學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解并掌握微積分基本定理的含義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解并掌握微積分基本定理的含義.2.會(huì)利用微積分基本定理求函數(shù)的積分．知識(shí)點(diǎn)一微積分基本定理(牛頓—萊布尼茨公式)1．微積分基本定理a(1)條件：f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)；(2)結(jié)論：?bf(x)dx＝F(b)－F(a)；a(3)符號(hào)表示：?bf(x)dx＝F(x)|b＝F(b)－F(a)．a(chǎn) a2．常見的原函數(shù)與被積函數(shù)關(guān)系?bcdx＝cx|b(c)．a(chǎn) a1?bxndx＝

xn＋1

b(n≠－1)．a(chǎn) n＋1 a?bsinxdx＝－cosx|b.a a?bcosxdx＝sinx|b.a a1aa?bxdx＝lnx|b(b>a>0)．a(chǎn)a?bexdx＝ex|b.a

aaxb(a>0且a≠1)．a(chǎn) lnaaa2 3aba

xdx＝

3x2b(b>a>0)．思考使用微積分基本定理時(shí)，被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)是否唯一？答案不唯一．它們之間相差常數(shù)C，計(jì)算定積分時(shí)只需找到一個(gè)即可．知識(shí)點(diǎn)二定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S ，在x軸下方的面積為S ，則上 下x軸上方時(shí)，如圖①，則?bf(x)dx＝Sa 上．x軸下方時(shí)，如圖②，則?bf(x)dx＝－Sa 下．a(chǎn)xa

－S S上 下．＝S ，則?bf(x)dx＝0.上 下 a思考定積分與曲邊梯形的面積一定相等嗎？答案f(x)≥0f(x)≥0不恒成立，則不相等．a(chǎn)1．對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，存在唯一的函數(shù)F(x)，使F′(x)＝f(x)．( ×2．?bf′(x)dx＝f′(b)－f′(a)．( ×)3．微積分基本定理中，被積函數(shù)f(x)是原函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)．( √)a4．應(yīng)用微積分基本定理求定積分的值時(shí)，被積函數(shù)在積分區(qū)間上必須是連續(xù)函數(shù)√)一、利用微積分基本定理求定積例1 求下列定積分：1(1)?3(x2－3x＋1)dx；1－(cosxsinx)dx(2) 4 ；01 21?2ex－xdx；2x3－1?31

dx.1 3 解(1)∵3x3－2x2＋x′＝x2－3x＋1，∴?3

(x2－3x＋1)dx＝1

3－3x2＋x3－1 3x 2

－1＝9－27＋3－－1－3－1＝4. 2 3 2 3(2)∵(sinx＋cosx)′＝cosx－sinx，(cosxsinx)dx＝(sinx＋cosx)|＝2－1.∴4 40 0(3)∵(ex－2lnx)′＝ex－2，x∴?2ex－2dx1 x1＝(ex－2lnx)|2＝(e2－2ln2)－e＝e2－e－2ln2.12x3－1

2 1(4)∵?3 x2 dx＝?3x－ dx，1 1 x2又x2＋1′＝2x－1， x2x3－1

x21 1＋11 1∴?3 x2

dx＝

3＝3.反思感悟(1)用微積分基本定理求定積分的步驟：①求被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)．②計(jì)算F(b)－F(a)．(2)用微積分基本定理求定積分的注意事項(xiàng)：①有時(shí)需先化簡(jiǎn)被積函數(shù)f(x)，再求積分．②被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)有無窮多個(gè)，即F(x)＋C，計(jì)算時(shí)，一般只寫一個(gè)最簡(jiǎn)單的，不再加任意常數(shù)C.0跟蹤訓(xùn)練1 求下列定積分：(1)?1(2x＋ex)dx；011 1(2)?2x－3cosxdx；sinxcosx2dx(3) 2 2 2 ；0 0(4)?3(x－3)(x－4)dx.0解(1)?1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10 0＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.1 ?21－3cosx1 x＝(lnx－3sinx)|21＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1)＝ln2－3sin2＋3sin1.∵sinx－cosx2 2 2 ＝1－2sinxcosx＝1－sinx，2 sinxcosx2dx(1sin∴2 2 2 20 0＝(x＋cosx)|20＝π＋cosπ－(0＋cos0)＝π－1.2 2(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，0∴?3(x－3)(x－4)dx00＝?3(x2－7x＋12)dx00＝1x3－72＋12x03 2x 3＝1×33－7

