明等式:證明:Cn+Cn證明:Cn+Cn+Cn++Cnnn+1n+2n+m=Cn+1n+m+1C:h=Cn+k+C；+kCn=Cn+1-Cn+1n+kn+k+1n+k用k=1,2,3,用k=1,2,3,m分別代入上式:Cn=C〃+1Cn=Cn+1-Cn+1TOC\o"1-5"\h\zn+1n+2n+1Cn=Cn+1-Cn+1n+2n+3n+2C：+m=Cn+m+1-Cn+m把上面這些等式的兩邊相加，得（I）Cn+Cn+Cn+…+Cn=Cn+1nn+1n+2n+mn+m+1以后我們還要證明一個(gè)計(jì)算組合總和的公式，就是（I）以后我們還要證明一個(gè)計(jì)算組合總和的公式，就是（II）C0+C2+C3+…+Cn=2n（II）比較（1）和（II）可以看出它們的特點(diǎn)。（I）（II）分別可以寫成Ck=Cn+1n+kn+m+1k=0ECk=2nnk=0利用（I）和（II）有時(shí)可以使得計(jì)算比較簡便，如:C5+C5+C5+…+C^=C6Co+C5+C52+...+C5=25

又如，求和S=m!+(m+1)!1!(m+2)!(m+n)!又如，求和S=m!+(m+1)!1!2!.??n(m+n)!

m!n!(m(m+n)!

m!n!VS=m!=m!Cm+1=m+n+1(m+1)n!.s=(m+n+1)!(m+1)n!組合性質(zhì)二的另一種形式Cm=Cm+Cm-1m+nm+n-1m+n-13.組合的性質(zhì)3Cr=Cr+Cr-1+S+…+C1+C0n+r+1n+rn+r-1n+r-2n+1n證明Cr=Cr1+Cr-1???Cr1=C-Cr-1C+廣C+r+1一C+rCr；l-1=C+r-C+tCr-2=Cr-2-Cr-3n+r-2n+r-1n+r-2C1=C1-C0n+1n+2n+1C0=C0nn+1把以上諸式相加，得Cn+r+1=Cn+r+Cn+r-1+"2+..?+氣+C組合的意義：等式左端是從n+r+1個(gè)元素％,七，……，％,』中取出r個(gè)做不允許重復(fù)的組合，結(jié)果有以下幾種情形：r個(gè)組合元素中不含有a的相當(dāng)于從n+r個(gè)元素a,a,……,a中取r個(gè)123n+r+1組合，其組合數(shù)為C二r。r個(gè)組合元素中含有a，但不含有元素a的。即對含有元素a的組合中依a元1212

素重新分類，含a而不含a的組合，相當(dāng)于從除去元素a、a后的n+r-1個(gè)元素a,12123a4，素重新分類，含a而不含a的組合，相當(dāng)于從除去元素a、a后的n+r-1個(gè)元素a,12123a4，，an+r+i中取r-1個(gè)組合，然后加上元素ai而成，其組合數(shù)為C；-、。⑶‘個(gè)組合元素中含元素ai，％，但不含元素七，相當(dāng)于從除去ai，a》，a3三元素后的n+r-2個(gè)元素中，取r-2個(gè)元素組合，然后加上ai，a2而成；其組合數(shù)為C其他以此類推。取出的r個(gè)組合元素中七a2，…，a+i，但不含有元素a相當(dāng)于從a，…，ar+1n+r+1中取一個(gè)元素與ai，a2，…，a組合，其組合數(shù)為Cir+in+i（4）由aia2…ar組成的組合數(shù)為項(xiàng)0）=1.現(xiàn)在舉例說明：從a，a，a，a，1234aio10個(gè)人員中選4個(gè)人員當(dāng)代表，其選法有C4=210種選法。這些選法力包括:⑴4個(gè)人中不含ai的選法，從余下的9個(gè)人a2aio當(dāng)中選4個(gè)人即可，其組合數(shù)位C（9'4）=126種。（2）4個(gè)人當(dāng)中含ai但不含a2。相當(dāng)于從除去氣后，從余下的8個(gè)人當(dāng)中選3個(gè)人，然后再把a(bǔ)i加進(jìn)去即可。其選法有C（8,3）=21（2）4個(gè)人當(dāng)中含ai但不含a2。相當(dāng)于從除去氣后，從余下的8個(gè)人當(dāng)中選3個(gè)人，然后再把a(bǔ)i加進(jìn)去即可。其選法有C（8,3）=21種。（3）4個(gè)人當(dāng)中含a和a，但不含a，相當(dāng)于從10個(gè)人當(dāng)中去掉3個(gè)人a，1231a2，個(gè)人然后從7個(gè)人當(dāng)中選出2個(gè)人，再把a(bǔ)i，a2加進(jìn)去，有十21種選法。