廣西壯族自治區(qū)河池市羅城縣第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f（x）有以下四個(gè)命題：①f（f（x））=1；②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；③任意一個(gè)非零有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)任意x∈R恒成立；④存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：A【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】①根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））=1；②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的性質(zhì)；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形．【解答】解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（x）=0，∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，ff（（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））=1，故①正確；②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，∴對(duì)任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正確；③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)；若x是無(wú)理數(shù)，則x+T也是無(wú)理數(shù)，∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立，故③正確；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．即真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題給出特殊函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題．2.設(shè)xR，向量a＝（x，1），b＝（1，－2），且a⊥b，則｜a＋b｜＝A、B、C、2D、10參考答案：B3.已知下圖（1）中的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則下圖（2）中的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四個(gè)式子中，只可能是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=的最大值為(

) A．2 B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．z=的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)D（﹣1，﹣1）的斜率，由圖象知，AD的斜率最大，由得，即A（1，2），此時(shí)AD的斜率z==，即z的最大值為．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃以及直線斜率的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．5.雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)M與左右頂點(diǎn)A1、A2連線的斜率之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)出M的坐標(biāo)，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．【解答】解：設(shè)M（m，n），由題意可得：，，并且：，可得=，所以==，∴=，e=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．6.執(zhí)行程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是（）A．120B．720C．1440D．5040參考答案：B7.函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】分析四個(gè)圖象的不同，從而判斷函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除D；易知f（）＞0，故排除B；f（π）=0，故排除C；故選A．8.如圖所示程序框圖中，輸出(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：B9.已知函數(shù)存在，且在（0，2）上有最大值，則b的取值范圍是

（

）

A． B．

C．

D．參考答案：答案:D10.函數(shù)的圖象是圓心在原點(diǎn)的單位圓的兩段?。ㄈ鐖D），則不等式的解集為 （

） A． B． C． D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.與向量垂直的單位向量的坐標(biāo)是___________.參考答案：或設(shè)向量坐標(biāo)為，則滿足，解得或，即所求向量坐標(biāo)為或12.函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=

.參考答案：答案：－213.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則____________．參考答案：略14.已知為奇函數(shù),且滿足不等式,則實(shí)數(shù)的值為

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．L4

【答案解析】

解析：不等式≤0等價(jià)于或，解得，或，即有﹣3≤m＜0或1＜m≤3，①∵f（x）=tanx+cos（x+m）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），即tan（﹣x）+cos（﹣x+m）=﹣tanx﹣cos（m+x），∴cos（﹣x+m）=﹣cos（x+m），∴cosmcosx+sinmsinx=﹣cosmcosx+sinmsinx，∴cosm=0，m=k，k為整數(shù)，②∴由①②得，m=±．故答案為：±．【思路點(diǎn)撥】首先解不等式≤0，得到﹣3≤m＜0或1＜m≤3，①再根據(jù)f（x）=tanx+cos（x+m）為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義，以及應(yīng)用三角恒等變換公式，求出m=k，k為整數(shù)，②，然后由①②得，m=±．15.若cos2α=，則sin4α﹣cos4α=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】二倍角的余弦．【專題】計(jì)算題．【分析】把所求的式子利用平方差公式化簡(jiǎn)，利用同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系sin2α+cos2α=1進(jìn)行化簡(jiǎn)，提取﹣1后再根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式變形，將coc2α的值代入即可求出值．【解答】解：∵cos2α=，∴sin4α﹣cos4α=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）=﹣（cos2α﹣sin2α）=﹣cos2α=﹣．故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及平方差公式的運(yùn)用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．16.若曲線與直線y=b沒(méi)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是

．參考答案：17.設(shè)函數(shù)，集合，且．在直角坐標(biāo)系中，集合所表示的區(qū)域的面積為_(kāi)_____．參考答案：因?yàn)?，所以由得，即，它表示以為圓心，半徑為的圓面。由得，即，整理得，即或，顯然的交點(diǎn)為，且兩直線垂直，所以對(duì)應(yīng)平面區(qū)域?yàn)槎种粋€(gè)圓周的面積，所以集合所表示的區(qū)域的面積為，如圖：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分14分)已知數(shù)列滿足：.

（1）求；

（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（3）已知，求證：．參考答案：(本小題滿分14分)解：（1）由數(shù)列的遞推關(guān)系易知：．……………2分

（2）

．……………6分又，即數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，．………7分（3）由（2）有．………8分

．

……………………10分∴

．

………………14分略19.已知函數(shù)（1）求的最大值和最小正周期；（2）設(shè)，，求的值。參考答案：解：（1）…1分………4分且的最大值為…………5分最小正周期……6分略20.已知橢圓（）的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點(diǎn).求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn).參考答案：（1）解：由題意知，，，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，解得，，所以，.同理可得，，則，，所以，故直線恒過(guò)定點(diǎn).

21.

(1)計(jì)算：lg5(lg8＋lg1000)＋()2＋lg＋lg0.06；

(2）化簡(jiǎn)參考答案：(1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22－lg6＋lg6－2＝3lg5lg2＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.(2)

22.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說(shuō)明理由.參考答案：（1）；（2）存在.【分析】（1）根據(jù)題意得到，，求出，進(jìn)而可求出橢圓方程；（2）先由題意判斷出結(jié)果