2＋12×3－0＝273 2×3 2.二、求分段函數(shù)的定積分2，≤，例2 (1)若f(x)＝ cosx－，>0，

2f(x)dx.12解 f(x)x021

x2dx(cosx，202又因?yàn)?3

，(sinx－x)′＝cosx－1，3x′＝x2所以原式＝1 所以原式＝3－1

＋(sinx－x)

20＝0＋1＋sin

π－π－(sin0－0) 3 2 .＝4－π.3 2k2＋，－≤2， 40k(2)已知f(x)＝2＋1，2≤，

若?3f(x)dx＝

(－2≤k≤0)，求實(shí)數(shù)k的值．解∵－2≤k≤0，∴?3f(x)dx＝?2(2x＋1)dx＋?3(x2＋1)dx＝(x2＋x)|2＋

1x3＋x3＝(22＋2)－k k 2

k 3 2＋k)＋3＋1

3－

1

＋k)＝40

＋k＝0，解得k＝0或k＝－1.(k2

2＋3×2 3 2 3 2綜上所述，k＝0或k＝－1.反思感悟分段函數(shù)定積分的求法利用定積分的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為各區(qū)間上定積分的和計(jì)算．當(dāng)被積函數(shù)含有絕對(duì)值時(shí)，常常去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的定積分再計(jì)算．0跟蹤訓(xùn)練2 (1)計(jì)算定積?4|2x－6|dx.02x，3，解∵y＝|2x－6|＝－，<，∴?4|2x－6|dx＝?3(－2x＋6)dx＋?4(2x－6)dx0 0 3＝(－x2＋6x)|3＋(x2－6x)|4＝9＋1＝10.0 3x，0，1(2)若f(x)＝ 求?πf(x)dx1cos，>，x，0，解∵f(x)＝cos，>，－1 －1 0 －1 0 e ∴?π f(x)dx＝?0 exdx＋?πcosxdx＝ex|0 ＋(sinx)|π＝1－1＋－1 －1 0 －1 0 e 1d1．計(jì)e x的值( )1dxA．0 B．－1 C．2 D．1答案D1解析?exdx＝lnx|e＝lne－ln1＝1.11 11 112．若?a2x＋xdx＝3＋ln則a的值是( )A．5 B．4 C．3 D．2答案D 1 1解析?a2x＋dx＝?a2xdx＋?adx1 x 1 1x＝x2|a＋lnx|a＝a2－1＋lna＝3＋ln2，1 1解得a＝2. 3．

312sin

2d等于( )0 3－231C.2答案D

13232 3解析312sin2 d3cosdsin|3 .0 2 0 2 22，0≤≤，4．設(shè)f(x)＝ 則?2f(x)dx＝ .答案56

2－1<≤，

01

1 5?2f(x)dx＝?1x2dx＋?2(2－x)dx＝

x31＋2x－x22＝.0 0

3 0 2 1 615．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若?1f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝ .1－或3答案－1 1或3解析 －1)＝3＋2＋)1

＝4，11－2f(a)＝6a2＋4a＋2，.由題意得6a2＋4a＋2＝4，解得a＝－1或1.3知識(shí)清單：(1)牛頓——(2)定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系．23．常見誤區(qū)：誤以為曲邊梯形的面積是被積函數(shù)對(duì)應(yīng)圖形在幾個(gè)區(qū)間上的定積分之和．0定積?1e－xdx等于( 01A.e－1

B．1 1－e1 D 1 1－e＋e答案B解析∵(－e－x)′＝e－x，100∴?1e－xdx＝(－e－x)|1＝1－e.100

．－e－11 11計(jì)算定積?e＋xdx等( )A．e－1 B．e C．e＋1 D．1 1＋e答案Bx解析∵(x＋lnx)′＝1＋1，x∴定積分?e1＋1dx＝(x＋lnx)|e1 x 1＝(e＋lne)－(1＋ln1)＝e.1 11?2ex＋xdx等( )A．e2－ln2 B．e2－e－ln2C．e2＋e＋ln2 D．e2－e＋ln2答案Dex＋1

x＋lnx)|解析?21

xdx＝(e 201＝(e2＋ln2)－(e＋ln1)＝e2－e＋ln2.4．已知定積?1(kx＋1)dx＝k，則實(shí)數(shù)k等于( 01A．2 B．－2 C．1 D．－1答案A001 2＋x00解析

