第0章數(shù)學(xué)預(yù)備知識—矢量、場論本章重點論述梯度、散度、旋度三個重要概念及其在不一樣樣坐標(biāo)系中運算公式，它們?nèi)咧g關(guān)系。其中包括兩個重要定理：即Gausstheorem和Stokestheorem，以及二階微分運算和算符運算重要公式。第1頁本章主要內(nèi)容●矢量運算●標(biāo)量場梯度算符●矢量場散度高斯定理●矢量場旋度斯托克斯定理●在正交曲線坐標(biāo)系中算符表達(dá)式●二階微分算符格林定理第2頁§0-1矢量運算1、兩矢量標(biāo)量積與矢量積第3頁2、混合積3、三重矢積滿足旋轉(zhuǎn)定律abc不滿足互換定律第4頁4、矢量求導(dǎo)法則若則有第5頁§0-2場論分析一、標(biāo)量場梯度，算符1、場概念場是用空間位置函數(shù)來表征。在物理學(xué)中，常常要研究某種物理量在空間分布和變化規(guī)律。假如物理量是標(biāo)量，那么空間每一點都對應(yīng)著該物理量一種確定數(shù)值，則稱此空間為標(biāo)量場。如電勢場、溫度場等。假如物理量是矢量，那么空間每一點都存在著它大小和方向，則稱此空間為矢量場。如電場、速度場等。若場中各點處物理量不隨時間變化，就稱為穩(wěn)定場，否則，稱為不穩(wěn)定場。第6頁2、方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是標(biāo)量函數(shù)在一點P處沿任意方向?qū)嚯x變化率，它數(shù)值與所取方向有關(guān)，一般來說，在不一樣樣方向上值是不一樣樣，但它并不是矢量。如圖所示，為場中任意方向，P1是這個方向線上給定一點，P2為同一線上鄰近一點。P1P2第7頁為p2和p1之間距離，從p1沿到p2標(biāo)量函數(shù)增量為若如下極限存在，則該極限值記作，稱之為標(biāo)量場在p1處沿方向?qū)?shù)。3、梯度由于從一點出發(fā)，有無窮多種方向，即標(biāo)量場在一點處方向?qū)?shù)有無窮多種，其中，若過該點沿某一確定方向獲得在該點最大方向?qū)?shù)，第8頁則可引進(jìn)梯度概念。記作稱之為在該點梯度（grad是gradient縮寫），它是一種矢量，其大小，其方向即過該點獲得最大方向?qū)?shù)某一確定方向,即方向。

4.方向?qū)?shù)與梯度關(guān)系：p1p0p2等值面等值面θ是等值面上p1點法線方向單位矢量。它指向增長方向。表達(dá)過p1點任一方向。第9頁顯見，因此即p1p0p2等值面等值面θ第10頁該式表明：即沿某一方向方向?qū)?shù)就是梯度在該方向上投影。梯度概念重要性在于，它用來表征標(biāo)量場在空間各點沿不一樣樣方向變化快慢程度。5、算符（哈密頓算符）算符既具有微分性質(zhì)又具有矢量性質(zhì)。在任意方向上移動線元距離dl，增量稱為方向微分，即第11頁讀作“del”，或“nabla”在直角坐標(biāo)系中表達(dá)二矢量場散度高斯定理1、通量一個矢量場空間中，在單位時間內(nèi)，沿著矢量場方向經(jīng)過流量是dN，而dN是以ds為底，以vcosθ為高斜柱體體積，即第12頁稱為矢量經(jīng)過面元通量。對于有向曲面s，總能夠?qū)分成許多足夠小面元，于是經(jīng)過曲面s通量N為θds每一面元通量之和對于閉合曲面s，通量N為2、散度設(shè)封閉曲面s所包圍體積為，則

就是矢量場在中單位體積平均通量，或者平均發(fā)散量。當(dāng)閉合曲面s及其所包圍體積向其內(nèi)某點收縮時，若平均發(fā)散量極限值存在，便記作第13頁稱為矢量場在該點散度(div是divergence縮寫)。散度主要性在于，可用表征空間各點矢量場發(fā)散強弱程度，當(dāng)div，表示該點有散發(fā)通量正源；當(dāng)div，表示該點有吸收通量負(fù)源；當(dāng)div，表示該點為無源場。3、高斯定理它能把一種閉合曲面面積分轉(zhuǎn)為對該曲面所包圍體積體積分，反之亦然。第14頁4、散度運算法則：

例1：求。其中，為常矢量解：第15頁例2：證明其中第16頁三、矢量場旋度斯托克斯定理1、矢量場環(huán)流

在數(shù)學(xué)上，將矢量場沿一條有向閉合曲線L（即取定了正方向閉合曲線）線積分稱為沿該曲線L循環(huán)量或環(huán)流。2、旋度設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點附近，那么以閉合曲線L為界面積逐漸縮小，也將逐漸減小，一般說來，這兩者比值有一極限值，記作第17頁即單位面積平均環(huán)流極限。它與閉合曲線形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界面積法線方向，且一般L正方向與規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則，為此定義稱為矢量場旋度（rot是rotation縮寫）。旋度重要性在于，可用以表征矢量在某點附近各方向上環(huán)流強弱程度，假如場中到處rot稱為無旋場。在直角坐標(biāo)系中表達(dá)為：第18頁3、斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）

它能把對任意閉合曲線邊界線積分轉(zhuǎn)換為對該閉合曲線為界任意曲面面積分，反之亦然。4、旋度運算法則

物理意義：所有面積元邊線上環(huán)流之和等于整個曲面邊線L上環(huán)流。第19頁例1：為常矢量。解：第20頁§0-3正交曲線坐標(biāo)系及運算表達(dá)式一、柱坐標(biāo)()基本單位矢量為只有不隨位置變化，隨位置都要發(fā)生變化

1.梯度

在方向上方向?qū)?shù)為;在方向上方向?qū)?shù)為;在方向上方向?qū)?shù)為而第21頁即柱坐標(biāo)系中算符表達(dá)式為：2.散度：3.單位矢量微商

zxyz為常數(shù)平面r為常數(shù)平面為常數(shù)平面r第22頁4.旋度：

5.二階微分

在4，5中都應(yīng)用到了單位矢量微商結(jié)果二、球坐標(biāo)

1.梯度

第23頁2.單位矢量微商

第24頁4.二階微分運算

3.散度

5.旋度

第25頁§0-4二階微分算符格林定理1、一階微分運算將算符直接作用于標(biāo)量場和矢量場，則分別得到梯度、散度和旋度，即這些都叫一階微分運算。舉例：a)設(shè)為源點與場點之間距離，r方向規(guī)定為由源點指向場點，試分別對場點和源點求r梯度。第一步：源點固定，r是場點函數(shù)，對場點求梯度用r表達(dá)，則有第26頁場點（觀察點）源點坐標(biāo)原點o而同理可得：故得到：第27頁第二步：場點固定，r是源點函數(shù)，對源點求梯度用表達(dá)。而同理可得：因此得到：第28頁b)設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z函數(shù)，證明證：這是求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)（梯度），按復(fù)合函數(shù)微分法則，有第29頁c)設(shè)求解：而同理可得第30頁那么這里同理可得故有第31頁由此可見：d)設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z函數(shù)，證明證：第32頁e)設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z函數(shù)，證明證：第33頁2、二階微分運算

將算符作用于梯度、散度和旋度，則稱為二階微分運算，設(shè)為標(biāo)量場，為矢量場。第34頁并假設(shè)分量具有所需要階持續(xù)微商，則不難得到：（1）標(biāo)量場梯度必為無旋場（2）矢量場旋度必為無散場（3）無旋場可表到達(dá)一種標(biāo)量場梯度（4）無散場可表到達(dá)一種矢量場旋度第35頁（5）標(biāo)量場梯度散度為（6）矢量場旋度旋度為3、運算乘積（1）第36頁第37頁（2）第38頁（3）第39頁（4）（5）第40頁(6)根據(jù)常矢運算法則則有：第41頁故有：(7)根據(jù)常矢運算法則：則有第42頁（8）由于故有從而得到：第43頁4、格林定理(Green’stheorem)由Gauss’stheorem得到:將上式互換位置，得到以上兩式相減，得到第44頁第一章電磁現(xiàn)象普遍規(guī)律§1.1電荷和電場

