數(shù)學(xué)概念理解與教學(xué)人民教育出版社章建躍zhangjy@第1頁第1頁有效教學(xué)關(guān)鍵理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)?！叭齻€理解”內(nèi)涵：掌握豐富數(shù)學(xué)學(xué)科知識；初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)知識；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)知識；關(guān)于重點(diǎn)知識教學(xué)解釋知識；關(guān)于評估學(xué)生知識理解水平知識；等。尤其強(qiáng)調(diào)“內(nèi)容所反應(yīng)數(shù)學(xué)思想辦法”理解，決定了教學(xué)所能達(dá)到水平和效果。第2頁第2頁當(dāng)前概念教學(xué)問題不注重章節(jié)起始課教學(xué)，沒有把本章節(jié)要處理主要問題、基本過程和主要思想辦法等納入教學(xué)任務(wù)中；概念教學(xué)走過場，經(jīng)常采用“一個定義，三項注意”方式，在概念背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充足概括本質(zhì)特性機(jī)會，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實惠．有些老師不知如何教概念．第3頁第3頁教概念意義李邦河院士：數(shù)學(xué)主線上是玩概念，不是玩技巧．技巧不足道也！以解題教學(xué)代替概念教學(xué)做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)正軌，必須糾正．不然，學(xué)生在數(shù)學(xué)上花費(fèi)大量時間、精力，結(jié)果也許是對數(shù)學(xué)內(nèi)容、辦法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空．第4頁第4頁概念教學(xué)關(guān)鍵概念教學(xué)關(guān)鍵是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中數(shù)學(xué)家思維打開，以典型豐富實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀測、分析各事例屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。第5頁第5頁概念教學(xué)基本環(huán)節(jié)典型豐富詳細(xì)例證——屬性分析、比較、綜合；概括共同本質(zhì)特性得到概念本質(zhì)屬性；下定義（準(zhǔn)確數(shù)學(xué)語言描述）；第6頁第6頁概念辨析——以實例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞含義；用概念作判斷詳細(xì)事例——形成用概念作判斷詳細(xì)環(huán)節(jié)；概念“精致”——建立與相關(guān)概念聯(lián)系。第7頁第7頁例1

代數(shù)關(guān)鍵概念、思想辦法代數(shù)——以符號(不定元)代表數(shù)；代數(shù)學(xué)本源在于代數(shù)運(yùn)算；代數(shù)運(yùn)算有一系列普遍成立運(yùn)算律：互換律、結(jié)合律、分派律、指數(shù)法則；模式、關(guān)系、函數(shù)：“找規(guī)律”，用代數(shù)符號表征和理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系、改變規(guī)律。第8頁第8頁代數(shù)學(xué)基本思想：有系統(tǒng)、有效力地利用數(shù)系加、乘和指數(shù)運(yùn)算運(yùn)算律，去處理各種各樣代數(shù)問題：各種式（整式、分式、根式等）運(yùn)算——用運(yùn)算律進(jìn)行“等價變換”；作為數(shù)及其運(yùn)算推廣。方程——未知數(shù)、已知數(shù)之間特定代數(shù)關(guān)系；解方程——由代數(shù)方程式擬定其中“未知數(shù)”值；第9頁第9頁解方程基本原理：運(yùn)算律對任何數(shù)都成立（通性），因此對“未知數(shù)”也成立、可用。有系統(tǒng)地用運(yùn)算律化簡所給方程，從而擬定其中未知數(shù)——化未知為已知。一元一次方程是基礎(chǔ)，其它都用消元、降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程。方程問題，從元增長、次數(shù)增長兩個方向，依照由簡到繁、由易到難順次展開。第10頁第10頁從代數(shù)式（符號代表數(shù)）、方程（符號代表未知數(shù)）到函數(shù)（符號代表變數(shù)）是一個奔騰，這是看問題角度主線改變——從改變過程中考察規(guī)律，函數(shù)是研究改變規(guī)律。一次函數(shù)y=kx+b改變規(guī)律由誰反應(yīng)——不但明確x，y意義，并且明確k，b意義——改變規(guī)律由k，b決定。其它函數(shù)也類似。第11頁第11頁例2