（4）4個(gè)人當(dāng)中含a，a，a但不含a，相當(dāng)于從10個(gè)人當(dāng)中去掉4個(gè)人a12341a2，a，然后再在余下的6個(gè)人中選1個(gè)人，再把a(bǔ)，a，a，加進(jìn)去有Ci=6種選法。41236（5）4個(gè)人當(dāng)中含a，a，a，a的選法只有一種，即從余下的5個(gè)人當(dāng)中選01234選法有C?=1種。也就是Ci40=C9+C3+C+C6+C0實(shí)際上性質(zhì)3又可用遞推法得出：Cr]=Cr+Cr-1（性質(zhì)2）Cr-r="+Cn+，???匕，廣氣「+C仁=Cr+(Cr-1+Cr-2)n+rn+r-1n+r-1=Cr+Cr-1+(Cr-2+Cr-3)n+rn+r-1n+r一2n+r-2=C；+r+"1+牛2+("+"—3)=C"+C：-r-1+二2+七'+……+41+C從性質(zhì)3可得到下列級數(shù)的和(1)S1=1+2+3+……+n=C(1,1)+C(2,1)+……+C(n,1)C(n,1)=C(n,n-1)?.?S1=C(1,0)+C(2,1)+C(3,2)+……+C(n,n-1)相當(dāng)于性質(zhì)3中n=1,r=n-1一…一一、1S=C(n+1,n-1)二一n(n+1)12(2)S2=1?2+2?3+3?4++n(n+1)=2+2C(3,2)+2C(4,2)+……+2C(n+1,2)=2[C(2,0)+C(3,1)+C(4,2)+……+C(n+1,n-1)]相當(dāng)于性質(zhì)3中n=2,r=n-1.1Sf2C(n+2,n-1)=一n(n+1)(n+2)23(3)S3=1?2?3+2?3?4+…+n(n+1)(n+2)=3![C(3,3)+C(4,3)+……+C(n+2,3)]=3![C(3,0)+C(4,1)+C(5,2)+?+C(n+2,n-1)]=3!C(n+3,n-1)1=—n(n+1)(n+2)(n+3)44.組合的性質(zhì)4ClCr=CrCl-r(l/)組合的意義：等式左端可以看作是先從n個(gè)元素中取l個(gè)組合，從所得的每個(gè)組合的l個(gè)元素中取r個(gè)組合。由此所得的全部結(jié)果相當(dāng)于從n個(gè)元素中直接取r個(gè)組合，但有重復(fù)，其重復(fù)度為C：-；。例如，從1,2,3,4,5中取4個(gè)的組合得1234,1235,1245,1345,2345，再從每個(gè)組合中取2個(gè)組合。所得的12,13,14,15,23,24,25,34,35,45各重復(fù)3次。即

C4C2=C2C4-25455-25.組合的性質(zhì)5Co+C2+C3+???+Cn=2n證明：根據(jù)二項(xiàng)式定理(X+y)m=Xm+C1Xm-1y+C2Xm-2y2HFym令x=y=1代入上式便得證明。組合的性質(zhì)6Co-C1+C2-…土Cn=0(X+y)m=Xm+(X+y)m=Xm+C1Xm-1y+C2Xm-2y2FFym令x=1、y=-1代入上式便得證明。組合的性質(zhì)7r<min(m,n)Cr=COCr+ClCr-1+???+C'C。r<min(m,n)證明從略。最大組合數(shù)我們看到，當(dāng)m為定值時(shí)C2、、Cm這里（m+1）m個(gè)數(shù)，哪一個(gè)最大，用比較的方法看這些數(shù)的變化情況。m!mmn!(m—n)!(n—1)!(n—m+1)!(n=1,2,3,，m）m!(m-n+1)-m!nm!=我們看到，當(dāng)m為定值時(shí)C2、、Cm這里（m+1）m個(gè)數(shù)，哪一個(gè)最大，用比較的方法看這些數(shù)的變化情況。m!mmn!(m—n)!(n—1)!(n—m+1)!(n=1,2,3,，m）m!(m-n+1)-m!nm!=?(m一2n+1)n!(m—n+1)!n!(m一n+1)!m如果m是偶數(shù)，當(dāng)n^^時(shí)，m-2n+1>0，這時(shí)，Cn-Cm-1>0，所以Co、C1、C2、m,