§1.2電流和磁場

§1.3麥克斯韋方程組

§1.4介質(zhì)電磁性質(zhì)

§1.5電磁場邊值關(guān)系

§1.6電磁場能量和能流第45頁二、場論知識數(shù)學(xué)準(zhǔn)備知識復(fù)習(xí)一、矢量分析第46頁第47頁恒等式第48頁1.1電荷和電場

一、庫侖定律設(shè)真空中有二靜止點電荷Q、Q’，庫侖由試驗發(fā)現(xiàn)Q對于Q’有一作用力F為:(1.1-1)

其中

是真空介電常數(shù)；r為由Q到Q’矢量。

(1.1-2)

它是一試驗定律，但可以有兩種截然不一樣樣物理解釋。一種認(rèn)為Q超越空間距離作用于Q’，這種觀點稱為超距作用或遠(yuǎn)距作用觀點。另一觀點認(rèn)為Q在其周圍空間產(chǎn)生或激發(fā)電場:而Q’在電場E中所受力F為:后一觀點稱為近距作用觀點，認(rèn)為靜止電荷在其周圍空間激發(fā)一電場E，另一靜止電荷Q’受到該電場E作用，因此，電荷與(1.1-3)

第49頁電荷之間是通過電場作用。實踐證明通過場來傳遞互相作用觀點是對旳。由試驗懂得，電場具有迭加性，(1.1-4)

設(shè)第i個電荷Qi到P點距離為ri，則P點上總電場強度E為若電荷持續(xù)分布于區(qū)域V內(nèi)，如圖1－1所示，則P點上電場強度E為其中是dV所在點電荷密度，r是由源點dV到場點P矢量。

(1.1-5)(1.1-6)第50頁二、高斯(Gauss)定理和電場散度設(shè)S表達(dá)包圍著電荷Q一種閉合曲面，dS為S上定向面元，以外法線方向為正向，如圖1-2所示。通過閉合曲面S電場E通量定義為面積分A高斯定理高斯定理：電場E通過任一閉合曲面S總通量等于S內(nèi)總電荷量除以，而與S外電荷無關(guān)。用公式表達(dá)為式中，Q為閉合曲面內(nèi)總電荷。(1.1-7)第51頁(1)若閉合曲面內(nèi)有多種電荷Qi，則E對閉合曲面S通量為（Qi在S內(nèi)）(2)假如電荷持續(xù)分布于空間中，則E對閉合曲面S通量為式中V為S所包圍體積。上式右邊是V內(nèi)總電荷量，與V外電荷分布無關(guān)。根據(jù)矢量場積分變換公式(高斯公式)不難得到，(1-8)式可以表達(dá)為微分形式上式表明:(1)電荷是電場源，電力線從正電荷發(fā)出而終止于負(fù)電荷。若在某處，則在該點處,表達(dá)在該處既沒有電力線發(fā)出，也沒有電力線終止，不過可以有電力線持續(xù)通過該處。(1.1-8)(1.1-9)第52頁(2)(1-9)式稱為高斯定理微分形式。僅合用于電荷持續(xù)分布狀況。(3)空間某點處電場散度只和該點上電荷密度有關(guān)，而與其他點電荷分布無關(guān)。(4)在個別教材中（如北大教材），此定理又稱為奧斯特洛拉德斯基—高斯定理，簡稱奧—高定理。

B高斯定理(1-8)式證明*試作E對任意閉合曲面積分，即求電通量由(1-6)式可知因只與源點位置有關(guān)，dS只與場點位置有關(guān)，而r則和源點、場點位置均有關(guān)系，上式可互換積分次序如下：

是dS在矢徑r方向投影，剛好是dS對點所張立體角如圖1-2所示。第53頁第54頁若dV在閉曲面內(nèi)，則積分因此因此若dV在閉曲面外，則積分C靜電場旋度根據(jù)電場強度表達(dá)式（1-6），靜電場旋度互換積分運算和微分運算次序，并運用求得此式表明靜電場是無旋。但在一般狀況下變化電場是有旋。根據(jù)斯托克斯（Stokes），可得電場E對任一閉合回路L環(huán)量即，靜電場E對任一回路環(huán)量恒為零。(1.1-10)第55頁解：與帶電球同心，作半徑為r球面，由電荷分布球?qū)ΨQ性，球面上各點電場強度有相似值，并且都沿徑向。當(dāng)時，球面所圍總電荷為Q.而時，球內(nèi)電荷總量是由高斯定理得因此得例一:電荷Q均勻分布在半徑為a球內(nèi)，求空間各點電場強度，并由此得到電場強度計算電場散度和旋度。第56頁目前計算電場散度和旋度第57頁1.2電流和磁場

一、電荷守恒定律A、電流密度電流是由電荷定向運動形成。當(dāng)電荷在細(xì)導(dǎo)線中運動時，電流方向即是導(dǎo)線取向。電流大小用電流強度I描述，它等于單位時間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面電量：如圖1－4，設(shè)dS為某曲面上一種面元，它與該點上電流方向有夾角θ。定義電流密度J，它方向沿著該點上電流方向，它數(shù)值等于單位時間垂直通過單位面積電量，即(1.2-1)

圖1－4或

通過任一曲面S總電流強度I為(1.2-2)

第58頁假如電流由一種運動帶電粒子構(gòu)成，設(shè)帶電粒子電荷密度為ρ，平均速度為v，則電流密度為假如有幾種帶電粒子，其電荷密度分別為ρi，平均速度為vi，有電荷流動形成電流，但電荷有正、負(fù)兩種，正、負(fù)電荷速度可以不一樣樣，因此電荷密度和電流密度可表為可見，有,而狀況。導(dǎo)線中電流就是這樣。宏觀地說，導(dǎo)線內(nèi)部原子核正電荷與電子負(fù)電荷到處抵消，但自由電子集體運動可形成電流。(1.2-3)

(1.2-4)

B、電流密度與電荷密度關(guān)系第59頁電荷守恒定律是自然界一條基本定律，是從大量實踐中總結(jié)出來。它可以表述為：電荷既不能創(chuàng)生，也不能消滅，只能從一種物體轉(zhuǎn)移到另一種物體，或者從這一部分空間轉(zhuǎn)移到另一部分空間。也可以表述為：在孤立系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生任何過程中，正負(fù)電荷代數(shù)和保持恒定?？紤]空間中一確定區(qū)域V，其邊界為閉合曲面S。當(dāng)物質(zhì)運動時，也許有電荷進(jìn)入或流出該區(qū)域。不過由于電荷不也許產(chǎn)生或消滅，假如有電荷從該區(qū)域流出話，區(qū)域V內(nèi)電荷必然減小。因此，通過界面流出總電流應(yīng)當(dāng)?shù)扔赩內(nèi)電荷減小率這是電荷守恒定律積分形式。應(yīng)用高斯定理把面積分變?yōu)轶w積分即得微分形式上式稱為電流持續(xù)性方程，它是電荷守恒定律微分形式。(1.2-5)

(1.2-6)

C、電荷守恒定律第60頁以上公式是對任意變化電流成立。在恒定電流狀況下，一切物理量不隨時間而變，因而,因此由(1.2-6)式得上式表明，穩(wěn)恒電流分布是無源，其流線必為閉合曲線，沒有發(fā)源點和終止點。導(dǎo)電物質(zhì)中歐姆定律可以表達(dá)為式中為電導(dǎo)率。二、畢奧－薩伐爾（Biot-Savart）定律A、電流間互相作用安培定律試驗證明兩個電流之間存在著作用力。安培（Ampere）分析了大量試驗資料后來，總結(jié)出了真空中兩個穩(wěn)恒電流元之間作用力公式。設(shè)真空中有二回路，其中各有穩(wěn)定電流I1，I2流過。安培等人由大量試驗分析證明：回路1中線元dl1對回路2中線元dl2有作用力式中，r是由線電流元I1dl1到I2dl2矢量。(1.2-8)