乘法公式理解及教學(xué)設(shè)計多項式運(yùn)算就是含有字母符號算式之間運(yùn)算（字母代表數(shù)，數(shù)滿足運(yùn)算律，因此字母也滿足運(yùn)算律）；兩個多項式乘積就是用分派律把它歸于單項式乘積之和來計算，單項式乘積是用乘法互換律、結(jié)合律和指數(shù)法則來計算——運(yùn)算法則；乘法公式是一類特殊多項式乘法問題，是一個模式。第12頁第12頁乘法公式蘊(yùn)含思想辦法乘法公式是研究普通多項式乘法基礎(chǔ)上對“特例”考察，尋找一個模式：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有一些特殊關(guān)系時特殊形式，即（1）a=c，b=－d時有平方差公式；（2）a=c，b=d時有完全平方和公式；等。從普通到特殊，歸納思想，“考察特例”是數(shù)學(xué)研究“基本套路”。第13頁第13頁第14頁第14頁教學(xué)過程設(shè)計1．復(fù)習(xí)與引入問題1

前面我們學(xué)習(xí)了單項式、多項式乘法，你能說說運(yùn)算法則嗎？這些運(yùn)算依據(jù)是什么？設(shè)計意圖：回顧運(yùn)算法則，強(qiáng)化“用運(yùn)算律計算”意識。第15頁第15頁先行組織者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，a，b，c，d能夠是數(shù)、式或別什么。數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要通過考察特殊情況來取得對問題進(jìn)一步結(jié)識，比如在兩條直線位置關(guān)系中，我們尤其研究了平行、垂直兩種特殊位置關(guān)系，得到了一些有用結(jié)論。類似，在多項式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。第16頁第16頁2．公式探究問題2

(x+b)(x+d)能夠利用公式直接寫出結(jié)果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x時特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為尚有哪些特殊情形？你能得到什么？設(shè)計意圖：通過“先行組織者”，滲入從普通到特殊，考察特例，進(jìn)一步結(jié)識數(shù)學(xué)對象辦法；在讓學(xué)生自主活動之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使學(xué)生有一個類比對象，明確思考方向。第17頁第17頁問題3

請你用自己語言表述平方差公式、完全平方公式。設(shè)計意圖：幫助學(xué)生理解公式。3．例題本環(huán)節(jié)主要目的是通過變式（字母a，b取數(shù)、式等各種變形），讓學(xué)生體會公式在“形式化運(yùn)算”中作用。另外，通過適當(dāng)反例，糾正學(xué)生也許疏忽。最后要讓學(xué)生明確：第一，具備形式(a+b)(a－b)或(a±b)2，就能夠用公式；第二，要注意哪個代表a，哪個代表b。第18頁第18頁4．公式多元聯(lián)系表示問題4

假如a，b表示線段長，則a2，b2分別表示正方形面積。你能依據(jù)公式形式，自己結(jié)構(gòu)一個圖形表示上述乘法公式嗎？設(shè)計意圖：通過結(jié)構(gòu)幾何模型表示公式，以開拓學(xué)生思緒。通過數(shù)形結(jié)合、圖形直觀，以加深理解、增強(qiáng)記憶。第19頁第19頁5．小結(jié)（1）請你總結(jié)一下本節(jié)課討論問題基本過程。設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“基本套路”，即“多項式乘法（普通）——乘法公式（特殊）——公式特性分析——與相關(guān)知識聯(lián)系”。（2）為何要討論“特殊情形”？是如何得到？設(shè)計意圖：體會“如何提出問題”。第20頁第20頁（3）能否循著上述思緒，再提出一些值得研究問題？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研究。必要時可作提醒，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推廣“次數(shù)”，能夠研究(a+b)3，(a+b)4……。即使這不是“課標(biāo)”要求，但對學(xué)生思維發(fā)展是有好處。第21頁第21頁例3

函數(shù)概念理解和教學(xué)被扭曲函數(shù)概念教學(xué)舉例：（1）只在形式化變形上下功夫如圖所表示是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像一部分，圖像過點(diǎn)A(3,0)，對程軸為x=1，給出下列四個結(jié)論：①b＞4ac，②bc＜0，③2a+b=0，④a+b+c=0，其中正確結(jié)論是

