工程力學(xué)（A）北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系韓斌(1-2)45/III2§1.3在自然軸系(弧坐標(biāo)系)中研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)M在一條已知曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，常選擇該曲線作為自然坐標(biāo)軸描述M的運(yùn)動(dòng)。一、自然軸系的建立，運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為空間曲線:選擇曲線上的弧長(zhǎng)S為廣義坐標(biāo)：任選曲線上一點(diǎn)O1為原點(diǎn)，規(guī)定O1一側(cè)的弧長(zhǎng)為正，另一側(cè)弧長(zhǎng)為負(fù)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程:

S=S(t)

(1.11)O1S(+)S(-)MS(1.12)或O3二、自然軸系的活動(dòng)標(biāo)架和基矢量1.切線PT:單位矢，正向?yàn)镾正向(1.13)2.法平面：過P點(diǎn)垂直于切線的平面3.密切面：過P點(diǎn)的切線PT，且與法平面垂直4.主法線PN：密切面與法平面的交線，單位矢，正向?yàn)橹赶蚯€曲率中心6.從切面:5.副法線PB：垂直于PT與PN，單位矢為，(1.14)構(gòu)成P點(diǎn)的自然軸系基矢設(shè)空間曲線上任意一點(diǎn)P：(1.12)4注意：自然軸系基矢量

大小不變，但方向隨S變化5可視為副法線繞切線的轉(zhuǎn)角可視為切線繞副法線的轉(zhuǎn)角7.曲率、撓率曲率----曲線在P點(diǎn)處無(wú)限小弧段ds(位于密切面內(nèi))的彎曲程度(1.15)

曲率半徑(1.16)撓率----副法線方向改變的劇烈程度(1.17)6(1.18)已知對(duì)單位矢量：對(duì)自然軸系的活動(dòng)標(biāo)架，有：

7三、點(diǎn)的速度、加速度在自然軸系中的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

S=S(t)點(diǎn)的速度在自然軸系中的投影：(1.20)SOM點(diǎn)的速度(1.19)8點(diǎn)的加速度：(1.21)曲率半徑（1.16）(1.18)9點(diǎn)的加速度在自然軸系中的投影：(1.22)沿該點(diǎn)的切線方向沿該點(diǎn)主法線方向位于該點(diǎn)密切面內(nèi)切向加速度全加速度法向加速度點(diǎn)的加速度：(1.21)10四、其他坐標(biāo)系

柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、極坐標(biāo)（參見教科書）全加速度的大小方向?yàn)槿铀俣仁噶颗c主法向的夾角若已知速度的大小v(t)=,

全加速度的大小a(t),則：11例1.3同例1.2，試求小環(huán)的速度、加速度在自然軸系中的投影。已知

(1)t(2)

Asint(1)當(dāng)t運(yùn)動(dòng)方程S(t)=M0M=2R=2Rt加速度

方向如圖解：小環(huán)相對(duì)于固定參考空間的軌跡為大圓環(huán)，取t=0時(shí)小環(huán)的位置M0為原點(diǎn)，逆時(shí)針方向S為正。速度

方向如圖OO1xyMBM012OO1xyMBM02)當(dāng)AsintS(t)=2R2RAsint13解：1)運(yùn)動(dòng)分析平面上圓輪沿直線純滾動(dòng)——自由度？為1研究輪緣上M點(diǎn)，建立坐標(biāo)系Oxy,原點(diǎn)O取為t=0時(shí)M與地面的接觸點(diǎn)。AMOxyC若剛體做平面任意運(yùn)動(dòng)—3個(gè)自由度平面上圓輪沿直線做任意的滾動(dòng)——2個(gè)自由度例1.4半徑r的車輪在直線軌道上純滾動(dòng)(滾而不滑)，已知輪心A的速度為常矢量，求輪緣上一點(diǎn)M的軌跡、速度、加速度、軌跡曲率半徑。14輪心A的坐標(biāo)：根據(jù)純滾動(dòng)的條件：選擇為廣義坐標(biāo)（也可選xA）。點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)方程軌跡：旋輪線，擺線AMOxyCxA=OC=MC=ut輪子轉(zhuǎn)過的角度：=MC/r=ut/r=xA/r即例1.4半徑r的車輪在直線軌道上純滾動(dòng)(滾而不滑)，已知輪心A的速度為常矢量，求輪緣上一點(diǎn)M的軌跡、速度、加速度、軌跡曲率半徑。15162)求速度：3）求加速度ACMOxy由M點(diǎn)x,y坐標(biāo)分別求導(dǎo)(本題u為常數(shù))：(為速度矢量與y軸夾角)(為加速度矢量與y軸夾角)或174）求加速度在自然軸系中的投影當(dāng)ut=0,2r即時(shí)，=min=0軌跡的尖點(diǎn)當(dāng)ut=r即時(shí)，=max=4r

軌跡的最高點(diǎn)18本章(§1

)重點(diǎn)、要點(diǎn)、難點(diǎn)(1)基本概念(參考空間、運(yùn)動(dòng)方程和軌跡、約束、自由度與廣義坐標(biāo)等)。(2)矢量的表示方法、運(yùn)算規(guī)則及矢量微分公式不可矢量標(biāo)量不分或矢量標(biāo)量混用！(3)分析法(直角坐標(biāo)系、自然軸系)建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求點(diǎn)的速度、加速度。(4)注意求出的速度、加速度均為矢量，一定要表示清楚其大小和方向。(5)解題過程一定要畫出圖示,標(biāo)明速度、加速度矢量。注意：通過求導(dǎo)求速度加速度時(shí),運(yùn)動(dòng)方程一定是在任意的一般位置列出的，不能取某個(gè)特殊位置。19§2剛體的平面運(yùn)動(dòng)§2.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概念與特征剛體平面運(yùn)動(dòng)定義：剛體上任意一點(diǎn)到某固定平面的距離始終不變，剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡均為平面曲線。剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化：簡(jiǎn)化為一個(gè)平面圖形的運(yùn)動(dòng)。20剛體平面運(yùn)動(dòng)的三種類型：