第61頁B、畢奧－薩伐爾定律線電流元I1dl1激發(fā)一磁場，這磁場在I2dl2點值為而線電流元I2dl2受該點磁場作用力為上式表達(dá)磁場對電流元作用力，也可以看作磁場定義。B為磁感應(yīng)強度。假如考慮整個回路1所激發(fā)磁場，則磁感應(yīng)強度表達(dá)為式中，r是由dl所在點(源點)到觀測點(場點)矢量。一般來說，電流可在空間作圖1-5持續(xù)分布，存在電流密度J。在電流場中沿電流線作一小柱形，如圖1-5，這一小柱形可看為一種線電流元。設(shè)柱形長為dl，截面積為dS,則(1.2-9)

(1.2-10)

(1.2-11)

圖1－5第62頁其中，dV為小柱形體積。于是，(1.2-11)式可以推廣成式中，J(x’)為x’點上電流密度，r為由源點x’到觀測點x距離。畢奧－薩伐爾定律給出是穩(wěn)恒電流激發(fā)磁場規(guī)律。三、磁場散度因由畢奧－薩伐爾定律(1.2-12)式得注意：算符▽是對x微分算符，與x’無關(guān)。并注意到只依賴于源點坐標(biāo)(x’)，于是(1.2-12)

(1.2-13)

第63頁式中令A(yù)稱為磁場矢勢。由(1.2-3)式以及矢量分析二階微分得根據(jù)矢量積分公式可得此式是穩(wěn)恒磁場B無源性積分形式，它表明B對任何閉合曲面總通量為零。四、磁場環(huán)量和旋度在電磁學(xué)中我們懂得，磁場沿閉合曲線環(huán)量與通過閉合曲線所圍曲面電流I成正比式中L為任一閉合曲線，I為通過L所圍曲面總電流，不通過L所圍曲面電流對環(huán)量沒有奉獻(xiàn)。此式又稱為安培環(huán)路定律。(1.2-14)

(1.2-15)

(1.2-16)

第64頁對于持續(xù)電流分布J，在計算磁場沿回路L環(huán)量時，只需考慮通過以L為邊界曲面S電流，在S以外流過電流沒有奉獻(xiàn)。因此，安培環(huán)路定律又可表達(dá)為根據(jù)斯脫克斯公式可知由于dS任意性得上式是穩(wěn)恒磁場一種基本微分方程。運用畢奧－薩伐爾定律也可以推導(dǎo)出此式。由關(guān)系式，以及先計算這里算符▽是對x微分算符，不作用于上。(1.2-17)

(1.2-18)

(1.2-19)

第65頁由于對r函數(shù)而言，有因此上式可寫為應(yīng)用公式可得由于積分區(qū)域V’具有所有區(qū)域，在V’邊界面S’上因此再計算運用關(guān)系式可得

(1.2-20)

(1.2-21)

第66頁將(1.2-20)式和(1.2-21)式代入恒等式得

注1.實踐證明在一般變化磁場下也是成立，而只在穩(wěn)恒狀況下成立，在一般狀況下需要推廣。注2.注意旋度概念局域性，即某點上磁感應(yīng)強度旋度只和同一點上電流密度有關(guān)。注3.雖然對任何包圍著導(dǎo)線回路均有磁場環(huán)量，不過磁場旋度只存在于有電流分布導(dǎo)線內(nèi)部，而在周圍空間中磁場是無旋。(1.2-22)

第67頁作業(yè)P466、7、8Thankyou第68頁復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容1電場散度2電場旋度結(jié)論：靜電場是有散無旋場3電荷守恒定律4畢奧－薩伐爾定律5磁場散度6磁場旋度結(jié)論靜磁場是無散有旋場7穩(wěn)恒條件8重要公式r表達(dá)源點到場點矢量第69頁1.3麥克斯韋方程組

試驗發(fā)現(xiàn)，不僅電荷激發(fā)電場，電流激發(fā)磁場，并且變化著電場和磁場可以互相激發(fā)，電場和磁場成為統(tǒng)一整體——電磁場。和恒定場相比，變化電磁場新規(guī)律重要是：(1)變化磁場激發(fā)電場(法拉第電磁感應(yīng)定律)；(2)變化電場激發(fā)磁場(麥克斯韋位移電流假設(shè))。一、電磁感應(yīng)定律有關(guān)電磁感應(yīng)現(xiàn)象，1831年Faraday從試驗中總結(jié)出如下規(guī)律：閉合導(dǎo)體回路中感生電動勢與通過以該回路為邊界任一曲面磁通量減少率成正比。Faraday電磁感應(yīng)定律可表達(dá)為式中S為閉合線圈L所圍一種曲面，dS為S上一種面元。規(guī)定L圍繞方向與dS法線方向成右手螺旋關(guān)系。(1.3-1)

第70頁麥克斯韋對法拉第電磁感應(yīng)定律進(jìn)行了仔細(xì)分析，在1861年提出了渦旋電場假設(shè)。他認(rèn)為，感應(yīng)電動勢出現(xiàn)是由于回路中存在非靜電性質(zhì)電場，稱為感應(yīng)電場。導(dǎo)體存在與否是非本質(zhì)，雖然導(dǎo)體不存在，空間也應(yīng)當(dāng)存在感應(yīng)電場，它和回路中電動勢關(guān)系是感應(yīng)電場與靜電場存在著明顯差異，它沿閉合回路積分一般不為零，也就是說，它電力線具有渦旋狀構(gòu)造，因此也稱為渦旋電場。有了渦旋電場概念后，法拉第電磁感應(yīng)定律可深入寫成應(yīng)用斯托克斯(Stokes)將上式化為微分形式后得這個方程就是電磁感應(yīng)定律微分形式。(1.3-2)

(1.3-3)

第71頁上式表明，在空間任一點，磁場隨時間變化都要激發(fā)電場，這種電場不一樣樣于靜電場，它旋度不為零，因而是渦旋電場。對于靜電場滿足因此當(dāng)空間既有靜電場，又有渦旋電場時，總電場為則有關(guān)系式為第72頁二、位移電流A、問題提出我們已經(jīng)懂得變化磁場激發(fā)電場，那么變換電場與否激發(fā)磁場？在回答這個問題之前，我們先考察一下穩(wěn)恒電流磁場旋度在變化電磁場狀況下它與否還對旳呢?假設(shè)上式可以推廣到變化電磁場狀況，那么此式表明，變化電磁場狀況下仍有即電流仍然是穩(wěn)恒。由電荷守恒定律還可深入推出空間各點電荷密度都滿足，不隨時間變化。而在非恒定情形下，一般有由此可見，把合用于穩(wěn)恒電流狀況(1.2-22)式推廣到非穩(wěn)狀況時，它與電荷守恒定律發(fā)生嚴(yán)重矛盾。因此式(1.2-22)不能推廣到變化電磁場狀況，必須修改。(1.2-22)

第73頁B、位移電流為了處理上述矛盾，麥克斯韋(Maxwell)提出一種假設(shè)：在非穩(wěn)恒狀況下，產(chǎn)生磁場原因不僅是傳導(dǎo)電流J，應(yīng)當(dāng)尚有新來源，即存在一種稱為位移電流物理量JD，它與電流J合起來構(gòu)成閉合量位移電流JD與電流J同樣產(chǎn)生磁效應(yīng)此式兩邊散度都等于零，同步滿足電荷守恒定律，因而理論上就不再有矛盾。由電荷守恒定律可知，電荷密度與電場散度有關(guān)系式(1.3-4)

