廣義量詞的相關(guān)性質(zhì)研究

B81：A1674-3202(2010)-03-0067-13修訂日期：2010-09-0720世紀(jì)以來(lái)，為了解釋亞里斯多德三段論形式以外的大量的有效推理而引入了廣義量詞(generalizedquantifiers)，正如JarmoKontinen所說(shuō)，“在可控的方式下通過(guò)廣義量詞方法是增強(qiáng)一階邏輯表達(dá)力的方法之一”。([2])1957年，Mostowski發(fā)現(xiàn)存在許多不能夠根據(jù)一階邏輯中的和來(lái)定義的，但卻具有非常有趣的數(shù)學(xué)推理性質(zhì)的量詞，即所謂的廣義量詞。([4])1966年Lindstrm對(duì)廣義量詞中的Lindstrm量詞的概念給出了形式化的定義。([3])從此邏輯學(xué)家發(fā)現(xiàn)并研究了大量的廣義量詞。來(lái)自于一階邏輯語(yǔ)境下的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量詞——全稱(chēng)量詞和存在量詞也被看作是廣義量詞，所以廣義量詞理論是一階邏輯理論的擴(kuò)充，該理論不僅適用于標(biāo)準(zhǔn)量詞，而且使得非標(biāo)準(zhǔn)量詞的定義和表達(dá)成為可能。由于該理論提出了自然語(yǔ)言中的廣義量詞的一些重要的語(yǔ)義普遍特征，適合處理與量詞有關(guān)的大量的語(yǔ)義現(xiàn)象，從而提升了一階邏輯處理現(xiàn)實(shí)世界的能力，是計(jì)算機(jī)更好地處理自然語(yǔ)言的理論基礎(chǔ)。本文所研究的廣義量詞的對(duì)稱(chēng)性就是量詞的重要的語(yǔ)義普遍特征之一。廣義量詞理論已經(jīng)成為語(yǔ)言學(xué)家和邏輯學(xué)家的“工具箱”中不可或缺的標(biāo)準(zhǔn)工具，它們可以看成是現(xiàn)代邏輯的標(biāo)準(zhǔn)量詞、的推廣；反過(guò)來(lái)，也可以說(shuō)，、是廣義量詞的兩個(gè)特例。在邏輯學(xué)中，量詞表達(dá)式就是變?cè)s束算子([6])，這樣，在公式xψ中的就是一個(gè)算子，x約束ψ中x的所有自由出現(xiàn)，該算子表明該量詞的意思是“存在某個(gè)”，同樣符號(hào)也常常用于表示一個(gè)變?cè)s束算子，該算子滿足“存在無(wú)窮多個(gè)”。一般說(shuō)來(lái)，廣義量詞理論是外延性的語(yǔ)義理論。([1])若沒(méi)有作特別說(shuō)明，本文中的量詞都是指廣義量詞。近幾年來(lái)，國(guó)外學(xué)者對(duì)廣義量詞的對(duì)稱(chēng)性的研究取得了可喜的進(jìn)展。比如：B.H.Partee利用類(lèi)型論和λ-演算的知識(shí)對(duì)廣義量詞的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行了研究。(請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[5])R.Zuber對(duì)高階量詞的對(duì)稱(chēng)性等內(nèi)容進(jìn)行了較細(xì)致的研究。(請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]、[8])一、廣義量詞的對(duì)稱(chēng)性的相關(guān)概念類(lèi)型為〈1，1〉的量詞，比如限定詞，在每個(gè)論域上是指集合之間的二元關(guān)系，那么這些量詞是如何表現(xiàn)它們的量化式(quantirelation)①指稱(chēng)的呢？其表現(xiàn)特征之一就是對(duì)稱(chēng)性，而且對(duì)稱(chēng)性限定詞在自然語(yǔ)言中非常普遍。亞里斯多德就已經(jīng)注意到在自然語(yǔ)言中有些限定詞具有對(duì)稱(chēng)性，而另一些限定詞不具有對(duì)稱(chēng)性。在下面的例子中，(a)與(b)能夠相互蘊(yùn)涵，但(c)與(d)不能夠相互蘊(yùn)涵。1.(a)Somestudentsareboys.(b)Someboysarestudents.(c)Allstudentsareboys.(d)Allboysarestudents.2.(a)Nostudentsareboys.(b)Noboysarestudents.(c)Moststudentsareboys.(d)Mostboysarestudents.3.(a)Astudentisaboy.(b)Aboyisastudent.(c)Thestudentsareboys.(d)Theboysarestudents.4.(a)Sixstudentsareboys.(b)Sixboysarestudents.(c)Allbutsixstudentsareboys.(d)Allbutsixboysarestudents.因此，some、no、six、被修飾的數(shù)字如morethansix、atmostfive以及不定冠詞具有對(duì)稱(chēng)性，但是all、every、most、allbutsix、比例量詞以及定冠詞不具有對(duì)稱(chēng)性。定義1對(duì)稱(chēng)性(symmetry)在此，筆者舉個(gè)例子對(duì)相交性加以說(shuō)明：5.(a)Somestudentsareboys.(b)Somestudentswhoareboysareboyswhoarestudents.因?yàn)槔?的(a)與(b)是相互蘊(yùn)涵的，所以，由定義2的(1)或(2)知，some具有相交性。