淺談在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“分類(lèi)討論”的能力 分類(lèi)討論是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，也是歷年中考的熱點(diǎn)，它作為一種思想方法，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有非常重要的意義，在初中階段，注重培養(yǎng)學(xué)生“分類(lèi)討論”的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和思維能力的拓展

在數(shù)學(xué)中，如果一個(gè)命題的的題設(shè)或結(jié)論不唯一確定，有多重可能情況，難以統(tǒng)一解答，就需要按可能出現(xiàn)的各種情況分門(mén)別類(lèi)地加以討論，最后綜合歸納出問(wèn)題的答案，這種解題的方法叫做分類(lèi)討論法

“分類(lèi)討論法”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也是一種解題策略。學(xué)生碰到此類(lèi)問(wèn)題常常是不知道要進(jìn)行分類(lèi)討論或者知道了要分類(lèi)討論而無(wú)從入手,造成此類(lèi)問(wèn)題的得分率偏低，原因是大多數(shù)學(xué)生沒(méi)有掌握好初中數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想。 本文將結(jié)合實(shí)例，對(duì)“分類(lèi)討論”的意義以及在初中階段培養(yǎng)學(xué)生的“分類(lèi)討論”能力等作一些探討

一、“分類(lèi)討論”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

1.“分類(lèi)討論”是一種數(shù)學(xué)思想方法，只能領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，用以多數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理的解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子， “知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是起作用的?？梢哉f(shuō)，

法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心體現(xiàn)就是“能力”因此，如果學(xué)生正確合理的利用“分類(lèi)討論”的思想方法，不但能認(rèn)識(shí)并體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，而且問(wèn)題也會(huì)迎刃而解，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效提高，使學(xué)生終生受益

2.“分類(lèi)討論”能培養(yǎng)學(xué)生的各種能力

“分類(lèi)討論”思想具有較高的邏輯性和很強(qiáng)的綜合性，能夠培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、嚴(yán)密性、縝密性，對(duì)促進(jìn)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維能力和發(fā)展具有重要的作用

二、在初中階段“分類(lèi)討論”一般有如下幾種情況:

1.根據(jù)某些數(shù)學(xué)概念的定義進(jìn)行分類(lèi):

在初中階段的教學(xué)內(nèi)容中，一些數(shù)學(xué)概念的定義，如有理數(shù)的建立，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，直角三角形邊的定義等等……，都滲透著“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想，對(duì)涉及到分類(lèi)討論思想的概念，教師在講授這些概念時(shí)要準(zhǔn)確、科學(xué)，要讓學(xué)生對(duì)“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想的概念有正確的認(rèn)識(shí)、理解和牢固的掌握

2.根據(jù)字母的不同取值進(jìn)行分類(lèi):

例1:當(dāng)m=＿＿＿＿＿＿時(shí),函數(shù)y=(m+4)x2m-2+6x+4(x≠0)是一個(gè)一次函數(shù)分析:(m+4)x2m-2+可能是一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)，也可能m+4=0,因此分三種情況。解:(1)若2m-2=1,則m=1.5

(2)若2m-2=0,則m=1

(2)若m+4=0,則m=-4

只有抓住了分類(lèi)討論的動(dòng)因，把握住了分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，才能做到分類(lèi)時(shí)條理清楚、標(biāo)準(zhǔn)一致，在解答時(shí)就不會(huì)重復(fù)或遺漏，保證解題的準(zhǔn)確率