(1.3-5)

(1.3-6)

(1.3-7)

第74頁將(1.3-6)式和(1.3-7)式合并可得與(1.3-4)式比較即得JD一種也許表達(dá)式于是有注1.位移電流實質(zhì)上是電場變化率(?)，它表明變化電場可以激發(fā)磁場。注2.位移電流假設(shè)是麥克斯韋首先引入，它對旳性由以后有關(guān)電磁波廣泛實踐所證明。(1.3-8)

(1.3-9)

第75頁三、真空中麥克斯韋方程組真空中變化電磁場由兩個矢量E、B描寫，滿足這組方程稱為麥克斯韋方程組。注1.麥克斯韋兩個基本假設(shè)：渦旋電場假設(shè)，位移電流假設(shè)。注2.麥克斯韋根據(jù)他所作兩個假設(shè)，預(yù)言了電磁波存在，赫茲用試驗證明了電磁波確實存在，有力地證明了麥克斯韋理論。注3.麥克斯韋方程組最重要特點是：它揭示了電磁場內(nèi)部作用和運動規(guī)律，揭示了電磁場可以獨立于電荷之外而存在。電磁場互相激發(fā)，在空間中運動傳播，形成電磁波。(1.3-10)

第76頁四、洛倫茲(Lorentz)力公式有關(guān)電磁場對電荷、電流作用力，此前已懂得有兩個公式，一種是由庫侖定律導(dǎo)出靜止電荷Q受到電場力F公式，另一種是穩(wěn)恒電流元JdV受到磁場作用力公式，若電荷為持續(xù)分布，其密度為，則電荷系統(tǒng)單位體積所受力密度f為洛倫茲把這成果推廣為普遍狀況下場對電荷系統(tǒng)作用力，因此上式稱為洛倫茲力密度公式。把電磁作用力公式應(yīng)用到一種粒子上，得到一種帶電粒子受電磁場作用力這公式稱為洛倫茲力公式。洛倫茲假設(shè)這公式合用于任意運動帶電粒子。近代物理學(xué)實踐證明了洛倫茲公式對任意運動速度帶電粒子都是合用。由上看到，洛倫茲力公式建立也通過從特殊到一般推廣這一環(huán)節(jié)，這種推廣最初僅是一種假設(shè)，只是后來大量試驗事實證明了它對旳性后來，它才成為電動力學(xué)理論基礎(chǔ)之一。第77頁1.4介質(zhì)電磁性質(zhì)

介質(zhì)(指電磁介質(zhì))由分子構(gòu)成，分子內(nèi)部有帶正電原子核和繞核運動帶負(fù)電電子。由于分子是電中性，因此，當(dāng)沒有外場時介質(zhì)內(nèi)部一般不出現(xiàn)宏觀電荷電流分布，其內(nèi)部宏觀電磁場亦為零。有外場時，介質(zhì)中帶電粒子受場作用，正負(fù)電荷發(fā)生相對位移，有極分子(本來正負(fù)電荷中心不重疊分子)取向以及分子電流取向亦展現(xiàn)一定規(guī)則性，這就是介質(zhì)極化和磁化現(xiàn)象。一、電介質(zhì)極化與極化強度電介質(zhì)就是絕緣介質(zhì)。它是由大量原子、分子構(gòu)成。這些微觀粒子都是帶有同樣多正電荷與負(fù)電荷中性粒子。從宏觀上看，在一般狀況下，電介質(zhì)是不帶電。構(gòu)成電介質(zhì)分子有兩類：(1)無極分子此類分子正負(fù)電荷中心在無外電場時是重疊在一起，其電偶極矩為零。第78頁(2)有極分子此類分子正負(fù)電荷分布可以等效地當(dāng)作相距一定距離正電中心與負(fù)電中心，存在固有分子電偶極矩(或電矩)。在沒有外加電場時，由于分子熱運動，它們原有電偶極矩排列方向是雜亂無章，因此在宏觀上并不產(chǎn)生平均效果，即沒有宏觀電偶極矩分布。因此，不管是由哪一種分子構(gòu)成電介質(zhì)，在無外場時都保持電中性。當(dāng)加入外電場時，每個分于中正負(fù)電荷受到不一樣樣方向力作用，無極分子正負(fù)電荷中心發(fā)生定向移動，于是產(chǎn)生了沿外電場方向電偶極矩。有極分子除了有上述效應(yīng)外，重要是由于本來無規(guī)則排列固有電偶極矩在外電場力矩作用下，順著電場方向排列數(shù)目增多，這樣在宏觀上電偶極矩總和不為零。因此，在外加電場作用下，電介質(zhì)總效果可以看作是正電荷相對于負(fù)電荷沿電場方向移動了一定距離，在宏觀上產(chǎn)生了電偶極矩，從而在一種宏觀體積元內(nèi)或面積元上出現(xiàn)一定體電荷或面電荷分布，如圖1－6所示。這種現(xiàn)象稱電介質(zhì)極化。由極化產(chǎn)生體電荷或面電荷，稱為束縛電荷。圖1-6

第79頁束縛電荷與自由電荷來源是不一樣樣。自由電荷是由外界運來，它是產(chǎn)生外加電場原因，而束縛電荷是在外電場作用下電極化過程中產(chǎn)生。它首先影響整個電場分布，反過來電場分布又影響束縛電荷大小及分布。但必須指出，從激發(fā)電場這一特性上講，束縛電荷和自由電荷是完全沒有辨別。為描述電介質(zhì)極化現(xiàn)象，我們引入一種矢量，叫極化強度或極化矢量，用P表達(dá)，它定義為式中pi為第I個分子電偶極矩，求和符號表達(dá)對物理小體積△V內(nèi)所有分子求和。因此極化強度P就是每單位體積內(nèi)分子電偶極矩矢量和。介質(zhì)極化產(chǎn)生了束縛電荷，目前來研究束縛電荷密度與極化矢量關(guān)系。設(shè)每個分子由相距為l一對正負(fù)電荷±q構(gòu)成，分子電偶極矩為p=ql.(1.4-1)

第80頁圖l－7所示為介質(zhì)內(nèi)某曲面S上一種面元dS.介質(zhì)極化后，有某些分子電偶極子跨過dS.由圖可見，當(dāng)偶極子負(fù)電荷處在體積內(nèi)時，同一偶極子正電荷就穿出界面dS外邊．設(shè)單位體積分子數(shù)為n，則穿出dS外面正電荷為通過界面S穿出去總正電荷為以p表達(dá)V內(nèi)束縛電荷密度，則有運用高斯公式(1.4-2)

可得即束縛電荷體密度等于極化強度負(fù)散度。

(1.4-3)

第81頁對于不一樣樣介質(zhì)分界面，由于極化，分界面上存在束縛電荷。圖1－8表達(dá)介質(zhì)1和介質(zhì)2分界面上一種面元dS.介質(zhì)1和介質(zhì)2電極化強度分別為P1、P2。在分界面兩側(cè)取一定厚度薄層，使分界面包括在薄層內(nèi)。在薄層內(nèi)出現(xiàn)束縛電荷與dS之比稱為分界面上束縛電荷面密度，用來表達(dá)。則在薄層內(nèi)出現(xiàn)凈余束縛電荷為或者由此可得式中，n12為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2法線。

(1.4-4)

P1P2P2P1n12第82頁5.麥克斯韋方程組復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容1磁場散度2磁場旋度結(jié)論靜磁場是無散有旋場3穩(wěn)恒條件4重要公式6.介質(zhì)極化密度與強度關(guān)系第83頁二、電介質(zhì)中電場與電位移矢量束縛電荷與自由電荷其來源是不一樣樣，但從激發(fā)電場這一特性來講，它們是沒有辨別。因此，只要把在介質(zhì)中由極化產(chǎn)生束縛電荷奉獻(xiàn)考慮進(jìn)去，就可以把真空中電場成果推廣應(yīng)用到介質(zhì)中去。電介質(zhì)中電場強度E應(yīng)遵守如下規(guī)律由于于是上式可寫成引入電位移矢量D,定義為(1.4-6)式可寫為(1.4-5)

