2022屆山東省泰安市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則A． B． C． D．【答案】D【解析】首先求出集合、，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)樗裕?，所以，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．若（），，且（），則（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.【詳解】，所以，解得，，，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行的坐標(biāo)表示，考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3．在中，角的對(duì)邊分別是，，．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合正弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理即可得，即可得解.【詳解】由可得，所以，又，所以即，所以，在中，，又，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，合理轉(zhuǎn)化條件是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.4．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由題設(shè)，，，，∴.故選：C5．被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)有，0.618就是黃金分割比的近似值，黃金分割比還可以表示成，則（

）A．4 B．C．2 D．【答案】C【分析】由平方關(guān)系、倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】故選：C6．已知，為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．6 B． C．8 D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求出曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，代入切點(diǎn)坐標(biāo)，解方程可得n＝0，進(jìn)而得到2a+b＝1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（m，n），y＝ln（x+b）的導(dǎo)數(shù)為，由題意可得=1，又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n＝0，m＝2a，即有2a+b＝1，因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為8．故選：C．7．已知函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為，把圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，再沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)題意求得，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)，最后結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為，所以函數(shù)的最小正周期，所以，所以，將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，可得再沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，最后縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍得到函數(shù)，令，可得，因此，則，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換求解解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.8．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對(duì)應(yīng)法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可．【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于中檔題．二、多選題9．下列判斷中正確的是（

）A．在中，“”的充要條件是“，，成等差數(shù)列”B．“>”是“sinA>sinB”的充要條件C．“”是“”的必要不充分條件.D．命題“，”的否定為“，”.【答案】AC【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等差數(shù)列的定義可知選項(xiàng)正確；當(dāng)，時(shí)，可得選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)且時(shí)，推不出；當(dāng)時(shí)，可以推出，故正確；命題“，”的否定為“，”，故錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，若成等差數(shù)列，則，又，所以，所以；若，則，所以成等差數(shù)列.故在中，“”的充要條件是“，，成等差數(shù)列”是正確的；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，滿足，但是，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)且時(shí)，推不出；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?故“”是“”的必要不充分條件是正確的；對(duì)于選項(xiàng)，命題“，”的否定為“，”，故錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了利用等差中項(xiàng)判斷等差數(shù)列，考查了全稱命題的否定，考查了充要條件、必要不充分條件，屬于中檔題.10．若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則下列說(shuō)法正確的是A． B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】AC【解析】根據(jù)題意，先得到，再由，推出數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，且，所以，因此，當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故C正確；因此，故A正確；又，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋詳?shù)列不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推公式判斷等比數(shù)列，以及等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，熟記等比數(shù)列的概念，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.11．是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知向量、滿足，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．為單位向量 B． C． D．【答案】ABD【解析】求出可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用向量的減法法則求出，利用共線向量的基本定理可判斷B選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出，可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出，可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以與不垂直，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查向量有關(guān)命題真假的判斷，涉及單位向量、共線向量的概念的理解以及垂直向量的判斷，考查推理能力，屬于中等題.12．已知.（

）A．的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 B．的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3C．x軸為曲線的切線 D．若，則【答案】BC【分析】首先根據(jù)得到，分別畫(huà)出和的圖像，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，令，得到.分別畫(huà)出和的圖像，如圖所示：由圖知：有三個(gè)解，即有三個(gè)解，分別為，，.所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，當(dāng)時(shí)，取得極大值為，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，三個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確.因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，所以軸為曲線的切線，故C正確.因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，為減函數(shù)，所以存在，滿足，且，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)和切線，屬于難題.三、填空題13．已知，則___________.【答案】【分析】利用湊配法，由，利用余弦的兩角和差公式，進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：.14．已知數(shù)列滿足，且，設(shè)，則數(shù)列中的最小項(xiàng)的值為_(kāi)____．【答案】【分析】利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入，整理后利用數(shù)列單調(diào)性求解．【詳解】解：由，且，得．．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)的值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．15．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)與夾角是銳角，則它們的數(shù)量積為正值，且它們不共線，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，．【詳解】向量，，，，若與的夾角是銳角，則與不共線，且它們乘積為正值，即，且，求得，且．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量的數(shù)量積解決向量夾角有關(guān)的問(wèn)題，以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量平行的條件等．條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．16．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是______【答案】5【分析】先求出中或,再畫(huà)出函數(shù)圖像討論或的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】令有,故或.畫(huà)出的圖像,故或一共有5個(gè)零點(diǎn).故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,需要根據(jù)題意求得或,再結(jié)合圖像求解或的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.屬于中等題型.四、解答題17．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得，再由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間，整體代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1），，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由（1），解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)的最大值為.18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若的面積為，求外接圓面積的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理和和差角公式求出，即可求出角A的大?。唬?）由的面積為，求得．利用余弦定理和基本不等式求得．設(shè)外接圓的半徑為r，由正弦定理求得，即可求出外接圓的面積的最小值【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以．?）由（1）可知，則．因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以．由余弦定理可得，則．設(shè)外接圓的半徑為r，則，即，故外接圓的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．即當(dāng)時(shí)，外接圓面積的最小值為．19．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．（1）求的前項(xiàng)和；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）通過(guò)等差數(shù)列前n項(xiàng)和求的通項(xiàng)公式，再用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和.（2）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，用分組求和的方法求前項(xiàng)和，一組用等差數(shù)列求和公式求得，一組用錯(cuò)位相減法求得.【詳解】（1）可得．所以．所以．（2）記則．設(shè)——①則——②①②，得，所以．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列求和、分組求和法、裂項(xiàng)相消法求和、錯(cuò)位相減法求和，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.20．某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？【答案】(1)每月處理量為400噸時(shí)，平均每噸處理成本最低(2)該企業(yè)不盈利，國(guó)家至少需要補(bǔ)貼35000元才能使該單位不虧損.【分析】（1）設(shè)該工廠每噸平均處理成本為，，利用基本不等式求最值可得答案；（2）設(shè)該工廠每月的利潤(rùn)為,，利用配方求最值可得答案.【詳解】（1）設(shè)該工廠每噸平均處理成本為，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，每噸平均處理成本最低.（2）設(shè)該工廠每月的利潤(rùn)為，則，∴，當(dāng)時(shí)，，所以該工廠不獲利，且需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼35000元才能使工廠不虧損.21．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；（1）求函數(shù)的解析式；（2）若存在，使等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式和輔助角公式可化簡(jiǎn)，再利用可得的解析式.（2）令，則，則方程在有解，參變分離后可求的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則(2)，則，即令，所以方程在有解，故方程在有解，所以直線與函數(shù)，的圖象有公共點(diǎn)，而函數(shù)，的值域?yàn)?，?【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．22．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若方程有兩個(gè)根，且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】(1)函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，等價(jià)于有方程