C2-1mmm、C2是遞增的；當(dāng)n^—+1時(shí)，m-2n+1<0，這時(shí)C—C〃-1<0所以m.C2-1m、Cm是遞減的。因此，m當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，中間的一個(gè)C2的值最大。m如果m位奇數(shù)，當(dāng)n<Cn—Cm-1>0，所以m-1C0、C1、Cm、......、Cm2m+1是遞增的；當(dāng)n=—^一時(shí)，m-1Cm之m+1m+1=Cm2；當(dāng)n>—時(shí)Cn-Cn-1<0m+1所以，Cm2mmmmm的值最大。上面的結(jié)論，也可以用Cnm—n+1—m=（n=1,2，，m）Cn—inmIV.組合的應(yīng)用問題簡單的應(yīng)用問題：用組和解題需研究一下為何這個(gè)問題應(yīng)當(dāng)歸結(jié)為組合來求解。例1.學(xué)校開運(yùn)動會，一共有8個(gè)籃球隊(duì)參加比賽，如果每隊(duì)都要和其他隊(duì)比賽一次，那么全校一共要比賽多少次？分析：因?yàn)榛@球比賽每次需要兩個(gè)隊(duì)，而這兩個(gè)隊(duì)的選擇與順序無關(guān)，所以，這個(gè)問題可以把它歸結(jié)為組合來求解。這里的元素指籃球隊(duì)，從8各元素里每次取出2個(gè)元素的一種組合對應(yīng)一種比賽。因此組合的種數(shù)C2就是比賽的次數(shù)。8為了與排列區(qū)別，這里有提出一個(gè)問題：如果8個(gè)籃球隊(duì)比賽的結(jié)果可以得到冠軍和亞軍的錦標(biāo)賽，那么，一共有多少種可能得獎(jiǎng)的方法？這里，甲得冠軍乙得亞軍與乙得冠軍甲得亞軍是兩種可能結(jié)果。所以這問題就歸為排列問題來求解。從8個(gè)元素里每次取出2個(gè)元素的一個(gè)排列，對應(yīng)一種可能的得獎(jiǎng)方法。因此一共有A2種可能的得獎(jiǎng)的方法。8例2.平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，沒有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，以每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)做三角形，一共可以得到多少個(gè)三角形？分析:從這12個(gè)點(diǎn)里任意取3個(gè)點(diǎn)做三角形，與三個(gè)點(diǎn)的順序無關(guān)，所以可以歸結(jié)為組合問題來解。因此一共可以得到C3個(gè)三角形?，F(xiàn)在來看：若有紅、黃、綠三種顏色的旗子各一面，把這三面旗子插在12點(diǎn)店里面的三個(gè)點(diǎn)上，一共有多少種不同的插法？這里，從這12個(gè)點(diǎn)里任意取3個(gè)點(diǎn)，把紅、黃、綠三面旗子分別插在這三個(gè)點(diǎn)上，這就有不同的插法，所以，這個(gè)問題就應(yīng)當(dāng)歸為排列問題來求解。從12個(gè)元素里每次取出3個(gè)不同的元素的一種排列對應(yīng)一種插法，所以一共有A3（或者從一共有C32飛種插法來考慮）種插法。下面把內(nèi)容類似而一個(gè)用排列一個(gè)用組合來解決的兩個(gè)問題，并列起來加以分析對比，從而提高識別能力。（1）10個(gè)人互相寫一封信一共要寫幾封？（a寫給b的一封信和b寫給a的一封信是不同的兩封信，每人寫9封，10人寫90封即A2封）10（1）'10個(gè)人互相打一次電話，一共打幾次？（a打電話給b，b打電話給a只能算一次，所以共有C2種）（2）從10人里選出一個(gè)組長、一個(gè)副組長和一個(gè)干事一共有A3方法。（2）'從10個(gè)人里選出3個(gè)代表，一共有C3選法。10有m個(gè)數(shù)a,b,c……k,l,每次取出兩個(gè)數(shù)相減，一共有A2不相等的差。m'有m個(gè)數(shù)a,b,c……k,l,每次取出兩個(gè)數(shù)相乘，一共有C2不相等的積。m從5本不同的書里選2本分配給甲、乙兩人，一共有A52種分配方法。'從5本不同的書里選2本，一共有C2種不同的選法。比較復(fù)雜的應(yīng)用問題在比較復(fù)雜的組合應(yīng)用問題里，一般只對選取元素做某些限定，下面來研究這方面的例題。