計算機圖形學(xué)第講圖形變換第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二本講內(nèi)容齊次坐標表示法常見的二維圖形幾何變換平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯切變換變換矩陣的功能分區(qū)圖形的復(fù)合變換第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二圖形變換指將圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形坐標系不動而圖形變動（幾何變換）圖形不動而坐標系變動（坐標變換）幾何變換通常是以點變換為基礎(chǔ)，即對圖形對象的每個點進行變換；但作為線框圖形，可以取一系列頂點作幾何變換，連接新的頂點序列即可產(chǎn)生變換后的新圖形圖形的拓撲關(guān)系不變第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二本講內(nèi)容齊次坐標表示法常見的二維圖形幾何變換平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯切變換變換矩陣的功能分區(qū)圖形的復(fù)合變換第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二齊次坐標表示法將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量表示一個向量的齊次表示不是唯一的當(dāng)齊次坐標的h為1時，稱為規(guī)范化齊次方程

有n個分量的向量有n+1個分量的向量第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二齊次坐標表示法二維齊次坐標在三維空間中第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二齊次坐標技術(shù)的優(yōu)點齊次坐標可以表達無窮遠點對于h=0的齊次坐標表示無窮遠點，如(a,b,0)表示ay=bx直線上的無窮遠點采用齊次坐標可以統(tǒng)一圖形變換的運算形式圖形變換統(tǒng)一為圖形的點集矩陣與某一變換矩陣進行矩陣相乘的單一形式將平移轉(zhuǎn)換成矩陣乘法運算第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二本講內(nèi)容齊次坐標表示法常見的二維圖形幾何變換平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯切變換變換矩陣的功能分區(qū)圖形的復(fù)合變換第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二二維圖形幾何變換的齊次表示法某一點P(x,y)列向量齊次表示法一個圖形的點集齊次表示法矩陣圖形幾何變換表示：第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二幾種常見的二維圖形幾何變換平移變換縮放變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯切變換第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二平移變換（Translation）指不產(chǎn)生變形而移動物體的剛性變換Tx平行于x軸的方向上的移動量Ty平行于y軸的方向上的移動量y平移變換x第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二平移變換的齊次坐標表示平移變換的處理由原本的加法變?yōu)榱司仃嚦朔ň€性幾何變換->矩陣乘法從而與其余四種幾何變換運算方式相統(tǒng)一平移矩陣：簡寫為：第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二縮放變換（Scaling）指圖形相對于坐標原點，按比例系數(shù)(Sx,Sy)放大或縮小的變換Sx平行于x軸的方向上的縮放量Sy平行于y軸的方向上的縮放量yx相對于原點的比例變換第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二縮放變換的齊次坐標表示比例矩陣：簡寫為：第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二縮放變換的性質(zhì)當(dāng)Sx=Sy時，變換前的圖形與變換后的圖形相似當(dāng)Sx=Sy=1時，圖形不變，稱為恒等變換當(dāng)Sx=Sy>1時，圖形將均勻放大，并遠離坐標原點當(dāng)0<Sx=Sy<1時，圖形將均勻縮小，并靠近坐標原點當(dāng)Sx≠Sy時，圖形沿坐標軸方向作非均勻縮放發(fā)生形變（如正方形變?yōu)殚L方形、圓形變?yōu)闄E圓）當(dāng)Sx<0時或Sy<0時，圖形不僅大小發(fā)生變化，而且將相對于y軸、x軸或原點作對稱變換第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二yxyxyxyx第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二整體比例變換整體比例變換，比例系數(shù)為1/S當(dāng)0<S≤1時，圖形等比例放大當(dāng)S>1時，圖形等比例縮小當(dāng)S<0時，為等比例變換再加上對原點的對稱變換整體比例矩陣：第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二旋轉(zhuǎn)變換x兩式合并可得：y指將圖形圍繞圓心逆時針轉(zhuǎn)動一個θ角度的變換（規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)動方向為正）旋轉(zhuǎn)變換第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二旋轉(zhuǎn)變換新坐標軸方向x'軸:y'軸:P在新坐標軸上的投影=P點旋轉(zhuǎn)后坐標xyx’y’第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二旋轉(zhuǎn)變換的齊次坐標表示旋轉(zhuǎn)矩陣：簡寫為：第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二對稱變換指相對坐標軸、原點、線的對稱變換（反射變換）相對于y軸對稱：oyxyox相對于x軸對稱：第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二相對于原點對稱（即中心對稱）yoxyox相對于直線y=x對稱對稱變換第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二xyoy=-x相對于直線y=-x對稱簡寫為：第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二錯切變換（Shearing）指用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理（剪切、錯位或錯移變換）沿x軸方向關(guān)于y軸錯切，即變換前后y坐標不變，x坐標呈線性變化 將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿x方向推成θ角的傾斜線，而保持y坐標不變。第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二xy△x第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二沿y軸方向關(guān)于x軸錯切，即變換前后x坐標不變，y坐標呈線性變化。y△yx簡寫為：第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二本講內(nèi)容齊次坐標表示法常見的二維圖形幾何變換平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯切變換變換矩陣的功能分區(qū)圖形的復(fù)合變換第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二變換矩陣的功能分區(qū)變換矩陣可用3×3矩陣來描述左上角的2×2子塊可實現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯切四種基本變換；右上角的1×2子塊可實現(xiàn)平移變換；左下角的2×1子塊可實現(xiàn)投影變換；右下角的1×1子塊可實現(xiàn)整體比例變換。第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二變換矩陣的功能分區(qū)

