計算機控制系統(tǒng)設計方法第1頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二一數(shù)字控制器：是計算機控制系統(tǒng)的核心組成部分，是在被控對象數(shù)學模型或操作人員的經(jīng)驗基礎上進行設計，并用計算機軟件實現(xiàn)的某種控制算法。（1）連續(xù)化設計方法先設計校正裝置的傳遞函數(shù)D(s)，然后采用某種離散化方法，將它變成計算機算法。（2）離散化設計方法已知被控對象的傳遞函數(shù)或特性G(Z)，根據(jù)所要求的性能指標，設計數(shù)字控制器。一第2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

設計方法：數(shù)字控制器的連續(xù)化設計是忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，在S域中按連續(xù)系統(tǒng)進行初步設計，求出連續(xù)控制器，然后通過某種近似，將連續(xù)控制器離散化為數(shù)字控制器，并由計算機來實現(xiàn)。3.1

數(shù)字控制器的連續(xù)化設計技術(shù)數(shù)字控制器的連續(xù)化設計：模擬（連續(xù)）控制器的離散化設計步驟

設計假想的連續(xù)控制器選擇采樣周期T將D(s)離散化為D(z)設計由計算機實現(xiàn)的控制算法校驗第3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二計算機控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖：這是一個采樣系統(tǒng)的框圖：控制器D(Z)的輸入量是偏差，U(k)是控制量H(S)是零階保持器G(S)是被控對象的傳遞函數(shù)3.1.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設計步驟第4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二設計的第一步就是找一種近似的結(jié)構(gòu)，來設計一種假想的連續(xù)控制器D(S)，這時候我們的結(jié)構(gòu)圖可以簡化為：已知G(S)來求D(S)的方法有很多種，比如頻率特性法、根軌跡法等。

1.假想的連續(xù)控制器D(S)第5頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.選擇采樣周期T

香農(nóng)采樣定理給出了從采樣信號恢復連續(xù)信號的最低采樣頻率。在計算機控制系統(tǒng)中，完成信號恢復功能一般由零階保持器H(S)來實現(xiàn)。零階保持器的傳遞函數(shù)為：

其頻率特性為

從上式可以看出，零階保持器將對控制信號產(chǎn)生附加相移(滯后)。對于小的采樣周期，可把零階保持器H(S)近似為：第6頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

我們能從上式得出什么結(jié)論呢？上式表明，當T很小時，零階保持器H(S)可用半個采樣周期的時間滯后環(huán)節(jié)來近似。它使得相角滯后了。而在控制理論中，大家都知道，若有滯后的環(huán)節(jié)，每滯后一段時間，其相位裕量就減少一部分。我們就要把相應減少的相位裕量補償回來。假定相位裕量可減少5°～15°，則采樣周期應選為：其中ωC是連續(xù)控制系統(tǒng)的剪切頻率。按上式的經(jīng)驗法選擇的采樣周期相當短。因此，采用連續(xù)化設計方法，用數(shù)字控制器去近似連續(xù)控制器，要有相當短的采樣周期。第7頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二3.將D(S)離散化為D(Z)常用連續(xù)系統(tǒng)離散化的方法：前向差分法后向差分法雙線性變換法零極點匹配法沖擊響應不變法零階保持法

第8頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二(1)前向差分法

利用級數(shù)展開可將Z=esT寫成以下形式Z=esT=1+sT+…≈1+sT可得即給定模擬控制器傳遞函數(shù)D(s)，其等效離散傳遞函數(shù)D(z)為：第9頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二法2(數(shù)值微分):兩邊求拉氏變換后可推導出控制器為采用前向差分近似可得上式兩邊求Z變換后可推導出數(shù)字控制器為設微分控制規(guī)律為第10頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二因為s平面上的虛軸是穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的分界線，所以應著重研究虛軸在z平面內(nèi)的映象。

