2022-2023學年浙江省寧波市高一上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知全集為，集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】，解得或，所以或，所以，所以.故選：C2．函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理求得正確答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，，所以的零點在區(qū)間.故選：B3．已知，為非零實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識求得正確答案.【詳解】當時，同號且非零，則，所以.當時，如，則，無法得到.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用整體代入法求得正確答案.【詳解】由，解得，所以函數(shù)的定義域是.故選：D5．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性求得正確答案.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，所以，，所以是周期為的周期函數(shù)，所以.故選：B6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式求得正確答案.【詳解】.故選：7．已知，，則（

）A．的最大值為且的最大值為B．的最大值為且的最小值為0C．的最小值為且的最大值為D．的最小值為且的最小值為0【答案】C【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值.【詳解】利用，則，整理得，當且僅當，即時取得等號，即的最小值為；利用，，即，整理得，即，當且僅當時取得等號，故的最大值為.故選：C8．若關于的方程恰有三個不同的實數(shù)解，，，且，其中，則的值為（

）A．-6 B．-4 C．-3 D．-2【答案】A【分析】利用換元法化簡題目所給方程，結(jié)合二次函數(shù)零點分布、對勾函數(shù)的性質(zhì)等知識求得正確答案.【詳解】依題意可知，由整理得①，即關于的方程恰有三個不同的實數(shù)解，，，且，令，則或，則①轉(zhuǎn)化為，即，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知是方程的一個根，所以，所以，解得或，所以是方程的根，即的根，所以，所以.故選：A【點睛】對于復雜方程的跟有關的問題求解，可根據(jù)題目所給已知方程進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方向是熟悉的函數(shù)類型，即將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進行求解.對鉤函數(shù)是函數(shù)題目中常見的函數(shù)，對其性質(zhì)要注意總結(jié).二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．若是銳角，則是第一象限角B．C．若，則為第一或第二象限角D．若為第二象限角，則為第一或第三象限角【答案】ABD【分析】根據(jù)象限角、弧度制、三角函數(shù)值等知識確定正確答案.【詳解】A選項，是銳角，即，所以是第一象限角，A選項正確.B選項，根據(jù)弧度制的定義可知，B選項正確.C選項，當時，，但不是象限角，C選項錯誤.D選項，為第二象限角，即，所以為第一或第三象限角，D選項正確.故選：ABD10．關于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)定義域為 B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是周期函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性、單調(diào)性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于，所以的定義域不是，A選項錯誤.由得，所以，所以的定義域是，的定義域關于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，B選項正確.，所以是周期函數(shù)，C選項正確.當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項正確.故選：BCD11．已知且，函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點的函數(shù)值確定正確答案.【詳解】依題意且，，B選項錯誤.當時，，且在上遞增，A選項符合題意.當時，，在CD選項中，C選項錯誤，則D選項正確.故選：AD12．已知實數(shù)，滿足，則下列關系式可能正確的是（

