第講

by數(shù)模總習一基礎知識一、約、倍數(shù)1、⑴A×B＝mα×mb＝m×mαb＝（A，B）×[A，兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積。⑵A和B的最大公約數(shù)，是的約數(shù)、是B約數(shù)、是A＋B的約數(shù)、是A－B的約數(shù)、是A和B的最小公倍數(shù)的約數(shù)。2、求一組分數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，并能在解題中應用。8⑴求和的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。98406（，）＝（，）＝94584068[，]＝[，]＝＝9335⑵求和的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。435（，）＝（，）＝412123515[，]＝[，]＝＝41212二、質、合數(shù)、分質因數(shù)（1）會判斷一個自然數(shù)是不是質數(shù)。例如，判斷149是不是質數(shù)？是不是質數(shù)？149＜13

2

，用不超過的質數(shù)2、3、5、7、11、13分別去除149都不能整除，所以149是質數(shù)。（2）約數(shù)個數(shù)定理——指數(shù)加1相乘。①30＝21×31×51，（1＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝8，所以308個約數(shù)。②100＝22

2（2＋1）×（2＋1）＝9，所以100有9個約數(shù)。三、平數(shù)1、完全平方數(shù)：①一個自然數(shù)平方之后所得到的數(shù)叫做平方數(shù)或叫完全平方數(shù)。②1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、144、169、……都是平方數(shù)。③平方數(shù)的質因數(shù)必定成對出現(xiàn)。2、平方數(shù)的性質：性質1：平方數(shù)的個位數(shù)字只可能是0、1、4、5、9。性質2：平方數(shù)的約數(shù)有奇數(shù)個；有奇數(shù)個約數(shù)的自然數(shù)都是平方數(shù)。性質3：平方數(shù)的個數(shù)數(shù)字如果是6，十位數(shù)字一定是奇數(shù)。性質4：平方數(shù)的個數(shù)數(shù)字如果是0，那么末尾的一定是偶數(shù)個。性質5：α2－b2＝（α＋bα－b）性質6：偶數(shù)的平方都是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方都是除以余1的數(shù)。by

by二、補充練[練習1]能否將1至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為質數(shù)？分析：⑴數(shù)中除了2都是奇數(shù)而1至15這15個數(shù)中任何兩個數(shù)相加的和都不可能等于2，所以相鄰兩數(shù)之和都為質數(shù)，只能都是奇質數(shù)。⑵奇數(shù)＝奇數(shù)＋偶數(shù)所以1至15這15數(shù)排成一行必須是一個奇數(shù)一個偶數(shù)，先把奇數(shù)排好，再填偶數(shù)。1

3

5

7

9

11

13

15突破口在13和15之間，只能填4。于是按照次序填下去，有12

314

512

710

98

116

134

15[練習2]如果當初灰太郎抓到的是1993只羊太郎這回讓羊們圍成一圈時針編號，從1號開始隔一只吃一只（不吃還是吃到最后一只不吃了。這時候喜羊羊應該站在幾號位呢？分析：⑴先從簡單情況找規(guī)律。如果2只羊，最后剩的是1號。如果4只羊，最后剩的是1號。如果8只羊，最后剩的是1號。如果16只羊，最后剩的還是1號。這是為什么呢？以16只羊為例：第一圈，吃掉的2、4、6、8、12、14、16號，剩下的1、3、5、7、9、11、13、15；第二圈，吃掉的是這一次排在偶數(shù)位置的3、7、11、15號，剩下的是1、5、9、13號；第三圈，吃掉的是這一次排在偶數(shù)位置的號，剩下1、9號；第四圈，吃掉這一次排在偶數(shù)位置的9號，最后剩起始號1號。羊的只數(shù)是2

n

，如2、8、16、32、64、128、……時，最后剩的都是起始數(shù)號。3只羊，1、2、3號。先吃掉2號，這時剩2，最后剩起始數(shù)3號；5只羊，1、2、3、4、5號。先吃掉2號，這時剩只，最后剩起始數(shù)3號；7只羊，1、3、5、6、7號。先吃2、4號，這時剩4只，最后剩起始7號；18只羊。先吃掉2、4號，這時剩16只，最后剩起始數(shù)號；⑵210

＝1024，211

＝2048，當剩1024只羊時，肯定剩起始數(shù)。1993－1024＝969，需要先吃掉969羊，第只羊的編號是2×969＝1938號，這時剩下1024只羊，第一只羊的編號是1939，最后剩的羊的編號是1939號。⑶若是2012只羊。2012＝988，先吃988只剩1024只，第988只羊的編號是2×988＝1976，當剩下1024只羊，第一只羊的編號是1977號，最后剩的羊的編號是1977號。[練習3]有一天錚錚、巍巍、昊昊、包包四個同學想要出去玩，這時候他們碰見了數(shù)學老師，老師讓這四位同學猜一個兩位數(shù)，猜對了他們就能出去玩，于是他們每人都說了兩句話：錚錚這個數(shù)除以2余1，這個數(shù)除以3余2巍巍這個數(shù)除以4余3，這個數(shù)除以5余4昊昊這個數(shù)除以6余5，這個數(shù)除以7余6包包這個數(shù)除以8余7，這個數(shù)除以9余8老師說，每位同學都說對了一半，說錯了一半，你知道這個兩位數(shù)嗎？by

___________________________________by___________________________________分析：⑴設所求的兩位數(shù)為χ。如果這8句話都對，那么χ＋1被2、4、6、7同時整除。但事實上是不可能的。因為被除數(shù)相當于分子，除數(shù)相當于分母，分數(shù)線相當于除號，所以根據(jù)4個人的敘述，寫成分數(shù)形式。⑵錚錚：，23巍?。海?5昊昊：，67包包：，89從看出如果χ是6的倍數(shù)則χ＋1肯定同時是2和3的倍數(shù)這樣6錚錚說的兩句話都對，與老師的話矛盾，所以肯定不是整數(shù)，必是整數(shù)。67若是整數(shù)即χ＋1是8的倍數(shù)則χ＋1肯定同時是2和的倍數(shù)于是8，都是整數(shù)。24χ＋1不超過100，是不超過13的整數(shù)，所以另外三個除數(shù)的最小公倍數(shù)不7超過。另外的除數(shù)中如果有9的話，45這兩個除數(shù)必有一個，無論哪一個與9的乘積都大于13，不符合。所以，除數(shù)中必定沒有9于是可以肯定是整數(shù)，除數(shù)中8一定有8。xx因此，4個人的話中正確的有，，，。χ＋1是2、4、7、824的公倍數(shù)，最小是56，χ最小是55。答：符合要求的數(shù)是。[練習4]α、b、C、d各代表一個不同的非零數(shù)字，如果abcd能被整除，把α換到最后一位能11整除，再把b換到最后一位能被9整除，再把C換到最后一位dabc能被整除，那么是3861。分析⑴因為9︱cdab所以α＋b＋C＋d是9的倍數(shù)由此判斷abcdbcdadabc、都9的倍數(shù)。因為11︱，所以（α＋C）－（b＋d）是11的倍數(shù)＋d）－（α＋C）也必定是11的倍數(shù)由此判斷定是11的倍數(shù)是9的倍數(shù)是11的倍數(shù)，