即：s平面上虛軸映射在z平面上將右移1個單位。s平面和z平面之間的映射關(guān)系知：Z=1+TS

注意：采用前向差分法離散化，D(s)穩(wěn)定，D(z)不一定穩(wěn)定（超過單位圓）。第11頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1、直接代換，具有串聯(lián)性，變換方便；2、整個s左半平面映射到z平面z=1以左的區(qū)域，故D(s)與D(z)不具有相同的穩(wěn)定性；3、因為D(s)|s=0=D(z)|z=1，故穩(wěn)態(tài)增益維持不變；4、當采樣周期T較小時，等效精度較好。前向差分法的特點：第12頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二(2)后向差分法利用級數(shù)展開還可將Z=esT寫成以下形式則給定模擬控制器傳遞函數(shù)D(s)，其等效離散傳遞函數(shù)D(z)為：s平面和z平面之間的映射關(guān)系、后向差分法的特點？?。〉?3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二(3)雙線性變換法

雙線性變換或塔斯廷（Tustin）近似第14頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二雙線性變換也可從數(shù)值積分的梯形法對應得到。設積分控制規(guī)律為

兩邊求拉氏變換后可推導得出控制器為當用梯形法求積分運算可得算式如下上式兩邊求Z變換后可推導得出數(shù)字控制器為

第15頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二令Z=esT，將D(s)離散化為D(z)(4)零極點匹配法1、轉(zhuǎn)換規(guī)則第16頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例1已知連續(xù)傳遞函數(shù)為試采用零極點匹配法離散化，設采樣周期T=1s。解：先將分解為零極點形式因T=1s，則第17頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

可得

2、特點（1）D(z)和D(s)有相同穩(wěn)定性；（2）D(s)的零、極點均按照Z=esT的關(guān)系與平面的零、極點一一對應；（3）穩(wěn)態(tài)增益匹配，一般按關(guān)系匹配。第18頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二幾種離散化公式的比較

第19頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二4.設計由計算機實現(xiàn)的控制算法

數(shù)字控制器D(Z)的一般形式為下式，其中n≥m,各系數(shù)ai,bi為實數(shù)，且有n個極點和m個零點。上式用時域表示為第20頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二5.校驗

控制器D(z)設計完并求出控制算法后，須按下圖所示的計算機控制系統(tǒng)檢驗其閉環(huán)特性是否符合設計要求，這一步可由計算機控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真計算來驗證，如果滿足設計要求設計結(jié)束，否則應修改設計。第21頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例：數(shù)字PID控制器的設計

根據(jù)偏差的比例(P)、積分(I)、微分(D)進行控制(簡稱PID控制)，是控制系統(tǒng)中應用最為廣泛的一種控制規(guī)律。

PID調(diào)節(jié)器之所以經(jīng)久不衰，主要有以下優(yōu)點：

1.技術(shù)成熟，通用性強

2.原理簡單，易被人們熟悉和掌握

3.不需要建立數(shù)學模型

4.控制效果好第22頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1．模擬PID調(diào)節(jié)器對應的模擬PID調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為PID控制規(guī)律為KP為比例增益，TI為積分時間，TD為微分時間u(t)為控制量，e(t)為偏差第23頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.數(shù)字PID控制器

