2022-2023學(xué)年福建省南平市高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．如果質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的位移S（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）之間的函數(shù)關(guān)系為那么該質(zhì)點(diǎn)在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為：（

）（單位：米/秒）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義求解即可.【詳解】，所以.故選：D.2．直線與直線之間的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由兩線距離公式求值即可.【詳解】，顯然與另一條直線平行，則所求距離為.故選：C.3．函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的除法法則和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?；所以；?故選：D.4．如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)．記，，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平行六面體的性質(zhì)以及空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知：在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，則，所以，故選：.5．若函數(shù)在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】原命題等價(jià)為在R上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可.【詳解】∵函數(shù)在R上是增函數(shù)，在R上恒成立，∴.故選：B.6．過(guò)拋物線C：焦點(diǎn)F的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若E為線段AB的中點(diǎn)，M為拋物線C上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】利用中點(diǎn)關(guān)系求出E的軌跡方程，結(jié)合橢圓定義由數(shù)形結(jié)合可得最小值.【詳解】設(shè)，E為線段AB的中點(diǎn)，則，又，兩式相減得，由，∴，∴E的軌跡為頂點(diǎn)在的拋物線.如圖所示，、EP垂直C的準(zhǔn)線于N、P，則，則當(dāng)與F重合時(shí)，最小，為.故的最小值為3.故選：A.7．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由新定義求得，然后由求得，從而可求得（裂項(xiàng)相消法）后得的最小值，解相應(yīng)不等式可得結(jié)論．【詳解】由題意,即,∴時(shí)，，又，∴時(shí)，，，，易知是遞增數(shù)列，∴的最小值是（時(shí)取得），由題意，解得．故選：B．8．已知函數(shù)的最小值為－1，過(guò)點(diǎn)的直線中有且只有兩條與函數(shù)的圖象相切，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，結(jié)合題意可得，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)建立方程，再結(jié)合過(guò)點(diǎn)的直線有兩條與函數(shù)的圖象相切可得，解之即可求解.【詳解】因?yàn)?，則，令可得．當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，所以，即，即．過(guò)點(diǎn)的直線有兩條與函數(shù)的圖象相切，則，即，解得：或．故選：.二、多選題9．若函數(shù)，則（

）A．函數(shù)只有極大值沒有極小值 B．函數(shù)只有最大值沒有最小值C．函數(shù)只有極小值沒有極大值 D．函數(shù)只有最小值沒有最大值【答案】CD【分析】由導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值、最值.【詳解】，單調(diào)遞增，由，則.∴函數(shù)有唯一極小值，即最小值，沒有極大值、最大值.故選：CD.10．函數(shù)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)有零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理求解即可.【詳解】，定義域，所以，令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則的圖象如圖所示：故A錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，所以從圖像可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC11．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為.若對(duì)任意的，都有，則的值可能為（

）A．2 B． C． D．【答案】ABC【分析】由等差數(shù)數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)出，由此能求出的值不可能為.【詳解】數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，前項(xiàng)和.若對(duì)任意的，都有，，，解得，當(dāng)時(shí)，．成立；當(dāng)時(shí)，．成立；當(dāng)時(shí)，．成立；當(dāng)時(shí)，．不成立．的值不可能為．故選：ABC．12．雙曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線l的方程為，M，N是雙曲線E上不同兩點(diǎn)，則（

