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點C為直角頂點，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若點P為直角頂點，則PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝eq\f(3＋\r(17),2)，t2＝eq\f(3－\r(17),2)；綜上所述，使△BPC為直角三角形的點P的坐標為(－1，－2)或(－1,4)或(－1，eq\f(3＋\r(17),2))或(－1，eq\f(3－\r(17),2))．類型2二次函數(shù)與特殊四邊形的存在性問題1．(2018·南充)如圖，拋物線頂點P(1,4)，與y軸交于點C(0，3)，與x軸交于點A，B．(1)求拋物線的解析式．(2)Q是拋物線上除點P外一點，△BCQ與△BCP的面積相等，求點Q的坐標．(3)若M，N為拋物線上兩個動點，分別過點M，N作直線BC的垂線段，垂足分別為D，E.是否存在點M，N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請說明理由．解：(1)設(shè)y＝a(x－1)2＋4(a≠0)，把C(0,3)代入拋物線解析式，得a＋4＝3，即a＝－1，則拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.(2)∵B(3,0)，C(0,3)，∴直線BC的解析式為y＝－x＋3，∵S△PBC＝S△QBC，∴PQ∥BC，①過P作PQ∥BC，交拋物線于點Q，如答圖1所示，答圖1∵P(1,4)，∴直線PQ解析式為y＝－x＋5，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋5，,y＝－x2＋2x＋3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即Q點坐標為(2,3)；②設(shè)G(1,2)，∴PG＝GH＝2，點G在直線BC上．過H作直線Q2Q3∥BC，交x軸于點H，則直線Q2Q3解析式為y＝－x＋1，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,y＝－x2＋2x＋3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3＋\r(17),2)，,y＝\f(－1－\r(17),2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3－\r(17),2)，,y＝\f(－1＋\r(17),2)，))∴Q2(eq\f(3－\r(17),2)，eq\f(－1＋\r(17),2))，Q3(eq\f(3＋\r(17),2)，eq\f(－1－\r(17),2))．綜上，點Q的坐標為(2,3)或(eq\f(3－\r(17),2)，eq\f(－1＋\r(17),2))或(eq\f(3＋\r(17),2)，eq\f(－1－\r(17),2))．(3)存在點M，N使四邊形MNED為正方形，如答圖2所示，過M作MF∥y軸，過N作NF∥x軸，過N作NH∥y軸，則有△MNF與△NEH都為等腰直角三角形，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)直線MN解析式為y＝－x＋b，答圖2聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋b，,y＝－x2＋2x＋3，))消去y，得x2－3x＋b－3＝0，∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b.∵△MNF為等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.∵NH2＝(b－3)2，∴NE2＝eq\f(1,2)(b－3)2，若四邊形MNED為正方形，則有NE2＝MN2，∴eq\f(1,2)(b2－6b＋9)＝42－8b，整理得b2＋10b－75＝0，解得b＝－15或5，∵正方形邊長為MN＝eq\r(42－8b)，∴MN＝9eq\r(2)或eq\r(2).2．(2018·自貢)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3過A(1,0)，B(－3，0)，直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標為－2，點P(m，n)是線段AD上的動點．(1)求直線AD及拋物線的解析式；(2)過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時，PQ最長？(3)在平面內(nèi)是否存在整點(橫、縱坐標都為整數(shù))R，使得P，Q，D，R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由．解：(1)把A(1,0)，B(－3,0)代入函數(shù)解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－3＝0，,9a－3b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3.當(dāng)x＝－2時，y＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，即D(－2，－3)．設(shè)直線AD的解析式為y＝kx＋b，將A(1,0)，D(－2，－3)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝0，,－2k＋b＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－1，))直線AD的解析式為y＝x－1.(2)設(shè)P點坐標為(m，m－1)，Q(m,m2＋2ml＝(m－1)－(m2＋2m化簡，得l＝－m2－m＋2，即線段PQ的長度l與m的關(guān)系式為l＝－m2－m＋2.