由于計算機控制是一種采樣控制，它只能根據(jù)采樣時刻的偏差值計算控制量。在計算機控制系統(tǒng)中，PID控制規(guī)律的實現(xiàn)必須用數(shù)值逼近的方法。當采樣周期相當短時，用求和代替積分、用后向差分代替微分，使模擬PID離散化變?yōu)椴罘址匠獭５?4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二數(shù)字PID位置型控制算法怎么得來的呢？直接通過傳遞函數(shù)能達到嗎？后向差分?。?！第25頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二4.2最少拍數(shù)字控制系統(tǒng)的設計離散化設計方法：從被控對象的特性出發(fā)，直接根據(jù)計算機控制理論(采樣控制理論)來設計數(shù)字控制器。連續(xù)化設計技術(shù)的弊端：要求相當短的采樣周期！因此只能實現(xiàn)較簡單的控制算法。連續(xù)化設計技術(shù)的優(yōu)點：有現(xiàn)成的算法和設計方法；第26頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1數(shù)字控制器的離散化設計步驟1.根據(jù)控制系統(tǒng)的性能指標要求和其它約束條件，確定所需的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)2.求廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。3.求取數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。4.根據(jù)D(z)求取控制算法的遞推計算公式第27頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二由數(shù)字控制器D(z)的一般形式：則：數(shù)字控制器的輸出U(z)為因此，數(shù)字控制器D(z)的計算機控制算法為按照上式，就可編寫出控制算法程序。第28頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2最少拍控制器的設計最少拍控制的定義：所謂最少拍控制，就是要求閉環(huán)系統(tǒng)對于某種典型的輸入在最少個采樣周期內(nèi)達到無靜差的穩(wěn)態(tài)。工程應用背景：隨動系統(tǒng)，伺服系統(tǒng)，運動控制，…一個周期最少拍系統(tǒng)的設計原則是：若系統(tǒng)廣義被控對象G(z)無延遲且在z平面單位圓上及單位圓外無零極點，要求選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達到完全跟蹤的目的，從而確定所需要的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。第29頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.1閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)的確定

由圖可知，誤差E(z)的脈沖傳遞函數(shù)為第30頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二典型輸入函數(shù)對應的z變換

B(z)是不包含(1-z-1)因子的關(guān)于z-1的多項式。

典型輸入類型對應的z變換

q=1單位階躍函數(shù)

q=2單位速度函數(shù)

q=3單位加速度函數(shù)第31頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

根據(jù)z變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

由于B(z)沒有(1-z-1)因子，因此要使穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)為零，必須有

Фe(z)=1-Ф(z)=(1-z-1)qF(z)→Ф(z)=1-Фe(z)=1-(1-z-1)qF(z)

這里F(z)是關(guān)于z-1的待定系數(shù)多項式。為了使Ф(z)能夠?qū)崿F(xiàn)，F(xiàn)(z)中的首項應取為1，即

F(z)=1+f１z-1+f2z-2+…+fpz-p

可以看出，Ф(z)具有z-1的最高冪次為N=p+q，這表明系統(tǒng)閉環(huán)響應在采樣點的值經(jīng)N拍可達到穩(wěn)態(tài)。第32頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二特別：當P=0時，即F(z)=1時，系統(tǒng)在采樣點的輸出可在最少拍(Nmin=q拍)內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，即為最少拍控制。因此最少拍控制器設計時選擇Ф(z)為

Ф(z)=1-(1-z-1)q

最少拍控制器D(z)為第33頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.2典型輸入下的最少拍控制系統(tǒng)分析(1)單位階躍輸入(q=1)

輸入函數(shù)r(t)=1(t),其z變換為由最少拍控制器設計時選擇的Ф(z)=1-(1-z-1)q=z-1

可以得到進一步求得以上兩式說明，只需一拍(一個采樣周期)輸出就能跟蹤輸入，誤差為零，過渡過程結(jié)束。第34頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二(2)單位速度輸入(q=2)

輸入函數(shù)r(t)=t的z變換為

由最少拍控制器設計時選擇的

Ф(z)=1-(1-z-1)q=1-(1-z-1)2=2z-1-z-2

可以得到

進一步求得

以上兩式說明，只需兩拍(兩個采樣周期)輸出就能跟蹤輸入，達到穩(wěn)態(tài)，過渡過程結(jié)束。第35頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二(3)單位加速度輸入(q=3)

單位加速度輸入r(t)=（1/2）t２的Z變換為由最少拍控制器設計時選擇的

Ф(z)=1-(1-z-1)3=3z-1-3z-2+z-3

可以得到上式說明，只需三拍(三個采樣周期)輸出就能跟蹤輸入，達到穩(wěn)態(tài)。第36頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二三種典型輸入時的最少拍系統(tǒng)第37頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例設單位速度反饋線性離散系統(tǒng)如圖所示，設被控對象的傳遞函數(shù)如下，采樣周期T=0.1s，試設計單位速度輸入時的最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器D(z)。解:系統(tǒng)廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為第38頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二將T=0.1s代入上式，經(jīng)過整理后得因為是單位速度輸入，所以選擇則數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)D(z)為第39頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.3最少拍控制器的局限性