2kx 1＝k，1∴2k＋1＝k，∴k＝2，故選A.12，－≤，5．已知f(x)＝1，1，

則?2f(x)dx的值為( )1－13 5 2 2A.2 B.3 C.3 D．－3答案B解析3，≤，6．設(shè)f(x)＝

則?11f(x)dx＝ .? sin，>， －答案3－cos1q 4解析1

1x3dx＋?1sinxdx－ 0\o\a014 ＋－cos04x－1 1＝1×04－1

4＋[－cos1－(－cos0)]4 4×－1＝3－cos1.4若

(sinxacos202

＝2，則實(shí)數(shù)a等．答案－1(sinxacos解析 20＝(－cosx－asinx)|20＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，∴a＝－1.f(x)＝ax2＋c(a≠0)?1f(x)dx＝f(x

)(0≤x

≤1)

＝ .答案 33解析∵?1f(x)dx＝

01ax3＋cx1＝1

0 0 0＋c，0 3 3a1∴a＋c＝ax2＋c，3 0∴x2＝1，又0≤x≤1，∴x＝ 30 3 0 0 3.1f(x)＝xn＋mxf′(x)＝2x＋2?3f(－x)dx.1解∵f(x)＝xn＋mx的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋2，∴nxn－1＋m＝2x＋2，解得n＝2，m＝2，∴f(x)＝x2＋2x，則f(－x)＝x2－2x，∴?3f(－x)dx＝?3(x2－2x)dx1 1＝1x3－x23＝9－9－1＋1＝23 1

3 3.0f(a)＝?1(2ax2－a2x)dx的最大值．0解∵2ax3－1a2x2′＝2ax2－a2x，3 2 ∴1(2ax2－a2x)dx＝2ax3－1a2x210＝2 1

3

03a－2a即f(a)＝2 1

4＋23a－2a2 ＝－1a－22＋2，

3a＋9 92 3 9∴當(dāng)a＝2時(shí)，f(a)有最大值23 9.曲線y＝sinx(0≤x≤π) 1 ( )與直線y＝2圍成的封閉圖形的面積是33A. B．2－333π D. π3－3答案D解析令sinx＝1

－3≤x≤π)，2(0則x＝π或x＝5π，6 6所以曲線y＝sinx(0≤x≤π)與y＝1圍成的封閉圖形的面積為25sinx1dxcosx

x|56 6 2 6

26＝－cos5π－5π＋cosπ＋π＝3－π6 12 6 12 3.012．?3|x2－4|dx等于( )021 22 23 25A.3 B.3 C.3 D.3答案C－ 4－2，≤<，解析∵|x2

4|＝

－4，2≤x≤3，2∴?3|x2－4|dx＝?2(4－x2)dx＋?3(x2－4)dx0 ＝1x3－4x

24x－1 33203 3＋20

3x2 3 ＝9－12－8－8 3 .＝－3－8＋8＋8－8＝23.3 3 3若f(x)＝x2＋2?1f(x)dx，則?1f(x)dx等于( )131

0 0－1答案A0解析∵f(x)＝x2＋2?1f(x)dx，0

D．1x3＋2x?1 ∴?1f(x)dx＝1 fxdx 10 3 0 03 2 3 2 ＝＋?10f(f(x)dx＝－3.∴?101已知2≤?2(kx＋1)dx≤4，則實(shí)數(shù)k的取值范圍．12 答案3，2解析

1kx2＋x2＝3＋1. 1 2 1 2k由2≤3 22k＋1≤4，得3≤k≤2.x＋12，－1≤x≤0，已知函數(shù)f(x)＝ 則

f(x)dx＝ .1 π答案

10， 1解析1

1－x2dx，?－1

－1 3＋1－11

0＝1，3?10故

1－x2dx以原點(diǎn)為圓心，以1為半