）A．漸近線l與圓相切B．M，N的中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率可能為C．當(dāng)直線MN過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)時(shí)，滿足的直線MN只有3條D．滿足的點(diǎn)M有且僅有2個(gè)【答案】AC【分析】求出圓心到直線的距離即可判斷A；根據(jù)題意求出雙曲線的方程，假設(shè)存在點(diǎn)，符合題意，利用點(diǎn)差法求出，即可判斷B；求出通徑及實(shí)軸長(zhǎng)即可判斷C；分別比較與的大小即可判斷D.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓心到曲線E的漸近線的距離為，所以漸近線l與圓相切，故A正確；因，所以，即，又一條漸近線l的方程為，所以，可解得：，，所以曲線E的方程為，假設(shè)存在點(diǎn)，符合題意，則的中點(diǎn)，，由，，相減得，所以，所以共線，故直線與漸近線重合，矛盾，故B不正確；雙曲線E的焦距為，則直線MN過(guò)左右頂點(diǎn)時(shí)，，符合題意，令，則有，解得，所以雙曲線的通徑為，即直線MN過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)時(shí)，，所以當(dāng)直線不過(guò)左右頂點(diǎn)時(shí)，滿足的線段有2條，綜上，滿足的線段包含實(shí)軸共有3條，故C正確；，所以右支上有兩點(diǎn)滿足題意，，所以左支上有兩點(diǎn)滿足題意，滿足的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)，D不正確．故選：AC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：①已知橢圓的弦的中點(diǎn)，則；②已知雙曲線的弦的中點(diǎn)，則；③已知拋物線的弦的中點(diǎn)，則.三、填空題13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______．【答案】35【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，故答案為：35.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且，請(qǐng)寫出滿足題意的直線PF的一個(gè)方程_____________．【答案】（或，寫其中一個(gè)即可）【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦半徑公式求得點(diǎn)坐標(biāo)后可得直線方程．【詳解】由題意焦點(diǎn)為為，設(shè)，則，，，，若，則，直線方程為，即，若，則，直線方程為，即，故答案為：或（寫一個(gè)即可）．15．某牧場(chǎng)年年初牛的存欄數(shù)為，計(jì)劃以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且每年年底賣出頭牛，按照該計(jì)劃預(yù)計(jì)經(jīng)過(guò)_____________年后存欄數(shù)首次超過(guò)．（結(jié)果保留成整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，【答案】【分析】根據(jù)題意列出數(shù)列的遞推公式，求出通項(xiàng)公式，解不等式得出答案.【詳解】設(shè)年年初牛的存欄數(shù)為，經(jīng)過(guò)年（即年）,年初牛的存欄數(shù)為，經(jīng)過(guò)年年初牛的存欄數(shù)為，則，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.因此，由得，即.所以按照該計(jì)劃預(yù)計(jì)經(jīng)過(guò)年后存欄數(shù)首次超過(guò)．故答案為：7.16．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，的面積為，，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_____________．【答案】7【分析】先根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理和三角形面積公式可得，再利用正弦定理列式即可求解.【詳解】因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，所以，，，由余弦定理，可得，所以，即,所以，又因?yàn)?，所以，由及正弦定理得，所以，即，又，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)，故答案為：四、解答題17．已知圓M過(guò)點(diǎn)，，．(1)求圓M的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)的直線被圓M截得的弦長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用相等關(guān)系求出圓心和半徑，進(jìn)而可得方程；（2）根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，確定弦長(zhǎng)最短的狀態(tài)，結(jié)合勾股定理可得答案.【詳解】（1）由題意圓心M在AB中垂線上，設(shè)圓心，則由得，解得，，所以圓M的方程．（2）因?yàn)?，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦所在的直線和MN連線垂直時(shí)，截得弦長(zhǎng)DE最短，此時(shí)，，即弦長(zhǎng)的最小值為．18．已知四面體ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．(1)若M是BD的中點(diǎn)，求直線CM與平面ACD所成的角的正弦值；(2)若P，A，C，D四點(diǎn)共面，且BP⊥平面ACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意分別求出向量和平面ACD的一個(gè)法向量，再用直線與平面所成的角的正弦值公式代入計(jì)算即可；（2）由題意，，于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由P，A，C，D四點(diǎn)共面，可設(shè)，將坐標(biāo)分別代入即可解得，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意，，，，，可設(shè)平面ACD的法向量，則，即，化簡(jiǎn)得．令，則，，可得平面ACD的一個(gè)法向量，設(shè)直線CM與平面ACD所成的角為，則，即直線CM與平面ACD所成的角的正弦值為；（2）由題意，，于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又P，A，C，D四點(diǎn)共面，可設(shè)，即，即，解得，所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為．19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)定義，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)，作差即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式，再設(shè)數(shù)列的公差為，即可得到方程組，解得、，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)通項(xiàng)公式判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可得到的通項(xiàng)公式，再用分組求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；設(shè)數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，所以.（2）解：因?yàn)?，即?shù)列為遞增數(shù)列，即數(shù)列單調(diào)遞減，，，，，，，，，，，，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以.20．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．(1)求雙曲線C的離心率e；(2)當(dāng)l傾斜角為時(shí)，線段MN垂直平分線交x軸于P，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得：，也即，進(jìn)而求出雙曲線的離心率；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得雙曲線C的方程為，設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得MN的垂直平分線的方程為，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)為，計(jì)算可得，，進(jìn)而求解.【詳解】（1）根據(jù)題意．所以，所以雙曲線C的離心率．（2）由（1）知，雙曲線C的方程為．直線MN的方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，，，則，．因?yàn)?，所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為．MN的垂直平分線的方程為，所以P的坐標(biāo)為，所以．又，所以．21．在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，M是AB的中點(diǎn)，且，，．(1)證明：平面EDC⊥平面ABCD；(2)若，當(dāng)平面ABF與平面CEF所夾的角的余弦值為時(shí)，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量夾角的余弦值為求出的值.【詳解】（1）因?yàn)椋D中點(diǎn)O，連接OE，則EO⊥DC，且EO＝2，因?yàn)镺，M是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M＝2，所以，即EO⊥OM，又因?yàn)镋O⊥DC，且，平面ABCD，平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，又平面ABCD，所以平面EDC⊥平面ABCD；（2）由（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OM，OC，OE為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為，則，取，，，設(shè)平面ABF的一個(gè)法向量為，則，取，所以，解得，即當(dāng)平面ABF與平面CEF所夾的角的余弦值為時(shí)，．22．定義橢圓C：上的點(diǎn)的“圓化點(diǎn)”為．已知橢圓C的離心率為，“圓化點(diǎn)”D在圓上．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，不過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M，N的“圓化點(diǎn)”分別為點(diǎn)P，Q．記直線l，AP，AQ的斜率分別為k，，，若，則直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若直線l過(guò)定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；若直線l不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線l過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）結(jié)合離心率及點(diǎn)的位置求得，，得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到用參數(shù)表示，代入化簡(jiǎn)整理可得，從而得到直線的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意，所以，由得，又點(diǎn)在圓上，，所以，即，，所以橢圓C的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，，，其中，聯(lián)