例1.從3個(gè)女同學(xué)和4個(gè)男同學(xué)里選出2個(gè)女同學(xué)，一個(gè)男同學(xué)組成3人小組，一共有多少種選法？分析：選出的3個(gè)人要有2個(gè)女同學(xué)一個(gè)男同學(xué)，僅就選出2個(gè)女同學(xué)來說，就有C2種3選法，而無論用哪種方法選出2個(gè)女同學(xué)后再選一個(gè)男同學(xué)有Ci種方法，所以選出3個(gè)人組成小組的方法有C2C1中選法。34這里衛(wèi)生么用乘法，關(guān)于這一點(diǎn)必須徹底弄懂，否則，在解更復(fù)雜的組合問題時(shí)，會感到更困難。關(guān)于這一點(diǎn)可以利用下圖來說明。圖里a,b,c,d代表女同學(xué)，A,B,C,D代表男同學(xué)，在每次選出2個(gè)女同學(xué)后，再選一個(gè)男同學(xué)都有Ci種方法；一條表是一種選法，4一共有C；C：條線，所以一共有C；C：種選法。一般的說，有m個(gè)不同元素，其中甲類元素mi個(gè)，乙類元素有m2個(gè)，丙類元素有m3個(gè)，……，要從m個(gè)元素里每次取出n個(gè)元素，包括甲類元素ni個(gè)，乙類元素n2個(gè)，丙類元素有n個(gè)，(m+m+mH—=m，n+n+nH—=n)那么一共有3123123C?1?Cn2?Cn3種取法。mi1%口七例2.課外科學(xué)小組共有13個(gè)人，其中男同學(xué)8個(gè)女同學(xué)5人，從這13個(gè)人里選出3個(gè)人準(zhǔn)備報(bào)告，在選出的3個(gè)人當(dāng)中至少要有一個(gè)女同學(xué)，一共有多少種不同的選法？分析1.這里，要從這13個(gè)人里選出3個(gè)人，而限定的條件是，“選出的3個(gè)人當(dāng)中至少要有一個(gè)女同學(xué)?！边@就首先要考慮選出幾個(gè)女同學(xué)才符合條件？因?yàn)椤爸辽僖幸粋€(gè)女同學(xué)”，選出的3個(gè)人就可以有以下三種情況：1個(gè)女同學(xué)，2個(gè)男同學(xué)，這種情況有C1C2種選法。582個(gè)女同學(xué)，1個(gè)男同學(xué)，這種情況有C2C1種選法。583個(gè)女同學(xué)，沒有男同學(xué)，這種情況有C3種選法。這三種情況互相獨(dú)立，每一種情況都符合要求，而且除這三種情況外，再也沒有符合的條件。所以，在選出3個(gè)人至少要有一個(gè)女同學(xué)的選法有C5C2+C2C8+C3種。上面這個(gè)解法是從“限定的條件”出發(fā)分類的。在分類時(shí)要注意以下三點(diǎn):首先，各類情況應(yīng)當(dāng)相互獨(dú)立沒有重復(fù)部分；其次，每類都必須符合題目的逃求；第三，必須沒有遺漏部分。如果我們把例2的條件改為“再選出的3個(gè)人，至多有2個(gè)女同學(xué)”，那么，就可以分為：有2個(gè)女同學(xué)，有一個(gè)女同學(xué)，沒有女同學(xué)，三類情況。分析2.如果沒有限定條件，從13個(gè)人里選出3個(gè)人一共有C3種選法。這些選法可分為兩類：一類是至少有一個(gè)女同學(xué)的選法，一類是沒有女同學(xué)就是全是男同學(xué)的選法。而3個(gè)人都是男同學(xué)的選法有C；。因此，3個(gè)人里至少有一個(gè)女同學(xué)的選法有C13C3種。上面這個(gè)解法是“沒有限定什么條件”出發(fā)分類的。先不考慮所限定的條件，求出所有不同的組合數(shù)，而這些組合數(shù)理包括符合條件的和不符合條件的兩類。不符合條件的一類就是屬于“所限定的條件的相反的一面”的情況；選出3個(gè)人里“至少有一個(gè)女同學(xué)”相反的一面是“3個(gè)人都是男同學(xué)”。從所有不同的組合的種數(shù)里減去不符合條件的一類的種數(shù)，就可以得到所要求的組合的種數(shù)。例3.平面內(nèi)有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)在一條直線上，此外沒有3點(diǎn)在一條直線上。