配方，得l＝－(m＋eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)，當(dāng)m＝－eq\f(1,2)時，l最大＝eq\f(9,4).(3)點R的坐標為(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．【解法提示】由(2)可知，0<PQ≤eq\f(9,4).當(dāng)PQ為邊時，DR∥PQ且DR＝PQ.∵R是整點，D(－2，－3)，∴PQ是正整數(shù)，∴PQ＝1或2.當(dāng)PQ＝1時，DR＝1，此時點R的橫坐標為－2，縱坐標為－3＋1＝－2或－3－1＝－4，∴R(－2，－2)或(－2，－4)；當(dāng)PQ＝2時，DR＝2，此時點R的橫坐標為－2，縱坐標為－3＋2＝－1或－3－2＝－5，即R(－2，－1)或(－2，－5)．當(dāng)PQ為對角線時，設(shè)點R的坐標為(a，b)，則有eq\f(a－2,2)＝eq\f(m＋m,2)，eq\f(b－3,2)＝eq\f(m2＋2m－3＋m－1,2)，解得a＝2m＋2，b＝m2＋3m－1，∴點R的坐標為(2m＋2，m2＋3m－1)，∵R是整點，－2<m<1，∴當(dāng)m＝－1時，點R的坐標為(0，－3)；當(dāng)m＝0時，點R的坐標為(2，－1)．綜上所述，存在滿足R的點，它的坐標為(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．3．(2018·岳陽)已知拋物線F：y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過坐標原點O，且與x軸另一交點為(－eq\f(\r(3),3)，0)．(1)求拋物線F的解析式；(2)如圖1，直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋m(m>0)與拋物線F相交于點A(x1，y1)和點B(x2，y2)(點A在第二象限)，求y2－y1的值(用含m的式子表示)；(3)在(2)中，若m＝eq\f(4,3)，設(shè)點A′是點A關(guān)于原點O的對稱點，如圖2.①判斷△AA′B的形狀，并說明理由；②平面內(nèi)是否存在點P，使得以點A，B，A′，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(0,0)和(－eq\f(\r(3),3)，0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝0，,\f(1,3)－\f(\r(3),3)b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\r(3),3)，,c＝0，))∴拋物線F的解析式為y＝x2＋eq\f(\r(3),3)x.(2)將y＝eq\f(\r(3),3)x＋m代入y＝x2＋eq\f(\r(3),3)x，得x2＝m，解得x1＝－eq\r(m)，x2＝eq\r(m)，∴y1＝－eq\f(1,3)eq\r(3m)＋m，y2＝eq\f(1,3)eq\r(3m)＋m，∴y2－y1＝(eq\f(1,3)eq\r(3m)＋m)－(－eq\f(1,3)eq\r(3m)＋m)＝eq\f(2,3)eq\r(3m)(m>0)．(3)∵m＝eq\f(4,3)，∴點A的坐標為(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2,3))，點B的坐標為(eq\f(2\r(3),3)，2)．∵點A′是點A關(guān)于原點O的對稱點，∴點A′的坐標為(eq\f(2\r(3),3)，－eq\f(2,3))．①△AA′B為等邊三角形．理由如下：∵A(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2,3))，B(eq\f(2\r(3),3)，2)，A′(eq\f(2\r(3),3)，－eq\f(2,3))，∴AA′＝eq\f(8,3)，AB＝eq\f(8,3)，A′B＝eq\f(8,3)，∴AA′＝AB＝A′B，∴△AA′B為等邊三角形．②存在．分三種情況，如答圖，答圖設(shè)點P的坐標為(x，y)．(Ⅰ)當(dāng)A′B為對角線時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(2\r(3),3)＝\f(2\r(3),3)×2，,y＝\f(2,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)，,y＝\f(2,3)，))∴點P的坐標為(2eq\r(3)，eq\f(2,3))；(Ⅱ)當(dāng)AB為對角線時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2\r(3),3)，,y－\f(2,3)＝\f(2,3)＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2\r(3),3)，,y＝\f(10,3)，))∴點P的坐標為(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(10,3))；(Ⅲ)當(dāng)AA′為對角線時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2\r(3),3)，,\f(2,3)－y＝2＋\f(2,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2\r(3),3)，,y＝－2，))∴點P的坐標為(－eq\f(2\r(3),3)，－2)．綜上所述，平面內(nèi)存在點P，使得以點A，B，A′，P為頂點的四邊形是菱形，點P的坐標為(2eq\r(3)，eq\f(2,3))或(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(10,3))或(－eq\f(2\r(3),3)，－2)．4．如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線AB交于A(－4，－4)，B(0,4)兩點，直線AC：y＝－eq\f(1,2)x－6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G.