。第22頁第22頁（2）與平面幾何知識疊加第23頁第23頁(3)將知識點(diǎn)拼湊、疊加，成為一個數(shù)學(xué)游戲——據(jù)稱，這是近幾年中考常見壓軸題。有評論說：“這樣題目的特點(diǎn)是通過采用寬入口、低起點(diǎn)、層層遞進(jìn)、逐步提升知識綜合程度，利用點(diǎn)和線圖形運(yùn)動，借助函數(shù)知識來研究圖形在運(yùn)動改變過程中數(shù)量關(guān)系，同時滲入各種數(shù)學(xué)思想辦法方式設(shè)計題目的問題，為題目的區(qū)別度奠定了較好基礎(chǔ)。”完全離開了函數(shù)背景，割裂了函數(shù)與客觀世界天然聯(lián)系。人為制造，矯揉造作！第24頁第24頁關(guān)于函數(shù)概念理解說文解字：函——信函，傳遞和交流信息書面形式。引申為（有順序）相應(yīng)關(guān)系。函數(shù)起源：函數(shù)起源于運(yùn)動，是應(yīng)“科學(xué)數(shù)學(xué)化”之所需?！皵?shù)學(xué)從運(yùn)動研究中引出了一個基本概念。在那以后二百年里，這個概念在幾乎所有工作中占中心位置，這就是函數(shù)——或變量間關(guān)系——概念?！保∕·克萊因）第25頁第25頁函數(shù)概念本質(zhì)函數(shù)概念本質(zhì)：兩個變量之間一個特殊相應(yīng)關(guān)系?！昂瘮?shù)”不是一個數(shù)，而是一個相應(yīng)關(guān)系。函數(shù)概念所反應(yīng)基本思想：運(yùn)動改變思想。教學(xué)關(guān)鍵任務(wù)：讓學(xué)生體驗“一個量伴隨另一個量改變而改變”過程——只有數(shù)字、圖形游戲是辦不到。第26頁第26頁題目比較我們習(xí)認(rèn)為常題目：這樣題目，只有形式化訓(xùn)練，主要在代數(shù)運(yùn)算上下功夫，函數(shù)味道很淡，“變量”、“運(yùn)動改變”、“一個量隨另一個量改變而改變”以及改變過程中“擬定關(guān)系”或“改變規(guī)律”等，都表達(dá)得不夠。換一個辦法出題目：第27頁第27頁函數(shù)味道很濃，“變量”、“一個量隨另一個量改變而改變”以及改變過程中“確定關(guān)系”或“改變規(guī)律”等，都得到充分表達(dá)。一定要了解了概念才干回答，如必須真正了解斜率k實際含義才干回答“是什么原因造成了他們所畫圖像不同？”兩種出題方法教育功效也是不同——后一個方法更有利于學(xué)生了解函數(shù)概念本質(zhì)；能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)作用；對學(xué)生能力培養(yǎng)更全方面。第28頁第28頁函數(shù)概念發(fā)展簡史背景：17世紀(jì)，科學(xué)家們致力于對運(yùn)動研究。如計算天體位置，長距離航海中對經(jīng)度和緯度測量，炮彈速度對于高度和射程影響等。涉及兩個變量之間關(guān)系，要依據(jù)這種關(guān)系對事物改變規(guī)律作出判斷，如依據(jù)炮彈速度推測它能達(dá)到高度和射程。第29頁第29頁萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線改變而改變幾何量，如坐標(biāo)、切線等。17，貝努利強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示。1755年，歐拉將函數(shù)定義為“假如一些變量，以一個方式依賴于另一些變量，我們將前面變量稱為后面變量函數(shù)”。當(dāng)初諸多數(shù)學(xué)家對不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣，甚至抱懷疑態(tài)度。第30頁第30頁1837年，狄利克雷提出：“假如對于x每一個值，y總有一個完全擬定值與之相應(yīng)，則y是x函數(shù)”。1870年代，伴隨集合概念出現(xiàn)，函數(shù)概念用愈加嚴(yán)謹(jǐn)集合與相應(yīng)語言表述。映射語言定義函數(shù)則是更晚事情了。第31頁第31頁函數(shù)概念教學(xué)要點(diǎn)為學(xué)生鋪設(shè)概括函數(shù)概念通道；精選實際例子——從實例出發(fā)，在函數(shù)概念引入、表示、性質(zhì)和應(yīng)用等階段都要注意使用實際例子，為學(xué)生提供理解函數(shù)概念“參考物”。一個好例子勝過一千次說教。不在字面含義、形式化“應(yīng)用”等方面糾纏，多讓學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)解釋詳細(xì)問題。圍繞運(yùn)動改變、變量、一個量隨另一個量改變而改變等，以實例為載體開展教學(xué)，加強(qiáng)思想辦法、函數(shù)建模等。第32頁第32頁例4一次函數(shù)例題教學(xué)一家電信公司給用戶提供兩種上網(wǎng)收費(fèi)方式：方式A以每分0.1元價格按上網(wǎng)時間計費(fèi)；方式B除收月基費(fèi)20元外，再以每分0.05元價格按照上網(wǎng)時間計費(fèi)。如何選擇收費(fèi)方式能使上網(wǎng)更合算？通常做法：列出函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像看出相交，再解二元一次方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖像，給出回答；或者引入“差額函數(shù)”，借助與x軸交點(diǎn)作答。第33頁第33頁充足挖掘本題教學(xué)價值問題1