過這9個(gè)點(diǎn)里的每兩個(gè)點(diǎn)可以連接成多少條直線？以這9點(diǎn)里的每三個(gè)不在一條直線上的點(diǎn)為頂點(diǎn)，可意做出多少個(gè)三角形？分析1.(1)把9點(diǎn)分為兩類：在一條直線上的4個(gè)點(diǎn)作為第一類，另外5個(gè)點(diǎn)作為第二類。從第二類里任意取出2個(gè)點(diǎn)連成一條直線，一共可以得到C2條直線；從第二類里任意取出一點(diǎn)，從第一類里任意取出一點(diǎn)，也可以連成一條直線，一共有C1C1條直線。第一54類4個(gè)點(diǎn)，只能連成一條直線。所以，一共可以連成(C2+C1C1+1)條直線554(2)從第二類里任意取出3個(gè)點(diǎn)，一這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)做一個(gè)三角形，一共可以做出C3個(gè)三角形；從第二類里任意取出2個(gè)點(diǎn)，從第一類里任意取出1個(gè)點(diǎn)，以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)可以做出C2C1個(gè)三角形；從第二類里任意取出1個(gè)點(diǎn)，從第一類里任意取出2個(gè)點(diǎn)，以這三點(diǎn)為54頂點(diǎn)可以做出CC個(gè)三角形；第一類里的4個(gè)點(diǎn)不能做出三角形。所以，一共做出（c3+C2C1+cc）個(gè)三角形。分析2：（1）若沒有三點(diǎn)在一條直線上，就一共可以做出。；條直線，若在第一類的4個(gè)點(diǎn)里沒有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，就可以連成C2條直線；但是，這4點(diǎn)在一條直線上，只能連成一條直線，因此，這9個(gè)點(diǎn)一共連成（C2—C2+1）條直線。94（2）同理一共可以做出（C；-C：）個(gè)三角形。例4.平面內(nèi)有9條直線，其中沒有互相平行的直線，也沒有三條交于一點(diǎn)的。這9條直線可以構(gòu)成多少個(gè)不同的三角形？若其中有4條直線互相平行，可以構(gòu)成多少個(gè)不同的三角形？若其中沒有互相平行的直線，但有4條直線交于一點(diǎn)，可以構(gòu)成多少個(gè)不同的三角形？分析：（1）沒有互相平行也沒有三條直線交于一點(diǎn)，可以構(gòu)成C；個(gè)三角形。（2）若其中有4條直線互相平行，那么，從另外5條直線里任意取出3條可以構(gòu)成C35個(gè)不同的三角形；從4條平行線里任意取出1條，從另外5條直線里任意取出2條直線，可以構(gòu)成C4C2個(gè)不同的三角形。所以，一共組成（C；+C4C2）個(gè)三角形。也可以反過來考慮，從4條平行線里任意取3條；從4條平行線里任意取2條，從另外5條直線里取1條直線都不能構(gòu)成三角形。所以，一共構(gòu)成（C；-C33-C2C5）個(gè)三角形。（3）若沒有相互平行的直線而有4條直線交與一點(diǎn)，可以構(gòu)成（C3-C3）個(gè)不同的三角形。也可以從算式C3+C2C4+C5C2來分析。例5.凸五邊形的邊和對角線所在的直線，最多可以構(gòu)成多少個(gè)不同的三角形？（包括延長線相交構(gòu)成的三角形）分析：凸五邊形的邊和對角線一共有C2=10條，過每個(gè)頂點(diǎn)都有四條直線。因?yàn)橐蟪鲎疃嗫梢詷?gòu)成個(gè)三角形，我們可以假設(shè)對角線里沒有互相平行的，也沒有三條直線交與一點(diǎn)的。因此可以構(gòu)成（C3-5C3）個(gè)不同的三角形。104例3到例5都是形式不同的幾何問題，但解題思路卻和例1例2相類似。例6.,■.'如圖，共有幾個(gè)長方形？橫線取2條共有C2種取法，4豎線取2條有C2種取法，共組成C2C2=18個(gè)長方形。例7.有4本不同的書籍，一個(gè)人去借有多少種不同的借法？分析1.這里要求回答一個(gè)人去借有多少種不同的借法，但是這個(gè)人每次借幾本書卻沒有規(guī)定。所以，這個(gè)人每次借書的本書可以是1本、2本3本、4本。