離散型隨機(jī)變量的方差教學(xué)目標(biāo)：①理解離散型隨機(jī)變量的方差概念、意義及計(jì)算方法；②體會(huì)用方差解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):離散型隨機(jī)變量方差的概念及實(shí)際應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)引入：1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示.2.離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.3.連續(xù)型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出.5.分布列:ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…6.分布列的兩個(gè)性質(zhì)：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．7.二項(xiàng)分布:ξ～B(n，p)，并記＝b(k；n，p)．ξ01…k…nP……8.幾何分布：g(k，p)=，其中k＝0,1,2,…，．ξ123…k…P……ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱……為…，則有…，…，所以.期望的一個(gè)性質(zhì):13.若ξB（n,p），則Eξ=np講解新課：

1.方差:對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的是隨機(jī)變量ξ的期望．2.標(biāo)準(zhǔn)差:的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．3.方差的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）若np(1-p)4.其它：(1)隨機(jī)變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；(2)隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；(3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛.講解范例：例1.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),一輛從北京開(kāi)往天津的長(zhǎng)途汽車在無(wú)雨天贏利230元,小雨天贏利163元,中雨天贏利90元.根據(jù)天氣預(yù)報(bào),明天無(wú)雨的概率是,有小雨的概率是,有中雨的概率是.問(wèn)明天發(fā)一輛長(zhǎng)途車期望贏利多少元?方差和標(biāo)準(zhǔn)差各是多少?例2.某廠一批產(chǎn)品合格率是98%,檢驗(yàn)單位從中有放回的隨機(jī)抽取10件,計(jì)算:(1)抽出的10件產(chǎn)品中平局均有多少件正品;(2)計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差.例3.100箱蘋果中有5箱不合格,現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取5箱檢查,計(jì)算:(1)抽出的5箱中平均有多少箱合格;(2)計(jì)算抽出的5箱中合格箱數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差.例4．隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.解：拋擲散子所得點(diǎn)數(shù)X的分布列為ξ123456P從而;.例5．有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002000獲得相應(yīng)職位的概率P2根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解：根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得:EX1=1200×+1400×+1600×+1800×=1400,DX1=(1200-1400)2×0.4+(1400-1400)2×+(1600-1400)2×+(1800-1400)2×0.1=40000;EX2＝1000×+1400×+1800×+2200×=1400,DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)×+(1800-1400)2×+(2200-1400)2×=160000.因?yàn)镋X1=EX2,DX1<DX2，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中，乙單位不同職位的工資相對(duì)分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位．例6．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ12…nP…求Dξ

解：（略）,例4．已知離散型隨機(jī)變量的概率分布為1234567P離散型隨機(jī)變量的概率分布為3．73．83．944．14．24．3P求這兩個(gè)隨機(jī)變量期望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差解：；；；=,.點(diǎn)評(píng)：本題中的和都以相等的概率取各個(gè)不同的值，但的取值較為分散，的取值較為集中．，，，方差比較清楚地指出了比取值更集中．＝2，=，可以看出這兩個(gè)隨機(jī)變量取值與其期望值的偏差例7．甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為,,;射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為,,用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平解：+（10-9）；同理有由上可知，，所以，在射擊之前，可以預(yù)測(cè)甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分散，得8、10環(huán)地次數(shù)多些．點(diǎn)評(píng)：本題中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情況不同．=9，這時(shí)就通過(guò)=和=來(lái)比較和的離散程度，即兩名射手成績(jī)的穩(wěn)定情況.例8．A、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表所示： A機(jī)床 B機(jī)床次品數(shù)ξ10123次品數(shù)ξ10123概率P概率P問(wèn)哪一臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好解：Eξ1=0×+1×+2×+3×=, Eξ2=0×+1×+2×+3×=.它們的期望相同，再比較它們的方差Dξ1=（）2×+（）2×+（）2×+（）2×=,Dξ2=（）2×+（）2×+（）2×+（）2×=.∴Dξ1<Dξ2故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.課堂練習(xí)：

1.已知，則的值分別是（）A．；B．；C．；D．答案：D2.一盒中裝有零件12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個(gè)零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望．分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問(wèn)題．本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會(huì)發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨(dú)立的．如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨(dú)立的事件．解：設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3當(dāng)ξ=0時(shí)，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=0）=當(dāng)ξ=1時(shí)，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=1）=當(dāng)ξ=2時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=2）=當(dāng)ξ=3時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=3）=所以，Eξ=3.有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ.分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對(duì)較少的產(chǎn)品抽查問(wèn)題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時(shí)抽出次品與否對(duì)后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的．解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即ξB（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進(jìn)行計(jì)算解：因?yàn)樯唐窋?shù)量相當(dāng)大，抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以ξB（200，1%）因?yàn)镋ξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=

4.設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過(guò)1/4

分析：這是一道純數(shù)學(xué)問(wèn)題．要求學(xué)生熟悉隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算方法，關(guān)鍵還是掌握隨機(jī)變量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我們知道Dξ是關(guān)于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結(jié)論證明：因?yàn)棣嗡锌赡苋〉闹禐?，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p則Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)

5.有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度，指標(biāo)如下：ξA110120125130135ξB100115125130145PP其中ξA、ξB分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度．在使用時(shí)要求鋼筋的抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較A、B兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好

分析：兩個(gè)隨機(jī)變量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5個(gè)不同的數(shù)值．ξA取較為集中的數(shù)值110，120，125，130，135；ξB取較為分散的數(shù)值100，115，125，130，145．直觀上看，猜想A種鋼筋質(zhì)量較好．但猜想不一定正確，需要通過(guò)計(jì)算來(lái)證明我們猜想的正確性解：先比較ξA與ξB的期望值，因?yàn)?/p>

EξA=110×+120×+125×+130×+135×=125,

EξB=100×+115×+125×十130×+145×=125.所以，它們的期望相同．再比較它們的方差．因?yàn)?/p>

DξA=(110-125)2×+(120-125)2×+(130-125)2×+(135-125)2×=50，

DξB=(100-125)2×+(110-125)2×+(130-125)2×+(145-125)2×=165.所以，DξA<DξB.因此，A種鋼筋質(zhì)量較好6.在有獎(jiǎng)摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元的，20個(gè)獎(jiǎng)品是25元的，5個(gè)獎(jiǎng)品是100元的．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價(jià)格是