(1.4-6)

(1.4-7)

(1.4-8)

第84頁注1.(1.4-7)式中E、P分別代表介質(zhì)中總宏觀電場強度和電極化強度，具有明確物理意義，而電位移矢量D則是為了從理論上考察問題以便而引入一種輔助量，它自身無明確物理含義。注2.電介質(zhì)中，D散度僅由自由電荷密度決定，而E散度則由自由電荷密度和束縛電荷密度共同決定。試驗指出，對于一般各向同性線性介質(zhì)，極化強度P和E之間有簡樸線性關(guān)系

稱為電介質(zhì)極化率，它是一種物質(zhì)常數(shù)，一般它與E無關(guān)。式中稱為介質(zhì)介電常數(shù)，r為相對介電常數(shù)。對于給定物質(zhì)，在一定物理條件(如溫度、密度)下，這些物質(zhì)常數(shù)、是定值。(1.4-9)

(1.4-10)

(1.4-11)

第85頁dl第86頁三、介質(zhì)磁化與磁化強度介質(zhì)分子內(nèi)電子運動構(gòu)成微觀分子電流，由于分子電流取向無規(guī)性，沒有外場時—般不出現(xiàn)宏觀電流分布。在外磁場作用下，分子電流出既有規(guī)則取向，形成宏觀磁化電流密度JM,分子電流也可以用磁偶極矩描述。把分子電流看作載有電流i小線圈，線圈面積為a，則與分子電流對應(yīng)磁矩為磁化強度M定義：物理小體積△V內(nèi)總磁偶極矩與△V之比，即目前我們求磁化電流密度JM與磁化強度M關(guān)系.圖1－9，設(shè)S為介質(zhì)內(nèi)部一種曲面，其邊界線為L。由圖可見，若分子電流被邊界線L鏈環(huán)著，這分子電流就對總磁化電流IM有奉獻(xiàn)。在其他情形下，對IM都沒有奉獻(xiàn)。因此，通過S總磁化電流IM等于邊界線L所鏈環(huán)著分子數(shù)目乘上每個分子電流i．(1.4-12)

(1.4-13)

第87頁圖1－10所示為邊界線上一種線元dl.由圖可見，若分子中心位于體積為a?dl柱體內(nèi)，則該分子電流就被dl所穿過。因此，若單位體積分子數(shù)為n，則被邊界線L鏈環(huán)著分子電流數(shù)目為總磁化電流為而故根據(jù)斯托克斯公式可得除了磁化電流之外，當(dāng)電場變化時，介質(zhì)極化強度P發(fā)生變化，這種變化產(chǎn)生另一種電流，稱為極化電流。極化電流密度JP可以表達(dá)為磁化電流JM和極化電流Jp之和是介質(zhì)內(nèi)總誘導(dǎo)電流密度.在有介質(zhì)時，總誘導(dǎo)電流（JM+Jp）和傳導(dǎo)電流Jf一起激發(fā)磁場，因此麥克斯韋方程(1.3-10)式中J應(yīng)當(dāng)有三部分構(gòu)成，即(1.4-14)

(1.4-15)

第88頁于是由于故(1.4-16)式可改寫為引入磁場強度H,定義為則(1.4-17)式為試驗指出，對于各向同性非鐵磁物質(zhì)，磁化強度M和H之間有簡樸線性關(guān)系:稱為磁化率。把(1.4-20)式代入(1.4-18)式得(1.4-16)

(1.4-17)

(1.4-18)

(1.4-19)

(1.4-20)

(1.4-21)

第89頁從物理本質(zhì)上看，E和B是場基本物理量，而D和H是輔助物理量．四、介質(zhì)中麥克斯韋方程組

公式中出現(xiàn)ρ和J分別代表自由電荷和自由電流分布,解實際問題時，除了這組基本方程外，還必須引入某些有關(guān)介質(zhì)電磁性質(zhì)試驗關(guān)系，(1.4-22)

第90頁(1.4-23)

(1.4-24)

在導(dǎo)電物質(zhì)中尚有歐姆（Ohm）定律σ為電導(dǎo)率。這些關(guān)系稱為介質(zhì)電磁性質(zhì)方程，它們反應(yīng)介質(zhì)宏觀電磁性質(zhì)。必須指出，由于物質(zhì)電磁性質(zhì)多種多樣，對于各向異性介質(zhì)，在某些方向上輕易極化或磁化，而在此外某些方向上則難于極化或磁化，使P與E方向不相似，M方向與B方向不相似，這時D和E、B和H關(guān)系不再是線性，而是較復(fù)雜張量式。這些介質(zhì)中D和E一般線性關(guān)系是式中指標(biāo)1，2，3代表x,y,z分量。上式可簡寫為(1.4-25)

(1.4-26)

第91頁(1.4-27)

在強場（如激光）作用下，許多介質(zhì)展現(xiàn)非線性現(xiàn)象，這情形下D不僅與E一次式有關(guān)，并且與E二次式、三次式等均有關(guān)系。此時，D和E一般關(guān)系式是除第一項外，其他各項都是非線性項。此式在非線性光學(xué)中有重要應(yīng)用。(1.4-28)

第92頁1.5電磁場邊值關(guān)系

麥克斯韋方程組可以應(yīng)用于任何持續(xù)介質(zhì)內(nèi)部．在兩介質(zhì)分界面上，由于一般出現(xiàn)面電荷或面電流分布，使物理量發(fā)生躍變，微分形式麥?zhǔn)戏匠探M不再合用．因此，在介質(zhì)分界面上，我們要用另一種形式描述界面兩側(cè)場強以及界面上電荷電流關(guān)系．下面我們分別求出場量法向分量和切向分量躍變。A、法向分量躍變研究邊值關(guān)系基礎(chǔ)是積分形式麥?zhǔn)戏匠探M式中If為通過曲面S總傳導(dǎo)電流，Qf為閉合曲面內(nèi)總自由電荷．(1.5-1)

第93頁如圖1－12所示，在分界面兩側(cè)取一種底面積為△S扁平狀柱體。Qf和Qp分別為柱體內(nèi)總自由電荷和總束縛電荷，它們等于對應(yīng)電荷面密度f和p乘以底面積△S.把麥?zhǔn)戏匠虘?yīng)用到扁平狀區(qū)域上，當(dāng)柱體厚度趨于零時，對側(cè)面積分趨于零，得于是有運用以及得(1.5-2)

(1.5-3)

圖1－12規(guī)定n方向由介質(zhì)1指向介質(zhì)2法向（本教材）第94頁由此可見，電極化強度Pn躍變與束縛電荷面密度有關(guān)；Dn躍變與自由電荷面密度有關(guān)；En躍變與總電荷面密度。圖1－12(1.5-4)

對于磁場B，把麥?zhǔn)戏匠桃廊粦?yīng)用到該扁平狀區(qū)域上，當(dāng)柱體厚度趨于零時，對側(cè)面積分趨于零，得

第95頁B、切向分量躍變界面上面電流將引起界面兩側(cè)磁場切向分量發(fā)生躍變。為求出兩者關(guān)系，在界面上取一線元△l，并以它為中線垂直于界面作一小矩形。矩形上下兩邊分別深入到界面兩側(cè)介質(zhì)足夠多分子層中，但兩短邊仍可當(dāng)作是宏觀小量(圖1－13)。把麥?zhǔn)戏匠虘?yīng)用到這個矩形回路上，其中t表達(dá)沿△l切向分量。(1.5-5)

圖1－13t△l.第96頁通過回路內(nèi)總傳導(dǎo)電流為式中為傳導(dǎo)電流線密度。當(dāng)回路短邊長度趨于零時，回路所圍面積趨于零，而為有限值，因而由此可得(1.5-6)