最少拍控制器的設計是使系統(tǒng)對某一典型輸入的響應為最少拍，但對于其它典型輸入不一定為最少拍，甚至會引起大的超調(diào)和靜差。即適應性差。

例如，當Ф(z)是按等速輸入設計時，有Ф(z)=2z-1-z-2，則三種不同輸入時對應的輸出如下：階躍輸入時r(t)=1(t)；R(z)=1/（1-z-1）則等速輸入時r(t)=t(1)適應性問題第40頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

等加速輸入時r(t)=（1/2）t２

第41頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二畫出三種輸入下的輸出圖形，與輸入進行比較

從圖形可以看出，對于階躍輸入，直到2拍后，輸出才達到穩(wěn)定，而在上面單獨設計控制器，只需要一拍；這樣，過渡時間延長了，而且存在很大的超調(diào)量，在1拍處！對于加速度輸入，輸出永遠都不會與輸入曲線重合，也就是說按等速輸入設計的控制器用于加速度輸入會產(chǎn)生誤差。第42頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

一般來說，針對一種典型的輸入函數(shù)R(z)設計，得到系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)，用于次數(shù)較低的輸入函數(shù)R(z)時，系統(tǒng)將出現(xiàn)較大的超調(diào)，響應時間也會增，但在采樣時刻的誤差為零。反之，當一種典型的最少拍特性用于次數(shù)較高的輸入函數(shù)時，輸出將不能完全跟蹤輸入以致產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。由此可見，一種典型的最少拍閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)只適應一種特定的輸入而不能適應于各種輸入。結(jié)論：第43頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二(2)最少拍控制器的可實現(xiàn)性問題

設數(shù)字控制器D(z)為

要使D(z)物理上是可實現(xiàn)的，則必須要求

degP(z)≥degQ(z)

最少拍系統(tǒng)設計的物理可實現(xiàn)性指將來時刻的誤差值，是還未得到的值，不能用來計算現(xiàn)在時刻的控制量。要求數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)中，不能有z的正冪項，即不能含有超前環(huán)節(jié)。

結(jié)論：為使D(z)物理上可實現(xiàn)，Ф(z)應滿足的條件是：若廣義脈沖傳遞函數(shù)G(z)的分母比分子高N階，則確定Ф(z)時必須至少分母比分子高N階。第44頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

若被控對象有純滯后特性（假設給定連續(xù)被控對象有d個采樣周期的純滯后）結(jié)論：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)中必須含有純滯后，且滯后時間至少要等于被控對象的滯后時間，即Ф(z)必須含z-d。否則系統(tǒng)的響應超前于被控對象的輸入。第45頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二(3)最少拍控制的零極點問題Ф(z)=1-(1-z-1)q才成立D(z)和G(z)總是成對出現(xiàn)的，允許它們的零點、極點互相對消。問題：簡單地利用D(z)的零點去對消G(z)中的不穩(wěn)定極點，雖然從理論上可以得到一個穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，但是這種穩(wěn)定是建立在零極點完全對消的基礎上的。當系統(tǒng)的參數(shù)產(chǎn)生漂移，或辯識的參數(shù)有誤差時，這種零極點對消不可能準確實現(xiàn)，從而將引起閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。解決方法2：在選擇Ф(z)時加一個約束條件，這個約束條件稱為穩(wěn)定性條件。G(z)是穩(wěn)定的(即在z平面單位圓上和圓外沒有極點)，且不含有滯后環(huán)節(jié)解決方法1：第46頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二總結(jié)：選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)的限制條件：①數(shù)字控制器在物理上應是可實現(xiàn)的有理多項式，即②選擇Φ(z)時，應包含G(z)中的滯后因子，G(z)的單位圓上或單位圓外的零點應保留，并作為Φ(z)的零點。③G(z)的單位圓上或單位圓外的極點，應作為Φe(z)=1-Φ(z)的零點。第47頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第三節(jié)