比例變換、旋轉(zhuǎn)變換對稱變換、錯切變換

平移變換第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二變換矩陣的功能分區(qū)

投影變換

整體比例變換第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二本講內(nèi)容齊次坐標表示法常見的二維圖形幾何變換平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯切變換變換矩陣的功能分區(qū)圖形的復(fù)合變換第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)合變換對于任何一個比較復(fù)雜的變換可以轉(zhuǎn)換成若干個連續(xù)進行的基本變換這些基本幾何變換的組合稱為復(fù)合變換復(fù)合：矩陣乘法第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)合變換設(shè)圖形經(jīng)過n次基本幾何變換，其變換矩陣分別為T1,T2,…,Tn頂點p經(jīng)T1變換后：p'=T1p經(jīng)T2變換后：p''=T2p'=T2T1p```

經(jīng)Tn變換后：p(n)=Tnp(n-1)=TnTn-1…T2T1pT=

TnTn-1…T2T1就為復(fù)合變換矩陣第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)合變換對于計算復(fù)合變換時，可將各基本變換矩陣按序相乘，形成總的復(fù)合變換矩陣T，再將變換前的坐標與T相乘，得到變換后的最終坐標 p(n)=Tnp(n-1)=TnTn-1…T2T1p=(TnTn-1…T2T1)p =Tp一般情況下，矩陣乘法不滿足交換率，復(fù)合變換應(yīng)嚴格按照一定的交換順序第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)合變換連續(xù)平移變換連續(xù)比例變換連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換相對任一參考點的二維幾何變換以平面內(nèi)任一直線為對稱軸進行對稱變換第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二連續(xù)平移變換設(shè)點p(x,y)經(jīng)過第一次平移變換T1(Tx1,Ty1)和第二次平移變換T2(Tx2,Ty2)后的坐標為P''(x'',y'')設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次平移變換T1后的坐標為P'(x',y')設(shè)點P’(x’,y’)經(jīng)第二次平移變換T2后的坐標為P’’(x’’,y’’)第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二得到連續(xù)平移變換的復(fù)合矩陣T為：

即連續(xù)的平移變換是平移量的相加連續(xù)平移變換第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二連續(xù)比例變換設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換T1(Sx1,Sy1)和第二次比例變換T2(Sx2,Sy2)后的坐標為P''(x'',y'')設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換T1后的坐標為P’(x’,y’)設(shè)點P’(x’,y’)經(jīng)第二次比例變換T2后的坐標為P’’(x’’,y’’)第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二得到連續(xù)比例變換的復(fù)合矩陣T為：

即連續(xù)的比例變換是比例系數(shù)的相乘連續(xù)比例變換第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1(旋轉(zhuǎn)角度為θ1)和第二次旋轉(zhuǎn)變換T2(旋轉(zhuǎn)角度為θ2)后的坐標為P''(x'',y'')設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1后的坐標為P'(x',y')設(shè)點P’(x’,y’)經(jīng)第二次旋轉(zhuǎn)變換T2后的坐標為P''(x'',y'')第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二得到連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合矩陣T為：

第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二相對任一參考點的二維幾何變換相對任一參考點的縮放變換平移變換，即將該參考點移到坐標原點處作相對于原點的縮放變換平移變換，即將參考點從坐標原點移回原來的位置相對任一參考點的旋轉(zhuǎn)變換平移變換，即將該參考點移到坐標原點處作相對于原點的旋轉(zhuǎn)變換平移變換，即將參考點從坐標原點移回原來的位置第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二Oxy相對于任意點(x0,y0)的比例變換(x0,y0)(0,0)相對任一參考點的縮放變換平移平移比例第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二相對任一參考點的旋轉(zhuǎn)變換Oxy相對于任意點(x0,y0)的旋轉(zhuǎn)變換θ(x0,y0)(0,0)平移平移旋轉(zhuǎn)第44頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二例：求點P(x,y)相對任一點M(x0,y0)作縮放變換的變換矩陣。其中縮放系數(shù)為(Sx,Sy)解：平移得平移矩陣T1為：

進行比例變換得縮放變換矩陣T2為： 反平移使坐標系回到原來位置得平移矩陣T3為：相對任一參考點的二維幾何變換第45頁，共48頁，2023年，2月20日，星期二因此，復(fù)合變換矩陣