10分兩種方式收費(fèi)各多少？20分呢？50分呢？——引導(dǎo)學(xué)生采用各種表征方式，用表格法很以便。時間（分）0102030405060方式A01.02.03.04.05.06.0方式B20.020.521.021.522.022.523.0第34頁第34頁問題2為何能夠用射線表示收費(fèi)情況？問題3為何方式A圖像通過原點(diǎn)，而方式B圖像通過點(diǎn)（0，20）？問題4如何找到上網(wǎng)a分時兩種方式各收費(fèi)多少？問題5計費(fèi)方式哪些方面在表格或圖像中表現(xiàn)出來了？（兩組數(shù)差是常數(shù)；每多上網(wǎng)1分，就要再付0.1元或0.05元）。第35頁第35頁問題6假如你不常上網(wǎng)，選哪種方式更合算？假如常上網(wǎng)呢？問題7假如你想盡也許長時間上網(wǎng)，但又不想讓費(fèi)用超出40元，該選哪種方式？問題8假如方式A收取基費(fèi)，或方式B提升基費(fèi)，對圖像有什么影響？（截距問題）問題9假如方式A決定將每分0.1元提升到每分0.15元，它圖像有什么改變？（斜率問題）問題10假如方式A改為不足1分按1分算，請畫出圖像。（階梯形）第36頁第36頁問題11哪種函數(shù)表示法更容易得到收費(fèi)相等時間點(diǎn)？問題12哪種函數(shù)表示法更容易看出每分收費(fèi)原則？問題13如何從表格中擬定收費(fèi)原則？問題14如何從圖像上擬定收費(fèi)增長快慢？問題15如何從圖像上看出用哪種方式更經(jīng)濟(jì)？第37頁第37頁例5

平行四邊形鑒定關(guān)鍵：鑒定與性質(zhì)邏輯關(guān)系，以此為載體，培養(yǎng)合情推理、邏輯推理能力教學(xué)過程設(shè)計關(guān)鍵點(diǎn)：復(fù)習(xí)——怎樣復(fù)習(xí)？不只是羅列知識點(diǎn)提出鑒定定理學(xué)習(xí)任務(wù)，由定義能夠鑒定（講清條件：兩組對邊相互平行），但條件表現(xiàn)形式是多樣化，依據(jù)不同條件更靈活地判斷——學(xué)習(xí)鑒定定理理由第38頁第38頁從操作開始，還是從逆命題開始？暫時認(rèn)同先操作：操作——猜想“兩組對邊相等四邊形為平行四邊形”——證實——接著干什么？（與性質(zhì)定理比較）后續(xù)猜想，能夠從性質(zhì)出發(fā)。假如還不做，則在小結(jié)時無論如何要說。第39頁第39頁當(dāng)前存在問題沒相關(guān)注思維自然，邏輯推理能力培養(yǎng)，停留在“試驗——猜想——證實——應(yīng)用”模式上。過度依賴試驗，減少了平面幾何教育價值。該推理時不推理，該證實時不證實——從普通到特殊、逆命題等，都“該證實”。第40頁第40頁例6用頻率預(yù)計概率如何理解頻率？——隨機(jī)變量，隨試驗結(jié)果改變而改變。概率，隨機(jī)還是擬定？事件A出現(xiàn)概率為0，A是不也許事件嗎？事件A出現(xiàn)概率為1，A是必定事件嗎？第41頁第41頁如何理解用頻率預(yù)計概率必要性？用拋擲硬幣、擲骰子例子好不好？姚明投籃：在姚明罰球出手一剎那，畫面停止，問“姚明罰進(jìn)概率有多大？”接著該干什么？——姚明罰球命中率客觀存在，假如知道該值大小，對對方球隊決議有幫助。假如該值小，罰球得分也許性小，能夠考慮犯規(guī)后“隨你投”；不然考慮不犯規(guī)。水到渠成地，提問：“如何求命中率？”第42頁第42頁現(xiàn)實中，通過統(tǒng)計歷史罰球統(tǒng)計來得到罰球命中率，即用頻率預(yù)計概率。假如知道一個隨機(jī)事件發(fā)生也許性大小——概率，有助于我們做決議，因此要想辦法知道它。概率統(tǒng)計定義——用頻率預(yù)計概率——一個得到概率辦法。第43頁第43頁正確理解“用頻率預(yù)計概率”普通地，在大量重復(fù)試驗中，假如事件A發(fā)生頻率m/n會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么事件A發(fā)生概率P(A)=p。只要試驗次數(shù)n足夠大，頻率m/n就能夠作為概率p預(yù)計值。只有大量試驗頻率才干作為概率預(yù)計嗎？——到底多少次是“足夠大”？頻率總能夠作為概率預(yù)計