結(jié)論3在有窮論域上，對(duì)于任意類(lèi)型為〈1，1〉的量詞Q而言，基數(shù)性=同構(gòu)性+相交性；因此當(dāng)Q具有駐留性時(shí)，它的基數(shù)性=同構(gòu)性+對(duì)稱(chēng)性。在任意論域上，當(dāng)Q具有駐留性和擴(kuò)展性時(shí)，它的基數(shù)性=同構(gòu)性+對(duì)稱(chēng)性。下面我們來(lái)討論與對(duì)稱(chēng)性和相交性密切相關(guān)的性質(zhì)余對(duì)稱(chēng)性(co-symmetry)和余相交性(co-intersectivity)。三、廣義量詞的余對(duì)稱(chēng)性的相關(guān)概念在此筆者首先介紹一下本文中將用到的幾個(gè)基本概念。19世紀(jì)以來(lái)，研究者們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣⑥比亞里斯多德的古典對(duì)當(dāng)方陣更加符合邏輯一致性。現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣的主要優(yōu)點(diǎn)是它描繪了出現(xiàn)在自然語(yǔ)言和邏輯語(yǔ)言中的三個(gè)重要的否定形式：外否定在此，筆者用實(shí)例對(duì)定理2加以說(shuō)明。一方面，因?yàn)槔?的(a)與(b)可以相互蘊(yùn)涵，由定義1知，some是對(duì)稱(chēng)的，再由定義3可知，some的內(nèi)否定notall是余對(duì)稱(chēng)的。另一方面，因?yàn)槔?的(a)與(b)可以相互蘊(yùn)涵，由定義1可知，no是對(duì)稱(chēng)的，再由定理2可知，no的對(duì)偶量詞notall是余對(duì)稱(chēng)的。從這兩個(gè)不同方面都說(shuō)明了notall是余對(duì)稱(chēng)的，這一“殊途同歸”例證了定理2是成立的。筆者類(lèi)似地定義余相交性的概念：一方面，因?yàn)槔?的(a)與(b)可以相互蘊(yùn)涵，由駐留性的定義知，some具有駐留性，而由前面的分析知，some具有對(duì)稱(chēng)性，再由結(jié)論1知，此時(shí)，some的對(duì)稱(chēng)性等同于它的相交性，故some具有相交性，由定義4知，some的內(nèi)否定notall具有余相交性。另一方面，因?yàn)槔?的(a)與(b)可以相互蘊(yùn)涵，由駐留性的定義知，no具有駐留性，而由前面的分析知，no具有對(duì)稱(chēng)性，再由結(jié)論1知，此時(shí)，no的對(duì)稱(chēng)性等同于它的相交性，故no具有相交性，由定理3知，no的對(duì)偶量詞notall具有余相交性。從這兩個(gè)不同方面都說(shuō)明了notall具有余相交性，這兩方面分析的吻合例證了定理3是成立的。在此，筆者用實(shí)例對(duì)定理4加以說(shuō)明。一方面，因?yàn)槔?的(a)與(b)可以相互蘊(yùn)涵，所以some具有駐留性，再由定義5知，some的內(nèi)否定notall具有余駐留性。另一方面，因?yàn)槔?的(a)與(b)可以相互蘊(yùn)涵，所以no具有駐留性，再由定理4知，no的對(duì)偶量詞notall具有余駐留性。從這兩個(gè)不同方面都說(shuō)明了notall具有余駐留性，這兩種分析的吻合例證了定理4是成立的。四、廣義量詞的余對(duì)稱(chēng)性、余相交性與單調(diào)性的相互關(guān)系廣義量詞的余對(duì)稱(chēng)性與余相交性之間有什么關(guān)系呢？在此，筆者提出并證明下面的定理5：定理5(余對(duì)稱(chēng)性與余相交性的關(guān)系)若一個(gè)類(lèi)型為〈1，1〉的廣義量詞Q具有余駐留性，則該量詞的余對(duì)稱(chēng)性等同于余相交性。根據(jù)本文的定義3、定義4和定義5可知，本文的余駐留性、余對(duì)稱(chēng)性和相交性都是針對(duì)類(lèi)型為〈1，1〉的量詞Q而言的，所以我們可以直接根據(jù)這三個(gè)定義對(duì)這一事實(shí)加以證明。圖1類(lèi)型為〈1，1〉且具有駐留性和對(duì)稱(chēng)性的廣義量詞的數(shù)字三角形簡(jiǎn)圖六、結(jié)語(yǔ)在此，筆者以自己的幾點(diǎn)想法作為本文的結(jié)束語(yǔ)。第一點(diǎn)是，雖然我們本文所給的例子是英語(yǔ)語(yǔ)言，但本文的所有相關(guān)的定義、定理以及推理對(duì)漢語(yǔ)語(yǔ)言也都是成立的。這為我們對(duì)作為自然語(yǔ)言的漢語(yǔ)進(jìn)行計(jì)算機(jī)信息處理是極其重要而有益的。第二點(diǎn)是，雖然本文對(duì)廣義量詞的(余)對(duì)稱(chēng)性和(余)相交性的關(guān)系以及它們?cè)跀?shù)字三角形中的特點(diǎn)進(jìn)行了探討，但是一個(gè)廣義量詞的內(nèi)否定、外否定、對(duì)偶等相關(guān)量詞的(余)對(duì)稱(chēng)性和(余)相交性與該量詞的相應(yīng)性質(zhì)之間有什么樣的關(guān)系呢？為了探討這些關(guān)系，我們是否可根據(jù)它們各自的定義進(jìn)行相應(yīng)的形式化的推演呢？如果能，應(yīng)如何推演？如若不能，我們的突破口又在哪里？這些關(guān)系又是如何通過(guò)數(shù)字三角形的特點(diǎn)體現(xiàn)出來(lái)的呢？第三點(diǎn)是，本文的研究只限于〈1，1〉類(lèi)型的廣義量詞，這些研究成果中哪些成果能夠推廣到其它。類(lèi)型更加復(fù)雜的廣義量詞呢？這些問(wèn)題為我