(1)求拋物線y＝－x2＋bx＋c的表達式；(2)連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；(3)在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當(dāng)點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標．解：(1)∵點A(－4，－4)，B(0,4)在拋物線y＝－x2＋bx＋c上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－16－4b＋c＝－4，,c＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝4，))∴拋物線的表達式為y＝－x2－2x＋4.(2)設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋n，∵A(－4，－4)，B(0,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝4，,－4k＋n＝－4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2，,n＝4，))∴直線AB的解析式為y＝2x＋4，設(shè)E(m,2m＋4)，則G(m，－m2－2m＋4)，∵四邊形GEOB是平行四邊形，∴EG＝OB＝4，∴－m2－2m＋4－2m－4＝4，解得m＝－2，∴G(－2,4)．(3)如答圖，答圖由(2)知，直線AB的解析式為y＝2x＋4，∴設(shè)E(a,2a＋4)，∵直線AC：y＝－eq\f(1,2)x－6，∴F(a，－eq\f(1,2)a－6)，設(shè)H(0，p)，∵以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，直線AB的解析式為y＝2x＋4，直線AC的解析式為y＝－eq\f(1,2)x－6，∴AB⊥AC，∴EF為對角線，∴EF與AH互相平分且相等，∴2a＝－4，eq\r(－4－p2＋42)＝2a＋4＋eq\f(1,2)a＋6，∴a＝－2，p＝－1(－7已舍)，∴E(－2,0)，H(0，－1)．類型3二次函數(shù)與相似三角形的存在性問題1．(2018·官度區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A(1,1)，且與直線y＝x－2相交于B，C兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)求B，C兩點的坐標；(3)若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)∵頂點坐標為(1,1)，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋1.又∵拋物線過原點，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x.(2)聯(lián)立拋物線和直線解析式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋2x，,y＝x－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－3，))∴B(2,0)，C(－1，－3)．(3)存在．理由：假設(shè)存在滿足條件的點N，設(shè)N(x,0)，則M(x，－x2＋2x)，∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，由(2)知，AB＝eq\r(2)，BC＝3eq\r(2)，AC＝2eq\r(5)，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°，∵MN⊥x軸于點N，∴∠ABC＝∠MNO＝90°，∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時，有eq\f(MN,AB)＝eq\f(ON,BC)或eq\f(MN,BC)＝eq\f(ON,AB).①當(dāng)eq\f(MN,AB)＝eq\f(ON,BC)時，eq\f(|－x2＋2x|,\r(2))＝eq\f(|x|,3\r(2))，即|x|·|－x＋2|＝eq\f(1,3)|x|.∵當(dāng)x＝0時，M，O，N三點不能構(gòu)成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|＝eq\f(1,3)，∴－x＋2＝±eq\f(1,3)，解得x＝eq\f(5,3)或x＝eq\f(7,3)，此時N點坐標為(eq\f(5,3)，0)或(eq\f(7,3)，0)；②當(dāng)eq\f(MN,BC)＝eq\f(ON,AB)時，eq\f(|－x2＋2x|,3\r(2))＝eq\f(|x|,\r(2))，即|x|·|－x＋2|＝3|x|，∴|－x＋2|＝3，∴－x＋2＝±3，解得x＝5或x＝－1，此時N點坐標為(－1,0)或(5,0)．綜上可知，存在滿足條件的N點，其坐標為(eq\f(5,3)，0)或(eq\f(7,3)，0)或(－1,0)或(5,0)．2．(2018·達州)如圖，拋物線經(jīng)過原點O(0,0)，點A(1，1)，點B(eq\f(7,2)，0)．(1)求拋物線解析式；(2)連接OA，過點A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；(3)點M是y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接OM，過點M作MN⊥OM交x軸于點N.問：是否存在點M，使以點O，M，N為頂點的三角形與(2)中的△AOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．