）A．，使B．，使C．，有D．，有【答案】ABCD【分析】由原方程可得，構造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性得出值域，根據(jù)函數(shù)的值域判斷A;令，代入原方程轉(zhuǎn)化為判斷是否有解即可判斷B，條件變形放縮后構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出大小，判斷CD，【詳解】對于A，由得，令，則分別在和上單調(diào)遞增，令，則分別在和上單調(diào)遞增，當時，的值域為當時，的值域為，所以存在，使得；同理可得，存在，使得，因此，使，A正確；對于B，令，則方程可化為，由換底公式可得，顯然關于的方程在上有解，所以，使，B正確；對于C，當時，因為，所以，又在上單調(diào)遞增，所以.又，令，則在上單調(diào)遞增，因為，所以，從而可得，所以．綜上所述可得，C正確；對于D，當時，因為，所以，又在上單調(diào)遞增，所以.又，令，則在上單調(diào)遞增，因為，所以，從而，所以．綜上所述可得，所以D正確．故選：ABCD【點睛】關鍵點點睛：對于CD選項的關鍵在于變形、放縮，恰當放縮后不等式兩邊可看做同一函數(shù)的兩個函數(shù)值，據(jù)此構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，建立自變量的大小關系，化繁為簡，得出的關系，再利用對數(shù)性質(zhì)放縮即可判斷結(jié)論，本題難度較大，技巧性較強，屬于難題.三、填空題13．化簡求值：______.【答案】##0.75【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則、性質(zhì)，換底公式求解.【詳解】.故答案為：14．已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當時，值域為，且在上有兩個零點，請寫出一個滿足上述條件的______.【答案】（答案不唯一，如亦可）【分析】根據(jù)函數(shù)的自變量、值域、零點在學過函數(shù)中找到滿足條件的函數(shù)即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)自變量時，函數(shù)值域為，可考慮二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知時，，，令，解得，即在上有兩個零點.故答案為：（答案不唯一，如亦可）15．炎炎夏日，古代人們乘涼時用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，得到的扇形ABC面積為，則當該紙疊扇的周長最小時，的長度為______cm.【答案】【分析】設扇形ABC的半徑為，弧長為，根據(jù)扇形ABC的面積得到，紙疊扇的周長，利用基本不等式求解即可.【詳解】設扇形ABC的半徑為，弧長為，則扇形面積.由題意得，所以.所以紙疊扇的周長，當且僅當即，時，等號成立，所以此時的長度為.故答案為：16．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則實數(shù)的最大值是______.【答案】【分析】化簡函數(shù)解析式，先求出整體的范圍，由在區(qū)間內(nèi)沒有零點得出不等式，解出的范圍，再結(jié)合的取值，即可求解.【詳解】，由可得，又在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則，解得，又，解得，又，所以或，當時，；當時，；綜上：的最大值為.故答案為：.四、解答題17．在①是的充分不必要條件；②；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題.問題：已知集合，集合.(1)當時，求；(2)若______，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）解絕對值不等式求得集合，由此求得.（2）通過選擇的條件列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1），所以.當時，，所以.（2）由（1）得，選①，是的充分不必要條件，則且等號不同時成立，解得.選②，，則，解得.選③，，則或，解得或.18．已知函數(shù)，且，.(1)求的值；(2)若，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平方的方法，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關系式求得正確答案.（2）利用兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系式求得正確答案.【詳解】（1）由題意，，由于，所以，故由可解得，.所以.（2）由（1）可知：，，則因為，所以，所以.19．已知函數(shù)，.(1)若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在區(qū)間上的最小值為-2，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)零點分布的知識求得的取值范圍.（2）根據(jù)在區(qū)間端點或?qū)ΨQ軸（二次函數(shù)時）處取得最小值進行分類討論，由此求得的值.【詳解】（1）在上有零點，所以，所以.（2）由于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值只可能在端點或?qū)ΨQ軸處取到，所以只需考慮一下三種情況并檢驗即可：①若，∴.的圖象開口向上，對稱軸，而，不成立，舍.②若，∴.此時的圖象開口向上，對稱軸，成立.③若，∴或.此時的圖象開口向上，對稱軸，而此時，成立.綜上可知，或.20．已知函數(shù)的圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的對稱中心；(2)先將函數(shù)圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍（橫坐標不變），然后將得到的函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），最后將所得圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象.若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求得的解析式，然后利用整體代入法求得的對稱中心.（2）利用三角函數(shù)圖象變換的知識求得的解析式，根據(jù)在區(qū)間上的值域轉(zhuǎn)化不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）由圖可知：，所以，所以，，又，所以，.所以.令，，則，.所以的對稱中心為，.（2）由題.當時，.因為對任意的恒成立，則.所以.21．近年來，受全球新冠肺炎疫情影響，不少外貿(mào)企業(yè)遇到展會停辦、訂單延期等困難，在該形勢面前，某城市把目光投向了國內(nèi)大市場，搭建夜間集市，不僅能拓寬適銷對路的出口產(chǎn)品內(nèi)銷渠道，助力外貿(mào)企業(yè)開拓國內(nèi)市場，更能推進內(nèi)外貿(mào)一體化發(fā)展，加速釋放“雙循環(huán)”活力.某夜市的一位文化工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（按30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關系滿足（為常數(shù)，且），日銷售量（單位：件）與時間的部分數(shù)據(jù)如下表所示：15202530105110105100設該文化工藝品的日銷售收入為（單位：元），且第15天的日銷售收入為1057元.(1)求的值；(2)給出以下四種函數(shù)模型：①；②；③；④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)利用問題（2）中的函數(shù)，求的最小值.【答案】(1)(2)選擇函數(shù)模型②，(3)961【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，由此求得的值.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性選擇模型并根據(jù)已知條件列方程，求得，從而求得的解析式.（3）結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.【詳解】（1）因為第15天的日銷售收入為1057元，所以，解得.（2）由表中的數(shù)據(jù)知，當時間變化時，先增后減.而函數(shù)模型①；③；④都是單調(diào)函數(shù)，所以選擇函數(shù)模型②.由，解得，，.所以日銷售量與時間的變化關系為.（3）由（2）知所以即.當，時，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立.當，時，單調(diào)遞減，所以.綜上所述：當時，取得最小值，最小值為961.22．定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，都存在唯一的，使得，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”.(1)判斷是否為“型函數(shù)”?并說明理由；(2)若存在實數(shù)，使得函數(shù)始終是“型函數(shù)”，求的最小值；(3)若函數(shù)，是“型函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不是，理由見解析(2)1(3)【分析】（1）根據(jù)“型函數(shù)”的定義，結(jié)合特殊值進行判斷.（2）根據(jù)的定義域求得的范圍，結(jié)合“型函數(shù)”的定義以及函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.（3）對進行分類討論，根據(jù)“型函數(shù)”的定義列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）是偶函數(shù)，且在遞減，遞增.當時，；當時，.若取，則不存在