(1.5-7)

(1.5-8)

將代入有這就是磁場切向分量邊值關(guān)系．第97頁同理，由麥?zhǔn)戏匠痰谝皇娇傻秒妶銮邢蚍至窟呏店P(guān)系：此式表達(dá)界面兩側(cè)量電場切向分量持續(xù).第98頁法向分量躍變法向分量不躍變切向分量躍變切向分量不躍變上節(jié)課有關(guān)電磁場邊值關(guān)系第99頁綜上所述，電磁場邊值關(guān)系為這組方程和麥?zhǔn)戏匠淌?1.5-1)一一對應(yīng)。它們實質(zhì)上是邊界上場方程，是Maxwell方程組在介質(zhì)交界面上詳細(xì)化。由于實際問題往往具有幾種介質(zhì)以及導(dǎo)體在內(nèi)，因此，邊值關(guān)系詳細(xì)應(yīng)用對于處理實際問題是十分重要。(1.5-11)

第100頁總結(jié)：

21第101頁上面公式中電荷、電流都是指自由電荷和傳導(dǎo)電流第102頁例1：證明在導(dǎo)體界面上電流法向分量滿足邊值關(guān)系是導(dǎo)體面上自由電荷面密度。證明：將積分形式電荷守恒定律，應(yīng)用到圖1－12中扁平小柱體上，注意對于實際導(dǎo)體電流都是體分布，在柱體側(cè)面上積分是零。在導(dǎo)體面薄層中電荷可以看作是面電荷分布，體分布電荷由于柱體積趨于零，實際上就是分界面上電荷，于是得出電流法向分量邊值關(guān)系：圖1－12第103頁例2：面磁化電流密度其中第104頁體磁化電流密度第105頁1.6電磁場能量和能流

電磁場是一種物質(zhì)，它具有內(nèi)部運動。試驗表明，電磁場確實攜帶能量，并且能以電磁波形式傳遞能量。一、場和電荷系統(tǒng)能量守恒定律場和電荷互相作用時，能量就在場和電荷之間轉(zhuǎn)移。在轉(zhuǎn)移過程中總能量是守恒?？紤]空間某區(qū)域V，其界面為Σ。電磁場具有能量，其能量密度為ω，則是V內(nèi)電磁場能量增長率。變化電磁場能量也許在流動，我們引入能流密度S來描寫它，則單位時間從V表面流入電磁場能量是.設(shè)V內(nèi)有電荷電流分布ρ和J，以f表達(dá)場對電荷作用力密度，第106頁v表達(dá)電荷運動速度，則場對電荷系統(tǒng)所作功率為從一般考慮，若能量守恒在電磁作用下仍然成立，它應(yīng)有形式對應(yīng)微分形式為(1.6-1)

(1.6-2)

第107頁二、電磁場能量，能量密度和能流密度歷史上對一種新能量形式認(rèn)識，總是通過它和已知能量形式互相轉(zhuǎn)換實現(xiàn)。當(dāng)電磁場和電荷互相作用時，場對電荷做功，帶電體能量會發(fā)生變化。根據(jù)能量守恒，帶電體能量增長就等于電磁場能量減少?？紤]一種空間區(qū)域V，其中存在電磁場E和B，電荷密度為,電荷運動速度為ν，電磁場對電荷作用力力密度由Lorentz力公式給出電磁場對電荷做功功率密度為由麥克斯韋方程(1.6-3)

第108頁可得于是有，用矢量分析公式及麥?zhǔn)戏匠痰媚敲?，即，與式比較可得能流密度S和能量密度變化率表達(dá)式，(1.6-4)

(1.6-5)

(1.6-6)

(1.6-7)

第109頁能流密度S又稱為坡印亭(Poynting)矢量，是電磁波傳播問題一種重要物理量．由能量密度S可以得到通過區(qū)域V表面面積為Σ傳播功率為A、真空狀況或?qū)⒄婵罩须姶艌瞿芰棵芏缺磉_(dá)為(1.6-9)

(1.6-8)

第110頁B、介質(zhì)內(nèi)電磁能量和能流(1)一般介質(zhì)中

(2)在線性介質(zhì)情形，，，可以得到電磁場能量密度表達(dá)式第111頁兩導(dǎo)線間電壓為

P43.第112頁把S對兩導(dǎo)線間圓環(huán)狀截面積分得傳播功率UI即為一般在電路問題中傳播功率表達(dá)式，這功率是在場中傳播。第113頁附：

作業(yè)P4614第114頁第一章總結(jié)電磁現(xiàn)象基本規(guī)律，從庫侖定律及電荷守恒定律，畢奧—沙伐爾定律出發(fā)，研究了靜電場、靜磁場基本規(guī)律以及電磁場所滿足基本方程—Maxwellequations.并研究了非持續(xù)介質(zhì)分界面處所滿足邊值關(guān)系。庫侖定律：，方向由源點到場點場強：

持續(xù)分布高斯定理

持續(xù)分布第115頁當(dāng)為有位場時

電荷守恒定律

畢奧—薩伐爾定律：

線分布安培環(huán)路定理

（穩(wěn)恒條件）

GaussTheorem

Maxwellequations(真空中)第116頁Lorentzformular:

材料性質(zhì)

1、電性質(zhì)

各向同性介質(zhì)

2、磁性質(zhì)

第117頁(磁化電流體密度)(極化電流體密度)各向同性介質(zhì)

Maxwellequations

(介質(zhì)中)第118頁分界面處邊界條件取

能流密度

能量密度

能量變化率第119頁電磁場能量守恒與轉(zhuǎn)換定律表達(dá)式（微分形式）

（積分形式）

例：穩(wěn)恒電流I在半徑為a無限長圓柱形導(dǎo)體中沿Z軸方向流動，設(shè)導(dǎo)體電導(dǎo)率為，導(dǎo)體表面帶有均勻分布面電荷，單位長度上電荷為，導(dǎo)體外是真空，求：(1)導(dǎo)體內(nèi)、外磁場強度？(2)導(dǎo)體內(nèi)、外電場強度？導(dǎo)體內(nèi)部和導(dǎo)體外貼近表面處能流密度矢量

解：

yxzIa第120頁當(dāng)r<a時

當(dāng)r>a時

電場分布：導(dǎo)體內(nèi)

對導(dǎo)體外，由于電荷只分布在圓柱表面上：(r>a)

第121頁導(dǎo)體內(nèi)部能流

導(dǎo)體外表面處

表面處滿足邊值關(guān)系

第122頁電磁場能量進(jìn)入導(dǎo)體內(nèi)部（長為）功率為

即導(dǎo)體熱功率是由外部能量進(jìn)入而得到，尚有一種能量沿導(dǎo)體方向傳播給其他設(shè)備。損第123頁第二章靜電場Electrostaticfield本章研究重要問題是：在給定自由電荷分布以及周圍空間介質(zhì)和導(dǎo)體分布狀況下，怎樣求解電場。②電場不隨時間變化，即:注意兩點：①電荷靜止，即：本章求解靜電場措施有：①分離變量法;②鏡像法；③格林函數(shù)法。求解根據(jù)是：唯一性定理。第124頁本章主要內(nèi)容§2.1靜電場標(biāo)勢及其微分方程§2.2唯一性定理§2.3拉普拉斯方程，分離變量法§2.4鏡象法§2.5格林函數(shù)法§2.6電多極矩第125頁1.靜電場標(biāo)勢和微分方程靜電現(xiàn)象滿足如下兩個條件：即①電荷靜止不動；②場量不隨時間變化。故把靜電條件代入Maxwell'sequations中去，即得電場滿足方程§2.1靜電場標(biāo)勢及其微分方程第126頁這兩方程連同介質(zhì)電磁性質(zhì)方程是處理靜電問題基礎(chǔ)。根據(jù)電場方程（即無旋性），可引入一種標(biāo)勢。在電磁學(xué)中，已知由于相距為兩點電勢差為由于因此第127頁又由于在均勻各向同性介質(zhì)中，則有這里(均勻介質(zhì))，故有即此方程稱為泊松方程（Poissonequation).若在無源區(qū)域內(nèi)（），上式化為0第128頁此方程稱為拉普拉斯方程（Laplaceequation)在多種不一樣樣條件下求解Poissonequation或Laplaceequation是處理靜電問題基本途徑。2、靜電場基本問題假如電荷是持續(xù)分布，則觀測點處標(biāo)勢為這個式子只反應(yīng)了電荷激發(fā)電場這首先，而沒有反應(yīng)電場對電荷作用另一方面。假如空間尚有導(dǎo)體存在話，那么物理機制要第129頁