備用圖解：(1)設(shè)拋物線解析式為y＝ax(x－eq\f(7,2))，把A(1,1)代入，得a·(1－eq\f(7,2))＝1，解得a＝－eq\f(2,5)，∴拋物線解析式為y＝－eq\f(2,5)x(x－eq\f(7,2))，即y＝－eq\f(2,5)x2＋eq\f(7,5)x.(2)延長CA交y軸于點D，如答圖1.答圖1∵A(1,1)，∴OA＝eq\r(2)，∠DOA＝45°，∴△AOD為等腰直角三角形．∵OA⊥AC，∴OD＝eq\r(2)OA＝2，∴D(0,2)，易得直線AD的解析式為y＝－x＋2，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝－\f(2,5)x2＋\f(7,5)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－3，))∴C(5，－3)，∴S△AOC＝S△COD－S△AOD＝eq\f(1,2)×2×5－eq\f(1,2)×2×1＝4；(3)存在．如答圖2，過點M作MH⊥x軸于點H.答圖2由(2)易得AC＝eq\r(5－12＋－3－12)＝4eq\r(2)，OA＝eq\r(2).設(shè)M(x，－eq\f(2,5)x2＋eq\f(7,5)x)(x>0)．∵∠OHM＝∠OAC，∴當(dāng)eq\f(OH,OA)＝eq\f(MH,AC)時，△OHM∽△OAC，即eq\f(x,\r(2))＝eq\f(|－\f(2,5)x2＋\f(7,5)x|,4\r(2))，解方程－eq\f(2,5)x2＋eq\f(7,5)x＝4x得x1＝0(舍去)，x2＝－eq\f(13,2)(舍去)，解方程－eq\f(2,5)x2＋eq\f(7,5)x＝－4x得x1＝0(舍去)，x2＝eq\f(27,2)，此時M點坐標為(eq\f(27,2)，－54)；當(dāng)eq\f(OH,AC)＝eq\f(MH,OA)時，△OHM∽△CAO，即eq\f(x,4\r(2))＝eq\f(|－\f(2,5)x2＋\f(7,5)x|,\r(2))，解方程－eq\f(2,5)x2＋eq\f(7,5)x＝eq\f(1,4)x得x1＝0(舍去)，x2＝eq\f(23,8)，此時M點的坐標為(eq\f(23,8)，eq\f(23,32))，解方程－eq\f(2,5)x2＋eq\f(7,5)x＝－eq\f(1,4)x得x1＝0(舍去)，x2＝－eq\f(33,8)，此時M點坐標為(eq\f(33,8)，－eq\f(33,32))．∵MN⊥OM，∴∠OMN＝90°，∴∠MON＝∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴當(dāng)M點的坐標為(eq\f(27,2)，－54)或(eq\f(23,8)，eq\f(23,32))或(eq\f(33,8)，－eq\f(33,32))時，以點O，M，N為頂點的三角形與(2)中的△AOC相似．類型4二次函數(shù)與面積最值問題1．(2018·東營)如圖，拋物線y＝a(x－1)(x－3)(a>0)與x軸交于A，B兩點，拋物線上另有一點C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．(1)求線段OC的長度；(2)設(shè)直線BC與y軸交于點M，點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)當(dāng)y＝0時，a(x－1)(x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝3，即A(1,0)，B(3,0)，∴OA＝1，OB＝3.∵△OCA∽△OBC，∴OC∶OB＝OA∶OC，∴OC2＝OA·OB＝3，則OC＝eq\r(3).(2)∵C是BM的中點，即OC為Rt△OBM斜邊BM的中線，∴OC＝BC，∴點C的橫坐標為eq\f(3,2).又∵OC＝eq\r(3)，點C在x軸下方，∴C(eq\f(3,2)，－eq\f(\r(3),2))．設(shè)直線BM的解析式為y＝kx＋b，把點B(3,0)，C(eq\f(3,2)，－eq\f(\r(3),2))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝0，,\f(3,2)k＋b＝－\f(\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－\r(3)，,k＝\f(\r(3),3)，))∴直線BM的解析式為y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\r(3).又∵點C(eq\f(3,2)，－eq\f(\r(3),2))在拋物線上，∴將C(eq\f(3,2)，－eq\f(\r(3),2))代入拋物線的解析式，解得a＝eq\f(2\r(3),3)，∴拋物線的解析式為y＝eq\f(2\r(3),3)x2－eq\f(8\r(3),3)x＋2eq\r(3).(3)存在．如答圖，過點P作PQ⊥x軸交直線BM于點Q，設(shè)點P的坐標為(x，eq\f(2\r(3),3)x2－eq\f(8\r(3),3)x＋2eq\r(3))，答圖則Q(x，eq\f(\r(3),3)x－eq\r(3))，∴PQ＝eq\f(\r(3),3)x－eq\r(3)－(eq\f(2\r(3),3)x2－eq\f(8\r(3),3)x＋2eq\r(3))＝－eq\f(2\r(3),3)x2＋3eq\r(3)x－3eq\r(3)，∴當(dāng)△BCP面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，∴S△BCP＝eq\f(1,2)PQ(3－x)＋eq\f(1,2)PQ(x－eq\f(3,2))＝eq\f(3,4)PQ＝－eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(9\r(3),4)x－eq\f(9\r(3),4)，當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(9,4)時，S△BCP有最大值，則四邊形ABPC的面積最大，此時點P的坐標為(eq\f(9,4)，－eq\f(5\r(3),8))．2．