2023有關(guān)于高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)高一數(shù)學(xué)必修一學(xué)問點(diǎn)總結(jié):集合與函數(shù)概念

一：集合的含義與表示

1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東西，并且能推斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)整體。

把討論對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡(jiǎn)稱為集。

2、集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個(gè)集合是確定的：屬于或不屬于。

(2)元素的互異性：一個(gè)給定集合中的元素是唯一的，不行重復(fù)的。

(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以轉(zhuǎn)變的，并且轉(zhuǎn)變位置不影響集合

3、集合的表示：{}

(1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c}

b、描述法：

①區(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合。

{xR|x-32},{x|x-32}

②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

4、集合的分類：

(1)有限集：含有有限個(gè)元素的集合

(2)無限集：含有無限個(gè)元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合

5、元素與集合的關(guān)系：

(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA

(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A

留意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

正整數(shù)集N*或N+

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實(shí)數(shù)集R

6、集合間的基本關(guān)系

(1)."包含'關(guān)系(1)子集

定義：假如集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。

7、集合的運(yùn)算

二、函數(shù)的概念

函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，假如根據(jù)某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A---B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作：y=f(x)，xA.

(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;

(2)與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域.

函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則

函數(shù)的表示方法：(1)解析法：明確函數(shù)的定義域

(2)圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點(diǎn)等等。

(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特征。

4、函數(shù)圖象學(xué)問歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(xA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(xA)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿意函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿意y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.

(2)畫法

A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對(duì)稱變換，即平移。

(3)函數(shù)圖像平移變換的特點(diǎn)：

1)加左減右只對(duì)x

2)上減下加只對(duì)y

3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對(duì)稱得函數(shù)y=-f(x)

4)函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對(duì)稱得函數(shù)y=f(-x)

5)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得函數(shù)y=-f(-x)

6)函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動(dòng)得

函數(shù)y=|f(x)|

7)函數(shù)y=f(x)先作x0的圖像，然后作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像得函數(shù)f(|x|)

三、函數(shù)的基本性質(zhì)

1、函數(shù)解析式子的求法

(1、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

(2、求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系數(shù)法：

3)換元法：

4)拼湊法：

2.定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必需大于零;

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必需大于零且不等于1.

(5)假如函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不行以等于零，

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證明際問題有意義.

3、相同函數(shù)的推斷方法：①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域全都(兩點(diǎn)必需同時(shí)具備)

4、區(qū)間的概念：

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示

5、值域(先考慮其定義域)

(1)觀看法：直接觀看函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域;

(2)反表示法：針對(duì)分式的類型，把Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式化成X關(guān)于Y的函數(shù)關(guān)系式，由X的范圍類似求Y的范圍。

(3)配方法：針對(duì)二次函數(shù)的類型，依據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值域，留意定義域的范圍。

(4)代換法(換元法)：作變量代換，針對(duì)根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值狀況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.

(4)常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、含肯定值的函數(shù)

7.映射

一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，假如按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A---B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作"f(對(duì)應(yīng)關(guān)系)：A(原象)---B(象)'

對(duì)于映射f：AB來說，則應(yīng)滿意：

(1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);

(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

留意：映射是針對(duì)自然界中的全部事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對(duì)數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不肯定的函數(shù)

8、函數(shù)的'單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值

(1、增減函數(shù)

(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，假如對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1

(2)假如對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

留意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種

(2、圖象的特點(diǎn)

假如函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法：

任取x1，x2D，且x1

作差f(x1)-f(x2);

變形(通常是因式分解和配方);

定號(hào)(即推斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));

下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)：假如y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則y=f[g(x)]=F(x)(xA)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性親密相關(guān)，其規(guī)律："同增異減'

留意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

9：函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

(1、偶函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2、奇函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).

(3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

利用定義推斷函數(shù)奇偶性的步驟：

a、首先確定函數(shù)的定義域，并推斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;若是不對(duì)稱，則是非奇非偶的函數(shù);若對(duì)稱，則進(jìn)行下面推斷;

b、確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;

c、作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù);

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù).

(4)利用奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性

a、在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);

奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);

奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);

偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);

一奇一偶的乘積是奇函數(shù);

a、復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇。

留意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，

(1)再依據(jù)定義判定;

(2)由f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1來判定;

(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

10、函數(shù)最值及性質(zhì)的應(yīng)用

(1、函數(shù)的最值

a利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

b利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

c利用函數(shù)單調(diào)性的推斷函數(shù)的最大(小)值：

假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

(2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。

(3、推斷模糊單調(diào)性時(shí)也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)分在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。

(4)肯定值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調(diào)性，或圖像求最值。

(5)在推斷函數(shù)的奇偶性時(shí)候，若已知是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不肯定可以推斷函數(shù)為奇函數(shù)。(高一階段可以利用奇函數(shù)f(0)=0)。

高一數(shù)學(xué)必修一學(xué)問點(diǎn)總結(jié):基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(一)指數(shù)

指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算：

復(fù)習(xí)學(xué)校整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

am*an=am+n

(am)n=amn

(a*b)n=anbn

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

(一)對(duì)數(shù)

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

三、冪函數(shù)

高一數(shù)學(xué)必修一學(xué)問點(diǎn)總結(jié):函數(shù)的應(yīng)用

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的