考慮到感應(yīng)狀況，實際問題模型是：目前，要找出一種電荷對它鄰近電場是怎樣作用，某一點上電場和它鄰近電場又是怎樣導(dǎo)體++++++++++++----------給定電荷分布求空間一點電場分布而場引發(fā)導(dǎo)體上感應(yīng)電荷分布而感應(yīng)電荷分布反過來引發(fā)第130頁聯(lián)絡(luò)，即要找出電荷和電場互相作用規(guī)律微分形式，而在導(dǎo)體表面或其他邊界上場和電荷互相作用關(guān)系則由邊值關(guān)系和邊界條件反應(yīng)出來，稱之為邊值問題。（1）在介質(zhì)分界面上，電場滿足邊值關(guān)系為且為電勢所滿足邊值關(guān)系：第131頁在介質(zhì)分界面附近取兩點1和2，而因此由于，故，且介質(zhì)2介質(zhì)12'1'21第132頁注意：可替代，即可替代證：∵可見而故有即得p2p1P'1P'2第133頁此外，由方程可得到：即也就是說，在兩種不一樣樣介質(zhì)分界面上，場所滿足邊值關(guān)系變?yōu)殡妱菟鶟M足邊值關(guān)系第134頁（2）在介質(zhì)與導(dǎo)體分界面上狀況由于靜電平衡條件，我們懂得：導(dǎo)體內(nèi)部；導(dǎo)體表面上場強與表面⊥,導(dǎo)體是等勢體；導(dǎo)體內(nèi)無電荷分布（），電荷只分布在導(dǎo)體表面上（）。因此，在導(dǎo)體與介質(zhì)分界面上；導(dǎo)體1自由電荷σε介質(zhì)2第135頁即有歸納起來，靜電場基本問題是：求出在每個區(qū)域(均勻)內(nèi)滿足泊松方程，在所有分界面上滿足邊值關(guān)系和在所研究整個區(qū)域邊界上滿足邊界條件電勢解。第136頁3、運用靜電標(biāo)勢來描述靜電場能量已知在線性介質(zhì)中靜電場總能量為在靜電情形下，能量W可以用電勢和電荷表出。由得因此第137頁即若我們考慮是整個電荷體系總能量，則上式體積分是對全空間進(jìn)行。因此上式右邊第二項面積分是對無窮大面進(jìn)行。有限電荷體系在無窮遠(yuǎn)處電勢，電場，而面積~r2,故在r→∞時，面積分項值=0，故有第138頁討論：對使用注意幾點：（1）合用于靜電場，線性介質(zhì)；（2）合用于求總能量（假如求某一部分能量時，面積分項）；（3）不能把當(dāng)作是電場能量密度，它只能表達(dá)能量與電荷分布存在空間有關(guān)。真實靜電能量是以密度形式在空間持續(xù)分布，場強大地方能量也大；第139頁（4）中是由電荷分布激發(fā)電勢；（5）在靜電場中，電場是由電荷分布決定。在場內(nèi)沒有電荷運動。因而場能量就由電荷分布所決定。（6）若全空間充斥了介電常數(shù)為ε介質(zhì)，則可以得到電荷分布ρ所激發(fā)電場總能量式中r為與點距離。第140頁4、舉例討論[例1]求均勻電場電勢。解：由于均勻電場中每一點強度相似，其電力線為平行直線，選空間任一點為坐標(biāo)原點，并設(shè)原點電勢為。yoxpθ第141頁根據(jù)，得到故得到這里有個參照點選擇問題(具有任意性)[例2]均勻帶電無限長直導(dǎo)線電荷線密度λ，求空間電勢分布。空間任一點P電勢為第142頁選用柱坐標(biāo)：源點坐標(biāo)為（0,z'），場點坐標(biāo)為（R,0），考慮到導(dǎo)線是無限長，電場強度顯然與z無關(guān)。這里，先求場強，后求電勢。場點pRozz'電荷源第143頁由于電荷元為，因此令第144頁且而故第145頁若選p0為參照點（即），則設(shè)p0點與導(dǎo)線垂直距離為R0，則p點到p0點電勢差為第146頁§2.2唯一性定理本節(jié)內(nèi)容將回答兩個問題：（1）要具有什么條件才能求解靜電問題？（2）所求解與否唯一？第147頁1、靜電問題唯一性定理（1）有介質(zhì)存在狀況把一種區(qū)域V劃分為許多小區(qū)域Vi，每一種小區(qū)域內(nèi)介電常數(shù)為，它是各向同性。每一種區(qū)域給定電荷分布已知：①在每個均勻區(qū)域中滿足，即有幾種區(qū)域就有幾種泊松方程。 ②在各個均勻區(qū)域交界面Sij上，滿足：SV第148頁至此，不懂得邊界條件，即不懂得區(qū)域邊界S上某些條件。這個問題正是唯一性定理所要處理，下面討論之。

唯一性定理：設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布在V邊界S上給定(i)電勢或(ii)電勢法向?qū)?shù)，則V內(nèi)電場唯一地被確定。第149頁下面采用反證法來證明：證明：設(shè)有兩組不一樣樣解和滿足唯一性定理條件，只要證得即可。令則在均勻區(qū)域Vi內(nèi)有在兩均勻介質(zhì)分界面Sij上有第150頁在整個區(qū)域V邊界S上有或者為了處理邊界問題，考慮第i個區(qū)域Vi界面Si上積分問題，根據(jù)格林定理,對已知任意兩個持續(xù)函數(shù)：①②（高斯公式）第151頁令且

對所有區(qū)域求和得到注意這里為常數(shù)第152頁深入分析：在兩個均勻區(qū)域Vi和Vj界面上,由于和法向分量相等，又有，因此內(nèi)部分界面積分為(這里）Sij第153頁因此故而在S面上，從而有由于,而,只有，要使成立，唯一地是在V內(nèi)各點上都要有即在V內(nèi)任一點上，。第154頁由可見，和至多只能相差一種常數(shù)，但電勢附加常數(shù)對電場沒有影響，這就是說靜電場是唯一。第155頁討論區(qū)域是導(dǎo)體外空間V，即V是由導(dǎo)體外表面S1，S2及S界面所圍成空間，當(dāng)S在無窮遠(yuǎn)處時，所討論區(qū)域就是導(dǎo)體外全空間V。約定：在無窮遠(yuǎn)處，電場為零，即在S面上或者表到達(dá)在此基礎(chǔ)上，把問題分為兩類：A類問題：已知區(qū)域V中電荷分布，及所有SVερS1S2（2）有導(dǎo)體存在狀況第156頁導(dǎo)體形狀和排列；每個導(dǎo)體電勢都給定。B類問題：已知區(qū)域V中電荷分布，及所有導(dǎo)體形狀和排列；每個導(dǎo)體總電荷都給定。由于導(dǎo)體面就是邊界面，因此上述導(dǎo)體電勢或者總電荷就是邊界條件。先用反證法證A類問題。證明：設(shè)存在著兩個解和,這意味著在區(qū)域V內(nèi)，和都滿足泊松方程：第157頁