(2018·鹽城)如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過點A(－1,0)，B(3,0)兩點，且與y軸交于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖2，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P，Q兩點(點P在點Q的左側(cè))，連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP，DQ.①若點P的橫坐標為－eq\f(1,2)，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D的坐標；②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由．解：(1)將A(－1,0)，B(3,0)代入y＝ax2＋bx＋3，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋3＝0，,9a＋3b＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，))∴拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋3.(2)①當(dāng)點P的橫坐標為－eq\f(1,2)時，點Q的橫坐標為eq\f(7,2)，∴此時點P的坐標為(－eq\f(1,2)，eq\f(7,4))，點Q的坐標為(eq\f(7,2)，－eq\f(9,4))．設(shè)直線PQ的表達式為y＝mx＋n，將P(－eq\f(1,2)，eq\f(7,4))，Q(eq\f(7,2)，－eq\f(9,4))代入y＝mx＋n，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)m＋n＝\f(7,4)，,\f(7,2)m＋n＝－\f(9,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝\f(5,4)，))∴直線PQ的表達式為y＝－x＋eq\f(5,4).如答圖，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，答圖設(shè)點D的坐標為(x，－x2＋2x＋3)，則點E的坐標為(x，－x＋eq\f(5,4))，∴DE＝－x2＋2x＋3－(－x＋eq\f(5,4))＝－x2＋3x＋eq\f(7,4)，∴S△DPQ＝eq\f(1,2)DE·(xQ－xP)＝－2x2＋6x＋eq\f(7,2)＝－2(x－eq\f(3,2))2＋8.∵－2<0，∴當(dāng)x＝eq\f(3,2)時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時點D的坐標為(eq\f(3,2)，eq\f(15,4))．②假設(shè)存在，設(shè)點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4＋t，∴點P的坐標為(t，－t2＋2t＋3)，點Q的坐標為(4＋t，－(4＋t)2＋2(4＋t)＋3)，利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達式為y＝－2(t＋1)x＋t2＋4t＋3.設(shè)點D的坐標為(x，－x2＋2x＋3)，則點E的坐標為(x，－2(t＋1)x＋t2＋4t＋3)，∴DE＝－x2＋2x＋3－[－2(t＋1)x＋t2＋4t＋3]＝－x2＋2(t＋2)x－t2－4t，∴S△DPQ＝eq\f(1,2)DE·(xQ－xP)＝－2x2＋4(t＋2)x－2t2－8t＝－2[x－(t＋2)]2＋8.∵－2<0，∴當(dāng)x＝t＋2時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8.∴假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8.3．(2018·新疆)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝eq\f(2,3)x2－eq\f(2,3)x－4與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C．(1)求點A，B，C的坐標；(2)點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向B點運動，同時，點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求運動時間t為多少秒時，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；(3)在(2)的條件下，當(dāng)△PBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)當(dāng)x＝0時，y＝eq\f(2,3)x2－eq\f(2,3)x－4＝－4，∴點C的坐標為(0，－4)；當(dāng)y＝0時，eq\f(2,3)x2－eq\f(2,3)x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝3，∴點A的坐標為(－2,0)，點B的坐標為(3,0)．(2)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將B(3,0)，C(0，－4)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝0，,b＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,3)，,b＝－4，))∴直線BC的解析式為y＝eq\f(4,3)x－4.過點Q作QE∥y軸，交x軸于點E，如答圖1所示．當(dāng)運動時間為t秒時，點P的坐標為(2t－2,0)，點Q的坐標為(3－eq\f(3,5)t，－eq\f(4,5)t)∴PB＝3－(2t－2)＝5－2t，QE＝eq\f(4,5)t，∴S＝eq\f(1,2)PB·QE＝－eq\f(4,5)t2＋2t＝－eq\f(4,5)(t－eq\f(5,4))2＋eq\f(5,4).