最少拍無紋波控制器的設計第48頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二3.1前言（1）在最少拍控制中，我們主要研究三種類型的設計方法：

最少拍無差控制器的設計；簡單，但是本身缺陷多最少拍有紋波控制器的設計；考慮了系統(tǒng)穩(wěn)定性，但輸出不穩(wěn)定最少拍無紋波控制器的設計；這節(jié)課我們來學習（2）紋波產(chǎn)生的原因，引起的后果原因：控制量u(t)波動不穩(wěn)定后果：輸出有波動，造成機械機構(gòu)的摩擦（3）最少拍無紋波設計的要求要求在典型輸入信號的作用下，經(jīng)過有限拍，系統(tǒng)達到穩(wěn)定，輸出誤差為零,并且在采樣點之間沒有振蕩，也就是不僅在采樣時刻上輸出可以完全跟蹤輸入，在采樣時刻之間也沒有紋波。第49頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二3.2最少拍無紋波控制系統(tǒng)設計由可以得到控制信號U(z)對輸入R(z)的脈沖傳遞函數(shù)為：設廣義對象脈沖傳遞函數(shù)為則：第50頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二事實：1）P(z)的零點即是G(z)的零點。

2）由于R(z)到U(z)的脈沖傳遞函數(shù)是一個有理分式，從而它的單位脈沖響應為無限長。結(jié)論：在選擇時，令包含G(z)的所有零點，則P(z)與中相應因子產(chǎn)生相消，使得由R(z)到U(z)的脈沖傳遞函數(shù)為一階次有限的z-1多項式，這就表示它的脈沖響應時間為有限長了。這樣，經(jīng)過有限拍之后，控制變量u(k)或者為零，或者為常數(shù)，不會再產(chǎn)生振蕩，從而避免了連續(xù)被控對象的輸出c(t)在采樣時刻之間的紋波。

即：為消除紋波，對閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的附加要求是：必須包含廣義對象G(z)的所有零點。第51頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第52頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

例4設計算機控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)均與例3相同，試針對斜坡輸入信號，設計最少拍無紋波控制系統(tǒng)。

由例3知廣義對象脈沖傳遞函數(shù)

分析可知，G(z)有一個位于單位圓內(nèi)零點，G(z)有一個位于單位圓上的極點1。對于斜坡信號，考慮到對穩(wěn)態(tài)誤差的要求所對應的因子(1-z-1)2，包含了對穩(wěn)定性要求所對應的因子(1-z-1)，故將兩者合并。

第53頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第54頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第四節(jié)達林(Dahlin)算法

達林算法的設計目標:使整個閉環(huán)系統(tǒng)所期望的傳遞函數(shù)Ф(s)相當于一個延遲環(huán)節(jié)和一個慣性環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即

整個閉環(huán)系統(tǒng)的純滯后時間和被控對象Gc(s)的純滯后時間τ相同。閉環(huán)系統(tǒng)的時間常數(shù)為，純滯后時間τ與采樣周期T有整數(shù)倍關(guān)系，τ=NT。

對于具有純滯后的控制系統(tǒng)，比如熱工或化工過程，由于滯后的存在，容易引起系統(tǒng)超調(diào)和持續(xù)震蕩。對這些系統(tǒng)的調(diào)節(jié)，快速性是次要的，而對穩(wěn)定性、不產(chǎn)生超調(diào)的要求卻是主要的。第55頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

用脈沖傳遞函數(shù)近似法求得與Ф(s)對應的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)

若已知廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)，則可根據(jù)下式求出：第56頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二達林算法數(shù)字控制器的適用對象一階慣性環(huán)節(jié)帶