這四種情況相互獨(dú)立的，而且除這四種外，再也沒有符合條件的其他情況。而借1本、2本3本、4本的方法依次分別是C4、C42、C3、C:種。所以，一共有（c：+C2+C3+C4=24-1）種不同的借法。分析2.對第一本書籍可以有借和不借兩種處理方法，不論采用哪一種方法后，對第二本也有借和不借兩種方法，一直到第四本。所以，這四本書的處理方法一共有2x2x2x2=24=16種方法。而這16種處理方法里有一種方法全不借，這個(gè)方法不符合題意，應(yīng)當(dāng)舍去。所以，一共有24-1=15種借法。分析1是從一個(gè)人去借書的角度出發(fā)，把所有不符合條件的借法分成4種獨(dú)立情況。而分析2是從“每本都有借和不借”兩種處理方法出發(fā)，把解法分成四步。對比這兩種解法可以清楚的看到什么情況下相加，什么情況下相乘。若把例7改為：有n本不同的書籍，一個(gè)人去借有多少種不同的借法？用分析1的方法就有（C：+乓+???+C：）種方法。用分析2的方法就有（2n-1）種方法。因此，C+C2+...+C=2n-1Co=1???Co+C2+C3+...+Cn=2n這就證明了計(jì)算組合的總公式。（這個(gè)公式利用二項(xiàng)式定理也可以證明）利用上面的分析2的思考方法還可以解答下面這類問題。有3本書其中2本是相同的，一個(gè)小組去借有幾種借法？分析：這里，對2本相同的書有不借，借一本，借2本三種方法，而對另一本則有借和不借兩種方法。所以，一共有2x3-1=5種借法。若用a代表相同的書，b代表另一本書，容易看出，這5種借法是a，aa，ab，aab，b。有8本書，其中有三本是相同的，其余是不同的一個(gè)小組去借有多少種借法？分析：那相同的3本有借0、1、2、3本四種情況，其余不同的5本有25種借法，一共有4x25-1=127種解法。例8.有一元幣、五角幣、二角幣、一角幣、五分幣、二分幣、一分幣各一張，可以組成多少種不同的幣值？分析：這里可以看出任何一張紙幣的值比所有小于它的紙幣的值的和都大。如，從一分加到二角幣為止，幣值的總和小于五角的幣值。這就是說，任何一張紙幣的值不能用幾張小于它的值來代替。所以，從這7張紙幣里每次取1張、2張、3張、……、7張一共有多少種不同的取法就對應(yīng)多少種不同的幣值。因此一共組成(C1+C；+C7+???+C7)種不同的幣值例9.用5、3、2、1四個(gè)數(shù)，可以組成多少種不同的和？分析：這個(gè)題目可以用組合的知識來求解。容易看出，用這四個(gè)數(shù)組成的和有3、4、5、6、7、8、9、10、11所以一共組成9個(gè)不同的和。若用組合可以這樣想：從這四個(gè)數(shù)里每次取出不同數(shù)的方法，有C：+C：+C4=11種。但這些不同的取法里，有些取出的數(shù)組成的和是相同的這些取法有四種。就是“取5、3”與“取5、2和1”；“取5和1”與“取3、2和1”。所以一共有11-2=9個(gè)不同的和。(三)對應(yīng)用題解的分析下面幾個(gè)例題是從兩個(gè)方面進(jìn)行討論的。一是介紹正確思考方法，從而探討解題規(guī)律;二是對一些錯(cuò)誤的解法進(jìn)行分析研究，從而了解產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。例1.從6個(gè)男同學(xué)和4個(gè)女同學(xué)里，選出3個(gè)男同學(xué)和2個(gè)女同學(xué)擔(dān)任組長、副組長、學(xué)習(xí)干事、文藝干事、體育干事，一共有多少分配工作的方法？分析：要完成分配工作這一事件，根據(jù)題目條件，必須一次完成“選出3個(gè)男同學(xué)”，“選出2個(gè)女同學(xué)”，“對選出的人再進(jìn)行分配”等事件。選出3個(gè)男同學(xué)的方法有C3種方6法，不論用哪種方法選出男同學(xué)后再選出2個(gè)女同學(xué)有C2種方法，所以，選出合乎條件的5個(gè)人就有C;C：種方法。而對每種方法選出的5個(gè)人在分配工作就有八種方法。因此，一共有C3C2P=20P種方法。6456上面這個(gè)問題，有時(shí)會被錯(cuò)誤的解成A3A2種選法。