∵－eq\f(4,5)<0，∴當(dāng)t＝eq\f(5,4)秒時，△PBQ的面積S取最大值，最大值為eq\f(5,4).(3)存在，如答圖2，過點M作MF∥y軸，交BC于點F，設(shè)點M的坐標為(m，eq\f(2,3)m2－eq\f(2,3)m－4)，則點F的坐標為(m，eq\f(4,3)m－4)，∴MF＝eq\f(4,3)m－4－(eq\f(2,3)m2－eq\f(2,3)m－4)＝－eq\f(2,3)m2＋2m，∴S△BMC＝eq\f(1,2)MF·OB＝－m2＋3m.∵△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，∴－m2＋3m＝eq\f(5,4)×1.6，即m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.∵0<m<3，∴在BC下方的拋物線上存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，此時點M的坐標為(1，－4)或(2，－eq\f(8,3))．答圖4．(2018·白銀)如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋2x＋c的圖象經(jīng)過點C(0,3)，與x軸分別交于點A，點B(3,0)．點P是直線BC上方的拋物線上一動點．(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋2x＋c的表達式；(2)連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C．若四邊形POP′C為菱形，請求出此時點P的坐標；(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ACPB的最大面積．解：(1)將點B和點C的坐標代入函數(shù)表達式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a＋6＋c＝0，,c＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,c＝3，))∴二次函數(shù)的表達式為y＝－x2＋2x＋3.(2)若四邊形POP′C為菱形，則點P在線段CO的垂直平分線上，如答圖1，作OC的垂直平分線交拋物線于點P，交y軸于點E，連接PP′，則PE⊥CO.答圖1∵C(0,3)，∴E(0，eq\f(3,2))，∴點P的縱坐標為eq\f(3,2)，當(dāng)y＝eq\f(3,2)時，即－x2＋2x＋3＝eq\f(3,2)，解得x1＝eq\f(2＋\r(10),2)，x2＝eq\f(2－\r(10),2)(不合題意，舍去)，∴點P的坐標為(eq\f(2＋\r(10),2)，eq\f(3,2))．(3)如答圖2，過點P作PF⊥x軸于點F，交BC于點Q.答圖2設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，將點B和點C的坐標代入函數(shù)解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k＋3＝0，,b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3，))∴直線BC的解析式為y＝－x＋3.設(shè)點P的坐標為(m，－m2＋2m＋3)，則點Q的坐標為(m，－m＋3)，∴PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.當(dāng)y＝0時，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1,0)，∴OA＝1，AB＝3－(－1)＝4，∴S四邊形ABPC＝S△ABC＋S△PCQ＋S△PBQ＝eq\f(1,2)AB·OC＋eq\f(1,2)PQ·OF＋eq\f(1,2)PQ·FB＝eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)(－m2＋3m)×3＝－eq\f(3,2)(m－eq\f(3,2))2＋eq\f(75,8)，∴當(dāng)m＝eq\f(3,2)時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為eq\f(75,8).當(dāng)m＝eq\f(3,2)時，－m2＋2m＋3＝eq\f(15,4)，即P的坐標為(eq\f(3,2)，eq\f(15,4))．綜上所述，當(dāng)點P的坐標為(eq\f(3,2)，eq\f(15,4))時，四邊形ACPB的最大面積為eq\f(75,8).類型5二次函數(shù)與動點問題1．(2018·菏澤)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx－5交y軸于點A，交x軸于點B(－5,0)和點C(1,0)，過點A作AD∥x軸交拋物線于點D．(1)求此拋物線的表達式；(2)點E是拋物線上一點，且點E關(guān)于x軸的對稱點在直線AD上，求△EAD的面積；(3)若點P是直線AB下方的拋物線上一動點，當(dāng)點P運動到某一位置時，△ABP的面積最大，求出此時點P的坐標和△ABP的最大面積．解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－5交y軸于點A，交x軸于點B(－5,0)和點C(1,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25a－5b－5＝0，,a＋b－5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4，))∴此拋物線的表達式是y＝x2＋4x－5.(2)∵拋物線y＝x2＋4x－5交y軸于點A，∴點A的坐標為(0，－5)．∵AD∥x軸，點E是拋物線上一點，且點E關(guān)于x軸的對稱點在直線AD上，∴點E的縱坐標是5，點E到AD的距離是10，當(dāng)y＝－5時，－5＝x2＋4x－5，解得x＝0或x＝－4，∴點D的坐標為(－4，－5)，∴AD＝4，∴S△AED＝eq\f(1,2)AD·EF＝eq\f(1,2)×4×10＝20.