平面平移，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一般平面運(yùn)動(dòng)1.平面平移剛體上任意一條直線在運(yùn)動(dòng)中始終平行。各點(diǎn)的軌跡都相同(各點(diǎn)的速度、加速度都相同)。212.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)或延伸部分始終存在一根固定不動(dòng)的直線，各點(diǎn)(除轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)外)的軌跡為大小不同的圓周。223.一般平面運(yùn)動(dòng)——本章的重點(diǎn)既非平移也非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，各點(diǎn)軌跡為形狀不同的平面曲線。23橫梁(蘭色)-平面曲線平移套筒(綠色)-平面直線平移豎桿(灰色)-平面直線平移兩根曲柄(咖啡色)-定軸轉(zhuǎn)動(dòng)橫梁(蘭色)-平面曲線平移2425§2.2分析法研究平面圖形的運(yùn)動(dòng)1.平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程xyAB(xA,yA)O運(yùn)動(dòng)方程

(2.1)xA(t)=f1(t)yA(t)=f2(t)(t)=f3(t)3個(gè)廣義坐標(biāo)可取為：A點(diǎn)坐標(biāo)(xA,yA)一般平面運(yùn)動(dòng)自由度為3，任取剛體上一點(diǎn)A及直線，

直線與x軸正向的夾角：方位角

262.平面圖形的角位移、角速度、角加速度角位移：=

(t+t)-(t)單位：弧度(rad)角速度：

單位：rad/s(2.2)

角加速度：

單位：rad/s2

(2.3)xyAB(xA,yA)O27注意(1)角位移、角速度、角加速度都是剛體的整體運(yùn)動(dòng)學(xué)量，與方位角是由哪根直線定義的無(wú)關(guān)。(t)=(t)+

為常量任意以AB,CD分別定義的方位角與之間，有xyAB(xA,yA)OCD(2)一個(gè)剛體在某個(gè)時(shí)刻對(duì)于某個(gè)參考空間而言，只有唯一的角位移、角速度和角加速度；一個(gè)質(zhì)點(diǎn)是無(wú)法定義角速度的。28注意(2)平面圖形作平面運(yùn)動(dòng)時(shí),角位移、角速度、角加速度可用代數(shù)量+圓箭頭表示。若設(shè),,各量的轉(zhuǎn)向相同，則其大小為：若設(shè),,各量的轉(zhuǎn)向如圖，則其大小為：29(3)工程中角速度常用單位：n(轉(zhuǎn)/分,r/min,rpm)

2n/60(4)角速度、角加速度的矢量表示法

右手螺旋法xy303.平面圖形上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程若已知廣義坐標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律xA(t),yA(t),

(t),任意一點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)方程為速度加速度注意：若對(duì)某點(diǎn)寫出運(yùn)動(dòng)方程后求導(dǎo)求速度、加速度，必須在運(yùn)動(dòng)過程中的任意一般位置來(lái)列寫運(yùn)動(dòng)方程。xyAB(xA,yA)Ol31OABCOABC特殊位置！例如：桿OA長(zhǎng)為l，BC桿長(zhǎng)為2l

，，為常數(shù)，求當(dāng)時(shí)C點(diǎn)的速度。任意一般位置32§2.3矢量法研究平面圖形的運(yùn)動(dòng)一、平移剛體上各點(diǎn)的速度、加速度OxyzABAB平移：AB直線始終平行，為常矢量平移時(shí)，剛體上任意一點(diǎn)的速度、加速度都相同333435設(shè)剛體繞z軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn)M矢徑大小不變，僅方向改變，故(2.4)

二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度、加速度36其大小為對(duì)速度矢量求導(dǎo)，得加速度：(2.5)切向加速度法向加速度(2.6)37★三、一般平面運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度分析1.兩點(diǎn)速度關(guān)系（基點(diǎn)法）已知?jiǎng)傮w上某點(diǎn)A(取A為基點(diǎn))的速度，求該剛體上另一點(diǎn)B的速度：為大小不變方向改變的矢量?jī)蛇吳髮?dǎo)OAB記38兩點(diǎn)速度關(guān)系

(2.7)

(2.8)——B點(diǎn)相對(duì)于基點(diǎn)A的速度OAB——B點(diǎn)的速度——基點(diǎn)A的速度39關(guān)于(B相對(duì)于A的速度)應(yīng)注意：(1)的大?。簐BA=AB

的方向：垂直于AB連線，指向與的轉(zhuǎn)向一致。

表示以A為基點(diǎn)時(shí)B點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的速度,若以B為基點(diǎn)求A點(diǎn)速度，則為

,表示以B為基點(diǎn)時(shí)A點(diǎn)相對(duì)于B點(diǎn)的速度，且=－(3)兩點(diǎn)速度關(guān)系式中OABBA以A為基點(diǎn)以B為基點(diǎn)40剛體上任意兩點(diǎn)的速度在其連線上的投影相等。

(2.9)2.速度投影定理AB若已知一點(diǎn)速度矢量的大小及方向和另一點(diǎn)速度矢量的方向，就可求出其大小。速度投影定理剛體上任意兩點(diǎn)的距離不變本質(zhì)為41例題1

例題§2

剛體的平面運(yùn)動(dòng)

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA長(zhǎng)為R，連桿AB長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄在任意位置=ωt時(shí)，求滑塊B的速度。BωAψOxy42例題1