認(rèn)為從6個(gè)男同學(xué)里選出3個(gè)人，64擔(dān)任3種不同的工作有A3種方法；從4個(gè)女同學(xué)里選出2個(gè)人，擔(dān)任2種不同的工作有A264種方法。因此，一共有A3A2中分配方法。64上面的解法錯(cuò)在哪里呢？從6個(gè)男同學(xué)里選出3個(gè)人，擔(dān)任3種不同的工作是有A3種方法，但是，現(xiàn)在要從66個(gè)男同學(xué)里選出3人，他們將在5種不同的工作里擔(dān)任3種工作。因?yàn)閺?種不同的工作里任意選出3種工作有C;種方法，把每一種方法選出的三項(xiàng)工作分配給6個(gè)男生里的3個(gè)就有A3種方法。所以，從6個(gè)男同學(xué)里選出3個(gè)人，擔(dān)任5種不同的工作里的3種工作有6C3A3種方法；而對這些方法里的每一種，再從4個(gè)女生選出2個(gè)擔(dān)任所余下的工作就有A2564種方法，因此，一共有C3A3A2=20P種方法。5646如果先完成“分配給女同學(xué)工作”的事件，在完成“分配給男同學(xué)工作”的事件，那么可以得到C2A2A3=20P種分配工作的方法。以上三種解法的思考方法是一致的，由于考慮問題的出發(fā)點(diǎn)不同，得到的解法不同，但得到的計(jì)算結(jié)果還是一樣的。例2.有不同的書籍6本，分給甲乙丙三人：（1）如果每人的2本，有多少種分法？（2）若甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種分法？（3）若一個(gè)人得1本，一個(gè)人得2本，一個(gè)人得3本，有多少種分法？分析（1）這里，要求出有多少種分法，首先要考慮完成“把6本書分給3個(gè)人”的事件，需要依次完成哪些部分事件。若以書籍為主來考慮，把6本書一本一本的分出去，那么，第一本書有3種分發(fā)（分給甲或分給乙或分給丙），無論用哪種方法分了后，再分第二本書也有3種方法；但是第三本書籍有幾種分法就不肯定了。如果前面2本不是分給一個(gè)人的，那么，第三本也有3種分法；如果前面2本是分給一個(gè)人的，那么，第三本只有2種分法；至于第四、第五、第六本書的分法就更復(fù)雜了。因此，這個(gè)問題按照這個(gè)思考方法是行不通的。反過來，如果以人為主來考慮，3個(gè)人一個(gè)一個(gè)的來取書，那么，甲從6本不同的書籍里選出2本有C22種選法。甲不論用哪一種方法取得2本書籍后，乙再去取2本書籍就有C2種方法。而甲乙不論用哪種方法各取得2本書籍后，丙再去取2本書籍就只有C2種方法。2所以，一共有C2C2C2種方法。642上面這個(gè)問題，有時(shí)被錯(cuò)誤的解成共有C;C：C;P種分法。認(rèn)為，甲乙丙三人來取書，誰先誰后與總得分法有關(guān)，而三個(gè)人的排法有P種，所以還要乘上P；也認(rèn)為，每次分好33后，再應(yīng)當(dāng)互相交換，這就是P種方法。所以還要乘上P。這兩種錯(cuò)誤的實(shí)質(zhì)是一樣的。下面用一個(gè)比較簡單的例子來說明這種解法的錯(cuò)誤。有2本書籍A、B分給甲、乙各一本，有幾種分法？這里，如果甲先取就有2種方法（取A或取B）每次甲取完后余下的就是乙的了。反過來，如果乙先取也有2種方法（取A或取B）每次乙取完后余下的就是甲的了。我們把這兩種分書籍的方法列出：甲先取乙后取的方法乙先取甲后取的方法甲乙乙甲（1）ABAB（2）BABA可以看出，這兩個(gè)分配方案實(shí)際上是一樣的，也就是演2C1種分法，而不是c2c1p2種分法。上面這個(gè)問題有時(shí)會被錯(cuò)誤的解成：先求得“把6本書籍分成每堆2本”有C2=15種不同的分法，然后再把這15堆書籍分給3人就有A3種分法。但是如果用a、b、c、d、e、15f表示書，取出2本的方法有取ab，ac，ad，ae，af；bc，bd，be，bf；cd，ce，cf；de，df；ef，計(jì)C=15種方法。顯然，我們不能把a(bǔ)b，ac，ad同時(shí)分給甲乙丙三人，所以，這種解法是錯(cuò)誤的。（2）要使甲得1本，乙得2本，丙得3本，就有C1C52C3種分法。也可以有C3C2C1或者C2C3C1種分法。641（3）這里沒有指明誰得1本誰得2本誰得3本。而要確定甲乙丙三人里一人得1本一人得2本一人得3本的方法有〈種方法。