3.根據(jù)某些定理或公式的限制條件進(jìn)行分類(lèi):例2在Rt△ABC中,a=3,b=4則c=＿＿＿＿＿＿

很多學(xué)生給出的答案是c=5,而沒(méi)有弄清楚到底哪條邊是斜邊:因此分兩種情況:(1)c是斜邊；(2)由于直角三角形斜邊最長(zhǎng)，因此當(dāng)c是直角邊時(shí),b必是斜邊解:(1)當(dāng)c是斜邊時(shí)，則c=a2b2=3242=25=5(2)當(dāng)b是斜邊時(shí)，則c=b2a2=4232=74.根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)的適用范圍或運(yùn)算的特殊規(guī)定而分類(lèi):例3已知(a-b)2006=1,(a+b)2007=-1,試求a2006+b2007的值分析:由(a-b)2006=1,得a-b=1或-1;由(a+b)2007=-1,得a+b=-1;所以aab1或aab1b1b1所以ab0

1或ab10所以a2006+b2007的值為1或-1

5.當(dāng)條件或結(jié)論不唯一時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論:在本人20多年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn):這種情況是學(xué)生感到最困難的，在教學(xué)中，要作為分析和訓(xùn)練的重點(diǎn)

例4等腰三角形的兩角之差為300，求該三角形的各內(nèi)角的度數(shù)解:設(shè)較小的角的度數(shù)為x,則較大的角的度數(shù)為x+300,①當(dāng)較小的角為底角時(shí),則由三角形內(nèi)角和定理得x+x+(x+300)=1800解此方程得x=500

則此三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別為500,500,800,②當(dāng)較小的角為頂角時(shí),則由三角形內(nèi)角和定理得x+(x+300)+(x+300=1800解此方程得x=400,

則此三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別為400,700,700,

正確解答此類(lèi)問(wèn)題要分析清楚符合條件的圖形的各種可能情形，要緊扣條件分類(lèi)得出各種符合條件的圖形。畫(huà)圖能力和空間想象能力也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要能力，授課教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中因注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行畫(huà)圖能力和空間想象能力的培養(yǎng)。讓學(xué)生多操作、多思考，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。通過(guò)對(duì)“分類(lèi)討論”問(wèn)題的學(xué)習(xí)，對(duì)條件的不確定性和結(jié)論多樣性的探索、猜想，充分拓展學(xué)生的思維空間，使他們的思維更深刻、廣闊、活躍。6.根據(jù)圖形的位置變化進(jìn)行分類(lèi)討論:對(duì)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的教學(xué)要求是:使學(xué)生掌握直線與圓、圓與圓的各種位置關(guān)系以及如何利用相應(yīng)量之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)確定相應(yīng)的位置關(guān)系，并經(jīng)歷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，體驗(yàn)運(yùn)動(dòng)變化、分類(lèi)討論的思想和量變引起質(zhì)變的觀點(diǎn)

例5已知⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD,CD=16cm,AB=12cm,求AB與CD之間的距離分析:兩平行弦的位置關(guān)系有兩種:①AB、CD在圓心O的同側(cè)；②AB、CD在圓心O的異側(cè)；解:分兩種情況：①當(dāng)AB、CD在圓心O的同側(cè)時(shí)，如圖1

過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB,交CD于點(diǎn)F,連接OA、OC

∵AB∥CD

∴OF⊥CD

由垂徑定理得:AE=0.5AB=6,CF=0.5CD=8在Rt△AOE中,由勾股定理得:OE=AO2AE2=10262=8(cm)同理可求出OF=6cm

所以EF=OE-OF=8-6=2(cm)

②當(dāng)AB、CD在圓心O的異側(cè)時(shí)，如圖2

同法求出OE=8cm,OF=6cm

則EF=8cm+6cm=14cm

即AB與CD之間的距離是2cm或14cm

數(shù)學(xué)中分類(lèi)討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類(lèi)思維的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來(lái)必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。根據(jù)初中學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)中要遵照循序漸進(jìn)

、逐步深化的原則并才用靈活多變和有效的教學(xué)手段來(lái)實(shí)施分類(lèi)討論的方法的教學(xué)。自覺(jué)地重視和加強(qiáng)分類(lèi)討論思想的教學(xué)，也是實(shí)施素質(zhì)教育的具體表現(xiàn)，數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論教學(xué)與素質(zhì)教育中提出