(3)設(shè)點P的坐標為(p，p2＋4p－5)，如答圖所示．答圖設(shè)過點A(0，－5)，點B(－5,0)的直線AB的函數(shù)解析式為y＝mx＋n，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝－5，,－5m＋n＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－5，))∴直線AB的函數(shù)解析式為y＝－x－5.當(dāng)x＝p時，y＝－p－5.∵OB＝5，∴S△ABP＝eq\f(－p－5－p2＋4p－5,2)·5＝eq\f(5,2)[－(p＋eq\f(5,2))2＋eq\f(25,4)]．∵點P是直線AB下方的拋物線上一動點，∴－5<p<0，∴當(dāng)p＝－eq\f(5,2)時，S取得最大值，此時S＝eq\f(125,8)，點p的坐標是(－eq\f(5,2)，－eq\f(35,4))．綜上，當(dāng)點P的坐標是(－eq\f(5,2)，－eq\f(35,4))時，△ABP的面積最大，此時△ABP的面積是eq\f(125,8).2．(2018·德州)如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x－1與拋物線y＝－x2＋bx＋c交于A，B兩點，其中A(m,0)，B(4，n)，該拋物線與y軸交于點C，與x軸交于另一點D．(1)求m，n的值及該拋物線的解析式；(2)如圖2，若點P為線段AD上的一動點(不與A，D重合)，分別以AP，DP為斜邊，在直線AD的同側(cè)作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，連接MN，試確定△MPN面積最大時P點的坐標；(3)如圖3，連接BD，CD，在線段CD上是否存在點Q，使得以A，D，Q為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)把A(m,0)，B(4，n)代入y＝x－1，得m＝1，n＝3，∴A(1,0)，B(4,3)．∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A與點B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋b＋c＝0，,－16＋4b＋c＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝－5，))∴拋物線的解析式為y＝－x2＋6x－5.(2)∵△APM與△DPN都為等腰直角三角形，∴∠APM＝∠DPN＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△MPN為直角三角形．令－x2＋6x－5＝0，解得x＝1或x＝5，∴D(5,0)，即DA＝5－1＝4.設(shè)AP＝m，則DP＝4－m，∴PM＝eq\f(\r(2),2)m，PN＝eq\f(\r(2),2)(4－m)，∴S△MPN＝eq\f(1,2)PM·PN＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)m×eq\f(\r(2),2)(4－m)＝－eq\f(1,4)m2－m＝－eq\f(1,4)(m－2)2＋1，∴當(dāng)m＝2，即AP＝2時，S△MPN最大，此時OP＝3，即P(3,0)．(3)存在，易得直線CD解析式為y＝x－5，設(shè)Q(x，x－5)，由題意得∠BAD＝∠ADC＝45°，當(dāng)△ABD∽△DAQ時，eq\f(AB,DA)＝eq\f(BD,AQ)，即eq\f(3\r(2),4)＝eq\f(\r(10),AQ)，解得AQ＝eq\f(4\r(5),3)，由兩點間的距離公式得(x－1)2＋(x－5)2＝eq\f(80,9)，解得x＝eq\f(7,3)或x＝eq\f(11,3)(舍去)，此時Q(eq\f(7,3)，－eq\f(8,3))；當(dāng)△ABD∽△DQA時，eq\f(BD,AQ)＝1，即AQ＝eq\r(10)，∴(x－1)2＋(x－5)2＝10，解得x＝2或x＝6(舍去)，此時Q(2，－3)．綜上，點Q的坐標為(2，－3)或(eq\f(7,3)，－eq\f(8,3))．類型6二次函數(shù)與線段最值問題1．(2018·宜賓)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為(2,0)，且經(jīng)過點(4,1)．如圖，直線y＝eq\f(1,4)x與拋物線交于A，B兩點，直線l為y＝－1.(1)求拋物線的解析式；(2)在l上是否存在一點P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．(3)已知F(x0，y0)為平面內(nèi)一定點，M(m，n)為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標．解：(1)∵拋物線的頂點坐標為(2,0)，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－2)2.∵該拋物線經(jīng)過點(4,1)，∴1＝4a，解得a＝eq\f(1,4)，∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,4)(x－2)2＝eq\f(1,4)x2－x＋1.(2)聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,4)x，,y＝\f(1,4)x2－x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝\f(1,4)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4，,y2＝1，))∴點A的坐標為(1，eq\f(1,4))，點B的坐標為(4,1)．如答圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，