不論用哪種好方法確定每人分得的本數(shù)后，再去分書，那么，從（2）可以知道有C;C;C;種分法，所以，一共有C：C;C;八種分法。例3.從4個(gè)女同學(xué)和5個(gè)男同學(xué)里選出4個(gè)人當(dāng)代表，在選出的4個(gè)人里至少有1個(gè)女同學(xué)，2個(gè)男同學(xué)，一共有多少種不同的選法？解1：這里符合條件的有，選1個(gè)女同學(xué)，3個(gè)男同學(xué)有C1C3種選法；選2個(gè)女同學(xué)，452個(gè)男同學(xué)有C2C2種選法。其他的選法都不合適。因此，至少有1個(gè)女同學(xué)，2個(gè)男同學(xué)，45一共有（C4C53+C：C;=40+60=100）種不同的選法。解2：這個(gè)題目也可以從不符合條件的選法來考慮。如果沒有限定什么條件，就有C4種9選法；選出4個(gè)女同學(xué)有C4種選法；選出4個(gè)男同學(xué)有C4種選法；選出3個(gè)女同學(xué)1個(gè)男同學(xué)有C3C1種選法。所以，一共有（C4-C4-C4-C3C1=126-26=100）種選法。595445上面這個(gè)問題有時(shí)被錯(cuò)誤的解成C1C2C1=240種選法。認(rèn)為題目里要求至少有1個(gè)女456同學(xué)，2個(gè)男同學(xué)，而選出1個(gè)女同學(xué)有C4種選法，選出2個(gè)男同學(xué)有C；種方法。所以選出1個(gè)女同學(xué)2個(gè)男同學(xué)有C1C2種選法；然后再在余下的3個(gè)女同學(xué)3個(gè)男同學(xué)任意選出451個(gè)有C6種方法。因此，一共有C：C;C6=240種選法?，F(xiàn)在看這解法究竟錯(cuò)在哪里。如果用a、b、c、d代表女同學(xué)A、B、C、D、E代表男同學(xué)。在選出1個(gè)女同學(xué)3個(gè)男同學(xué)的每一種選法里，例如選出a和B、C、D在上面的解法里先后計(jì)算過3次：（1）選出a再選出B、C，最后選出A；（2）選出a再選B、D最后選出C；（3）選出a再選出C、D,最后選出B。同理選出2個(gè)女同學(xué)2個(gè)男同學(xué)的每一種選法，在上面的解法里先后計(jì)算過兩次，我們可以驗(yàn)證：3C1C3+2C2C2=3x40+2x60=2404545所以這個(gè)解法犯了重復(fù)計(jì)算的錯(cuò)誤。其原因是對于劃分步驟應(yīng)用乘法的條件沒弄清楚。而只是形式的把完成“選出4個(gè)代表至少要有1個(gè)女同學(xué)，2個(gè)男同學(xué)”這一事件分成“選出1個(gè)女同學(xué)”、“選出2個(gè)男同學(xué)”、“任意選出1個(gè)同學(xué)”三部分條件。但是，在選出1個(gè)女同學(xué)2個(gè)男同學(xué)的C1C2種方法里，沒次選出1個(gè)女同學(xué)2個(gè)男同學(xué)后，再選出另外45一個(gè)同學(xué)不是都有c1種方法，因?yàn)橛行┻x法是交叉的。所以不能得出一共有C4C；C；種選法。例4.有11個(gè)工人，其中5個(gè)工人只能當(dāng)鉗工，4個(gè)工人只能當(dāng)車工，還有2個(gè)工人既能當(dāng)鉗工又能當(dāng)車工。現(xiàn)在要在這11個(gè)人里選出4個(gè)人車工，4個(gè)人當(dāng)鉗工，一共有幾種選法？解：如果用a、b代表既能當(dāng)鉗工又能當(dāng)車工的兩個(gè)人，那么，合乎條件的選法可以分成以下幾類：（1）a、b都沒有被選在內(nèi)的方法有C4C4=5種TOC\o"1-5"\h\z4（2）a、b里有一個(gè)被選在內(nèi)當(dāng)鉗工的方法有CC3C4=20種254（3）a、b里有一個(gè)被選在內(nèi)當(dāng)車工的方法有CC4C3=40種254（4）a、b里有一個(gè)被選在內(nèi)當(dāng)鉗工另一個(gè)被選在內(nèi)當(dāng)車工的方法有2C3C3=80種54（5）a、b都被選作當(dāng)鉗工的方法有C2C4=10種54（6）a、b都被選作當(dāng)