第i個導(dǎo)體表面為Si

面上，該導(dǎo)體電勢為。那么，在Si面上，和都必須等于。即在S∞面上，令則有應(yīng)用格林定理：第158頁令，有式中被積函數(shù)，要使上式成立，必然在V中每一點上有于是，V中每一點上，。第159頁但在導(dǎo)體表面上也滿足，條件，即得到常數(shù)=0，即，使得這就闡明了對A類問題有唯一解。再用反證法證B類問題也設(shè)存在兩個解和，則有令代入格林公式中，得第160頁由于在導(dǎo)體表面Si處，電勢并沒有給定，但根據(jù)電磁學(xué)中知識，導(dǎo)體在靜電平衡時為一等勢體。雖然與不一定相等，但對同一導(dǎo)體而言，故可從積分號內(nèi)提出來，于是第161頁目前分析：由于中，Si表達(dá)電場中第i個導(dǎo)體表面，導(dǎo)體在靜電平衡時，在導(dǎo)體外，緊靠導(dǎo)體表面處場強方向與導(dǎo)體表面垂直，場強大小與導(dǎo)體表面對應(yīng)點面電荷密度成正比，即從而得到第162頁這樣就有式中和都表達(dá)第i個導(dǎo)體所帶總電荷，又由于它是給定，即故對每一種導(dǎo)體表面均有此結(jié)論。因此得到第163頁同理，，要使上式成立，必然是即由于，此常數(shù)對電場無影響，因此此時仍說是唯一。作業(yè)P931Thankyou第164頁上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)1.靜電場標(biāo)勢和微分方程無源2.邊值關(guān)系導(dǎo)體常數(shù)第165頁區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布在V邊界S上給定(i)電勢

或(ii)電勢法向?qū)?shù)，

則V內(nèi)電場唯一地被確定。4、唯一性定理條件若導(dǎo)體為分界面(i)導(dǎo)體電勢(ii)導(dǎo)體上總電量3.靜電場能量第166頁[例1]有二分之一徑為a導(dǎo)體球，它中心恰位于兩種均勻無限大介質(zhì)分界面上，介質(zhì)介質(zhì)常數(shù)分別是與。若導(dǎo)體球總電荷為Q，求導(dǎo)體球表面處自由電荷分布。Qa解：設(shè)導(dǎo)體球上下兩半球各自帶電量為q1和q2，Q=q1+q2則又由于導(dǎo)體球是等勢體，上下半球電勢相等，即令試探解為：第167頁此外，總電荷Q一定，無限遠(yuǎn)處電勢為0，故滿足唯一性定理條件。根據(jù)唯一性定理，得到則得第168頁故即得到：電荷面密度為：第169頁[例2]兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左半球介電常數(shù)為，右半球介電常數(shù)為。設(shè)內(nèi)球殼半徑為a，帶電荷為Q，外球殼接地，半徑為b，求電場和球殼上電荷分布。baS1S2第170頁解:以唯一性定理為根據(jù)來解本題。a)寫出本題中電勢應(yīng)滿足方程和邊值關(guān)系以及邊界條件此區(qū)域V為導(dǎo)體球與球殼之間空間，邊界面有兩個，即S1和S2，S1是導(dǎo)體球表面，S2是導(dǎo)體球殼內(nèi)表面,邊界條件為：在S1上總電量是Q，在S2上。在兩種介質(zhì)中，電勢都滿足Laplace方程，在介質(zhì)交界面上，電勢持續(xù)，電位移矢量法向分量持續(xù)（由于交界面上）。baS1S2第171頁應(yīng)滿足定解條件為：目前不管用什么措施，只規(guī)定出點函數(shù)能滿足上述條件，那么就是本題唯一解。b)根據(jù)已知定解條件，找出電勢解由于對稱性,選用球坐標(biāo),原點在球心,直接積分baS1S2第172頁可求得解，由于不難看出：在r=b處：baS1S2第173頁從而得到同理，在r=b處：即得在兩介質(zhì)交界面上：baS1S2第174頁由此得到A=C又由于在兩介質(zhì)交界面上，與，但都只與r有關(guān)，因此這樣，也滿足了Dn持續(xù)條件。到此為止，在條件中，除了在S1面上總電量為Q外，也滿足了其他所有條件，而也只剩余一種待定常數(shù)A。目前用必須滿足在S1面上總電量等于Q這個條件來確定A，即第175頁第176頁故從而得到：c)電場和電荷分布狀況根據(jù)電勢所得到成果，有第177頁對應(yīng)地，有第178頁由此可見▲在導(dǎo)體球（r=a）表面上：可見▲在導(dǎo)體球殼內(nèi)（r=b）處：第179頁也可看出：▲還可深入求出束縛電荷（極化電荷）分布：已知因此第180頁而極化電荷體密度：即在兩種介質(zhì)中，極化電荷體密度都為零?！趯?dǎo)體球表面上極化電荷面密度分布：第181頁▲故得到導(dǎo)體球表面上總電荷分布：可見▲在兩種介質(zhì)交界面處：由于。因而，因此注意：在前面計算過程中，難得出導(dǎo)體球面上第182頁是常數(shù)，不過或在每個半球面上雖然都是常數(shù)，但，，即在球面上不是均勻分布。目前來闡明不能均勻分布原因。假定是均勻分布，那么由可見，在兩個半球面上，因值不一樣樣而不一樣樣。導(dǎo)體球內(nèi)靜電場由和共同激發(fā)，由于均勻分布，因此在球內(nèi)電場為零。但由于非第183頁均勻分布必將導(dǎo)致它在球內(nèi)場不為零，這樣導(dǎo)體球就不能抵達(dá)靜電平衡。由此可見，要使導(dǎo)體球抵達(dá)靜電平衡，分布必須是非均勻。第184頁§2.3拉普拉斯方程，分離變量法Laplace'sequation,methodofseparatevariation

第185頁本節(jié)內(nèi)容重要是研討Poisson方程求解措施。

眾所周知，許多實際問題都是由帶電導(dǎo)體系構(gòu)成，其電場是帶電導(dǎo)體所決定。自由電荷只能分布在導(dǎo)體表面上。因此，在沒有電荷分布區(qū)域V里,Poisson'sequation就轉(zhuǎn)化為Laplace'sequation，即產(chǎn)生這個電場電荷都是分布于區(qū)域V邊界導(dǎo)體面上，它們作用通過邊界條件反應(yīng)出來：第186頁①給定②給定或?qū)w總電量因此，討論問題歸結(jié)為：①怎樣求解（通解）Laplace'sequation.②怎樣運用邊界條件及邊值關(guān)系求出積分常數(shù)。Laplace'sequation可以用分離變量法求通解，其求解條件是：①方程是齊次。②邊界應(yīng)當(dāng)是簡樸幾何面。

此類問題邊界條件為：第187頁1、用分離變量法求Laplace'sequation通解（1）在直角坐標(biāo)系中設(shè)在數(shù)學(xué)物理措施中，該方程通解（A、B、C為待定系數(shù)）或者寫成第188頁

（2）在球坐標(biāo)系中設(shè)其通解為第189頁這里為締合勒讓德（Legendre)函數(shù)特例對于具有軸對稱問題，m=0(取此軸為極軸）且這里為勒讓德函數(shù)，、為待定系數(shù)

對于球?qū)ΨQ問題，m=0,n=0。且第190頁第一，假如考慮問題中有i個區(qū)域（均勻分布），必須有i個對應(yīng)Laplace'sequation.第二，在每個區(qū)域交界面上，應(yīng)當(dāng)滿足邊值關(guān)系：邊界條件：及導(dǎo)體總電荷2、運用邊界條件定特解闡明兩點：(n方向由ij)第191頁3、舉例闡明定特解措施[例1]一種內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3導(dǎo)體球殼，帶電荷為Q。同心地包圍著一種半徑為R1導(dǎo)體球（R1<R2)，使半徑R1導(dǎo)體球接地，求空間各點電勢和這個導(dǎo)體球感應(yīng)電荷。解:第一步：分析題